第4章 4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的概念、性质与图象核心知识点，通过类比指数函数研究思路，以问题驱动引入概念，结合列表描点画图象，对比不同底数总结性质，进而应用于定义域值域求解，构建完整学习支架。 该资料以问题链引导学生用数学眼光观察指数与对数关系，通过类比推理培养数学思维，结合例题与延伸探究提升数学语言表达。课中动手画图助理解，课后练习题与小结助力学生查漏补缺，强化知识应用。

4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的概念、性质与图象 学习目标　1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域.2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质. 导语 同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数. 一、对数函数的概念 问题1　你能解出指数方程2x=3吗？你能把2y=x化成对数式吗？x，y的范围如何？ 提示　x=log23；y=log2x；x>0，y∈R. 知识梳理　对数函数的定义 一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 注意点： (1)系数为1. (2)底数为常数a(a>0且a≠1). (3)变量x为真数. 例1　(1)下列函数中是对数函数的有(　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 答案　D 解析　只有D满足对数函数的定义. (2)已知对数函数f(x)的图象过点M(8，3)，则f=　　　　.  答案　-1 解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1)， 由图象过点M(8，3)，得3=loga8，解得a=2. 所以对数函数的解析式为f(x)=log2x， 所以f=log2=-1. 反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=log2x，则f(-8)=　　　　.  答案　-3 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3. 二、对数函数的图象和应用 问题2　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y=log2x … … y=x … … 提示　 (1)-2　-1　0　1　2　3　4　5 2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5 (2)描点、连线. 问题3　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a=3，4，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？ 提示　 知识梳理　 函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 过定点 图象过定点(1，0)，即当x=1时，y=0 函数值 的变化 当x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；当x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；当x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0] 对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧. (2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0). (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 例2　(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(　　) A.(1，2) B.(2，1) C.(-2，1) D.(-1，1) 答案　D 解析　令x+2=1，即x=-1， 得y=loga1+1=1， 故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1，1). (2)如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　观察在(1，+∞)上的图象，先排c1，c2底数的顺序，底数都大于1，当x>1时图象靠近x轴的底数大，c1，c2对应的a值分别为.然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x<1时图象靠近x轴的底数小，c3，c4对应的a值分别为.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为. 方法二　如图，作直线y=1与四条曲线交于四点，由y=logax=1，得x=a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为. (3)已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象. 解　因为f(-5)=1，所以loga5=1，即a=5， 故f(x)=log5|x|= 所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示. 延伸探究1　在例2(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象. 解　因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的. 延伸探究2　在例2(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间. 解　因为a=5， 所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示. 由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞). 反思感悟　(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标. (2)对数型函数图象的变换方法 ①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. ②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. ③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律. ④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称. 三、与对数函数有关的定义域(值域)问题 例3　(1)(课本例3)求下列函数的定义域： ①y=lg(4-x)；②y=ln x2. 解　①因为y=lg(4-x)有意义的充要条件是4-x>0，即x<4，所以所求定义域为(-∞，4). ②因为y=ln x2有意义的充要条件是x2>0，即x≠0，所以所求定义域是(-∞，0)∪(0，+∞). 例3　(1)求下列函数的定义域： ①y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0且a≠1)； ②y=； ③y=. 解　①由题意得 解得-3<x<3， 因此函数y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0且a≠1)的定义域为(-3，3). ②由题意得 即解得x≤1. 因此函数y=的定义域为(-∞，1]. ③要使函数有意义，需满足 即 解得-1<x<0， 因此函数y=的定义域为(-1，0). (2)求下列函数的值域： ①y=log2(x2+4)； ②y=lo(3+2x-x2). 解　①y=log2(x2+4)的定义域为R. 因为x2+4≥4，所以log2(x2+4)≥log24=2. 所以y=log2(x2+4)的值域为[2，+∞). ②设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4. 因为u>0，所以0<u≤4. 又y=lou在(0，4]上为减函数， 所以lou≥lo4=-2， 所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2，+∞). 反思感悟　(1)求对数型函数的定义域需注意： ①真数大于0. ②底数大于零且不等于1. ③当对数出现在分母上时，真数除了大于0，还不能为1. (2)求函数值域的方法 ①充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法. ②求对数型复合函数的最大值、最小值问题，有些需要转化为求二次函数最值的问题.求二次函数的最值常用配方法，配方时应注意自变量的取值范围. ③形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤：(ⅰ)分解成y=logau，u=f(x)两个函数；(ⅱ)求f(x)的定义域；(ⅲ)求u的取值范围；(ⅳ)利用y=logau的单调性求解. 跟踪训练2　求下列函数的定义域： (1)y=； (2)y=log2(16-4x). 解　(1)要使函数有意义，需 解得 即-3<x<-2或x≥2， 故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞). (2)要使函数有意义，需16-4x>0，得4x<16=42， 由指数函数的单调性得x<2， ∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. 1.知识清单： (1)对数函数的概念. (2)对数函数的图象和应用. (3)与对数函数有关的定义域(值域)问题. 2.方法归纳：定义法、数形结合法. 3.常见误区：对数函数底数有限制条件易忽视. 1.(多选)下列函数是对数函数的是(　　) A.y=loga(2x) B.y=log(2a-1)x C.y=log2x+1 D.y=lg x 答案　BD 解析　选项A，C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式. 2.对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y=log4x B.y=lox C.y=lox D.y=log2x 答案　D 解析　设该函数为y=logax(a>0且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4=loga16，解得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x. 3.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象为(　　) 答案　C 解析　∵y=a-x=，a>1，∴0<<1， ∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数. 4.函数f(x)=的定义域为　　　　.  答案　∪(0，+∞) 解析　由题意得 解得x>-且x≠0，所以函数f(x)的定义域为∪(0，+∞). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y=log2x B.y=ln(x+1) C.y=logxe D.y=logxx 答案　A 解析　由对数函数的特征可得只有A选项符合. 2.函数y=|log2x|的图象是(　　) 答案　B 解析　此函数图象过点(1，0)，且函数值为非负. 3.函数y=ln(1-x)的定义域为(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1] 答案　B 解析　因为y=ln(1-x)， 所以 解得0≤x<1. 4.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　) A.m<0，n>1 B.m>0，n>1 C.m>0，0<n<1 D.m<0，0<n<1 答案　D 解析　根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数， 所以0<n<1. 又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0. 5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　B 解析　由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减， ∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得， 即f(0)+f(1)=a， 即1+a+loga2=a， ∴loga2=-1，解得a=. 6.(多选)已知函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1)，下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A.f(x)的定义域是(-∞，1) B.f(x)的值域是R C.f(x)的图象过原点 D.当a>1时，f(x)在定义域上是增函数 答案　ABC 解析　对于A，函数f(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1)，由1-x>0，解得x<1，所以函数f(x)的定义域是(-∞，1)，故A正确；对于B，1-x>0，函数f(x)的值域是R，故B正确；对于C，因为f(0)=loga1=0，所以函数f(x)的图象过原点，故C正确；对于D，当a>1时，令函数u=1-x，则u在(-∞，1)上为减函数，又y=logau为增函数，所以函数f(x)在定义域上是减函数，故D错误. 7.(5分)若函数f(x)=loga(x+3)+(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数y=bx(b>0且b≠1)上，则b=　　　　.  答案　 解析　因为f(x)=loga(x+3)+恒过定点P， 所以b-2=，又b>0，b≠1，解得b=. 8.(5分)函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(1，+∞) 解析　因为函数的定义域为R，即x2+2x+a>0，对∀x∈R恒成立， 所以Δ=4-4a<0，解得a>1， 所以实数a的取值范围为(1，+∞). 9.(10分)若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1，0). (1)求a的值；(5分) (2)求函数的定义域.(5分) 解　(1)将(-1，0)代入y=loga(x+a)(a>0且a≠1)中， 有0=loga(-1+a)，则-1+a=1，所以a=2. (2)由(1)知y=log2(x+2)， 由x+2>0，解得x>-2， 所以函数的定义域为(-2，+∞). 10.(12分)已知函数f(x)=lg|x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性；(4分) (2)画出函数f(x)的草图；(4分) (3)写出函数f(x)的单调区间.(4分) 解　(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0， 即函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞). 又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)， ∴f(-x)=f(x). ∴函数f(x)是偶函数. (2)由(1)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示. (3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞). 11.已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，-4] B.(-4，1) C.[-4，1) D.(0，1) 答案　C 解析　当x≥1时，f(x)=ln x-2a在(1，+∞)上为增函数，∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=-2a， ∵f(x)的值域为R，∴当x<1时，f(x)=(1-a)x+3的值域需包含(-∞，-2a)， ∴解得-4≤a<1. ∴实数a的取值范围是[-4，1). 12.已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，h(x)=log3x，直线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 答案　A 解析　分别作出三个函数的大致图象和直线y=a，如图所示. 由图可知，x2<x3<x1. 13.(5分)函数f(x)=的定义域为(0，10]，则实数a的值为　　　　.  答案　1 解析　由已知，得a-lg x≥0的解集为(0，10]， 由a-lg x≥0，得lg x≤a， 又当0<x≤10时，lg x≤1，所以a=1. 14.(5分)函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在函数y=-x-的图象上，其中m>0，n>0，则+的最小值为　　　　.  答案　8 解析　∵x=-2时，y=loga1-1=-1， ∴函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(-2，-1)， ∵点A在函数y=-x-的图象上， ∴-2m-n+1=0，即2m+n=1， ∵m>0，n>0， ∴+=(2m+n)=2+++2 ≥4+2·=8， 当且仅当m=，n=时取等号. 15.(5分)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，OC⊥AC，AC与BO交于点E.某对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象经过点E和点B，则a=　　　　.  答案　 解析　设点E(b，c)， 则C(b，0)，A(b，2c)，B(2b，2c). 则解得b=c=2，a=. 16.(12分)已知f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在函数y=f(x)的图象上时，点在函数y=g(x)的图象上. (1)写出y=g(x)的解析式；(6分) (2)求方程f(x)-g(x)=0的根.(6分) 解　(1)依题意得 则g=log2(x+1)， 故g(x)=log2(3x+1). (2)由f(x)-g(x)=0得， log2(x+1)=log2(3x+1)， 所以解得x=0或x=1. 学科网（北京）股份有限公司 $