圆的切线专项练习100题2026-2027学年苏科版数学九年级上册

圆的切线专项练习100题 （九年级上册　共 100 题　建议用时 150 分钟） 目　　录 题型一　切线的性质（基本计算） （第 1～21 题，共 21 题） 题型二　切线性质的综合运用（坐标、折叠与最值） （第 22～29 题，共 8 题） 题型三　切线的判定与计算（一） （第 30～51 题，共 22 题） 题型四　切线的判定与性质综合 （第 52～74 题，共 23 题） 题型五　切线长定理与三角形的内切圆 （第 75～95 题，共 21 题） 题型六　圆的综合与探究 （第 96～100 题，共 5 题） 参考答案与解析（第 1～100 题） 题型一　切线的性质（基本计算） 【考查要点】利用“切线垂直于过切点的半径”“弦切角定理”“切线长定理”直接求角度、线段长，多为选择、填空题，是本章的基本功． 1．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 与 轴相切于点 ，与 轴的一个交点为 ．若 的半径为 ，点 的坐标是 ，则点 的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．如图， 经过正方形 的两个顶点 ，，且与边 相切，切点为 ．记正方形 的周长为 ， 的周长为 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D．无法确定 3．如图， 交 于点 ， 切 于点 ，点 在 上．若 °，则 为（　　） A．°　　B．°　　C．°　　D．° 4．如图， 为 的直径，， 分别与 相切于点 ，，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 于点 ．若 ，则 长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．如图，， 是 的切线，， 为切点，过点 作 交 于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（　　） A．°　　　　B．° C．°　　　　D．° 6．如图， 是 的直径，、 是 上的点，°，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，则 等于（　　） A．°　　B．°　　C．°　　D．° 7．如图，四边形 是 的内接四边形，且 ，连接 并延长交 的切线 于点 ．若 °，则 的度数为（　　） A．°　　B．°　　C．°　　D．° 8．如图， 与 相切于点 ， 交 于点 ，点 在 上，且 ．若 ，，则 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．如图，，， 是 的切线，切点分别为 ，，．若 ，，则 的长是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．如图，在 中， 是直径，直线 与 相切于点 ，，垂足为 ．若 ，，则 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 11．如图，在 中，°， 是 上的一点，以 为直径的 与 相切于点 ，连接 、．若 °，，则 的长度是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 12．如图，正方形 的边长为 ， 经过 ， 两点，且与 相切，则 的半径为＿＿＿＿． 13．如图，， 是 的切线，切点分别为 ，， 是 的直径．若 ，则 的长为＿＿＿＿． 14．如图，菱形 的顶点 ，， 都在 上，且 与 相切．若 的半径为 ，则菱形 的周长为＿＿＿＿． 15．如图，在正方形 中， 是 边上的点，以 为直径的 与 相切．若 ，则 的长为＿＿＿＿． 16．如图，在四边形 中，，经过 、、 三点的 与 相切于点 ，与 交于点 ，连接 ．若 °，则 的度数为＿＿＿＿°． 17．如图， 是 的直径， 与 相切， 为切点，连接 交 于点 ．已知 °，则 的度数为＿＿＿＿． 18．如图，在四边形 中，，， 分别与扇形 相切于点 ，．若 ，，则 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 19．如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，过点 的切线交 的延长线于点 ．若 °，则 的度数是（　　） A．°　　B．°　　C．°　　D．° 20．如图，在四边形 中，、、 分别与 相切于 、、 三点， 为 的直径．若 ，，则 的半径为＿＿＿＿． 21．如图，、 是 的切线，、 为切点，点 、 在 上．若 °，则 的度数为＿＿＿＿°． 题型二　切线性质的综合运用（坐标、折叠与最值） 【考查要点】在坐标系、折叠、动点背景下使用切线性质，常与勾股定理、相似、二次函数结合，关键是抓住“圆心到切线的距离等于半径”． 22．如图，在矩形 中，点 在 边上，扇形 与 边相切于点 ，点 、 分别在 、 边上， 是 的内切圆．若 ，，°，则 的半径为＿＿＿＿． 23．如图，在矩形 中， 是 的直径， 是 的中点， 是直线 上任意一点，、 分别与 相切于点 、．当 最大时， 的长为＿＿＿＿． 24．如图， 的直径 ，、 是它的两条切线， 与 相切于点 ，并与 、 分别相交于 、 两点．设 ，，则 与 的函数解析式为＿＿＿＿． 25．如图，扇形纸片 所在圆的圆心角 °，半径为 ．将扇形纸片折叠，使点 落在点 处，折痕与 、 分别交于点 、．若折叠后的弧 与半径 相切于点 ，且 是 的中点，则 的长为＿＿＿＿． 26．如图，在平面直角坐标系中， 的半径为 ，点 在经过点 ， 的直线上， 与 相切于点 ，则切线长 的最小值为＿＿＿＿． 27．如图， 为 的直径，， 分别与 相切于点 ，， 经过 上一点 ，．若 ，，则 的长为＿＿＿＿． 28．在 中，°，，．若 过点 ，且与 、 两条边所在直线都相切，则 的半径长为＿＿＿＿． 29．在 中，°，．若 是 的内切圆，则 的半径的最大值是＿＿＿＿． 题型三　切线的判定与计算（一） 【考查要点】按“连半径—证垂直”的思路证明切线，再由勾股定理、相似三角形求线段长；平移、平分、切线长是常用桥梁． 30．如图， 为 的外接圆， 为 的直径，点 在 上， 是 的切线，切点为 ，且 ，交 的延长线于点 ． （1）求证：； （2）连接 ，若 ，，求 的长． 31．如图， 为 的直径， 为 上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 ， 与 交于点 ． （1）求证： 平分 ； （2）若 ，，求 的长． 32．如图， 是 的外接圆， 是 的切线，切点为 ，且 ，连接 交 于点 ． （1）求证：； （2）连接 ，若 为直径，，，求 的半径． 33．如图，在 中， 是直径， 与 相切于点 ，，垂足为 ． （1）求证：； （2）若 ，，求 的长． 34．如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线 ，交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若 ，，求 的半径． 35．如图，在 中，°，点 、 在 上， 经过圆心 ， 是 与 的交点， 与 相切于点 ，且 ，则 和 的面积之比为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 36．如图，在 中，， 为 上一点，作 ，与 交于点 ，经过点 、、 的 与 相切于点 ，连接 ． （1）求证： 平分 ； （2）若 ，，求 的长． 37．如图， 是 的直径， 与 相交于点 ，过点 的 的切线 ，交 的延长线于点 ，． （1）求 的度数； （2）若 ，求 的半径． 38．如图，在 中， 是弦， 是 的中点， 与 交于点 ，过点 作 的切线，与 的延长线交于点 ，连接 ．求证：． 39．如图，射线 ， 与 相切，切点分别为 ，，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，．求证：． 40．如图， 为 的直径， 为 的半径， 的弦 与 相交于点 ， 的切线 交 的延长线于点 ，． （1）求证：； （2）若 的半径长为 ，且 ，求 的长． 41．如图，在 中，°，点 为 边上一点，以点 为圆心、 为半径作圆，与 相切于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若 ，，求 的半径． 42．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 已知：如图， 内接于 ，直线 与 相切于点 ．求证：． 43．如图，四边形 是 的内接四边形，°，，连接 、，过点 的切线与 的延长线交于点 ． （1）求证： 平分 ； （2）若 ，，求 的长． 44．如图，在 中，过 ，， 三点的 交 于点 ，且与 相切． （1）求证：； （2）若 ，，求 的半径． 45．如图，在 中， 为直径， 为弦， 的平分线与 相交于点 ，过点 作直线 ． （1）求证： 是 的切线； （2）连接 ，若 ，，求 与 的距离． 46．如图， 是 的直径， 是 的弦，点 是 外一点，． （1）求证： 是 的切线； （2）连接 ，若 ，且 ， 的半径为 ，求 的长． 47．如图，在 中，，以 为直径作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 的延长线于点 ． （1）求证： 为 的切线； （2）若 ，，求 的长． 48．如图， 为 的直径， 为 上一点，点 是 的中点， 于 ， 于 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，求 的长度． 49．已知点 是 的外心，连接 ，以点 为圆心、 长为半径作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，若 ． （1）求证： 与 相切； （2）求证： 平分 ． 50．如图，五边形 内接于 ，对角线 恰为 的直径，点 恰为 的中点．过点 作射线 ，使 ． （1） 与 相切吗？为什么？ （2）若 °，则 ＿＿＿＿°． 51．如图， 为 的直径， 交 于点 ， 为 上一点，延长 交 于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ． （1）求证： 为 的切线； （2）若 且 ，求 的半径． 题型四　切线的判定与性质综合 【考查要点】以三角形、四边形为背景的多问综合题，常需先判定切线再作计算，注意“作垂直—证等于半径”的转化． 52．如图， 是 的对称中心， 与 相切于点 ． （1）求证：直线 是 的切线； （2）当 与 相切时， 是菱形吗？说明理由． 53．如图， 是 斜边上的中线，以 为直径作 ，分别交 、 于点 、，过点 作 ，交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的长． 54．如图，在 中，°，以 为直径的 交 于点 ， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 55．如图， 是 的外接圆，，． （1）求证： 为 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 56．如图，直线 交 于 ， 两点， 是直径， 平分 交 于 ，过点 作 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 57．如图，在 中，，以 为直径作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ． （1）求证： 为 的切线； （2）若 半径为 ，°，求 的长． 58．如图， 是 的直径， 与 交于点 ， 的平分线交 于点 ，，垂足为 ，，． （1）求证： 是 的切线； （2）求 的半径； （3）连接 ，则 的长为＿＿＿＿． 59．如图，四边形 内接于 ，°，点 在 的延长线上，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，当 ， 时，求 的长． 60．如图， 是 的切线， 为切点，点 、、 在 上，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 °，则 ＿＿＿＿°． 61．如图， 是 的外接圆，，且 ，连接 交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）连接 ，若 为直径，，，求 的半径． 62．如图， 是 的直径，点 在 上， 是 的中点，过点 作 ，垂足为点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）过点 作弦 ，若 ，，求 的长． 63．如图，在 中，°，点 在 上，以 为直径的 经过 上的点 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的长． 64．如图，在 中，°，以 为直径作 交 于点 ，连接 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 65．如图，在 中，，以 为直径的 交边 于点 （点 不与点 重合），交边 于点 ，过点 作 ，垂足为 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 66．如图， 为 的直径， 为 边 上的中点，且 °， 的两边 ， 分别交 于点 ，，过点 作 ，垂足为 ． （1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 ，，则 的长为＿＿＿＿． 67．如图， 为 的直径，点 ， 在 上，且点 为 的中点，过点 作 于点 ，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的长． 68．如图，在 中，，以 为直径作 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 69．已知：如图，直线 与 相离， 于点 ，交 于点 ，点 是 上一点，连接 并延长，交直线 于点 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 70．如图，已知 是 的直径，点 ， 在 上，且 ．点 是线段 延长线上一点，连接 并延长交射线 于点 ． 的平分线 交射线 于点 ，°． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的长． 71．如图， 为 的直径，射线 交 于 点， 的平分线交 于 点，过点 作 交 于 点． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 72．如图，在 中，°，以 为直径的 与 的平分线相交于点 ，过点 作 ，分别交 ， 的延长线于点 ，． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为 ，，求 的长． 73．如图，在四边形 中，， 的外接圆 交 于点 ． （1）若 ，求证： 是 的切线； （2）若 是 的中点，且 ，，求 的长． 74．如图， 经过菱形 的顶点 ，，与边 ， 分别相交于点 ，． （1）若 与 相切，求证： 与 相切； （2）求证：． 题型五　切线长定理与三角形的内切圆 【考查要点】切线长相等是处理“外切四边形”“内切圆”问题的通法，注意面积法 与直角三角形的 ． 75．如图，， 分别与 相切，切点分别为 ，，点 在 上，过点 的切线分别交 ， 于点 ，．若 ，则 的周长为＿＿＿＿． 76．如图，、、、 都是 的切线，，，则 ＿＿＿＿． 77．如图，以正方形 的 边为直径作半圆 ，过点 作直线切半圆于点 ，交 边于点 ，若 的周长为 ，则直角梯形 的周长为＿＿＿＿． 78．如图，四边形 是 的外切四边形，切点分别为 ，，，，连接 ，，，． （1）若 ，，，则 的长为＿＿＿＿； （2）求证：°． 79．如图， 为 直径， 为圆上一点， 为 的内心， 交 于 ， 于 ．若 ，则 为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 80．如图， 是 的外接圆，且 为 的直径，点 为 的内心， 的延长线交 于点 ，连接 ．若 ，，则 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 81．在 中，，当 的内切圆的半径确定时，随着 的度数增大， 的外接圆的半径（　　） A．一直增大　　B．一直减小　　C．先增大再减小　　D．先减小再增大 82．如图， 的内切圆 分别与 ，， 相切于点 ，，，且 ，，则 的周长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 83．如图，在一张 纸片中，°，，， 是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 84．如图，在 中，°，， 与 三边分别相切于点 ，，，且 ，则 的面积是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 85．如图，已知 ， 是 的两条切线，， 为切点，线段 交 于点 ．给出下列四种说法：①；②；③四边形 有外接圆；④ 是 的内心．其中所有正确说法的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 86．如图， 是四边形 的内切圆，若该四边形的周长是 ，面积是 ，则 的半径是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 87．如图， 是 的内切圆，切点分别为 ，，，°，则 的度数为＿＿＿＿°． 88．如图，点 是 外接圆的圆心，点 是 的内心，连接 ，．若 °，则 的度数为＿＿＿＿°． 89．如图， 是 的内切圆，切点分别为 ，，，连接 ，．若 °，°，则 ＿＿＿＿°． 90．如图，点 是 的内心， 的延长线与 的外接圆相交于点 ，与 相交于点 ． （1）求证：； （2）若 ，，，求 的长． 91．如图，在 中，点 是外心， 和 的平分线交于点 ，延长 交 的外接圆于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若 °，，求 的外接圆的半径． 92．如图， 内接于 ， 为 的直径， 为 的内心，连接 ，，．若 ，，则 的长为＿＿＿＿． 93．如图，等腰三角形 的内切圆 与 、、 分别相切于点 、、．若 ，，则 的长为＿＿＿＿． 94．如图，在 中，°， 的内切圆 与 ， 分别相切于点 ，，连接 ， 的延长线交 于点 ，则 ＿＿＿＿°． 95．如图，在 中，°，点 ， 分别在 ， 上， 与 的内切圆 相切．若 的面积是 ， 的周长是 ，则 的长为＿＿＿＿． 题型六　圆的综合与探究 【考查要点】以内心、切线为载体的多问综合题，注重推理的完整性与方法的迁移． 96．如图，已知 是 的直径， 在 上，点 是 的内心， 的延长线与 相交于点 ，过 作直线 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，①求 的长；②直接写出 的长度：＿＿＿＿． 97．如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，，．若 为四边形 的内切圆圆心，则 的长度为＿＿＿＿． 98．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ，过 作直线 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求证：； （3）若 ，，求 的半径． 99．如图， 中，°，，，， 是 的内切圆，求 的半径 （用含 、、 的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于 的方程＿＿＿＿，解得 ＿＿＿＿（结果用含 、、 的代数式表示）；小辰同学由切线长定理，可以构建关于 的方程＿＿＿＿，解得 ＿＿＿＿． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 100．【习题再现】 是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点 ， 和 相等吗？为什么？（不需解答） 【逆向思考】如图（1）， 为 内一点， 的延长线交 的外接圆于点 ．若 ，求证： 为 的内心． 【拓展提高】如图（2）， 的半径长为 ，弦 ，动点 在优弧 上（不与 、 重合）， 是 的内心．①点 到 上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；② 的最大值为＿＿＿＿． 参考答案与解析 题型一　切线的性质（基本计算） 1．【答案】C 【解析】因为 与 轴相切于点 ，所以 轴，，故 ．设 ，由 得 ，即 ，解得 或 ．结合图形，点 是 轴上方的交点，故 ． 2．【答案】A 【解析】设正方形的边长为 ， 的半径为 ．因为 ，圆心 到 的距离为 ，所以 到 的距离为 ．在 中由 得 ，解得 ．于是 ，而 ，所以 ． 3．【答案】C 【解析】连接 ．因为 切 于点 ，所以 °，从而 °°°．又 在 上，所以 °．由圆周角定理，°． 4．【答案】C 【解析】设 ， 的半径为 ，则 ，由 得 ．以 为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，则 ，，．由 在圆上得 ，即 ①；由 得 ，即 ②．①②得 ，代回②得 ，故 ，即 ． 5．【答案】B 【解析】由切线长定理 ，所以 °°．由弦切角定理，°．因为 ，所以 °． 6．【答案】A 【解析】连接 ．因为 与 都对弧 ，所以 °．由 是切线得 °，故 °°°． 7．【答案】C 【解析】因为 °，所以 °°°．又 ，所以 °．由 为切线得 ，在 中（ 在 的延长线上），°°°． 8．【答案】C 【解析】由 为切线得 °，，．过 作 于 ．因为 ，所以 ，，．设 ，则 ，由 解得 ． 9．【答案】B 【解析】由切线长定理，，所以 ．又 、 都是过点 的切线，所以 ． 10．【答案】D 【解析】由 与 相切于点 得 ，又 ，所以 ．过 作 于 ，则四边形 是矩形，，故 ；在 中 ，所以 ． 11．【答案】B 【解析】由 °、°、 得 ，．连接 ，则 ．以 为原点、、 所在直线为 、 轴建立坐标系，则 ，．设半径 ，则 ，点 分 的比为 ，其纵坐标为 ；由相切得 到 的距离为 ，故 ，解得 ．所以 ，． 12．【答案】 【解析】以 为原点、、 所在直线为坐标轴建立坐标系，则 ，，， 所在直线为 ．圆心 在 的垂直平分线 上，设 ，，由 得 ，解得 ，故 ． 13．【答案】 【解析】由切线长定理 ，又 ，故半径 ，．由 、 知 垂直平分 ，所以 ．因为 是直径，所以 °，故 ． 14．【答案】 【解析】设菱形的边长为 ，以 为原点建立坐标系，取 ，则切线 为水平线，．由 、 得 ，即 ．由 、 都在单位圆上得 ；由 得 ，又 ，联立解得 ．故周长为 ． 15．【答案】 【解析】设 ，则 ，， 的半径 ．以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则圆心 ．由 与 （直线 ）相切得 ，即 ，解得 ，即 ． 16．【答案】 【解析】因为 与 相切于点 ，由弦切角定理得 °；又 ，所以 °，故 °°°．四边形 内接于 ，且 与 在 的两侧，所以 °°． 17．【答案】° 【解析】由 与 相切于点 、 为直径得 °，所以 °°°．又 为直径，故 °，在 中 °°°． 18．【答案】D 【解析】因为 与扇形 相切于点 ，所以 ；又 ，故 ，四边形 是直角梯形，高 ．由 与扇形相切于点 得 且 ，即点 到直线 的距离为 ．设 ，以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则 ，，．直线 过 、，其方程为 ，由 得 ，故 （ 不合题意），即 ． 19．【答案】D 【解析】由弦切角定理， 等于弧 所对的圆周角，即 °．因为 是直径，所以 °，°．四边形 内接于 ，所以 °°． 20．【答案】 【解析】因为 为直径，、 分别切 于 、，所以 ，，故 ，四边形 是直角梯形．由切线长定理 ，，所以 ．设半径为 ，则 ，过 作 于 ，则 ，，由 得 ，解得 ． 21．【答案】 【解析】由弦切角定理 ，又 ，所以 °．因 在 内部，°，故 °，它所对的优弧 为 °，劣弧 为 °，于是 °，°°°． 题型二　切线性质的综合运用（坐标、折叠与最值） 22．【答案】 【解析】以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则 ，，，．由扇形半径 得 ，；由 ° 得 ，即 ．将前两式相乘得 ，与 联立，整理得 ，从而 ，即 ，所以 ．在 中，，，，故内切圆半径 ． 23．【答案】 【解析】由 、、 为直径得 的半径 ．以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则 ，，，，直线 ：．由 知 最大时 最小，而 的最小值就是 到 的距离 ．所以 ． 24．【答案】 【解析】由切线长定理 ，，故 ．又 ，、 都垂直于 ，故四边形 是直角梯形，过 作 于 ，则 ，．由 得 ，化简得 ，即 ． 25．【答案】 【解析】以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则 ，，．折叠后圆心 的对应点 到直线 的距离等于半径 ，且 在过 的 垂线上，故 ．折痕 是 的垂直平分线，即过 且方向为 的直线．由 在 上得 ，代入可解得 ．令 得 ，所以 ． 26．【答案】 【解析】设直线 的解析式为 ，代入 、 得 ，即 ．圆心 到该直线的距离 ．由 知 最小即 最小，而 的最小值为 ，故 ． 27．【答案】 【解析】由 、 都是切线且 为直径得 ，，故 ．设 ，则 ，．过 作 于 ，则 ，．由 得 ，化简得 ，故 ，即 ． 28．【答案】 或 【解析】以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则 ，，，直线 ：．设半径为 ．① 若 在 的内部平分线上，则 的横坐标为 ，且到 的距离也为 ，由此得 的纵坐标为 ，由 得 ，解得 ；② 若 在 的外角平分线上，同法得 的纵坐标为 ，由 ，解得 ．故 的半径为 或 ． 29．【答案】 【解析】设外接圆半径为 ，由正弦定理 ，故 ．由欧拉公式 得 ，当且仅当 为等边三角形时取等号（此时 ，与条件相符）．故内切圆半径的最大值为 ． 题型三　切线的判定与计算（一） 30．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．因为 ，所以 ；因为 是切线，所以 ，又 ，所以 ，，故 ． （2）由（1），而 为直径，°，故 °；又 ，所以 °，于是 中 °，得 ，，即 ，故 ． 31．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．因为 是切线，所以 ；又 ，所以 ，．由 得 ，故 ，即 平分 ． （2）因为 是直径，所以 °，．在 中，°，，而 ，所以 ． 32．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 为切线得 （弦切角）；由 得 ，所以 ，故 ． （2）由 为直径得 °，°．由 及 得 ，即 °．设 ， 为半径．由 ° 及 （内错角）得 °，即 ，故 到 的距离为 ，四边形 是以 、 为底的直角梯形．设 到 的距离为 ，则 ，且 在 的垂直平分线上， 使 竖直，故 到 的距离 ．由 、 得 ，即 ，．又 ，而 ，，代入得 ，即 ，解得 ． 33．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 为切线得 ，又 ，所以 ，；由 得 ，故 ． （2）因为 是直径，所以 °，又 ，所以 ，得 ，故 ． 34．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为 平分 ，所以 ， 是 的中点，故 ．又 是切线，，所以 ． （2）．建立坐标系：，，．由 为直径、 平分 得 °，故 °，可取 ．设 ，由 知 的纵坐标为 ，即 ．又 ，所以 ． 35．【答案】B 【解析】 是直径．设 半径为 ，，则 ，，．由切割线定理 ，切点 ，由 、、 共线可算得 ．将其代入 解得 ，此时 ， 到 与到 的距离都是 ．所以 ． 36．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 与 相切于点 得 ，，故 ，，得 ，，且 ，．由 得 ，即 ，所以 ，代入 、 得 ，故 ，，，即 平分 ． （2）由 得 ，故 ．由切线长 得 ；又 ，得 ．由 得 ，解得 ． 37．【答案】（1）°；（2） 【解析】（1）由 是切线得 ，又 ，所以 ，°．由 得 ，设 ，则 °，故 ．又 是 所对的圆周角，所以 °，°． （2）由（1）．设半径为 ，取 ，，，则 ．设 是射线 与 的另一交点，令 ，则由 在圆上得 ，整理得 ．由 得 ，故 ． 38．【答案】证明见解析 【解析】因为 是 的中点，所以 ，°，故 °．由 是切线得 ，即 °，所以 °（因为 ，）．于是 °°． 39．【答案】证明见解析 【解析】由切线长定理 ，又 ，所以 是 的垂直平分线．因为 在直线 上，所以 ． 40．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）设 ，．由 为切线得 °，在 中 °；由 得 °°°．因 在线段 上，°，在 中 °°．又 ，°，而 ，故 °，即 °，这说明 在过 且垂直于 的半径上，所以 ． （2）由（1）°．设 ，则 ，，，．在 中 ，即 ，解得 （ 舍去），故 ． 41．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为 °，，所以 与 相切于点 ，从而 ， 平分 ，，故 ．在等腰 中，°°；又 °，所以 ． （2）由勾股定理 ．由 得 ．由 是切线得 ，即 ，解得 ． 42．【答案】证明见解析 【解析】连接 并延长交 于点 ，连接 ．因为 是直径，所以 °，°；因为 与 相切于点 ，所以 ，°，即 °．比较两式得 ．又 与 都对着 ，所以 ，故 ．（若 在另一侧，取补角同理可证．） 43．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 ° 得 是直径．因为 是切线，所以 ，又 ；而 ，得 ， 在 的延长线上，故 ，即 平分 ． （2）由 得 ，．由托勒密定理 ，即 ；又 为直径，，解得 ，．由 、 公共得 ，所以 ，即 ．由切割线定理 ，且 ；代入 得 ，故 ，解得 ，． 44．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 与 相切于点 得 （弦切角）；由 得 ，所以 ，故 ． （2）由 得 ，四边形 是圆内接梯形，故为等腰梯形，，对角线 ．于是 ．在 中， 边上的高为 ，面积 ，故外接圆半径 ． 45．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．因为 平分 ，所以 ， 是 的中点，故 ．又 ，所以 ，即 是 的切线． （2）由 得 ．因为 是直径，所以 °，． 与 的距离即点 到 的距离，设为 ．因 ，设 ，则 ，而 ，，故 ． 46．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．因为 是直径，所以 °，即 °．由 得 ，故 °，即 ，所以 是 的切线． （2）由 得 °，．由 得 ，而 ，故 ．在 中 ． 47．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 得 ；由 得 ，所以 ．又 ，所以 ，即 为 的切线． （2）设半径为 ，则 ，．由 得 ，，即 ，解得 ，故 ．在 中 ，，所以 ，．因为 是直径，°，故 ． 48．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．因为 是 的中点，所以 ；又 为直径，，所以 ．由 得 ，即 是 的切线． （2）由 得 ，又 °，所以 ，，故 ． 49．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）设 ．由 得 ；由 得 ，所以 ，°．又 在 的延长线上，°，故 ．而 °°，，所以 °，即 °，结合内角和得 ，故 ．于是 ，又 ，所以 ， 与 相切． （2）由（1），而 是外心，故 是 的垂直平分线，也是 的平分线． 50．【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 【解析】（1）相切．因为 是 所对的圆周角，所以 说明 与弦 的夹角等于 所对圆周角，由弦切角定理的逆定理， 与 相切于点 ． （2）由 ° 得 °； 为 的中点，故 °．又 为直径，°，所以 °°°． 所对的弧是不含 的 ，而 °°°，故 °． 51．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 得 ；因为 、、 共线，、、 共线，所以 （对顶角）．由 得 ，而 ，故 ．于是 °，即 ，所以 为 的切线． （2）设半径为 ，由 得 ，，，故 ．在 中 ，即 ，整理得 ，解得 （ 舍去），故半径为 ． 题型四　切线的判定与性质综合 52．【答案】（1）证明见解析；（2）是菱形，理由见解析 【解析】（1）设点 关于点 的对称点为 ．由中心对称的性质， 在 上，且 ， 对应 ，故 与 相切于点 ． （2）是菱形．因为 为对称中心，所以 到 的距离等于 到 距离的一半， 到 的距离等于 到 距离的一半，即 （ 为平行四边形面积），故 ， 是菱形． 53．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 为斜边中线得 ，；由 得 ．又 ，在 中 °，故 °°°°，即 ， 是 的切线． （2）由 得 ，．因 为直径，°，即 ，而 为 中点，故 是 的中位线，．由 得 ，故 ． 54．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 、．因为 是直径，所以 °， 为直角三角形， 为斜边 的中点，故 ，；又 ，，所以 °，即 ， 是 的切线． （2）由 ° 得 ，．由切割线定理的推论 得 ，故 ，，半径为 ． 55．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 得点 是 的中点，所以 ；又 ，故 ， 为 的切线． （2）设 交 于 ，则 ，．设半径为 ，在 中 ，解得 ． 56．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 得 ；由 平分 得 ，所以 ，．又 ，故 ， 是 的切线． （2）由 、 得 ，．由 平分得 ，在 中 ，故半径为 ． 57．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 得 ；由 得 ，所以 ．又 ，故 ， 为 的切线． （2）由 、° 得 是等边三角形，， 为 中点，，，．在 中由面积关系 得 ． 58．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】（1）连接 ．由 得 ；由 平分 得 ，所以 ，，又 ，故 ， 是切线． （2）过 作 于 ，则四边形 是矩形，，．设半径为 ，则 ，在 中 ，解得 ． （3）由 得 ，，又 °，故 ． 59．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 ° 知 是直径，故 °，°．在 中，，，而 °°，所以 °°°，即 ．又 在 上，故 ， 是 的切线． （2）由 及 得 ，故 是 的中点，．在 中 ，故 ．由托勒密定理 ，所以 ． 60．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 、、．由 、、 得 ，所以 °，即 ， 是 的切线． （2）由 ° 及圆周角定理可得 °°°)=100\angle P=180-\angle AOB=80$°． 61．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 得 ，；又 ，所以 ， 是 的切线． （2）由 为直径得 °，°．由 及 得 ，即 到 的距离等于 ，四边形 是以 、 为底的直角梯形．设 ， 为半径， 到 的距离 ，由 得 ，故 ．又 到 的距离 ，而 、，代入得 ，即 ，解得 ． 62．【答案】（1）证明均见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 是 的中点得 ；由 为直径得 ，所以 ．又 ，故 ， 是切线． （2）由 、 得 ．因 ，且 半径，取 为原点、 为 轴，可算得 ，直线 的方向为 ，与 的另一交点即 ，得 ． 63．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 、．由 、、 得 ，所以 °，即 ， 是 的切线． （2）由切割线定理 ，即 ，解得 ． 64．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）设 ．由 得 ，所以 °；由 得 °．故 °°°，即 ， 是 的切线． （2）在 中 ．由 为切线得 ，即 ．令 ，则 ，解得 ，故 ，，半径为 ． 65．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 、．因为 是直径，所以 °，；又 ，故 是 的中点，而 是 的中点，所以 ．由 得 ，即 是 的切线． （2）由 为 中点得 ．因 °，设 ，则 ，解得 ，故半径为 ． 66．【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 【解析】（1） 与 相切．连接 ．由 为斜边中线得 ，；由 得 ．又 ，°，故 °°，， 是 的切线． （2）由 得 ，．因 为直径，°，，而 为 中点，故 是 的中点，，．由 得 ． 67．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 为 的中点得 ；由 为直径得 ，所以 ，又 ，故 ， 是切线． （2）由 、 知 等于 到 的距离．以 为原点、、 所在直线为坐标轴，设 ，则 ，，，．由 得 ，代入 化简得 ，平方整理得 ，解得 ，，故 ． 68．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 得 ；由 得 ，所以 ．又 ，故 ， 是 的切线． （2）由 、 为 中点得 为 中点，．设 ，则 ；由 得 ，又 ，联立解得 ，故半径为 ． 69．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 得 ；由 得 （对顶角），故 °（ 中两锐角互余），即 ， 是 的切线． （2）由 为切线得 ，而 ；在 中 ，即 ，解得 ． 70．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 得 ．由 平分 及 ° 可得 ；结合 、、 共线可算得 °，即 ，故 是 的切线． （2）由切割线定理 得 ，，故 ，．取 ，，，由 得 ；由 得 ，直线 与 交于点 ，计算得 ． 71．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 得 ；由 平分 得 ，所以 ，．又 ，故 ， 是切线． （2）以 为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，则 ，，．由 得 的纵坐标为 ，设 ，由 得 ，解得 ． 72．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．由 平分 得 ，故 ；又 ，所以 ， 是 的切线． （2）由 、、° 得 ．以 为原点、、 所在直线为坐标轴，则 ，，；由 得 ，故 为直线 ．直线 ：，令 得 ，所以 ． 73．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 得 ， 是 的中点，故 ；又 ，所以 ， 是 的切线． （2）由 是 的中点得 ， 垂直平分 ．设 交 于 ，则 ，．由 得 ，即 ，故 ． 74．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）由菱形的对称性， 是 的垂直平分线，圆心 在 上；由 与 相切得 ，而 与 关于 对称，故 ， 与 相切． （2）由 在 上且 平分 ，得 ，于是 ，． 题型五　切线长定理与三角形的内切圆 75．【答案】 【解析】由切线长定理 ，，所以 的周长 ． 76．【答案】 【解析】四边形 的各边都与 相切，由切线长定理可证 ，故 ． 77．【答案】 【解析】设正方形边长为 ，．由切线长定理 ，，故 ．在 中 ，解得 ．由 周长 得 ，．所以梯形 的周长 ． 78．【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由切线长定理可证 ，故 ． （2）由切线长定理，、 分别平分 、，所以 °；同理 °．两式相加，利用四边形内角和 ° 得 °°°． 79．【答案】A 【解析】设半径为 ，由 为内心知 是 的中点，．在 （）中 ；由欧拉公式 得 ．设 ，则 ，，故 ．又 ，得 ，代入得 ．在 中 ，且 ，． 80．【答案】B 【解析】设 ．因 为直径，°，故 ，；又 是 的中点，，故 ．在 中由余弦定理 ，代入化简得 ，即 ，所以 ，． 81．【答案】D 【解析】设内切圆半径为 ，外接圆半径为 ，由 及 ° 知 由 唯一确定．当 °（即三角形为等边三角形）时 取最小值；当 ° 或 ° 时 ．故 先减小再增大． 82．【答案】A 【解析】由切线长定理 ，，，所以周长 ． 83．【答案】C 【解析】由切线长定理，（、 为切点） 从 出发的切线长．由 得从 出发的切线长为 ，故周长为 ． 84．【答案】C 【解析】设两直角边为 、，由内切圆半径公式 得 ，又 ，故 ，，面积 ． 85．【答案】D 【解析】①由切线长定理成立；②由 、 知 垂直平分 ，成立；③°，四边形 对角互补，故有外接圆，成立；④ 在 的平分线上，又 得 ，而 可由切线长与等腰关系证得，故 到三边距离相等，是内心，成立．所以正确的有 个． 86．【答案】B 【解析】连接 、、、，把四边形分成四个三角形，它们的高都是 ，故 周长 ，即 ，解得 ． 87．【答案】 【解析】连接 、，则 ，，°°，由圆周角定理 °． 88．【答案】 【解析】由 平分 得 °，故 °；在等腰 中，°°°． 89．【答案】 【解析】°°°°．由 、 得 °°，故 °． 90．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由 为内心得 ；又 ，故 ，． （2）设 ，由 为 的中点得 ，故 是角平分线，．由角平分线长公式与托勒密定理可得 ，．结合 、 解得 ，进而 ，，所以 ． 91．【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）同第 题（1）的证明：，故 ． （2）由 、° 得 °，故 ，即 ，解得 ． 92．【答案】 【解析】设半径为 ， 为内切圆半径．因 为直径，°，由欧拉公式 得 ．在 中 °，；又 平分 ，，故 ．结合 与 可化得 ，解得 ，，故 ． 93．【答案】 【解析】由 得 ．在 中 ，故 ，． 94．【答案】 【解析】连接 、、（ 在 上），由切线长定理 、，°；又 平分 ，．在 中用三角形内角和及 ° 可算得 °． 95．【答案】 【解析】由 与内切圆相切知 是 的旁切圆（与 、 的延长线及 相切），故 的周长 ．于是 ，；又 ，，联立得 ，解得 ，即 ． 题型六　圆的综合与探究 96．【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】（1）连接 、．由 平分 得 ，故 ；又 ，所以 ， 是 的切线． （2）①由 得 °，．设 ，由 得 ，故 ，，即 ，所以 ．②由 、、 得 的 中 上的分点 ：由三角形内切圆性质 ，，，故 ． 97．【答案】 【解析】由 为直径得 °，．四边形 有内切圆，故 ；又 ，联立解得 ，．于是四边形关于 对称，内心 在 上，面积 ，，．以 为原点、、 为坐标轴，则 ，，， 为 中点 ，故 ． 98．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）由 平分 得 是 的中点，故 ；又 ，所以 ， 是 的切线． （2）由（1）．又 ，故 ，从而 ． （3）由 、 得 中 边上的高为 ．设半径为 ， 到 的距离为 ，由 解得 ． 99．【答案】（1）；；；；（2）相等，证明见解析 【解析】（1）面积法：连接 、、， 被分成三个高为 的三角形，故 ，解得 ．切线长法：设三边上的切点把边分成的线段长分别为 、、，则 ，，，而 恰为直角顶点处正方形的边长，故 ，． （2）相等．只需证 ，即 ，而 （因为 ），故两式恒等． 100．【答案】（1）证明见解析；（2）①该点是 （不含 的弧）的中点 ；② 【解析】（1）由 得 ；又 ，，而 （同弧 ），故 ，即 平分 ．同理 平分 ，故 为 的内心． （2）①由（1）的逆命题， 在以 为圆心、 为半径的圆上，其中 是 的中点，故点 到 的距离始终等于 ，只需用直尺作出 的中点 （连 与 中点并延长交弧于 ）．②、 得 到 的距离为 ，故 到 的距离为 ，．当 为 的对径点时 最大为 ，此时 ，即 的最大值为 ． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $