精品解析：广东佛山市顺德区北滘中学2026-2027学年高二上学期10月供题训练数学试卷

2026学年度北滘中学高二10月份数学供题训练 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是. 2. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线在轴上截距的定义，令代入直线方程求解对应的值即可. 【详解】 将代入直线方程得： ，解得，因此直线在轴上的截距为. 3. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 4. 三棱锥中，点在棱上，且，则为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可． 【详解】由题得： = = = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题． 5. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】两个集合分别表示两条直线上的点集，交集为空等价于两直线平行，利用直线一般式平行的系数关系求解参数，再验证排除重合的情况． 【详解】由题意，两个集合分别为直线和直线上的点集，交集为空说明两直线平行． 对于两条直线，， 平行且不重合的充要条件为， 由，得，解得． 将代入验证：，， 满足，两直线不重合，故符合条件． 6. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，以为原点，以、、分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则： ，，，，，， 则. 7. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，点，，若直线：上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及得到点在线段上，即直线与线段相交，整理直线的方程得到直线经过定点，算出临界值斜率，确定直线斜率的取值范围，进而求解. 【详解】由题可知， 因为，所以点在线段上， 直线的方程可化为，所以直线经过定点， ，， 又点在直线上，所以直线与线段相交， 所以直线的斜率或， 即或，解得或 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量判断A；根据两直线垂直的斜率关系判断B；根据点到直线的距离公式求解C；根据两直线平行及直线的点斜式方程求解D. 【详解】选项A：直线的斜率为，方向向量的斜率为，不与直线平行， 故向量不是的方向向量，A错误. 选项B：直线的斜率为，直线的斜率为， 两者斜率乘积为，因此与不垂直，B错误. 选项C：点到直线的距离，C正确. 选项D：与直线平行的直线斜率为，过点的直线方程为， 整理得，D正确. 10. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用古典概型公式求出，， ，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可. 【详解】由题意得共有个基本事件， 第一次向上的点数是1有，共6种情况， 由古典概型概率公式得， 第二次向上的点数是偶数有 ，共种情况， 由古典概型概率公式得， 两次向上的点数之和是8有，共5种情况， 由古典概型概率公式得， 而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数， 符合条件的有，共3种，则， 下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由已知得，， 满足，则与相互独立，故A正确， 对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生， 符合条件的有， ，共11个，故， 满足，可得与互斥，故B正确， 对于C，由概率加法公式得 ，即C正确， 对于D， 题意得共有个基本事件， 则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8， 符合条件的有，共3种，则，故D错误. 故选：ABC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，长度的最小值为 C. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 D. 当，时，平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项看是否能在面内找到一条直线与平行；对于B选项通过空间直角坐标系求出长度的一个一元二次函数再根据题目要求求出最小值；对于C选项，找到直线的方向向量与平面的法向量根据线面角公式转化为一个一元二次方程是否有解的问题；对于D选项，先求出两平面的法向量再通过法向量求出两平面夹角的余弦值. 【详解】对于A选项，连接，由题可得， 因为且，所以与成比例并共线，而， 故，平面，平面，因此，平面，故A选项正确； 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 故，因此. 对于B选项，因为，所以， 故， 当时，的值最小为，故长度的最小值为，B选项正确； 对于C选项，由B选项可得，且平面的法向量， 设与平面所成的角为，则， C选项要求，故，即，该方程的无解， 故不存在点，使得与平面所成的角为，则C选项错误； 对于D选项，可得， 设平面的法向量，平面的法向量， 故，， 令，则， ， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，写出直线的方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则，故， 设直线的倾斜角为，则， 故直线的斜率为， 故直线的方程为，即． 故答案为：． 13. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，将对角线向量表示为从顶点出发的三条棱向量的和，通过计算向量模的平方求解长度. 【详解】设，，， 由题意可知，且. 根据向量加法运算可得： ， 则    ， 所以，即对角线的长为. 14. 在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，则在上的投影向量的模长是______；若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第1空，等腰三角形和共底边，借助中点易证；第2空，建系，设坐标，向量法求线面角，解方程即可. 【详解】记中点为，连结、. ，， ，. 又、平面，，平面. 平面，，在上的投影向量的模长是. 平面，平面平面， 故在平面内的投影交线. ，，，的可能位置有两种，如下图： 以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向，建系. ，，. 在线段上，可设，. (i) 若在线段上，则，. 设平面的法向量为， 则，取，则. 设直线与平面所成角为， 则，解得或（舍去）. (ii) 若在的延长线上，则，， 平面的法向量取，，同(i). 综上所述，，，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：垂直，且垂足为． （1）求的值并求与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（用一般式表示）． 【答案】（1） ，三角形面积为； （2） 或. 【解析】 【分析】 （1）先利用两直线垂直的系数关系求解，再计算的坐标轴截距求面积； （2）联立两直线方程求垂足，最后分截距为0和不为0两类求解过且截距相等的直线方程. 【小问1详解】 对于两条一般式直线、， 两直线垂直的充要条件为； 由题知 ，即，解得， 将代入的方程得，整理得， 令，得在轴上的截距为；令，得在轴上的截距为， 所以，与两坐标轴围成的三角形的面积为. 【小问2详解】 结合（1），将代入的方程，得， 联立与的方程 ，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当直线在两坐标轴上的截距均为时，即直线过原点时，设直线方程为， 将代入得，解得，整理为一般式得； ② 当直线在两坐标轴上的截距均不为0且相等时， 设直线方程为，即， 将代入得，整理为一般式得. 综上，所求直线方程为和. 16. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率； （Ⅱ）设丙答对这道题的概率，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案. 详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, 设乙答对这道题的概率， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件. 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 解得， 所以，乙对这道题的概率为 (Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率. 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得, 解得 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， 所以，所求事件概率为 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析. 17. 在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 【答案】（1） 因为为直三棱柱， 则平面，且， 以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，且，分别是，的中点， 则， 所以,， 设平面的法向量为， 则，则，取，则， 则平面的一个法向量为， 因为平面，且， 则平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行； （2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面的一个法向量为，且， 则点到平面的距离. 18. 设直线的方程为，直线的方程为： （1）若时，求两直线，的距离： （2）若直线在轴上的截距为，求的值： （3）若圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入化简方程，将两平行直线化为同次项系数一致的一般式后用平行线距离公式计算； （2）将代入方程求解，验证项系数不为0后得结果； （3）求线段的中垂线方程，与联立得圆心，计算半径后写出圆的标准方程. 【小问1详解】 解：当时，代入的方程得：，化简为， 将化为一般式，所以， 所以， 由平行线间距离公式，得. 【小问2详解】  解：由在轴上的截距为，即时，代入方程得： ， 整理得，解得或， 当时，方程为，不符合截距为的要求，故舍去； 当时，方程为，符合直线在轴上的截距为， 所以，. 【小问3详解】 解：由题知， 的中点坐标为， ， 所以，线段的中垂线斜率为，方程为，即， 联立，解得，即圆心， 半径， 故圆的标准方程为. 19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）平面平面且交线为，平面且， 平面. 又平面，. 连结，，. ，. 、平面，，平面. 又，平面. （2）存在点，. 【解析】 【分析】（1）线段的长度是突破口，隐含了这一垂直条件； （2）对于存在性问题，先假设存在并设参、求参，最后根据求解结果判断假设是否成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在点满足题意，设. 如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向，建系. ，，，，，. 设平面的法向量为，则 ，取，则. 平面即平面，法向量可取. 设平面与的夹角为， 则，解得（舍去）或. 故存在点，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度北滘中学高二10月份数学供题训练 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线：在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 三棱锥中，点在棱上，且，则为 A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，，若直线：上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. 与互斥 C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，长度的最小值为 C. 当时，存在点，使得与平面所成的角为 D. 当，时，平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若过点的直线的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则直线的方程为__________． 13. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为_______． 14. 在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，则在上的投影向量的模长是______；若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：垂直，且垂足为． （1）求的值并求与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（用一般式表示）． 16. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 17. 在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 18. 设直线的方程为，直线的方程为： （1）若时，求两直线，的距离： （2）若直线在轴上的截距为，求的值： （3）若圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的标准方程． 19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $