专题4.2.2 对数运算法则（高效培优讲义）（6大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题4.2.2对数运算法则 教学目标 1.能复述3条对数运算性质及换底公式，明确运算成立的前提条件（所有对数有意义）。 2.会用运算性质化简对数式、计算对数值，能通过换底公式转化不同底数的对数。 3.会推导换底公式的3个重要结论，能灵活运用结论解决复杂对数运算问题。 教学重难点 1.重点 对数3条运算性质的记忆与直接应用；换底公式的结构及不同底数对数的转化 2.难点 判断对数运算是否有意义；换底公式重要结论的推导逻辑及灵活运用。 知识点01对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 【即学即练】 1．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 2．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若实数满足，则与的值最接近的是（   ）（参考数据： A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10 【答案】C 【解析】由，两边取对数得，则. 知识点02对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 【即学即练】 1．（2026·高一·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 所以， 即， 故选：D 2．（2026·高三·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 题型01对数的运算法则 【典例1-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 【典例1-2】（2026·高一·江苏连云港·期末）若，，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，所以A错； 对于B，，所以B错； 对于C，，所以C错； 对于D，，所以D对； 故选：D 【变式1-1】（4.3.2对数的运算法则）下列各等式正确的为（    ） A． B． C． D．（，，） 【答案】D 【解析】A：，错误； B：，错误； C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误； D：且，，，正确. 故选：D 【变式1-2】（2026·高一·上海·期中）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 【变式1-3】（2026·高一·江苏盐城·期中）对于正数及正整数，下列各式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数运算法则知，，， ，例如，以上式子都不成立， 而满足对数的运算法则，对于正数及正整数恒成立， 故选：D 题型02对数的化简求值 【典例2-1】已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 【答案】B 【解析】由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 【典例2-2】（2026·高一·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故C正确. 【变式2-1】（2026·高一·浙江绍兴·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对数的幂运算性质得:, 已知，代入得：, 两边除以，可得：. 【变式2-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由，得，而， 则. 【变式2-3】（2026·高一·湖南衡阳·期中）已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】C 【解析】由，得， 由，得，即， 所以． 题型03利用换底公式化简求值 【典例3-1】（2026·高二·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 【典例3-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【解析】由得，则， 即，得或， 则或. 【变式3-1】（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 【变式3-2】（2026·高一·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由可得， 可得 . 故选：C 题型04对数的实际应用 【典例4-1】（2026·高一·全国·期中）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， 所以， 即最接近. 【典例4-2】（2026·高一·北京东城·阶段检测）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 所以更接近. 【变式4-1】（2026·高三·山东日照·开学考试）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 因此最接近于． 故选：D． 【变式4-2】（2026·高二·云南玉溪·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，则， 即， 所以． 【变式4-3】（2026·河北保定·二模）生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7， 所以有 . 题型05用对数表示其他对数 【典例5-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，得. 所以. 【典例5-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 【变式5-1】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，∴ . 故选：B. 【变式5-2】（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即 又 又因为，所以 即. 故选：C 【变式5-3】（2026·高一·浙江金华·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 故选：B. 题型06解对数方程 【典例6-1】（2026·高一·广西·期中）若是方程的两个实根，则的值为 ___． 【答案】4 【解析】因为是方程的两个实根， 所以， 所以 故答案为：4 【典例6-2】（2026·高一·上海杨浦·期末）方程：的解为__________. 【答案】 【解析】原方程等价于， ，即有， 整理得， 解得，即. 故答案为：. 【变式6-1】方程的解______. 【答案】2 【解析】因为，所以； 又因为，所以，所以，解得：或，又因为，所以. 故答案为. 【变式6-2】（2026·上海徐汇·模拟预测）方程的解集为________． 【答案】 【解析】因为, 则，解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 【变式6-3】（2026·高一·江苏南京·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】因为a，b是方程的两个实数根， 即知a，b是方程的两个实数根， 所以， 所以， ， 故答案为： 1．（2026·高一·广东揭阳·期末）已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 2．（2026·广东广州·三模）若，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由，得，所以． 3．（2026·安徽·模拟预测）已知函数（为常数），若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，所以两式相除得. 4．（2026·高一·云南红河·期中）（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】. 5．（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【解析】． 6．（2026·高一·江西南昌·期末）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得该气泡水的值， 为 故选：A． 7．（2026·高一·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 8．（2026·高一·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，， ，故C正确． 故选：C． 9．（多选题）（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·浙江·开学考试）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，， 故D错误． 故选：ABC 12．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【解析】 13．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【答案】10 【解析】 14．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知，且，则t＝______ 【答案】 【解析】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因， 则. 15．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 【解析】（1）. （2）. 16．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值； 【解析】（1），，， 原式 . （2）令 . 分子 ，分母 ， 故原式 . 17．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 18．求值： (1)； (2). 【解析】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【解析】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足： ，即， 两边取对数得：， 则， 即． 2．（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【解析】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 3．（2026·高一·江西赣州·期末）关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B．-3 C．-2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知：的解为， 则，解得. 所以. 故选：D. 4．（2026·高一·广东清远·期末）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数的运算性质，，故AB错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C． 5．（2026·高一·山西太原·期末）已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为实数、满足，则，可得， 由可得，所以， 即，等式两边同时除以可得， 解得（舍去）或. 故选：D. 6．（2026·高一·四川广安·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．6078 B．2025 C．2026 D．6079 【答案】D 【解析】因为且， 则，所以，即， 所以. 故选：D. 7．（2026·高一·重庆·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】设，则， 则，故为奇函数， 由题得，所以， 则，所以. 故选：B. 8．（2026·高一·四川南充·期末）任何一个正实数N可以表示成（，）的形式，这便是科学记数法．若N两边取常用对数，则有，当时，N的位数为．那么的位数为（    ）（参考数据：） A．1415 B．1416 C．1417 D．1418 【答案】C 【解析】设，两边取常用对数得， 又， ， 又，此时， 故的位数为. 故选：C. 9．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C．（其中，） D． 【答案】BD 【解析】对于A：，所以A不正确； 对于B：当时，，所以B正确； 对于C：若，，则， 例：当时，，，所以C不正确； 对于D：，，所以D正确. 10．（多选题）（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）下列关于对数运算正确的有（   ） A．设，，均为正实数，且，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若方程的两根为，；则 【答案】ABC 【解析】选项，设， 则，所以， 因此，故正确. 选项，，故正确. 选项，由得， 则，故正确. 选项，令，方程变为， 由根与系数关系得，， 即，所以，故错误. 故选： 11．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）_____________． 【答案】 【解析】因为， ，， ，， 所以 12．（2026·高三·重庆九龙坡·开学考试）计算：________． 【答案】 【解析】原式 13．（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【解析】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 14．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【解析】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 15．（2026·高一·河南郑州·期末）已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 【解析】（1），即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4． （2），当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． （3）因为，所以． 因为，所以，即， 解得． 16．（2026·高一·浙江杭州·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【解析】（1）由题设，，； （2）由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.2对数运算法则 教学目标 1.能复述3条对数运算性质及换底公式，明确运算成立的前提条件（所有对数有意义）。 2.会用运算性质化简对数式、计算对数值，能通过换底公式转化不同底数的对数。 3.会推导换底公式的3个重要结论，能灵活运用结论解决复杂对数运算问题。 教学重难点 1.重点 对数3条运算性质的记忆与直接应用；换底公式的结构及不同底数对数的转化 2.难点 判断对数运算是否有意义；换底公式重要结论的推导逻辑及灵活运用。 知识点01对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 【即学即练】 1．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若实数满足，则与的值最接近的是（   ）（参考数据： A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10 知识点02对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 【即学即练】 1．（2026·高一·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01对数的运算法则 【典例1-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高一·江苏连云港·期末）若，，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（4.3.2对数的运算法则）下列各等式正确的为（    ） A． B． C． D．（，，） 【变式1-2】（2026·高一·上海·期中）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·江苏盐城·期中）对于正数及正整数，下列各式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型02对数的化简求值 【典例2-1】已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 【典例2-2】（2026·高一·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·浙江绍兴·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（2026·高一·湖南衡阳·期中）已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 题型03利用换底公式化简求值 【典例3-1】（2026·高二·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【变式3-1】（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（2026·高一·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式3-3】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 题型04对数的实际应用 【典例4-1】（2026·高一·全国·期中）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【典例4-2】（2026·高一·北京东城·阶段检测）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高三·山东日照·开学考试）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·云南玉溪·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·河北保定·二模）生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（   ） A． B． C． D． 题型05用对数表示其他对数 【典例5-1】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·浙江金华·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06解对数方程 【典例6-1】（2026·高一·广西·期中）若是方程的两个实根，则的值为 ___． 【典例6-2】（2026·高一·上海杨浦·期末）方程：的解为__________. 【变式6-1】方程的解______. 【变式6-2】（2026·上海徐汇·模拟预测）方程的解集为________． 【变式6-3】（2026·高一·江苏南京·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则__________． 1．（2026·高一·广东揭阳·期末）已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 2．（2026·广东广州·三模）若，则（     ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·安徽·模拟预测）已知函数（为常数），若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·云南红河·期中）（   ） A． B． C．0 D．1 5．（2026·湖南·模拟预测）化简（   ） A． B． C．5 D．3 6．（2026·高一·江西南昌·期末）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·浙江·开学考试）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 13．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 14．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知，且，则t＝______ 15．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 16．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）（1）求值：； （2）已知，求的值； 17．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 18．求值： (1)； (2). 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 2．（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 3．（2026·高一·江西赣州·期末）关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B．-3 C．-2 D． 4．（2026·高一·广东清远·期末）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·山西太原·期末）已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 6．（2026·高一·四川广安·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．6078 B．2025 C．2026 D．6079 7．（2026·高一·重庆·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 8．（2026·高一·四川南充·期末）任何一个正实数N可以表示成（，）的形式，这便是科学记数法．若N两边取常用对数，则有，当时，N的位数为．那么的位数为（    ）（参考数据：） A．1415 B．1416 C．1417 D．1418 9．（多选题）（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C．（其中，） D． 10．（多选题）（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）下列关于对数运算正确的有（   ） A．设，，均为正实数，且，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若方程的两根为，；则 11．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）_____________． 12．（2026·高三·重庆九龙坡·开学考试）计算：________． 13．（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 14．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 15．（2026·高一·河南郑州·期末）已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 16．（2026·高一·浙江杭州·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $