精品解析：吉林长春市第一O三中学校2026-2027学年九年级上学期数学大练习九

2026-2027学年度上学期九年级 数学大练习九 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3. 如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 7. 已知线段，求作线段（虚线均为平行线），使，下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 10. 如果，那么的值等于_______． 11. 已知、是方程的两根，则_________． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 13. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 14. 如图，在中，点是边的中点，连接、，对角线，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④四边形与的面积之比为．上述结论中，正确结论的序号是 _________． 三、解答题：本题10小题，共78分． 15. 计算 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 甲、乙两个人乘坐长春轨道交通1号线，在东北师大站下车，现有B、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． （1）甲走出口的概率是_____； （2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 18. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，直接写出的长． 19. 如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、均在格点上． 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使点在格点上． （1）在图①中，是直角三角形，且； （2）在图②中，是钝角三角形，且； （3）在图③中，，且． 21. 如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长． 22. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 23. 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线．求证：． 【定理证明】 （1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点E，使，连接、， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】 （2）如图②，在中，点D是边上的一点，连接，．点E、点F分别是边、的中点．若，则的长为 ； 【拓展提高】 （3）如图③，在中，，是的中线，过点A作于点E，且．若，则的大小是 度． 24. 如图，在中，，，，点D是边的中点，动点P从点D出发，沿折线向终点C运动．以点P为旋转中心，将顺时针旋转，得射线，交边或边或边于点Q，连接（即），设点P的运动路程为x（）． （1）直接写出的长； （2）用含x的代数式表示的长； （3）连接，当是等腰直角三角形时，求x的值； （4）作点D关于的对称点，当点落在的边上时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期九年级 数学大练习九 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3. 如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用-坡度坡角的问题，理解坡比的含义是解题关键，根据直角三角形的关系可得，代入即可求解． 【详解】解：在中，迎水坡的长度为17米，其坡角为 ∴，即 故选：A ． 4. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据点和点的坐标得到，根据位似图形的性质得到，且三点共线，则点D为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O， ∴，且三点共线， ∴点D为的中点， ∵， ∴点的坐标为， 故选：A． 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 7. 已知线段，求作线段（虚线均为平行线），使，下列作法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理和比例的性质一一分析即可． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项不符合题意； B 、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项不符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项不符合题意； D、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用的已知边角求、，再在中求，最后通过解直角三角形，将的长度及其与x轴的夹角转化为点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴​． ∵，​ ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∵， ​∴​​． 过点作轴于点，设． 在中，，且， ∵以为原点，所在直线为轴， ∴与x轴正方向夹角为． 又， ∴， 则点坐标满足： ， ． ∴点坐标为． 点在反比例函数​()的图象上， 所以​​． 故的值​​， 故选：C． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是灵活运用角的三角函数值，依次求出相关线段长度，并确定射线与轴的夹角，从而求出点的坐标． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得x−9≥0，解得x≥9， 故答案为：x≥9． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 如果，那么的值等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．根据比例的性质的，设,其中，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 设,其中， ∴， 故答案为：． 11. 已知、是方程的两根，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算出值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴x1+x2=2，x1x2=-1， 所以，=． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 13. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，点是边的中点，连接、，对角线，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④四边形与的面积之比为．上述结论中，正确结论的序号是 _________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，可证明，即，再由直角三角形的性质可判断①；可证明，推出，据此可判断③；由平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则，再证明，得到，则，据此可判断④；根据现有条件无法得到，据此可判断②． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵点是边的中点， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与的面积之比为，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 三、解答题：本题10小题，共78分． 15. 计算 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项后用平方差公式因式分解求解； （2）运用配方法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得． 【小问2详解】 解： 配方，得 ． 17. 甲、乙两个人乘坐长春轨道交通1号线，在东北师大站下车，现有B、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． （1）甲走出口的概率是_____； （2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）根据题意，列出表格，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种，利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲走出口的结果有1种， 甲走出口的概率是． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ． 18. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形对应边成比例）是解题的关键． （1）要证明，需找到两组对应角相等；利用平行四边形的性质得到一组角相等，再结合已知条件得到另一组角相等． （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式求解的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵，，， ∴， 解得； 故答案为：． 19. 如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 【答案】旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，得到，解求出的长，再解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，， ． 在中，，， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、均在格点上． 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使点在格点上． （1）在图①中，是直角三角形，且； （2）在图②中，是钝角三角形，且； （3）在图③中，，且． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）以为边作一个正方形即可； （2）在（1）基础上，连接对角线，找到中点即可； （3）点B向右五个单位即是点C． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查锐角三角函数，网格作图，平行线分线段成比例以及网格中三角形的高，灵活运用所学知识是解题关键． 21. 如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长． 【答案】剪去的小正方形的边长为2厘米 【解析】 【分析】设剪去的小正方形的边长为厘米，根据纸盒的底面面积平方厘米，列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为厘米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为2厘米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 22. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】（1）， （2） （3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【小问1详解】 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； 【小问2详解】 解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 23. 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线．求证：． 【定理证明】 （1）小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点E，使，连接、， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】 （2）如图②，在中，点D是边上的一点，连接，．点E、点F分别是边、的中点．若，则的长为 ； 【拓展提高】 （3）如图③，在中，，是的中线，过点A作于点E，且．若，则的大小是 度． 【答案】（1）证明：延长至点E，使，连接，，则， 是斜边上的中线， ， 四边形是平行四边形， 又是直角三角形， ， 四边形是矩形， ， ； （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）延长至点E，使，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，根据矩形的判定证明四边形是矩形，最后根据矩形的性质，即可证得结论； （2）连接，先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）取的中点G，连接，，先根据直角三角形的性质得到，进一步求得，再证明，可得，最后根据三角形的中位线定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，点F是的中点， ， 又点E是边的中点，， ∴； 【小问3详解】 解：取的中点G，连接，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 又是的一个外角， ， ， 又是的中线，， 是的中位线， ， ． 24. 如图，在中，，，，点D是边的中点，动点P从点D出发，沿折线向终点C运动．以点P为旋转中心，将顺时针旋转，得射线，交边或边或边于点Q，连接（即），设点P的运动路程为x（）． （1）直接写出的长； （2）用含x的代数式表示的长； （3）连接，当是等腰直角三角形时，求x的值； （4）作点D关于的对称点，当点落在的边上时，直接写出x的值． 【答案】（1）5 （2） （3）或6或或 （4）9或10或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得出的长，进而得出结果； （2）分为或两种情况列式即可； （3）分为四种情况画图，利用三角函数和相似三角形解答即可； （4）分三种情形：当点在上时，从而，，根据可求得结果；当点在上，点关于的对称点落在上时，可求得，根据可求得，进而得出结果；当点在上，点落在上时，作于，可证得，从而，根据得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：， ， ∵点是边的中点， ； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，； ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点在上，且时， 当点在上，时， ， ， ， ， ， ， ， 如图，当点在上，且， 当点在上时，时， ， ， ， ， 如图，当点P在上，且时， 过点作于点， 则， ∵，即， ∴， ∴， 解得； 如图，当点P和Q在上，且， 过点D作于点， 则， ∴，即， 解得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或或或； 【小问4详解】 如图， 当点在上时， ∵关于的对称点， ， ， ， ， ， 如图， 当点在上，点关于的对称点落在上时， ， ， ， ， ， ； 如图， 当点在上，点落在上时，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义．分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $