4.2.2 对数运算法则-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

4.2.2　对数运算法则 知识层面 1.理解对数的运算性质．　2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．　3.会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明． 素养层面 通过对数运算法则的学习，培养数学运算素养；通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养． 问题1.将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示：由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN). 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题2.结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？ 提示：将指数式＝ap－q化为对数式，得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题3.结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示：由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R). 知识点一　对数运算法则 1．对数的运算法则 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，a∈R，则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和．这个性质可推广到若干个正因数的积： loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni>0，i＝1，2，3，…，k). 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和． (2)logaMα＝αlogaM(α∈R). 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数． 特别地，loga＝logaM(M>0，n>1，n∈N＋). (3)loga＝logaM－logaN. 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数． [微提醒]　(1)熟练掌握对数运算法则的逆向应用．逆向应用对数运算法则，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简． (2)对于上面的每一个运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立． (3)要牢记对数的运算法则，一般地： 学生用书第18页 ①loga(M±N)≠logaM±logaN； ②loga(MN)≠logaM·logaN； ③loga≠logaM÷logaN； ④logaMα≠(logaM)α. 2．对数运算法则与指数运算法则的联系 式子 ab＝N logaN＝b 运算 法则 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN ＝am－n loga＝logaM－logaN (am)n＝amn logaMα＝αlogaM 知识点二　换底公式 1．换底公式 一般地，我们有logab＝，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1，这一结果通常被称为换底公式． [微提醒]　(1)换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M>0，N>0，M＝N，则logaM＝logaN. (2)换底公式的意义在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题，从而进行化简、计算或证明． (3)换底公式在实际应用中究竟把底数换成什么，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数． 2．几个常用推论 (1)推论一：logac·logca＝1，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)推论二：logab·logbc·logca＝1. 即logab·logbc·logca＝1. (3)推论三：logambn＝logab，此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． 1．下列等式成立的是(　　) A．log2(8－4)＝log28－log24 B．＝log2 C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24 答案：C 解析：由对数的运算性质易知C正确． 2．对于a>0，且a≠1，下列说法中正确的是(　　) A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C.若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 答案：B 解析：对于A，当M＝N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立；对于B，logaM＝logaN，则必有M>0，N>0，M＝N；对于C，当M，N互为相反数且不为0时，也有logaM2＝logaN2，但此时M≠N；对于D，当M＝N＝0时，logaM2，logaN2都没有意义，故不成立，综上可知，只有B正确．故选B. 3.的值为(　　) A． B．2 C． D． 答案：B 解析：原式＝log39＝2. 4．化简log612－2log6的结果为(　　) A．6 B．12 C．log6 D． 答案：C 解析：log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.故选C. 5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________． 答案：4　－3 解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4，10-3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10. 题型一　对数的简单运算 例1　化简下列各式： (1)4lg 2＋3 lg 5－lg ； (2)； (3)2log32－log3＋log38－5log53； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg (＋ ). 学生用书第19页 [思路点拨]　(1)注意对数运算法则的正用和逆用． (2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 解：(1)原式＝lg ＝lg (24×54)＝lg (2×5)4＝4. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－5log53＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. (4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)] ＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝. (5)原式＝lg (＋)2 ＝lg [6＋2]＝lg 10＝. 1．对于同底的对数的化简，常用方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到．同时注意各部分变形要化到最简形式．　　 对点练1.(1)计算：lg ＋2lg 2－＝________； (2)求下列各式的值： ①log53＋log5；②(lg 5)2＋lg 2·lg 50； ③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 答案：(1)－1 解析：(1)lg ＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋ 2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. (2)①log53＋log5＝log5＝log51＝0. ②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. ③原式＝lg 25＋lg 8＋lg ·lg (10×2)＋(lg 2)2 ＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 题型二　换底公式的应用 例2　计算：(1)(log43＋log83)×； (2)log23×log34×log45×log56×log67×log78； (3)＋log2(－)； (4)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258). [思路点拨]　本题主要考查对数的化简求值，解答本题可先通过换底公式统一底数，再进行化简求值． 解：(1)原式＝×＝×＋×＝＋＝. (2)原式＝×××××＝＝＝3. (3)原式＝·＋log4(－)2＝log·log9＋log4(6－2) ＝log2·3log32＋log4(6－2×2)＝－log32·3log23＋log42＝－＋log22＝－＋＝－1. (4)方法一　原式 ＝ ＝ ＝log25·3log52＝13. 方法二 原式＝ ＝ ＝·＝13. 方法三 原式＝(log53＋log52＋log51)(log52＋log22＋log23) ＝(3log25＋log25＋log25)(log52＋log52＋log52) ＝log25·3log52＝3×＝13. 1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换以a为底． 2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；logbm＝logab.　　 对点练2．(1)式子log916·log881的值为(　　) A．18　　　B．　　　C．　　　D． (2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于(　　) A． B． C． D．以上都不对 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)原式＝log24·log34＝2log32·log23＝.故选C. (2)原式＝·＝·＝×log32＝.故选B. 学生用书第20页 题型三　用已知对数表示其他对数 例3　已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645. [思路点拨]　方法一　对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二　先求出a，b，再利用换底公式化简求值． 解：方法一　因为log189＝a，所以9＝18a. 又5＝18b， 所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818. 又因为log2×1818＝＝ ＝＝＝， 所以原式＝. 方法二　因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log3645＝＝ ＝＝ ＝＝. 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换． (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键． (3)注意一些派生公式的使用．　　 对点练3.(1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示) (2)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528； ②设3x＝4y＝36，求＋的值． 答案：(1) 解析：(1)lg 5＝＝＝. (2)①因为log147＝a，14b＝5， 所以b＝log145. 所以log3528＝＝＝＝. ②因为3x＝36，4y＝36， 所以x＝log336，y＝log436， 所以＝＝＝log363， ＝＝log364. 所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝1. 1．计算2log63＋log64＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．log62 C．log63 D．3 答案：A 解析：2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选A. 2．log6432＝(　　) A． B．2 C． D． 答案：C 解析：log6432＝＝＝＝.故选C. 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：log36＝＝＝.故选B. 4．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是________． 答案：2 解析：因为2a＝5b＝M，且＋＝2，所以a＝ log2M，b＝log5M，所以＝logM2，＝logM5，所以＋＝logM4＋logM5＝logM20＝2，所以M2＝20，又M>0，所以M＝2. 学生用书第21页 微专题(二)　创新探究 1．a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为>(a>b>0，m>0).若x1＝log32，x2＝log1510，x3＝log4520，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x3<x1<x2 D．x3<x2<x1 答案：B 解析：由题意，x1＝log32＝，x2＝log1510＝，x3＝log4520＝，于是x1＝＝＝<＝＝x3，即x1<x3，又x2＝＝＝＝>＝x3，即x2>x3，综上可知，x1<x3<x2.故选B. 2．(新定义)历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p－1(p是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22－1＝3，23－1＝7，25－1＝31，27－1＝127，3、7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289－1，则第10个梅森数的位数为(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．25 B．29 C．27 D．28 答案：C 解析：lg (289－1)≈89lg 2≈26.789，故289－1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27. 故选C. 3．(新定义)(多选)定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2(2x＋2y)，x，y∈R，则对任意实数a，b，c，有(　　) A．a⊗a＝2a B．(a⊗b)⊗c＝a⊗(b⊗c) C.a⊗b≥1＋ D．(a⊗b)－c＝(a－c)⊗(b－c) 答案：BCD 解析：对于A，由题意a⊗a＝log2(2a＋2a)＝a＋1，故A错误；对于B，(a⊗b)⊗c＝[log2(2a＋2b)]⊗c＝log2＝log2(2a＋2b＋2c)，a⊗(b⊗c)＝a⊗[log2(2b＋2c)]＝log2[2a＋2log2(2b＋2c)]＝log2(2a＋2b＋2c)＝(a⊗b)⊗c，故B正确；对于C，a⊗b＝log2(2a＋2b)，2a＋2b≥2＝2×2＝2，当且仅当a＝b时取等号，所以log2(2a＋2b)≥log22，即a⊗b≥1＋，故C正确；对于D，(a⊗b)－c＝log2(2a＋2b)－c.(a－c)⊗(b－c)＝log2(2a－c＋2b－c)＝log2＝log22－c＋log2(2a＋2b)＝－c＋log2(2a＋2b)，故D正确．故选BCD. 4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg .其中星等为mk，星的亮度为Ek. 学生用书第22页 (1)若E1＝10 000E2，则m2－m1＝________； (2)若太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.5，则太阳与天狼星的亮度的比值为________． 答案：(1)6　(2)1016.8 解析：(1)因为m2－m1＝－＝lg ， 且E1＝10 000 E2，所以m2－m1＝lg 104＝×4＝6； (2)设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题意m1＝－26.7，m2＝－1.5.即－1.5＋26.7＝lg ，所以lg ＝16.8，所以＝1016.8. 学科网（北京）股份有限公司 $