精品解析：吉林省实验中学2026-2027学年度吉林省实验 九年级上学期第一次学情自测

2026-2027学年度上学期九年级大练习（一） 数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. 8 D. 5. 如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的上四分位数为（ ）． A. 140 B. 150 C. 163 D. 180 8. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 12. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是____________. 13. 若，是方程的两个实数根，则________． 14. 如图，在菱形中，，，点在边上，且，连接交对角线于点，连接．给出以下四个结论：①；②；③的面积是的面积的9倍；④．上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题（本大题共计10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角，若米，求树高为多少米．（结果精确到米）（参考数据：） 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 18. 如图，点在上，，且． （1）求证：； （2）连接，若，，则的长为___________． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，使； （2）在图②中的边上找一点E，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结CF，使． 20. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 21. 二次函数的图象如图所示． （1）这个二次函数图象的顶点坐标是_____________； （2）当时，的取值范围是_____________； （3）将该抛物线向上平移_____________个单位长度后，所得新抛物线与坐标轴只有两个公共点． 22. 实践与探究 操作一：如图①，矩形纸片对折，使得点和点重合，点和点重合，展开得到折痕．点是上的点，沿直线将翻折，使点的对称点落在上，则________度． 操作二：如图②，连接并延长，交于点． 运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）求证：． 证明：由对折可知， ，， 在矩形中，， ， 证明过程缺失，请补充完整 ； （2）当四边形是平行四边形时，______． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在抛物线上，且横坐标为． （1）直接写出点的坐标：__________； （2）求直线所对应的函数解析式； （3）若是该抛物线上位于直线上方的点，且横坐标为，则的面积为___________； （4）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为顶点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 24. 如图，在中，，，．点在边上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作，交射线于点．设长为． （1）线段的长为____________（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当直线将分得的两部分中有一个轴对称图形时，求的值． （4）当点落在或的平分线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期九年级大练习（一） 数学学科 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确二次根式的运算法则，判断同类二次根式的定义：因为只有被开方数相同的最简二次根式才可以合并，所以用该规则判断选项A、D的运算是否符合要求．依据二次根式的除法法则，对选项B的运算进行验证．依据二次根式的平方运算性质，对选项C的运算进行验证． 【详解】，A错误． ，B错误． ，C正确． ，D错误． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，然后再运用分解因式解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， 整理得， 因式分解得， 解得，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，用因式分解法解方程的一般步骤为：移项、化积、转化、求解的步骤解答即可． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的顶点式得出其函数性质根据二次函数的性质抛物线，主要基于抛物线的标准形式，其中对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 4. 如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 如图：过点A作于点E，交于点D，再根据平行线分线段成比例可得，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：如图，如图：过点A作于点E，交于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，即，解得：． 故选：B． 5. 如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入已知线段长即可求出． 【详解】解：与的周长比为， 与的位似比为， ， ， ． 6. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：，米， 则米， 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键． 7. 如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的上四分位数为（ ）． A. 140 B. 150 C. 163 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的定义，箱线图矩形框的上边界代表上四分位数，矩形框下边界为下四分位数，框内横线为中位数，上下两条短线分别为最大值、最小值，直接读取对应数值即可求解． 【详解】解：由箱线图各部分含义可知： 最小值：120； 下四分位数（）：140； 中位数（）：150； 上四分位数（）：163； 最大值：180． 故上四分位数对应数值为163． 8. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的坐标可分别代入抛物线解析式，可求得相应的函数值，可比较其大小． 【详解】∵点(−1,y1)，(2,y2)，(−3,y3)都在函数y=x2的图象上， ∴y1=(−1)2=1，y2=22=4，y3=(−3)2=9， ∴y1<y2<y3， 故答案选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的坐标特征. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为． 【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为， 故答案为：． 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案为5． 考点：三角形中位线定理． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 12. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是， 故答案为：． 13. 若，是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】确定一元二次方程的对应系数，代入根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若、是它的两个实数根，两根和满足， ∵方程中，，， ∴． 14. 如图，在菱形中，，，点在边上，且，连接交对角线于点，连接．给出以下四个结论：①；②；③的面积是的面积的9倍；④．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】利用菱形的性质和判定是等边三角形，可判断①；利用证明，可判断②；利用相似三角形的性质求出与的比值，结合同高三角形面积比等于底边比及全等三角形性质可判断③；连接交于点，利用勾股定理和三角函数定义求出的值，可判断④ 【详解】四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， 故①正确； ，，， ， 故②正确； ， ，， ， ， ， ， ， ， 故③错误； 连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 点在线段上， ， ， 故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①②④ 三、解答题（本大题共计10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用零指数幂法则和特殊角三角函数化简，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 16. 某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角，若米，求树高为多少米．（结果精确到米）（参考数据：） 【答案】树高约为米 【解析】 【分析】求出，则可得到的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴ ， ∴米， ∴米， 答：树高约为米． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 18. 如图，点在上，，且． （1）求证：； （2）连接，若，，则的长为___________． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，即，则可证明，得到，据此结合已知条件可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， 由（1）得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，使； （2）在图②中的边上找一点E，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结CF，使． 【答案】（1） 连结格点N与点C，交于点D，则点D为所求作； （2） 连结格点P与点C，交于点E，则点E为所求作； （3） 点F满足条件． 【解析】 【分析】（1）连结格点N与点C，交于点D，则点D为所求作； （2）连结格点P与点C，交于点E，则点E为所求作； （3）连结格点M与点C，交于点F，则点F为所求作； 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴对角线相互平分， ∴； 即点D满足条件； 【小问2详解】 由勾股定理， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点E满足条件； 【小问3详解】 解：连结格点M与点C，交于点F，则点F为所求作； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是作图的基础． 20. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】（1） （2） 八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【解析】 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 21. 二次函数的图象如图所示． （1）这个二次函数图象的顶点坐标是_____________； （2）当时，的取值范围是_____________； （3）将该抛物线向上平移_____________个单位长度后，所得新抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标是，求解即可； （2）根据抛物线的增减性，求解即可； （3）设向上平移t个单位后，所得新抛物线与坐标轴只有两个公共点，此时新抛物线的解析式为，根据题意，分类求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：二次函数的图象如图所示． ， 的开口向上，且抛物线的对称轴为直线； 故对称轴的左侧，y随x的增大而减小，且当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，恰好落在这个取值范围内， 故此范围内，函数的最小值为； 由于抛物线开口向上， 故当时，函数取得最大值，且最大值为， 故的取值范围是； 【小问3详解】 解：设向上平移t个单位后，所得新抛物线与坐标轴只有两个公共点， 故新抛物线的解析式为， 根据所得新抛物线与坐标轴只有两个公共点，有如下情况： 当抛物线经过原点时，符合要求， ， 解得； 当抛物线的顶点在x轴上时，符合要求， 由新抛物线的解析式为的顶点坐标为， ， 解得； 综上所述，将该抛物线向上平移3个或4个单位长度后，所得新抛物线与坐标轴只有两个公共点． 22. 实践与探究 操作一：如图①，矩形纸片对折，使得点和点重合，点和点重合，展开得到折痕．点是上的点，沿直线将翻折，使点的对称点落在上，则________度． 操作二：如图②，连接并延长，交于点． 运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）求证：． 证明：由对折可知， ，， 在矩形中，， ， 证明过程缺失，请补充完整 ； （2）当四边形是平行四边形时，______． 【答案】操作一：； 操作二：（）∴， ∴； （）． 【解析】 【分析】操作一：连接，由折叠和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，即得，得到，即可求解； 操作二：（）证明，再根据平行线等分线段定理即可求证； （）证明是等边三角形，进而推出，得到，再利用锐角三角函数得，进而代入计算即可求解． 【详解】操作一：解：如图，连接， 由折叠的性质可得：，垂直平分，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 操作二：（）略 （）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在抛物线上，且横坐标为． （1）直接写出点的坐标：__________； （2）求直线所对应的函数解析式； （3）若是该抛物线上位于直线上方的点，且横坐标为，则的面积为___________； （4）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为顶点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（）把代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）分别求出点和的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）过点作轴于，交直线于点，分别求出点和的坐标，进而得到的长，再根据解答即可求解； （）由函数解析式得，，根据平行四边形的性质得到，设，则， 得，再解方程即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得，， ∵点在原点左侧， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，交直线于点， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴以为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图， ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解方程，得或（不合题意，舍去）， 解方程，得或， 当，， 当，， 当，， ∴点的坐标为或或． 24. 如图，在中，，，．点在边上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作，交射线于点．设长为． （1）线段的长为____________（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当直线将分得的两部分中有一个轴对称图形时，求的值． （4）当点落在或的平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）当时，点落在的平分线上；当时，点落在的平分线上 【解析】 【分析】（1）证明，列比例式求解即可． （2）根据题意，得，结合，建立方程，求的值即可． （3）根据等腰直角三角形是轴对称图形，轴对称图形的定义，分类求解即可． （4）分点落在,的平分线上，利用角的平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， 由线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， ，， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：如图，在中，，，， ，， ， 设直线交于点H， 不可能是等腰直角三角形， 不可能是轴对称图形， 四边形是轴对称图形，且对称轴为直线， ， 根据题意，得， ， 解得； 如图，在中，，，， ，， ， 设直线交于点N， 不可能是等腰直角三角形， 不可能是轴对称图形， 四边形是轴对称图形，且对称轴为直线， ， 根据题意，得， 综上所述，当或时，直线将分得的两部分中有一个轴对称图形． 【小问4详解】 解：如图，当点落在的平分线上时， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， ， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得； 当点落在的平分线上时，设与的交点为K， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， ， ， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当时，点落在的平分线上；当时，点落在的平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $