专题4.2.3 对数函数的性质与图象（高效培优讲义）（10大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题4.2.3 对数函数的性质与图象 教学目标 1．理解对数函数的概念，明确其定义域和底数限制且）； 2．掌握对数函数和时的图象特征及性质（定义域、值域、定点、单调性）； 3．能根据底数差异判断对数函数图象的位置规律（第一象限内底数自左向右递增） 教学重难点 1.重点： 对数函数的概念及定义域；和时对数函数的图象和性质； 2.难点： 理解对数函数与指数函数的反函数关系；根据底数大小判断对数函数图象的差异 知识点01 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 【即学即练】 1．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题设. 2．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 知识点02 对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 1．（2026·高一·湖南娄底·开学考试）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 2．（2026·高一·河南焦作·期末）已知函数，其中，则下列说法中错误的是（   ） A．若为偶数，则与的值域相同 B．若为奇数，则与的值域相同 C．若为偶数，则与的定义域相同 D．若为奇数，则与的定义域相同 【答案】C 【解析】（1）当为偶数时， 的定义域为，的定义域为， 所以与的定义域不相同， 为偶函数，当时，，所以与的值域相同． （2）当为奇数时，与的定义域均为，且， 所以与的定义域与值域均相同． 所以选项C错误. 故选：C． 题型01 对数函数的概念 【典例1-1】给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 【典例1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中的真数，⑥也不是对数函数； 只有③④符合对数函数的定义. 故选：B 【变式1-1】下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 【变式1-2】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 【变式1-3】下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义. 故选：C. 题型02 求对数函数的解析式或函数值 【典例2-1】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【典例2-2】（2026·高一·北京·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】已知是定义在上的偶函数，当时，，则. 故选：C. 【变式2-1】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 【变式2-2】（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）已知是偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 【答案】C 【解析】由题设，可得且，又是偶函数， ∴. 故选：C. 【变式2-3】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 题型03 对数函数的定义域 【典例3-1】（2026·高二·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，解得， 所以函数的定义域为. 【变式3-1】（2026·高一·广东深圳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 【变式3-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 【变式3-3】若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 题型04 对数函数的图象 【典例4-1】（2026·高一·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，则，解得． 故选：C 【典例4-2】（2026·高一·广东湛江·期末）函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由图象结合对数函数的性质可知，则D不符合题意； 又函数为奇函数，定义域为, B符合题意． 又的定义域都是不符合， 故选：B． 【变式4-1】（2026·高一·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 【变式4-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 【变式4-3】已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 题型05 比较对数幂的大小 【典例5-1】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知，，，则实数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于指数函数，由于底数，则其在定义域内单调递增． 由于，则． 对于对数函数，由于底数，则其在定义域内单调递减． 由于，则． 已知，，，故． 【典例5-2】（2026·高一·辽宁·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增， 所以， 所以， 故选：B. 【变式5-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增， 所以， 所以. 【变式5-2】（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即； 由，即， 所以. 【变式5-3】（2026·高一·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以. 题型06 对数（型）函数的单调性 【典例6-1】（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 减函数-增函数，则函数在上单调递减. 【典例6-2】（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 【变式6-1】（2026·高一·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 【变式6-2】（2026·甘肃金昌·三模）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 【变式6-3】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得当时，在上单调递增， 又为减函数，所以， 当时，在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，则， 综上可得，解得. 故选：B. 题型07 解简单的对数不等式 【典例7-1】（2026·高一·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 【典例7-2】（2026·高一·湖北·期末）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 当时，函数在定义域内为减函数， 则，即； 当时，函数在定义域内为增函数， 则，与矛盾. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 【变式7-1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知奇函数在上严格单调递增，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于为奇函数，故， 则即为，即， 又在上单调递增，则可得，故， 故选：C 【变式7-2】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数在上单调递减. 由. 即所求不等式的解集为. 故选：A 【变式7-3】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，解得， 故不等式解集为. 故选：B 题型08 对数函数的值域 【典例8-1】（2026·高一·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 【典例8-2】函数的最大值为_____. 【答案】/ 【解析】 当，即时，取得最大值. 故答案为：. 【变式8-1】（2026·高一·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【解析】（1）因为的图象过点， 所以，所以，解得. （2）因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. （3）当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. 【变式8-2】（2026·高一·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【解析】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 【变式8-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域 【解析】（1）是定义在上的奇函数，． 时，， 当时，， ． （2）由题意得，， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 函数的值域为． 题型09 对数函数的分类讨论 【典例9-1】（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【解析】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 【典例9-2】（2026·高一·四川·阶段检测）已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a. 【解析】（1）， ∵， ∴， 即，∴，∴，∴. （2）∵函数在区间上单调， ∴，即， ∴或， ∴或. 【变式9-1】已知函数，当时有最大值1，求的值． 【解析】， 所以 当时，由单调性可知：，解得，符合； 当时，由单调性可知：，解得，符合； 综上所述：或 【变式9-2】函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 【解析】因为为对数函数的底数，所以且． 当时，函数在定义域内是严格增函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得； 当时，函数在定义域内是严格减函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得． 综上，或． 【变式9-3】（2026·高一·云南·期末）已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【解析】（1）由题设，则，可得， 所以，不等式解集为. （2）令在上递增， 当，则在定义域上递减，此时在上递减， 则； 当，则在定义域上递增，此时在上递增， 则； 所以或. 题型10 恒成立与有解问题 【典例10-1】已知，，若，，使得成立，求的最大值. 【解析】令，的值域为，在R上单调递增，所以； 令，的值域为，已知在单调递增，所以. 由题意可得，，即，所以只需，即， 所以的最大值为2. 【典例10-2】（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 由 ，所以不等式的解集为； （2）令，因为，所以， ，因为， 所以由， 因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号， 所以在单调递减，则， 因此当时，恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. 【变式10-1】（2026·高一·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意 ， 令，由，得， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以函数在区间上的值域为. （2）令，由，得， 方程在区间上有实数解，可化为在上有实数解， 即在上有实数解， 因为，当且仅当，即时取等号， 根据对勾函数的性质可得在单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以，则实数的取值范围为. （3）由（1）得在区间上的值域为，即， 因为存在，使得不等式对任意恒成立， 所以，即， 令，由，得， 则，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，此时； 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，此时无解； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 综上，实数的取值范围为 【变式10-2】（2026·高一·安徽芜湖·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） 令，则在上的值域在上的值域 由于. 所以在上的值域为. （2）令，因为，所以，则 变为， 化简得，即成立. 因为在上单调递增，所以. 所以的取值范围为：. 【变式10-3】（2026·高一·上海嘉定·期末）已知函数，其中． (1)求函数的定义域A； (2)若函数的最小值为1，求a的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以，即， 由可知， 所以不等式的解为， 故函数的定义域. （2）令， 当时，， 又为减函数， 所以，可得， 即，解得或（舍去）. （3）令，则由指数函数的单调性知为增函数， 当时，， 不等式可化为，即， 即存在，使得不等式成立， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故. 1．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即， ，即， ，即， 综上，. 2．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【解析】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 3．（2026·高一·上海黄浦·期末）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，在区间上为严格增函数，但不是奇函数，故A错误； 对于B选项，因为 ，所以为偶函数，故B错误； 对于C选项，在区间上为严格减函数，故C错误； 对于D选项，在区间上为严格增函数，且为奇函数，故D正确. 4．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以． 5．（2026·高一·河北邢台·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可知函数定义域为， 所以函数， 即的值域为. 6．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 【答案】C 【解析】奇函数，则有， 根据奇函数的定义可知，， 得， 即， 所以对定义域中的x恒成立， 可得，即， 此时或，其定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 所以或. 故选：C. 7．（多选题）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 8．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【答案】ACD 【解析】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 9．（多选题）（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. 10．（多选题）（2026·高一·浙江衢州·阶段检测）已知函数，，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．最小值为2 D． 【答案】ABD 【解析】由，或， 当时，则有，这与相矛盾， 当时，有，显然选项B正确； 由 又因为，所以，所以， 所以选项A正确； 因为，所以，所以没有最小值， 因此选项C不正确；选项D正确. 11．（2026·高一·江苏·期中）已知，求_____. 【答案】9 【解析】由解析式知，则. 12．（2026·高一·宁夏陕西·期中）函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】由题得， 解得且，即的定义域为． 13．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【解析】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 14．已知函数（，且），且，求. 【解析】已知 （，且），则， 所以， 因为 ，即， 由对数的定义可得，即， 将 代入 ， 可得. 15．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)画出函数的草图； (3)利用定义证明函数在区间上是减函数． 【解析】（1）要使函数有意义，的取值需满足，解得，即函数的定义域是. ，即， ∴函数是偶函数． （2）由于函数是偶函数，则其图象关于轴对称， 将函数的图象对称到轴的左侧与函数的图象合起来得到函数的图象， 如图所示． （3）证明：设,，且， 则， ,，且，， ，，. ∴函数在区间上是减函数． 16．（2026·高二·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【解析】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 17．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【解析】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 1．（2026·高一·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 2．（2026·高一·浙江·期中）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 易知，函数在上单调递增， 当时，为增函数，且 则当时，为减函数，且， 所以当时，， 当时，， 则不等式等价于 或 ， 解得或或 或 ， 解得或或． 3．（2026·高一·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的定义域为且， 所以是偶函数，则等价于， 由于在上单调递增，而在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递增， 可得，两边平方并整理得 ，解得, 故使成立的取值范围为. 4．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数定义可知或； 由可得，因此可得； 即可得实数的取值范围为. 5．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，得，故的取值范围是. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 7．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 8．已知函数，当时，恒有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，定义域为， ， 所以函数为定义在上的奇函数，则有， 又在上单调递减， 所以在上单调递减，则在上也为减函数， 在上为减函数， 因为，所以， ， 令，根据复合函数性质可知，单调递减， 又，所以时，． 因此的取值范围是. 9．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则， 比较即可，画出函数图象，设，， 当时，，所以，A选项正确； 当时，，所以，B选项正确； 当时，，所以，C选项正确； 当时，，所以，D选项不正确； 10．（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【解析】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以　， 原不等式可化为， 又已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增， 所以，即，解得：. 故B，C正确. 11．（多选题）（2026·高一·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【解析】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 12．（2026·高一·浙江嘉兴·期中），用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 【答案】1 【解析】画出的函数图象，如图， 当时两个函数值相等， 当或时；当时， 故的最小值为. 13．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若时，，其中且，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】当，且时，可得，则，不符合题意； 当，且时，可得， 因为函数为单调递减函数，所以，所以， 所以实数的取值范围. 14．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【解析】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 15．（2026·高一·广西百色·期末）已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】（1）由， 解得. 故函数的定义域为. （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数. （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为. 16．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【解析】（1）当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 17．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【解析】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.3 对数函数的性质与图象 教学目标 1．理解对数函数的概念，明确其定义域和底数限制且）； 2．掌握对数函数和时的图象特征及性质（定义域、值域、定点、单调性）； 3．能根据底数差异判断对数函数图象的位置规律（第一象限内底数自左向右递增） 教学重难点 1.重点： 对数函数的概念及定义域；和时对数函数的图象和性质； 2.难点： 理解对数函数与指数函数的反函数关系；根据底数大小判断对数函数图象的差异 知识点01 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 【即学即练】 1．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 知识点02 对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 【即学即练】 1．（2026·高一·湖南娄底·开学考试）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·河南焦作·期末）已知函数，其中，则下列说法中错误的是（   ） A．若为偶数，则与的值域相同 B．若为奇数，则与的值域相同 C．若为偶数，则与的定义域相同 D．若为奇数，则与的定义域相同 题型01 对数函数的概念 【典例1-1】给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 题型02 求对数函数的解析式或函数值 【典例2-1】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·北京·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2-2】（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）已知是偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 【变式2-3】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 题型03 对数函数的定义域 【典例3-1】（2026·高二·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·广东深圳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型04 对数函数的图象 【典例4-1】（2026·高一·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例4-2】（2026·高一·广东湛江·期末）函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 【变式4-1】（2026·高一·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式4-3】已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 题型05 比较对数幂的大小 【典例5-1】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知，，，则实数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·辽宁·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型06 对数（型）函数的单调性 【典例6-1】（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【典例6-2】（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高一·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·甘肃金昌·三模）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 解简单的对数不等式 【典例7-1】（2026·高一·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高一·湖北·期末）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知奇函数在上严格单调递增，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型08 对数函数的值域 【典例8-1】（2026·高一·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【典例8-2】函数的最大值为_____. 【变式8-1】（2026·高一·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【变式8-2】（2026·高一·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【变式8-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求函数的值域 题型09 对数函数的分类讨论 【典例9-1】（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【典例9-2】（2026·高一·四川·阶段检测）已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a. 【变式9-1】已知函数，当时有最大值1，求的值． 【变式9-2】函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 【变式9-3】（2026·高一·云南·期末）已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 题型10 恒成立与有解问题 【典例10-1】已知，，若，，使得成立，求的最大值. 【典例10-2】（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【变式10-1】（2026·高一·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式10-2】（2026·高一·安徽芜湖·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-3】（2026·高一·上海嘉定·期末）已知函数，其中． (1)求函数的定义域A； (2)若函数的最小值为1，求a的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 1．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 3．（2026·高一·上海黄浦·期末）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·河北邢台·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 7．（多选题）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 9．（多选题）（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·浙江衢州·阶段检测）已知函数，，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．最小值为2 D． 11．（2026·高一·江苏·期中）已知，求_____. 12．（2026·高一·宁夏陕西·期中）函数的定义域为___________． 13．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数且的图像恒过定点，则______. 14．已知函数（，且），且，求. 15．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)画出函数的草图； (3)利用定义证明函数在区间上是减函数． 16．（2026·高二·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 17．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 1．（2026·高一·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江·期中）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，当时，恒有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（多选题）（2026·高一·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 12．（2026·高一·浙江嘉兴·期中），用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 13．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若时，，其中且，则实数的取值范围是_________. 14．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 15．（2026·高一·广西百色·期末）已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 16．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 17．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $