2026-2027学年鲁教版（五四制）数学九年级上册期中考试模拟卷第一章＋第二章

鲁教版（五四制）数学九年级上册　期中检测卷　第 1 页　共 1 页 鲁教版（五四制）新教材·数学·九年级上册 期中质量检测卷 考查范围：第一章 直角三角形的边角关系　第二章 二次函数 （满分 120 分　考试时间 90 分钟） 学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 考号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 本卷共 27 题，满分 120 分。答案写在答题卡（答题区）指定位置，写在试卷上无效。 2. 选择题、填空题只写最后结果；解答题须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 3. 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33。 4. 计算中如无特别说明，结果保留根号或准确值；涉及近似值时按题目要求取近似。 题　号 一、选择题 二、填空题 三、解答题 得　分 一、选择题　（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项符合题意） 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 sinA 的值是（　　） A． B． C． D． 2．把 △ABC 的三边长度都扩大为原来的 3 倍，得到 △A′B′C′，则锐角 A 的正弦值（　　） A．不变 B．扩大为原来的 3 倍 C．缩小为原来的 D．不能确定 3．计算 2sin30°＋tan45° 的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 4．抛物线 y＝2(x－1)²＋3 的顶点坐标是（　　） A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，－3) D．(－1，－3) 5．将抛物线 y＝－3x² 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝－3(x＋2)²＋1 B．y＝－3(x－2)²＋1 C．y＝－3(x－2)²－1 D．y＝－3(x＋2)²－1 6．二次函数 y＝x²－2x＋3 的图象与 x 轴的交点个数是（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无法确定 7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 ，则 cosA 的值是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，则 y₁＝a－b＋c、y₂＝4a＋2b＋c、y₃＝16a＋4b＋c 的大小关系是（　　） A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₂＞y₁＞y₃ C．y₃＞y₂＞y₁ D．y₃＞y₁＞y₂ 9．关于二次函数 y＝x²＋2x－3 的图象，下列说法中错误的是（　　） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 x＝－1 C．图象与 x 轴的交点坐标为 (－3，0) 和 (1，0) D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 10．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象经过点 (0，3)，对称轴为直线 x＝－1，且它与 x 轴两交点之间的距离为 4，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x²＋2x＋3 B．y＝－x²－2x＋3 C．y＝－x²＋2x＋3 D．y＝x²－2x＋3 二、填空题　（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。只要求填写最后结果） 11．若 ∠A 是锐角，且 ，则 ∠A＝＿＿＿＿＿°。 12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AC＝6，，则 AB＝＿＿＿＿＿。 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E，且 BE＝2AE。若 BC＝9，AC＝12，则 DE 的长为＿＿＿＿＿。 14．二次函数 y＝－2(x＋1)²＋5 的最大值是＿＿＿＿＿。 15．计算：sin30°＋cos²45°－2tan60°·cos30°＋(π－3)⁰＝＿＿＿＿＿。 16．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c，当 x＝1 时 y＝8，当 x＝2 时 y＝13。若该函数的图象经过点 (0，5)，则当 x＝－1 时，y＝＿＿＿＿＿。 17．当 0≤x≤4 时，二次函数 y＝x²－4x＋5 的最大值与最小值之和为＿＿＿＿＿。 18．二次函数 y＝x²－2x－3 的图象与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，则 △ABC 的面积为＿＿＿＿＿。 三、解答题　（本大题共 9 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分 6 分）计算：。 20．（本题满分 6 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c。已知 a＝6，∠B＝30°，解这个直角三角形。 21．（本题满分 7 分）如图，为测量一座古塔 AB 的高度，小明在距塔底 B 水平距离 60 m 的点 C 处，测得塔顶 A 的仰角为 30°。求古塔 AB 的高度（结果保留根号）。 22．（本题满分 7 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60° 的方向上，轮船沿正东方向航行 20 海里到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏西 30° 的方向上。求灯塔 P 到航线 AB 的距离（结果保留根号）。 23．（本题满分 7 分）某商场销售一种进价为每件 40 元的商品，当售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件。市场调查表明：售价每上涨 1 元，每月销售量就减少 4 件。设售价为每件 x 元（x≥60），每月获得的利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）售价定为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24．（本题满分 7 分）如图，某坡面的坡度 i＝1∶2.4（即铅直高度与水平宽度之比），一物体从坡底沿坡面向上运动到坡顶，共运动了 26 m。求这个坡面的铅直高度与水平宽度。 25．（本题满分 8 分）数学活动课上，小组同学用所学知识测量某建筑物 CD 的高度。如图，在水平地面上的点 A 处测得建筑物顶端 C 的仰角为 45°，沿 AC 方向前进 20 m 到达点 B 处，测得顶端 C 的仰角为 60°（点 A、B、D 在同一条直线上，CD⊥AD）。求建筑物 CD 的高度（结果保留根号）。 26．（本题满分 8 分）如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离 4 m 处起跳投篮，球运动的路线是一条抛物线。当球运行的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面的距离为 3.05 m。 （1）建立如图所示的平面直角坐标系（以球出手点所在的竖直线为 y 轴，地面为 x 轴），求球运行路线所在抛物线的表达式； （2）该运动员的身高为 1.9 m，此次投篮时球出手的高度是否高于他的身高？请说明理由。 27．（本题满分 10 分）如图，抛物线 y＝－x²＋2x＋3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）求 △BCD 的面积； （3）点 P 是抛物线在第一象限内部分上的一个动点，过点 P 作 PQ∥y 轴交直线 BC 于点 Q，求线段 PQ 长度的最大值； （4）在抛物线上是否存在点 M，使 △MBC 的面积等于 △BCD 的面积？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 期中质量检测卷 参考答案与评分标准 （第一章 直角三角形的边角关系　第二章 二次函数） 本答案仅供阅卷参考。解答题中，若考生的解法与参考答案不同，只要推理合理、结果正确，请参照本标准相应步骤给分。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 答案 A A B A B 题号 6 7 8 9 10 答案 A B D D B 【解析】 1．，故选 A。 2．三边都扩大为原来的 3 倍后，∠A 的大小不变，其对边与斜边的比也不变，故 sinA 的值不变，选 A。 3．，故选 B。 4．y＝2(x－1)²＋3 已是顶点式，顶点为 (1，3)，故选 A。 5．y＝－3x² 向右平移 2 个单位得 y＝－3(x－2)²，再向上平移 1 个单位得 y＝－3(x－2)²＋1，故选 B。 6．Δ＝(－2)²－4×1×3＝－8＜0，图象与 x 轴没有交点，故选 A。 7．，设 BC＝3k，AC＝4k，则 AB＝5k，，故选 B。 8．对称轴为 x＝1，三个点对应的横坐标与对称轴的距离分别为 2、1、3。因 a＞0，开口向上，离对称轴越远函数值越大，故 y₃＞y₁＞y₂，选 D。 9．y＝x²＋2x－3＝(x＋1)²－4，开口向上，对称轴 x＝－1，与 x 轴交于 (－3，0)、(1，0)，故 A、B、C 都正确；当 x＜－1 时 y 随 x 增大而减小，当 －1＜x＜0 时 y 随 x 增大而增大，故 D 错误，选 D。 10．由对称轴 x＝－1 及两交点间距离为 4，得两交点为 (－3，0)、(1，0)。设 y＝a(x＋3)(x－1)，代入 (0，3) 得 －3a＝3，a＝－1，故 y＝－(x＋3)(x－1)＝－x²－2x＋3，选 B。 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．60　　（） 12．10　　（，） 13． 　　【解析】由勾股定理得 ，则 AE＝5，BE＝10。由 △ADE∽△ABC 得 ，所以 。 14．5　　（a＝－2＜0，当 x＝－1 时取得最大值 5） 15．－1 　　【解析】原式＝。 16．4 　　【解析】把三组对应值代入得 a＋b＋c＝8，4a＋2b＋c＝11，c＝5。解得 a＝1，b＝2，c＝5，即 y＝x²＋2x＋5。当 x＝－1 时，y＝1－2＋5＝4。 17．6 　　【解析】y＝(x－2)²＋1，当 0≤x≤4 时，最小值在 x＝2 处取得为 1；最大值在 x＝0 或 x＝4 处取得为 5。故最大值与最小值之和为 6。 18．6 　　【解析】令 y＝0 得 x＝－1 或 x＝3，故 A(－1，0)，B(3，0)，AB＝4；令 x＝0 得 y＝－3，即 C(0，－3)，OC＝3。。 三、解答题（共 66 分） 19．（6 分） 解：原式＝ ……………………………………………………4 分 。 …………………………………………………………6 分 【说明】每正确代入一个特殊角的三角函数值给 1 分，结果正确再给 2 分。 20．（6 分） 解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝90°－30°＝60°。 …………2 分 ∵，∴。 ……………………4 分 ∵，∴。 ………………6 分 【说明】也可由 或 求 a 得 ；用勾股定理求出 同样给满分。 21．（7 分） 解：在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝60 m。 ∵， ……………………………………………3 分 ∴（m）。 ………………6 分 答：古塔 AB 的高度为 m。 ……………………………………7 分 22．（7 分） 解：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C，则 PC 的长即为灯塔 P 到航线 AB 的距离。 由题意得 ∠PAC＝90°－60°＝30°，∠PBC＝90°－30°＝60°。 …2 分 设 PC＝x 海里。在 Rt△PAC 中，； 在 Rt△PBC 中，。 ……………………4 分 ∵AC－BC＝AB，∴，解得 。 ………6 分 答：灯塔 P 到航线 AB 的距离为 海里。 ……………………7 分 23．（7 分） 解：（1）由题意，销售量为 200－4(x－60)＝440－4x（件）。 ∴y＝(x－40)(440－4x)＝－4x²＋600x－17600（x≥60）。 ……3 分 （2）y＝－4x²＋600x－17600＝－4(x－75)²＋4900。 …………5 分 ∵－4＜0，∴当 x＝75 时，y 取得最大值 4900。 ………………6 分 答：售价定为每件 75 元时，每月获得的利润最大，最大利润为 4900 元。…7 分 【说明】写成 y＝－4(x－75)²＋4900 后直接指出“当 x＝75 时 y 最大为 4900”同样给分；只给结论未配方扣 2 分。 24．（7 分） 解：设铅直高度为 h m，水平宽度为 l m。 ∵坡度 ，∴可设 h＝5k，l＝12k。 …2 分 由勾股定理得坡面长＝。 ……………4 分 ∴13k＝26，k＝2。 ………………………………………………6 分 答：这个坡面的铅直高度为 10 m，水平宽度为 24 m。 ……………7 分 25．（8 分） 解：设 CD＝x m。在 Rt△ACD 中，∠CAD＝45°，∴。 …2 分 在 Rt△BCD 中，∠CBD＝60°，∴。 ……4 分 ∵AD－BD＝AB，∴。 ……………………………6 分 解得 。 …………………………7 分 答：建筑物 CD 的高度为 m（约为 47.3 m）。 …………8 分 【说明】结果写成 同样正确。 26．（8 分） 解：（1）由题意，球运行路线的最高点为 (2.5，3.5)，设抛物线的表达式为 y＝a(x－2.5)²＋3.5。 ……………………………………………2 分 球出手点在 y 轴上，其横坐标为 0；球落入篮筐时，水平距离为 4 m，高度为 3.05 m，即图象经过点 (4，3.05)。 把 (4，3.05) 代入得 a(4－2.5)²＋3.5＝3.05，2.25a＝－0.45，a＝－0.2。 …4 分 ∴y＝－0.2(x－2.5)²＋3.5（0≤x≤4）。 ………………………5 分 即 y＝－0.2x²＋x＋2.25（0≤x≤4）。 （2）当 x＝0 时，y＝2.25。∵2.25 m＞1.9 m， ……………………7 分 ∴球出手的高度高于运动员的身高。 ……………………………8 分 【说明】第（1）问未写出自变量取值范围不扣分；若考生不按提示建系而自行建系，只要表达式与所建坐标系相符、结论正确，同样给分。 27．（10 分） 解：（1）令 y＝0，得 －x²＋2x＋3＝0，解得 x₁＝－1，x₂＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)。 令 x＝0，得 y＝3，∴C(0，3)。 ∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，∴D(1，4)。 …………………3 分 （2）设直线 BC 的表达式为 y＝kx＋m。把 B(3，0)、C(0，3) 代入得 k＝－1，m＝3， ∴直线 BC：y＝－x＋3。 过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，交 BC 于点 F。当 x＝1 时，y＝－1＋3＝2，∴F(1，2)，DF＝4－2＝2。 。 ……………5 分 （另解：S△BCD＝S梯形OCDE＋S△BDE－S△OBC＝。） （3）设 P(t，－t²＋2t＋3)，其中 0＜t＜3，则 Q(t，－t＋3)。 。 ………8 分 ∵－1＜0，，∴当 时，PQ 取得最大值 。 即线段 PQ 长度的最大值为 。 …………………………………9 分 （4）存在。 ∵S△BCD＝3，要使 S△MBC＝3，则点 M 到直线 BC 的距离应等于点 D 到直线 BC 的距离。 设 M(s，－s²＋2s＋3)，则点 M 到直线 x＋y－3＝0 的距离为 。 点 D 到直线 BC 的距离为 。 由 得 s²－3s＝2 或 s²－3s＝－2。 解 s²－3s＋2＝0 得 s＝1 或 s＝2，此时 M(1，4)（即顶点 D）或 M(2，3)； 解 s²－3s－2＝0 得 ， 当 时，； 当 时，。 ∴点 M 的坐标为 (1，4)、(2，3)、、。 …10 分 【说明】第（3）问用 求最值给满分；第（4）问若只求出 (1，4)、(2，3) 两点，给 1 分。 命题双向细目说明 章节 知识点 对应题号 分值 能力要求 第一章 直角三角形的边角关系 锐角三角函数定义 1、2、7、11 10 理解比值不变性，能由一边一角求其余元素 特殊角三角函数值 3、15、19 10 熟记 30°、45°、60° 的函数值，能进行混合运算 解直角三角形 13、20 10 会选用正弦、余弦、正切与勾股定理解题 三角函数的应用 21、22、24、25 28 仰角俯角、方位角、坡度三类模型，突出建模与运算 第二章 二次函数 二次函数的概念与图象 4、5、9、14 13 顶点式、平移规律、开口方向与对称轴 二次函数的性质 8、17 7 增减性、对称性、闭区间上的最值 确定二次函数的表达式 10、16 7 待定系数法（一般式、交点式、顶点式） 二次函数与一元二次方程 6、18、27（4） 15 判别式与交点个数、面积存在性问题 二次函数的应用 23、26、27 30 最大利润、抛物线型运动、面积最值 全卷难度结构：容易题约 70%，中档题约 20%，较难题约 10%。其中第 27 题第（4）问为区分题，供学有余力的学生选做；如整体基础较弱，可按 110 分计分（第 27 题第（4）问 10 分中扣除 1 分权重的附加要求）。 学科网（北京）股份有限公司 $