精品解析：吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校2026-2027学年九年级上学期10月大练习数学

九年级数学试卷 考试时间：90分钟 总分：120分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 2. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 5. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 计算：___________． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 11. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 12. 某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 13. 小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 14. 如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③当，时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（共64分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 计算： （1）． （2） 17. 如图，中，点D在边上，，．求证：． 18. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 19. 净月潭国家森林公园计划新建一段长方形的森林徒步道，供游客休闲观景．已知这段徒步道的长比宽多4米，徒步道的面积为45平方米，求该徒步道的长和宽各是多少米？ 20. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． （1）求证：； （2）若，，，则直接写出CD的长为________． 21. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 22. 如图①，在中，，，，为上一动点，连结，作，且使． 【感知】如图①，当点运动到时，则的长为________． 【探究】如图②，设为中点，为中点，连结、，若，求的长． 【拓展】如图③，连接，当恰为中点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 考试时间：90分钟 总分：120分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负．据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即 ． 选项 A．，B．，C．，均不满足； 选项D． ，满足． 故选D． 2. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数中不含有分母且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，逐个排除即可． 【详解】解： ，被开方数含能开得尽方的因数， B不是最简二次根式． 、的被开方数均含分母，C、D不是最简二次根式． 的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，A是最简二次根式． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可设，，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：A． 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出k的值． 【详解】解：根据题意，直接把代入，则 ， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 5. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 6. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 7. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据点和点的坐标得到，根据位似图形的性质得到，且三点共线，则点D为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O， ∴，且三点共线， ∴点D为的中点， ∵， ∴点的坐标为， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用的已知边角求、，再在中求，最后通过解直角三角形，将的长度及其与x轴的夹角转化为点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴​． ∵，​ ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∵， ​∴​​． 过点作轴于点，设． 在中，，且， ∵以为原点，所在直线为轴， ∴与x轴正方向夹角为． 又， ∴， 则点坐标满足： ， ． ∴点坐标为． 点在反比例函数​()的图象上， 所以​​． 故的值​​， 故选：C． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是灵活运用角的三角函数值，依次求出相关线段长度，并确定射线与轴的夹角，从而求出点的坐标． 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】计算根号内两个数的乘积，得到新的被开方数，对得到的被开方数进行开方运算，化简得到最终结果． 【详解】． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 12. 某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 13. 小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③当，时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，得到，可判定①；根据点是的中点，是的垂直平分线，得到，由等边对等角得到，根据垂直的定义得到，可判定②；设，则，由勾股定理得到，由题意可证得到，由此得到，可判定③；设，根据含角的直角三角形的性质得到，根据中线平分三角形面积得到，且，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当，时，， 设， 由①可得，是的中位线， ∴，则， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，故③错误； 当时，， 设，则， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 三、解答题（共64分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 18. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． 【小问3详解】 如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 19. 净月潭国家森林公园计划新建一段长方形的森林徒步道，供游客休闲观景．已知这段徒步道的长比宽多4米，徒步道的面积为45平方米，求该徒步道的长和宽各是多少米？ 【答案】长为9米，宽为5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该徒步道的宽为米，则长为米．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设该徒步道的宽为米，则长为米，根据题意得 解得（舍） ∴长为米 答：该徒步道的长为米，宽为米． 20. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． （1）求证：； （2）若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】（1）证明：， ． ， 又， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： ， ， ，，， ． ． ． 21. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 【答案】铁塔的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于E，由题意可知，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， 由题意可知：，， 在中，， 在中，， ∴， 答：铁塔的高度为． 22. 如图①，在中，，，，为上一动点，连结，作，且使． 【感知】如图①，当点运动到时，则的长为________． 【探究】如图②，设为中点，为中点，连结、，若，求的长． 【拓展】如图③，连接，当恰为中点时，直接写出的长． 【答案】（感知）；（探究）；（拓展） 【解析】 【分析】（感知）利用勾股定理求出，由面解法求出，然后证明即可求解； （探究）利用勾股定理求出，证明求出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解； （拓展）先利用直角三角形斜边中线性质得及角的关系，再通过角的互余、等量代换推得，结合证得，最后借助的相似比算出． 【详解】（感知）解：∵在中，， ∴ ∵、， ∴． ∵， ∴， ∵、、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、​、， ∴，． （探究）解：∵在中，， ∴， ∴， ∵点M为中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，点N为中点， ∴． （拓展）解：∵由(感知)知，点D为中点，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，解题中用到转化思想（将线段长度求解转化为全等或相似三角形的判定问题）、数形结合方法（结合图形特征推导边角关系），核心技巧是利用等腰直角三角形的边角特殊性、中点性质构建全等或相似模型，解题关键在于借助全等或相似的性质求解线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $