第4章 4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图象

第1课时　对数函数的概念、性质与图象

学习目标　1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.

导语

同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.

一、对数函数的概念

问题1　你能解出指数方程2x=3吗？你能把2y=x化成对数式吗？x，y的范围如何？

提示　x=log23；y=log2x；x>0，y∈R.

知识梳理　对数函数的定义

一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.

注意点：

(1)系数为1.

(2)底数为常数a(a>0且a≠1).

(3)变量x为真数.

例1　(1)下列函数中是对数函数的有(　　)

A.y=lox2 B.y=log3(x-1)

C.y=log(x+1)x D.y=logπx

答案　D

解析　只有D满足对数函数的定义.

(2)已知对数函数f(x)的图象过点M(8，3)，则f=　　　　. 

答案　-1

解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1)，

由图象过点M(8，3)，得3=loga8，解得a=2.

所以对数函数的解析式为f(x)=log2x，

所以f=log2=-1.

反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法

判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数.

(3)对数的真数仅有自变量x.

跟踪训练1　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=log2x，则f(-8)=　　　　. 

答案　-3

解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.

二、对数函数的图象和应用

问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象.

 

提示　

(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5

2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5

(2)描点、连线.

问题3　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a=3，4，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？

提示　

知识梳理　

函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质

 

注意点：

(1)函数图象只出现在y轴右侧.

(2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0).

(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

例2　(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(　　)

A.(1，2) B.(2，1) C.(-2，1) D.(-1，1)

答案　D

解析　令x+2=1，即x=-1，