精品解析：河北省承德市第二中学2026-2027学年高二上学期9月份月考数学试卷

河北省承德市第二中学 2026-2027学年上学期高二数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 5 B. 13.5 C. 21 D. 22 3. 甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若复数z满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如果且，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在平面直角坐标系中，，．设，线段的中点为．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若方程有实数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 原点到的距离为 10. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. 圆心坐标为 C. 当k时，半径 D. 当k时，圆面积为 11. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 13. 直线：与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______． 14. 已知点在直线上，则的最小值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是虚数单位，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程． （2）求边上的高所在直线的方程． （3）求的面积． 17. 已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦长. 18. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 19. （1）设点且满足，． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． （2）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点．求面积最小值时，直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市第二中学 2026-2027学年上学期高二数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与直线平行的直线方程为，， 直线过点，将点的坐标代入得： ，解得. 因此所求直线方程为. 2. 现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 5 B. 13.5 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】从小到大排序：5，9，11，13，15，20，22，25，,,所以这组数据的75%分位数为. 3. 甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，每场比赛乙队获胜的概率是. 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 4. 若复数z满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意，， 则． 5. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 6. 如果且，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，所以，因为，所以，即， 所以方程不经过第一象限. 7. 在平面直角坐标系中，，．设，线段的中点为．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的夹角，然后确定的中点的轨迹，最后根据圆外一点到圆上点的距离性质即可求解. 【详解】已知​，，而，对其模长平方得： ， 代入数值：，解得，即， （也可以根据，证明，） 因为是中点，由直角三角形斜边中线性质，在中，斜边中线， 说明点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆. 已知定点，原点到的距离，根据圆外一点到圆上点的距离性质： 圆上点到定点的最小距离为，最大距离为， 即，因此. 8. 若方程有实数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为直线与半圆有交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围. 【详解】由得：， 由得：， 则原方程有实根等价于直线与半圆有交点， 当直线与相切时，，解得：； 当直线过点时，； 结合图象可知：当时，直线与半圆有交点， 即当时，方程有实数解. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 原点到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，取两点，， 对于A，可得，则直线的一个方向向量为， 因为，所以与不平行，故A错误， 对于B，对于，可得， 设直线的倾斜角为，，而，得到，故B正确， 对于C，令，则，解得， 可得直线在轴上的截距为，故C正确， 对于D，设原点到的距离为，由点到直线的距离公式得，故D正确. 10. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. k的取值范围为 B. 圆心坐标为 C. 当k时，半径 D. 当k时，圆面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 11. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用对称性求出圆的圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆与圆关于直线对称，得圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 13. 直线：与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与轴交点的坐标，再由直线的斜率得到其倾斜角，计算旋转后直线的倾斜角和斜率，最后由斜截式写出方程并整理为一般式即可. 【详解】在直线中令，解得，因此， 将直线的方程变形为斜截式，可得其斜率，设直线的倾斜角为，，由得， 将绕点顺时针旋转，因此直线的倾斜角为，其斜率， 由斜截式得直线的方程为，整理为一般式为. 14. 已知点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离求解即可 【详解】的几何意义是点与原点的距离， 由于点在直线上， 因此的最小值即为原点到直线的垂线段长度， 即， 所以的最小值为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是虚数单位，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为为实数，所以，即，所以或； 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以，即，所以； 【小问3详解】 若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 16. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程． （2）求边上的高所在直线的方程． （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求得，再用点斜式求中线方程； （2）根据的斜率求高的斜率，再用点斜式求方程； （3）以为底，利用点到直线的距离求三角形面积． 【小问1详解】 如图，取的中点，从向作垂线，垂足为． 由中点坐标公式，得． 因为，所以． 故中线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由，，得． 因为，所以． 又经过，故高所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为，，所以所在直线为，． 点到所在直线的距离为． 因此． 17. 已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）设圆的一般方程为 因为，，三点在圆上， 所以解得 所以圆的一般方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 18. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出；再由频率直方图中平均数的求法，即可求解； （2）根据条件，求出样本空间和基本事件，利用古典概率公式，即可求解； （3）根据条件，利用互斥事件的概率公式和相互独立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得， 估计高一年级初赛成绩的平均数为. 【小问2详解】 组与组的频率比为，因此抽样人数分别为人与人， 设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组， 因此样本空间，， 记“有名或名学生成绩在”为事件，，， 因此根据古典概型的计算公式． 【小问3详解】 设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件为甲在第三局中获得胜利， 因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利， 故，， 甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢． 即为事件， 因此 故． 19. （1）设点且满足，． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． （2）设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点．求面积最小值时，直线的方程． 【答案】（1）①；②（2） 【解析】 【分析】（1）①利用两点距离公式列比例等式，通过平方化简、配方得到圆的标准方程，本质是阿波罗尼斯圆的求解;②把看作圆上线性目标函数，先求出的取值区间，再利用为定值的条件，要求区间内全部使恒成立，从而得到a的范围;（2）设直线斜率求两交点坐标，用底高公式建立面积关于斜率的函数，通过换元结合基本不等式求最值，反推斜率得到直线方程. 【详解】（1）①依题意有．化简得．点的轨迹方程为． ②依题意，点轨迹是圆心为，半径为的圆，令，则有， ，若为定值，即为定值， 恒成立， ，即． （2）设的直线方程为，则与的交点为，与的交点为，又，纵坐标均为正数， ， ． ． 令，则，， ．当且仅当，即时等号成立．故面积最小值时，直线：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $