期中专题07：综合练习卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

期中专题07：综合练习卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2026•蔡甸区校级模拟）下列汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•庄浪县校级月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2，2，4 B．2，3，7 C．3，4，5 D．1，2，3 3．（2026•儋州模拟）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠D＝59°，∠C＝24°，则∠A的度数是（　　） A．24° B．30° C．35° D．59° 4．（2025秋•绵阳期末）在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，已知A的坐标为（3，﹣4），则B的坐标为（　　） A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4） 5．（2025秋•洪山区期末）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．（2026春•辽阳期末）如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 7．（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026秋•清镇市月考）如图，点A、D、B、E在同一直线上，△ABC≌△DEF，AB＝8，AE＝12，则DB等于（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 9．（2026秋•大连月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A＝（　　） A．180°﹣2α B． C． D．α 10．（2026春•包河区期中）如图，E是线段AB上一动点，△ACE和△BDE是位于直线AB同侧的顶角相等的两个等腰三角形，△ACE的底AE与它自己的高相等，△BDE 的底BE与它自己的高相等，若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．若E是AB的中点，则 B．若AE＝1，则 C．若，则△CDE是直角三角形 D．若△CDE的面积是，则BE＝3 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•渠县校级期末）已知等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为_____________ ． 12．（2026秋•墨玉县月考）如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数是________ ． 13．（2026春•锦江区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．∠BCD＝25°，则∠A＝_______ 度． 14．（2026秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，连接BE．若△ABE的周长为12，BD＝5，则△ABC的周长为_______ ． 15．（2026秋•南昌月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．若AD＝4，CD＝8，S△ACD＝12，则EF的长为_____ ． 16．（2026春•任城区期末）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD＝6，∠C＝30°，则BC＝_______ ． 三．解答题（共9小题） 17．（2025秋•高唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD、BE相交于点F．求证：BF＝2EF． 18．（2025秋•赣榆区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题： （1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数． 19．（2025秋•太和县期末）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数． 20．（2025秋•嘉荫县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．且DF＝DB． （1）求证：△CFD≌△EBD； （2）若∠BAC＝40°，求∠AFD的度数； 21．（2026春•锦江区期末）补充完成下列推理过程． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AD上，连接BE，CE．若BE平分∠ABC，CE平分∠BCD． 求证：AE＝DE． 证明：延长BE交CD的延长线于点F， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F．（________________ ） 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠FCE．（____________ ） ∴∠CBE＝∠F． 在△CBE和△CFE中， ， ∴△CBE≌△CFE．（________ ） ∴BE＝FE．（_______________ ） 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE．（________ ） ∴AE＝DE． 22．（2026秋•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：△AEF为等腰三角形． 23．（2026秋•南昌月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2），直线m（直线m上所有点的横坐标均为﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积； （2）线段AB交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点D1的坐标____________________ ； （3）线段AC上有一点M（x，y），直接写出点M关于直线m对称点M1的坐标_____________ ． 24．（2026春•鼓楼区校级期末）已知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I． （1）试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当∠A＝90°时，点F在边CA上，且CF+BE＝BC，连接IF． ①求证：IF⊥CE． ②若AB＝8，AC＝15，BC＝17，求AF的长． 25．（2026春•兰州期末）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 _______ “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 期中专题07：综合练习卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•蔡甸区校级模拟）下列汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、选项汉字不是轴对称图形，不符合题意； B、选项汉字不是轴对称图形，不符合题意； C、选项汉字不是轴对称图形，不符合题意； D、选项汉字是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2．（2026秋•庄浪县校级月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．2，2，4 B．2，3，7 C．3，4，5 D．1，2，3 【解答】解：A、∵2+2＝4， ∴2，2，4长度的线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵2+3＜7， ∴2，3，7长度的线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵3+4＞5， ∴3，4，5长度的线段能组成三角形，符合题意； D、∵1+2＝3， ∴1，2，3长度的线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 3．（2026•儋州模拟）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠D＝59°，∠C＝24°，则∠A的度数是（　　） A．24° B．30° C．35° D．59° 【解答】解：∵DE∥BC，∠D＝59°， ∴∠DBC＝∠D＝59°， ∵∠C＝24°， ∴∠A＝∠DBC﹣∠C＝35°， 故选：C． 4．（2025秋•绵阳期末）在平面直角坐标系中，点A和点B关于x轴对称，已知A的坐标为（3，﹣4），则B的坐标为（　　） A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4） 【解答】解：根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数可知：B的坐标为（3，4）， 故选：A． 5．（2025秋•洪山区期末）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【解答】解：根据作图的过程可知： OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE ∴△OCE≌△ODE（SSS） ∴∠COE＝∠DOE 故选：A． 6．（2026春•辽阳期末）如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【解答】解：∵三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等， ∴喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 故选：D． 7．（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 8．（2026秋•清镇市月考）如图，点A、D、B、E在同一直线上，△ABC≌△DEF，AB＝8，AE＝12，则DB等于（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【解答】解：∵点A、D、B、E在同一直线上，△ABC≌△DEF，AB＝8，AE＝12， ∴DE＝AB＝8， ∴BE＝AE﹣AB＝12﹣8＝4， ∴DB＝DE﹣BE＝8﹣4＝4． 故选：C． 9．（2026秋•大连月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A＝（　　） A．180°﹣2α B． C． D．α 【解答】解：在△DBF和△ECD中， ， ∴△DBF≌△ECD（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE（全等三角形的对应角相等）， 由三角形外角可得，∠FDC＝∠B+∠BFD， ∴∠FDC＝∠B+∠CDE， ∵∠FDC＝∠FDE+∠CDE， ∴∠FDE＝∠B＝α， ∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠A＝180°﹣2α． 故选：A． 10．（2026春•包河区期中）如图，E是线段AB上一动点，△ACE和△BDE是位于直线AB同侧的顶角相等的两个等腰三角形，△ACE的底AE与它自己的高相等，△BDE 的底BE与它自己的高相等，若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．若E是AB的中点，则 B．若AE＝1，则 C．若，则△CDE是直角三角形 D．若△CDE的面积是，则BE＝3 【解答】解：由题意，过C作CH⊥AE于H，过D作DG⊥BE于点G， 对于点A，∵E是AB的中点，AB＝4， ∴AEAB＝2， ∵△ACE是等腰三角形，CH⊥AE，CH＝AE＝2， ∴EHCE＝1． ∴CE，故A正确，不合题意； 对于点B，过C作CM⊥DG于M， ∵AE＝1， ∴CH＝1，EHAE，则DG＝BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3． 同理可得，EG， ∴CM＝EH+EG2． 又∵DM＝DG﹣CH＝3﹣1＝2， ∴CD2，故B正确，不合题意； 对于C，∵AE， ∴CH＝AE，DG＝BE． ∴EH，EG，则CM＝EH+GE＝2，DM＝DG﹣CH＝1， ∴CE，DE， ∴CD． ∴CE2+CD2＝DE2． ∴△CDE是直角三角形，故C正确，不合题意； 对于D，设BE＝a，则AE＝4﹣a， ∴CH＝4﹣a，DG＝a，GH＝2，EH（4﹣a），EGa． ∵S梯形CHGD（CH+DG）•GH＝S△EHC+S△DEG+S△DEC，且S△DEC， ∴（4﹣a+a）×2（4﹣a）•（4﹣a）a•a． ∴a＝1或3，即BE＝1或3，故D错误，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•渠县校级期末）已知等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为　40°或100°　 ． 【解答】解：①当40°的角为底角时， 顶角为180°﹣2×40°＝100°； ②当40°的角为顶角时， 此时顶角为40°； 故答案为：40°或100°． 12．（2026秋•墨玉县月考）如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数是　52°　 ． 【解答】解：∵图中两个三角形全等，∠α为a，c边的夹角， ∴∠α＝52°． 故答案为：52°． 13．（2026春•锦江区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．∠BCD＝25°，则∠A＝　25　 度． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝25°． 故答案为：25． 14．（2026秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，连接BE．若△ABE的周长为12，BD＝5，则△ABC的周长为　22　 ． 【解答】解：在△ABC中，边BC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，BD＝5 ∴BE＝CE，BD＝CD． 由题意可得：AB+AE+BE＝12． ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝AB+AE+CE+BD+CD＝AB+AE+BE+BD+CD＝12+5+5＝22． 故答案为：22． 15．（2026秋•南昌月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．若AD＝4，CD＝8，S△ACD＝12，则EF的长为　2　 ． 【解答】解：如图所示，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，则： EF＝EH，∠F＝90°； ∵∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝180°﹣∠F﹣∠AEF＝40°； ∵∠BAD＝100°， ∴∠DAE＝180°﹣∠BAD﹣∠FAE＝40°， ∴∠DAE＝∠FAE，即AE平分∠DAF， 又∵EG⊥AD，EF⊥AB， ∴EF＝EG， ∴EF＝EG＝EH； ∵S△ACD＝S△AED+S△ECD＝12， ∴， ∴AD•EF+CD•EF＝24， ∴（AD+CD）•EF＝24， ∵AD＝4，CD＝8， ∴EF＝2． 故答案为：2． 16．（2026春•任城区期末）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD＝6，∠C＝30°，则BC＝　12　 ． 【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝30°， ∴∠ANB＝∠C+∠CAD＝60°， ∵AB＝BD＝6， ∴AB＝BD＝AD＝6， ∴AD＝CD＝6， ∴BC＝BD+CD＝12， 故答案为：12． 三．解答题（共9小题） 17．（2025秋•高唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD、BE相交于点F．求证：BF＝2EF． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠ABE＝30°， ∴AF＝BF， 在直角三角形AEF中，∠EAF＝30°， ∴EFAFBF， 即BF＝2EF． 18．（2025秋•赣榆区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题： （1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数． 【解答】（1）解：如图，COF即为所求； （2）解：∵∠COF＝∠AOC，∠AOC＝66°，∠BOD＝∠AOC， ∴∠COF＝66°，∠BOD＝66°， ∴∠FOB＝180°﹣66°﹣66°＝48°， ∵OE平分∠BOD， ∴， ∴∠EOF＝48°+33°＝81°， 答：∠EOF的度数为81°． 19．（2025秋•太和县期末）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数． 【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠DCB＝∠ACD， 又∵∠ACD＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝36°， ∴∠B＝∠DFE＝36°， 在△ABC中，∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠A＝38°，∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣38°﹣36°＝106°， 又∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣53°﹣38°＝89°． 20．（2025秋•嘉荫县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．且DF＝DB． （1）求证：△CFD≌△EBD； （2）若∠BAC＝40°，求∠AFD的度数； 【解答】（1）证明：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝ED， 在△CFD和△EBD中， ， ∴△CFD≌△EBD（HL）； （2）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°， ∵△CFD≌△EBD， ∴∠CFD＝∠B＝50°， ∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣50°＝130°． 21．（2026春•锦江区期末）补充完成下列推理过程． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AD上，连接BE，CE．若BE平分∠ABC，CE平分∠BCD． 求证：AE＝DE． 证明：延长BE交CD的延长线于点F， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F．（　两直线平行，内错角相等　 ） 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠FCE．（　角平分线的定义　 ） ∴∠CBE＝∠F． 在△CBE和△CFE中， ， ∴△CBE≌△CFE．（AAS ） ∴BE＝FE．（　全等三角形对应边相等　 ） 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE．（ASA ） ∴AE＝DE． 【解答】证明：延长BE交CD的延长线于点F， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F．（两直线平行，内错角相等） 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠FCE．（角平分线的定义） ∴∠CBE＝∠F． 在△CBE和△CFE中， ， ∴△CBE≌△CFE．（AAS） ∴BE＝FE．（全等三角形对应边相等） 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（ASA）， ∴AE＝DE． 故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；AAS；全等三角形对应边相等；对顶角相等；ASA． 22．（2026秋•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：△AEF为等腰三角形． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝39°， ∴∠BAD＝90°﹣39°＝51°， ∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝51°； （2）证明：∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）知：∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∴AE＝FE， ∴△AEF为等腰三角形． 23．（2026秋•南昌月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2），直线m（直线m上所有点的横坐标均为﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积； （2）线段AB交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点D1的坐标　　 ； （3）线段AC上有一点M（x，y），直接写出点M关于直线m对称点M1的坐标　（﹣2﹣x，y）　 ． 【解答】解：（1）所作△A1B1C1如图所示； △A1B1C1的面积＝3×31×12×33×2＝5.5； （2）由图知B（﹣1，﹣1），A（﹣4，1）， ∴D的坐标为， 即， ∵， ∴点D关于直线m对称点D1的坐标为， 故答案为：； （3）∵线段AC上有一点M（x，y），﹣1+（﹣1）﹣x＝﹣2﹣x， ∴点M关于直线m对称点M1的坐标为（﹣2﹣x，y）， 故答案为：（﹣2﹣x，y）． 24．（2026春•鼓楼区校级期末）已知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I． （1）试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当∠A＝90°时，点F在边CA上，且CF+BE＝BC，连接IF． ①求证：IF⊥CE． ②若AB＝8，AC＝15，BC＝17，求AF的长． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I， ∴， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∵∠BIC+∠IBC+∠ICB＝180°， ∴； （2）①证明：如图2所示，在BC上截取BH＝BE，连接IH， ∵在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I， ∴∠IBE＝∠IBH，∠ICH＝∠ICF， 又∵BE＝BH，BI＝BI， ∴△BEI≌△BHI（SAS）， ∴∠BEI＝∠BHI， ∴180°﹣∠BEI＝180°﹣∠BHI， ∴∠AEC＝∠IHC； ∵BC＝BE+CF， ∴CF＝BC﹣BE＝BC﹣BH， ∴CF＝CH， 又∵CI＝CI， ∴△CIF≌△CIH（SAS）， ∴∠CIF＝∠CIH； ∵∠A＝90°， ∴∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠IHC+∠ICH＝90°， ∴∠CIH＝90°， ∴∠CIF＝90°， ∴IF⊥CE； ②解：如图所示，过点E作ET⊥BC于点T， ∴∠ETC＝90°＝∠A； ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠TCE， 又∵CE＝CE， ∴△ACE≌△TCE（AAS）， ∴EA＝ET； ∵， ∴，即， ∴， ∵BC＝BE+CF， ∴， ∴． 25．（2026春•兰州期末）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 　不是　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 【解答】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°， ∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°， ∴分三种情况： 当∠C﹣∠A＝60°时， ∴∠C＝∠A+60°＝95°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°； 当∠C﹣∠B＝60°时， ∵∠A＝35°， ∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°， ∴2∠B＝85°， ∴∠B＝42.5°； 综上所述：∠B的度数为50°或42.5°； （3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2， ∵△BCD是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当∠C﹣∠CBD＝60°时， ∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°， ∴BD＝2CD， ∵CD2+BC2＝BD2， ∴CD2+（1）2＝（2CD）2， 解得：CD或CD（舍去）， ∴BD＝2CD； 当∠BDC﹣∠CBD＝60°时， 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠C＝90°， ∴∠BDC+∠CBD＝90°， ∴2∠BDC＝150°， ∴∠BDC＝75°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BE＝DE，BDDE， 设DE＝BE＝x， 在Rt△ADE中，∠A＝30°， ∴AEDEx， ∵BE+AE＝AB， ∴xx＝2+2， 解得：x＝2， ∴BE＝DE＝2， ∴BDDE＝2； 当D与A重合时， ∵∠C﹣∠A＝60°， ∴△BCD是准等边三角形， 此时BD＝2BC＝2+2， 综上所述：BD的长为或2或2+2．声明：试题 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $