2026-2027学年苏科版八年级数学上册 期中复习 解答题专项必练30题

八上数学期中复习解答题专项必练30题2026—2027学年苏科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知a、b、c是三角形的三边长． (1)化简； (2)，，，求这个三角形的三边长． 2．如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 3．如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 4．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 5．在正五边形中，，，M、N分别是和的中点，连接、，相交于点O． (1)求证：； (2)求． 6．已知：如图，，，．求证：． 7．如图，点、、、在同一条直线上，于点，于点，，．求证：． 8．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法： ①在和上分别截取，使． ②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C． ③作射线．则就是的平分线． 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在和上分别截取，使． ②分别过M、N做的垂线，交于点P． ③作射线．则为的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： (1)老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　． (2)小聪的作法正确吗？请说明理由． 9．请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 10．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长． 11．如图，在中，的平分线交于点D；于点E，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，则______． 12．如图，在中，为，的平分线的交点，，，，垂足分别为，，． (1)与是否相等．请说明理由； (2)若的周长是28，且，求的面积． 13．如图，在△ABC中，AB=AC=17，AD平分∠BAC，BD=8，求AD的长． 14．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE． （1）若，求，的度数． （2）写出与之间的关系，并说明理由． 15．如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且，求证：． 16．计算： 17．解下列方程：． 18．求下列各题中的x的值． (1)； (2)． 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知(a－2)的平方根是±2，(2a＋b＋7)的立方根是3，求(a²＋b²)的算术平方根． 21．【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 22．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 23．小明在家装修房间时，有一个如图所示铝合金窗框（上面形状为直角三角形，下面是正方形），请你根据数据，求出所需铝合金材料的总长度．（精确到0.1） 24．如图，在中，，，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求（1）中的长． 25．如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 26．如图，顶点的坐标分别为、、 (1)画出关于轴对称的； (2)连接、，判断的形状，并说明理由． 27．通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为，点A、B、C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以．    (1)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________（填写正确选项的字母代号）． A．类比思想        B．整体思想        C．分类讨论思想        D．数形结合思想 (2)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 28．如图所示的一块空地，经测量，，，，．求这块空地的面积． 29．（1）如图，四边形ABCD是一块草坪，，，，，，求这块草坪的面积； （2）若在这块草坪上修建一个小喷泉点O，使得，请找出小喷泉O点的位置，并说明理由． 30．如图，．请你连结． (1)求线段的长； (2)求四边形的面积 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《八上数学期中复习解答题专项必练30题2026—2027学年苏科版》参考答案 1．(1) (2)这个三角形的三边长为6，5，4 【分析】（1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号即可； （2）解三元一次方程组求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，即， 又∵， ∴，即， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴这个三角形的三边长为6，5，4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，解三元一次方程组，熟练掌握三角形三边关系定理以及加减消元法是解题的关键． 2．， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 3．(1)； (2)2或3 【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据“路程速度时间”求解即可； （2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； （2）解：当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 4．(1) 证明：， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ， ， ， ． 5．(1) 证明：∵M、N分别是边，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴； (2) 【分析】（1）根据题意得，，根据得，利用SAS可证明，即可得； （2）根据得，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴ = = =． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的中点，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 6． 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据等式的性质可得，然后再结合判定两个三角形全等的方法进行证明． 【详解】略 7． 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由题意易得，，，进而问题可求证． 【详解】略． 8．(1) (2) 解：小聪的作法正确． 理由：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大． （1）根据全等三角形的判定即可求解； （2）根据可证，再根据全等三角形的性质即可作出判断． 【详解】（1）解：李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法． 故答案为：； （2）略 9． 如图，点P为所作． 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．利用基本作图作的平分线和的垂直平分线，它们相交于点P，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点P满足条件． 【详解】略 10． （1）证明：连接CD， ∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°； （2） 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5， ∴AD＝3，BD＝5， ∴DC＝5， ∴AC＝． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 11．(1) 证明：∵， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质； （1）先由角平分线的性质得到，再证明得到即可； （2）证明，得到，结合即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．(1) 解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是28，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是28， ∴， ∴． 13．15 【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，在直角三角形中利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中， ，即 ∴， ∴AD=15． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用这两个性质定理是解题关键． 14．（1）；； （2）， 理由如下：设，． 在中，， ， ． ， 在中，， ． ． ． ． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，． （2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系． 【详解】（1），， ． 在中，， ， ， ， ． ． （2）略 【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角． 15． 证明：∵和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ∴． 【分析】根据和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边得到，，根据得到，即可得到，即可得到证明； 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据等腰三角形得到三角形全等的条件． 16．10 【分析】先根据算术平方根，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解． 【详解】解∶ 【点睛】本题主要考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17． 【分析】整理后，根据平方根的定义，直接开方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平方根，正确掌握平方根的定义是解题关键． 18．(1)或 (2) 【分析】本题考查了解方程，求一个数的平方根、求一个数的立方根，正确计算是解题的关键． （1）直接开平方，注意一个数的平方根有两个； （2）先移项，然后再开立方； 【详解】（1）解：， 开方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 即， 解得：． 19．(1) 或 (2) 【详解】（1）解：对于方程 两边同时除以，得 开平方得 或 解得 或 （2） 开立方得 解得 20．10 【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知a﹣2＝4，2a+b+7＝27，列方程解出a、b，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵a﹣2的平方根是±2， ∴a﹣2＝4， ∴a＝6， ∵2a+b+7的立方根是3 ∴2a+b+7＝27 把a的值代入解得： b＝8， ∴a2+b2=36+64=100， 100的算术平方根为10． ∴(a²＋b²)的算术平方根为：10 【点睛】此题考查平方根，立方根的概念，解题关键在于掌握运算法则，难易程度适中． 21．(1)21， (2)A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答； （2）设纸的宽为，根据面积求出的值，继而确定在两个相邻的整数之间，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是21，小数部分是． （2）法1：纸的面积为， 纸的面积为． 设纸的宽为，长为， ， 由边长的实际意义，得， ，且，， 答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间． 法2：由题意得，纸的宽为，且 ， 纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间． 22．(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 23． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识：运用勾股定理求直角三角形的斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线性质求相关线段长度，最后将图形中所有线段长度相加得到所需铝合金材料的总长度． 【详解】在直角中，，由勾股定理知： ． 又， 是斜边的中线， ， 则， 即所需铝合金材料的总长度约为． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图求解即可； （2）设，则，在中，由可得关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）连接， 设，则， 在中，由可得， 解得，即． 【点睛】本题主要考查考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图及其性质、勾股定理． 25． 证明：∵， ∴， ∵，，． ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，得到，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】略 26．(1)如图所示：即为所求； (2)是直角三角形 理由如下： ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【分析】此题主要考查了作图轴对称变换，以及勾股定理和逆定理，关键是正确画出图形，掌握三角形两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形是解题的关键． （1）首先确定、、三点关于轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先利用勾股定理计算出、、的长，再利用勾股定理逆定理判定的形状即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．(1)D (2) 解：；理由如下： 根据题意构造，如图所示：    ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∵，，， ∴． 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题； （2）根据题干中的方法解决问题即可． 【详解】（1）解：在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合，故D正确． 故选：D． （2）略 【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，解题的关键是数形结合，构造合适的三角形． 28． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； 连接，如图，根据勾股定理先求出，再根据勾股定理的逆定理判断，然后根据这块空地的面积计算求解即可. 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴，m， ∵， ∴， ∴， ∴这块空地的面积. 29．（1）234 m2．（2）见解析 【分析】（1）连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再求出AD的长，由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论． （2）作线段AB的垂直平分线MN交AC于点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得结论． 【详解】解：（1）连接AC，如图： ∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m， ∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625， ∴AC＝25（m）． 又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC ＝ ＝ ＝234（m2）． 答：这块四边形草坪的面积是234m2． （2）如图， 理由：由作图得，OA=OB，AE=BE，MN⊥AB， ∵CB⊥AB ∴MN//BC ∴ ∴AO=CO ∴AO=OB=OC ∴点O为AC的中点 由（1）知△ACD是直角三角形 ∴OD=AO ∴ 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理的运用是解答此题的关键． 30．(1)5 (2)24 【分析】（1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，直角三角形面积计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $