第6章 二次函数全章高频重点题型突破（十一大高频+十一大重难题型，专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第6章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1二次函数的概念与一般式 1.B 2.1或-1 3.-2 4.3 -2 -1 ◆题型2二次函数的一般式与顶点式 5.D y=3(x-1}-3或y=-3(x-1P-3 7.y 16x-3+2 8.【详解】解：设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c, 由题意把点-3,0,1,0,0,3代入抛物线的解析式得： 9a-3b+c=0 C=3 a+b+c=0 a=-1 解得： b=-2 c=3 .抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3, :y=-x2-2x+3=-x+12+4 ∴.抛物线的顶点坐标为-1,4. ◆题型3二次函数的对称轴、项点坐标 9.-2 1/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.-1 11-3 12.-2 ◆题型4二次函数的增减性 13.D 14.y2>y3>y1/y1<y3<y2 15.y3<y2<y1 16.m>t>n ◆题型5二次函数的平移 17.y=- x-1+2 18.y=2x2+1 19. 23-21 22 20. 【详解】(1)解：顶点为B-1,2, .设二次函数解析式为y=a(x+1P+2 代入点A0,1得，1=a+2, 解得a=-1, ,该二次函数解析式为y=-(x+1P+2=-X-2x+1 (2)解：由题意可得： y=-(x+1-n}P+2+2即y=-(x+1-nP+4 .图象恰好经过原点， ∴.-(1-n2+4=0 解得n=-1或n=3, n>0 2/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.n的值为3. ◆题型6待定系数法求二次函数解析式 21. 【详解】(1)解：，抛物线的顶点坐标为-1,4)， ∴设抛物线的解析式为 =a(x+1)+4a≠0 ,抛物线经过点A(0,5), 六将x=0'y=5代入解析式，得5=a0+1P+4 解得a=1, 抛物线的函数解析式为y=(x+1+4即 =x2+2x+5 (2)点P(-1,8)不在该抛物线上. 理由：，抛物线的解析式为 y=(x+12+4 将x=-1代入解析式，得y=-1+1P+4=4 …4≠8 .点P不在该抛物线上 22.【详解】(1)解：y=2x2+4x+1 =2x2+2x)+1 =2(x+12-1+1 =2(x+12-1' ∴此抛物线的顶点坐标为-1，-1)： (2):原抛物线顶点坐标为-1，-1)，抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度， ·新顶点坐标为-1-3，-1+2)，即(-4,1)， ,·平移前后抛物线的二次项系数不变， 二.平移后的抛物线解析式为y=2(x+4P+1,即y=2X2+16x+33: 23.【详解】(1)解：把点(0,3)，（1,0)，（-1,4)代入解析式，得 3/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b+c=0 a-b+c=4, C=3 a=-1 解得b=-2 c=3 .该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3: (2)解：由(1)得该二次函数的解析式为y=-x-2x+3, a=-1<0,抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x= b二 -2 2a2×(-1， .-2≤-1≤2， 当x=-1时，函数取得最大值，最大值为y=-(-1P-2×(-1)+3=4 当x=-2时，y=-(-22-2×(-2)+3=3 当x=2时，y=-22-2×2+3=-5: -5<3<4, .函数的最小值为-5： 综上所述，当-2≤x≤2时，函数的最大值为4，最小值为-5 24.【详解】(1)解：二次函数y=x+bx+c的图象过点A(3,0),B(0,-3), ·代入得(9+3b+c=0 C=-3 b=-2 解得c=-3 .该二次函数的解析式为y=x2-2x-3; (2)解：选取表格中三组对应值：x=-1时y=-2,x=0时y=1,x=1时y=2,代入解析式得， a-b+c=-2 c=1 a+b+c=2 a=-1 解得b=2 c=1 .此二次函数的解析式为y=-x+2x+1. 4/80 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7已知抛物线上对称的两点求对称轴 25.-1 26.直线x=1 27.1 28.直线X=1 ◆题型8二次函数与坐标轴的交点 29.C 30.0,14 31.33 32直线x=号 3,0 ◆题型9二次函数与X轴交点求参数 33.B 34.C 35.-1 36.-6<m<- gm-2 ◆题型10二次函数与方程 37.C 38.B 39.C 40.C ◆题型11二次函数与不等式 5/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41.B 42.A 43.-1≤x≤3 44.1≤x≤6 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1二次函数图象综合判断 1.C 2.B 3.A 4.D ◆题型2二次函数与各项系数的关系 5.B 6.c 7.D 8.B ◆题型3二次函数的最值 9.C 10.B 11.D 12.-73 ◆题型4二次函数利润问题 13.【详解】(1)解：设每双鞋子降价X元，每天获得的总利润为y元， 由题意得，每双鞋子的利润为50-x)元，每天的销售量为(40+2x)双，总利润y=(50-x)(40+2x) (0<x<50), 整理得y=-2x+60x+2000, 6/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a=-2<0, b 60 .当X= 2a2×(-2) =15时，y取得最大值， 将x=15代入得y=(50-15)(40+2×15)=2450(元)： 答：当每双鞋子降价15元时，每天可获得最大利润，最大利润为2450元. (2)解：令y=2448,则(50-x)(40+2x)=2448, 整理得x-30x+224=0, 解得X1=14,X2=16, ,要让顾客尽可能多得实惠， ∴.选择较大的降价幅度，即x=16 答：每双鞋子应降价16元. 14.【详解】(1)解：设月平均增长率是x,根据题意得： 51+x=7.2解得：x=0.2:X,=-2.2（舍)， .月平均增长率为20%！ (2)解：设售价降低x元，收入为y,则根据题意得：y=100-x20+2x, 化简得：y=-2x+180x+2000 配方得： y=-2x-45}+60501 -2<0, ∴.此二次函数开口向下，对称轴是直线x=45,有最大值，当x=45时，yma=6050(元)， ∴.售价降低45元时，每天的收入最大，最大收入为6050元 15. 【详解】(1)解：设莲蓉月饼每盒进价为a元，则豆沙月饼每盒进价为a-20元. 用8000元购进的莲蓉月饼与用6000元购进的豆沙月饼盒数相同， 8000..6000 Q a-20 解得a=80. 检验：a=80时aa-20=80×60≠0，且符合题意。 ∴.80-20=60元 ∴.莲蓉月饼每盒进价为80元，豆沙月饼每盒进价为60元. (2)解：由题知，莲蓉月饼售价为x元/盒时，每天可售100-2x-100=300-2x盒，单盒利润为 7/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-80元. 商家每天要获得2400元的利润， ∴.x-80300-2x=2400 展开并整理得-2x2+460x-24000=2400, 即-2x2+460x-26400=0,两边同除以-2得x2-230x+13200=0. △=U, 230±1 解得X= ,即x1=120,x2=110 检验：当x=110时，日销量300-2×110=80>0：当x=120时，日销量300-2×120=60>0，均符合 题意 ∴.莲蓉月饼每盒售价应定为110元或120元. (3)解：设每天获得的利润为P元，则 P=x-80300-2x=-2x2+460x-24000 460 这是关于X的二次函数，二次项系数-2<0，图象开口向下，对称轴为X=- =115. 2×（-2) .118≤x≤130，该区间在对称轴x=115的右侧， .在此区间内P随的增大而减小， .当X=118时，P取得最大值， Pmax=118-80300-2×118=38×64=2432: ∴.商家每天获得的最大利润为2432元. 16.【详解】（1)解：设每件降价X元. ,线下每件利润为35-15-x=20-x元，日销量为80+10x件， ,总利润为1800元， .20-x80+10x=1800, 整理得x-12x+20=0, 解得X1=2,X2=10, ,要尽快减少库存，需日销量尽可能大， .x=10 答：每件应降价10元。 8/80 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设每件降价X元，线上和线下的日利润总和为W元. ,线下每件利润为20-x元，日销量为80+10x件： 线上每件利润为35-15-3-x=17-x元，日销量为100件， :.W=20-x80+10x+10017-x, =-10x2+20x+3300, =-10x-12+33101 .x≥0且17-x≥0， ∴.0≤x≤17 -10<0, ∴.抛物线开口向下， ∴.当x=1时，W取得最大值，最大值为3310元. 答：当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元. ◆题型5二次函数面积问题 17. 【详解】(1)解：.抛物线y=ax2+bx-4经过A-2,0,B4,0, ∴.把A-2,0,B4,0代入解析式得 化简，得 两式相加，得6a=3, a 2 托a=代x2a-b-2. 2×6-2 1-b=2, ∴.b=-1. 抛物线的西数表达式为y=2-X-4 (2)解：，A-2,0,B4,0是抛物线与x轴交点， 9/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线的对称轴为直线X=一2+4=1. 2 .·点A、点B关于对称轴直线x=1对称， ∴.QA=QB, ∴.QA+QC=QB+QC 两点之间线段最短， .当C、Q、B三点共线时，QB+QC最小，最小值为线段BC的长 6 在y=号X2-x=4中，令x=0,得y=-4, ∴.C0,-4 设直线BC的解析式为y=mx+n,把B4,0,C0,-4代入， 解得m=1,n=-4, .直线BC解析式为y=x-4. 把x=1代入y=x-4,得y=1-4=-3, ∴.Q1,-3」 由勾股定理，BC=4-0P+(0+47=V16+16=32=42 ∴.QA+QC的最小值为42，此时Q1,-3. (3)解：设点P的横坐标为t, ,P在第四象限抛物线上， 。6号32-t-47 其中0<t<4 连接OP, 10/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B Sg边8PBOC=SA0Cp+S△oBP .OC=4,OC在y轴上， 5em0C-t=号×4t=2t 2 :OB=4点p纵坐标为负数，p到x轴距离为 -t4 2 ∴.S=2t+-t2+2t+8=-t+4t+8' -1<0, ∴.二次函数开口向下，S有最大值， 4 当t=- 2×-1 =2时，S取得最大值， 最大值S=-22+4×2+8=12, 把t=2代入抛物线解析式， X2-2-4=2-2-49 P2,-4 答：四边形PBOC面积S的最大值是12，此时点P坐标为2，-4. 18. 【详解】(1)解：①，抛物线经过点A2,5, 把点A2,5代入y=ax2+aa>0得5=ax2+a 解得a=1, ∴.抛物线的解析式为：y=x+1. ②，抛物线的解析式为：y=x+1, 11/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.抛物线的顶点G的坐标为0,1， 设直线AG的解析式为y=kx+b,代入点A2,5和G(0,1, b=1 得2k+b=5引 k=2 解得b=1/ .直线AG的解析式为y=2x+1 如图，过点B作BE‖y轴，交AG于点E, A(2,5) (,2+ E B(1,2+5) (0,1)G 设Bt,2+1t>0则Et,2t+1 六BE=2t+1-t2-1=2t-t2 5照sBa,2t-x2-0=2t-. 2 ..SAARG=2t-t2=-(t-1)2+1" ∴.当t=1时，S△ABc最大，此时点B坐标为1,2. (2)解：如图， M (0,a）G P(m,-am2+a） (-1,0)/ C(1,0) D O 抛物线 y=ax2+a=ax2+1' 12/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的顶点G(0,a, ,将抛物线y=ax+a绕顶点G旋转180°， ∴.旋转后的抛物线的解析式为y=-ax+a, 令y=0,则-ax2+a=0, 解得x=1,或X=-1, G1,0D-1,0 设点plm,-am2+a直线Dp的解析式为y=e+b -k+b=0, km+b=-am+a (k=a-am 解得b=a-am' ∴.y=a-amx+a-am, 令x=0,则y=a-am, ∴N0,a-am, 同理可求直线CP的解析式为y=-am+ax+am+a, .M(0,am+al, 'OM.ON=la-amllam+al=a2-a'm2--d'm'+d a>0, .-a2<0, ∴当m=0时，OMON有最大值a2 19.【详解】(1)解：抛物线y=ax+bx+3与x轴的两个交点为A(-1,0),B3,0, a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得b=2/ ∴.函数表达式为：y=-x+2x+3. (2)解：根据题意，点P为抛物线y=-x+2x+3上的一动点， 设pt,-2+2t+3 13/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A(-1,0,B3,0, ∴.AB=3--1=4, ,△ABP面积为8， 7ABy,2×4x-+2+3引=8 ∴.-t2+2t+3=4或-t+2t+3=-4, ∴.t-2t+1=0或t-2t-7=0, 解得=1或-2±84+28=1±22， P1,4或P1+22,-4戌p1-22,-4 (3)解：·y=-x2+2x+3与y轴交于点C, .C0,3 设直线BC的解析式为y=kx+p, 将B3,0,C0,3代入直线BC的解析式得： 3k+p=0 p=3 k=-1 解得p=3 ∴直线BC的解析式为：y=-x+3. M B 过点P作PM⊥X轴交直线BC于点M, 设pm,-m2+2m+3则Mm,-m+3且0<m<3 则PM=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m=-m- 24 14/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sacw-]PM(xa-xcl= 3/ 3+27 2 2m 8 a=- 3∠0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当m=之时， 面积最大，且最大值为 8 (4)解：根据题意，得点A的坐标为-1,0，B3,0, ∴.AB=3--1=4, .ABFE为菱形， ∴.AB=AE=4,EF‖AB, 设E1,h,则Fn,h .AE=-1-1+0-h=4 .4+h=16, 解得h=±2V3, 当E1,25时，根据题意，将点8向右平移4个单位长度即可利到点R。此时n=1+4=5 故F5,23 当E1,-2时，根据题意，将点B向右平移4个单位长度即可得到点R,此时n=1+4=5 故F5,-23 F坐标为5,23戌5，-23 20. 【详解】(1)解：，点B3,3在抛物线y=x2+bx上， .3=32+3b, 解得：b=-2, ∴抛物线的表达式为y=x2-2x. (2)解：直线OB经过原点， 设直线OB的解析式为y=kx, 15/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3=3k,解得：k=1, ∴.直线OB的解析式为y=x, ,抛物线与x轴交原点和点A, ∴.x-2x=0, 解得：X1=0,X2=2, A2,0, AC‖OB, ..kAc=koB=1, 设直线AC的解析式为y=x+c, ∴0=2+c,解得：C=-2, .直线AC的解析式为y=x-2, ,DE⊥X轴，点E在直线OB上，点D在抛物线上， 设Dt,r-2t小则Et,t DE=t-t2-2t=-t2+3t' 如图，过点F作FG⊥DE交DE于点G,设DE与AC的交点为H,直线AC与y轴交点P, B E ∴.P0,-2,∠OPH=45°， .OP‖EH,OE‖PA ∴.四边形OPHE是平行四边形， ∴OP=EH=2, EF⊥AC, ∴EF⊥OB, 即∠EFH=∠OEF=90」 16/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OED=∠OPH=45°， ∠FED=∠OEF-∠OED=45°， 即△EFH为等腰直角三角形， FG-EH-L. .S 兰DEFG=卦3小1=-号 1∠0， 2 二当=3时，△g面积的最大值为9点D的坐标为3， 2 引 (3)解：设原抛物线向右平移m个单位， ∴.平移后的抛物线解析式为 y=(x-m2-2(x-ml' 平移后的的戏解式过p是-引 得m-2gm 2-m-圣 解得：m1=1,m2=0(舍去)， .平移后的抛物线解析式为y=x-12-2x-1=×-4x+3 ,点M是新抛物线上的动点，且∠DAM=∠DAO, 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， 点O为原抛物线与x轴交点， 要使∠DAM=∠DAO,则点M为新抛物线与x轴交点，即点M1, ∴.∠DAO=∠DAM1, 令y=0,则x2-4x+3=0, .X1=1,X2=3(舍去)， M11,0 17/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点M在点D右侧时， 如图，作∠DA0=∠DAM,:交新抛物线于点M:过点D作DQ⊥轴交x轴于点Q,过点D作 DN⊥AM,交AM,于点N,连接QN交AD于点T,过点N作NR⊥X轴交x轴于点R, M OAR O D M2 在△QDA和△NDA中， ∠AQD=∠∧=90° ∠DAQ=∠DAN AD=DA ∴.△QDA≌△NDA AAS, QD=DN=⅓yo卢子AQ=AN-kX7∠QDA=∠NDA, ∴.QN⊥AD. AD-VQDQA-13 ∴S-ADQT=QAQD. 4 QN=20r-是丽. 在R△QID中，DT=VQD-QT=9V13, 52 六AT=AD-DT=3 13 :Saow=QARN=号ATQN, 1 18/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 w安语是丽，都用：侧名 22 131 即yw=i3 6 在Rt△QRN中，QR=VQN2-RN=9 3 xy=OQ+QR-57 26 N 576 26’13 设直线AM2的解析式为y=k1x+b1, 0=2k1+b k1=- 12 6 k+b 解得： 24 1326 b ∴.直线AM的解析式为y=- 6+*34 12 y=x2-4x+3 联立： J=-. 12.24 5 X+ 5 解得：X1= 4+V61 ._4-V61 5 ,X2 5 4-613 5 .X= 4+V61 5 M2 4+V6172-12V61 25 综上所述，点M的坐标为1,0或4+61,72-12V61 5 25 ◆题型6【详解】(1)解：：点Q从点B开始沿边BC向终点C以4m/s的速度移动， 19/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BQ=4tcm, :点P从点A开始沿边AB向终点B以2Cm/s的速度移动， ∴AP=2tcm, ∴.PB=10-2tcm; (2)解：根据勾股定理可得PB+BQ=QP2, 10-2t2+4t2=102 解得：t1=0或t2=2, ∴.当t1=0或t2=2时，PQ的长度等于10cm: )眼白宽可05=号0B40-2-4420r=-4-身2石 .-4<0, 当t号时，△BPQ的面积S最大，则S=25cm2 22.【详解】(1)解：：∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A开始沿边AB向点B以1cms的速 度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动. ∴BQ=2tcm,AP=tcm, ∴.PB=AB-AP=6-tcm: (2)解：，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,BQ=2tcm,PB=6-tcm, PQ-=PB+BQ, 4V2=6-t2+2t 整理，得5t2-12t+4=0, 2 解得t1=2,2 酱运动时间为2s或运动时间为时，PQ的长度等于42cm (3)解：，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,BQ=2 tcm PB=6-tcm, 2 Sg边形APQC=S△ABC-S△PBQ= SaA, P明BQ 1x1AB.BC. 32 20/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1x21x16-t=3×号x6×B, 32 整理，得t-6t+8=0, 解得t1=2,t2=4(舍去)， 故当运动时间为2秒时，四边形APQC的面积等于△ABC面积的 (4)解：S四边形APQc=S△ABc-S△PB0 =AB-BC-PB-BQ -号×6×8-2×2x16- =24-6t+t2 =t-32+15’ 可知当t=3时，四边形APQC的面积有最小值，最小值为15. 23.【详解】(1)解：根据题意BQ=2tcm,PB=AB-AP=6-tcm. (2)解：，当点Q运动到点C时，两点停止运动且8÷2=4s, 0<t≤4， ∠B=90°， ∴在Rt△PBQ中，PB+BQ=PQ2, 即16-t+2t=6 解得：t=0(不合题意，舍去)或t=2.4s, 故当t=2.4s时，PQ的长度等于6cm. (3)存在，当t=3s时，S四边形APoc=15.理由如下： Sg边形APQC=S△ABC-S△PBQ FAB-C-号PB-0 2 =1x6x8- 2 ×2t6-t =24-6t+t2, =t-32+15 21/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)可知：0<t≤4， 故当=3时， S四边形AP0c=15 24. 【详解】(1)解：根据题意，正方形ABCD的边长为8cm,点M从点B出发，沿BC边以2cm/s的 速度向终点C移动；同时点N从点C出发，沿CD边以2Cm/s的速度向终点D移动.设运动时间为t秒. ∴.AB=BC=CD=DA=8cm,∠ABC=∠C=∠D=90°，BM=2tcm,CN=2tcm, ∴.CM=CB-BM=8-2tcm, :△CMN的面积为6cm2, .CM.CN=6. ·2 ∴.CM·CN-12=0, ∴.2t8-2t-12=0, 整理，得t2-4t+3=0, 解得t1=1,t2=3, 当点M在BC上运动时，经历时间长为：8÷2=4s, ∴.t1=1,t2=3都符合要求， 故当t=1或t=3时，△CMN的面积为6cm2: (2)解：当t=2s时，y取得最小值，且最小值为24cm2.理由如下： 设△AMN的面积为ycm2, .BM=2tcm,CN=2tcm, .CM=CB-BM=8-2tcm,DN=DC-CN=8-2tcm, 根据题意，得y=SE方形ABCD-S△ABM-S△CMm-S△ADN =64-号×8×2t-号×18-2×21-2×B-2×8 =64-8t-8t+2t2-32+8t ∴.y=2t2-8t+32=2t2-4t+32=2t-22+24' .a=2>0, y=21t-2?+24有最小值，当=25时，，取得最小值，且最小值为24m2: (3)解：当(=21s时，k有最大值，且最大值为 理由如下： 22/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意，得△CMN的面积为S,'AAMN的面积为S,:令k=三， S, S×8-2×2i=8i-2,s=2-8t+32, S2 ∴.kS2=S1 ∴.k2t2-8t+32=8t-2t2 .k= 4t-t2 t2-4t+16 .t=0,t=4时，两个三角形不存在， ∴.t≠0，t≠4， ..k= 4t-t2 1 -4t+16 -1+16 4t-2 设s=4t-=-2-4t=-t-2+4 .a=-1<0, 六S=-t-2+4有最大值，且当=2时，取得最大值，函数的最大值为4， 16 16≥4， 4一：取得最小值，此时最小值为 .-1+16 4t-2取得最小值，此时最小值为4-1=3， 1 -1+,16取得最大值，此时最大值为， 4t-t :k取得最大值，此时最大值为 :当t=215时，k有最大值，且最大值为亏 23/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7二次函数中特殊三角形问题 25.【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A-2,0和点B4,0, 4-2b+c=0 16+4b+c=0 b=-2 解得c=-8 ∴.抛物线的解析式为y=x2-2X-8; (2)解：如图， :点C-3,n在抛物线上 把点C-3,nf代入y=X-2x-8可得n=-32-2×-3-8=7 ∴.C-3,7 .A-2,0,B4,0, ∴.AB=4--2=6 .S△ABc= AB×=×6×7=21 1 (3)解：由题意设pp,p2-2p-8 由题意得，PQ=QA,PQ⊥X轴， 则QA=p--2=p+2'PQ=p2-2p-8 p+2=p2-2p-8 p+2=p2-2p-8,解得p=5或p=-2(与点A横坐标相同，舍去) .P5,7: 24/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 或-p-2=p2-2p-8,解得p=3或p=-2(与点A横坐标相同，舍去) .P3,-5 综上：点P的坐标为5,7或3，-5」 26.【详解】(1)解：抛物线经过点A-1,0, ÷-1-b-3=0 解得，b=-2, 则抛物线的解析式为y=x2-2x-3: y=x2-2x-3=x-12-4' ∴抛物线的顶点坐标为1，-4： (2)解：存在点P,设P1,t, 根据题意得：N1,0,C0,-3 则cN=P+3=V1o NP= PC=V1+t+3, ∴△CNP为等腰三角形，分三种情况： ①当CN=NP时， t2=10,得t=±V10, 点P的坐标为1,10或1，-V10 ②当PC=NP时， 1+t+32=t21+2+6t+9=t2 解得，t=- 3 ÷点P的坐标为1，- ③当PC=CN时， 25/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+t+32=10't+32=9' 解得t1=0(舍去)，t2=-6, 点P的坐标为1，-6： 花合条作的点P存布点》1，西武1，-而1，成1,6 (3》解：拔物线的对称辑为：X=多区同长度是同定值}+2一0=2 23即6>0， 当对称轴在区间左边时，一b<b, 此时区间在对称轴右侧，函效在区间上随x增大而增大，最小值在左端点X=号 则b2 解得b=43 (舍去负值)， 3 解析式为y=X2+43 -3: 当对称轴在区间左边时， 6<-b<b+2,即-2≤b≤0 22 此时最小值在对称轴X=一 b -b b-2 3=1' 即b2=-16,此情况不存在，舍去； 当对称轴在区间右边时，->+2，即b<-2, 22 b+2 此时区间在对称轴左侧，函数在区间上随x增大而减小，最小值在右端点x= 12 则b+2+b b+2-3=1' 26/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得b=- 16 (舍去b=0), 解析式为y=x2-16 -3; 3 综上，二次函数的解析式为y=X2+43 x-3或y=x2-15x-3. 3 27.【详解】(1)解：抛物线过A-5,0、B1,0, y=-x+5x-1=-x2-4x+5 ∴.抛物线解析式为y=-x2-4x+5; (2)解：如图所示，过点P作PHy轴交AC于点H, 在y=-x2-4x+5中，当x=0时，y=5, .C0,5, .A-5,0 ∴OA=OC=5, ∴.△AOC是等腰直角三角形， .∠AC0=45°， PH‖y轴， ∴.∠PHE=∠AC0=45, .△PHE是等腰直角三角形， ∴PE=EH, PH-PE+EH2-2EH' .PE=PH 2' ∴当PH最大时，PE最大， 27/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AC解析式为y=kx+5,将A-5,0代入得-5k+5=0,解得k=1, ∴.直线AC解析式为y=x+5, 设pm,-m2-4m+5-5<m<0则Hm,m+5 PH=-m2-4m+5-m+5=-m2-5m=-m+ 4 -1<0, .当m=- 时，PH的最大值为25 5 25_25V2 :此时PE最大为428 (3)解： ‘y=-x2-4x+5=-x+22+9 ∴.对称轴为直线X=-2 设点M的坐标为-2，t, .A-5,0,C0,5, 六CM2=-2-02+t-5=4+t-5P,AC2=-5-0+0-5=50 ,△ACM是以AM为底的等腰三角形， ∴CM=AC,即CM2=AC2, 六4+t-52=50 解得t,=/46+5't2=5-V461 M-2,V46+5或M-2,5-V469 综上所述，在对称轴上存在点M,使得△ACM为等腰三角形，此时点M的坐标为-2，√46+5或 -2,5-V46 28. 1 【详解】(1)解：在y=2x+1中，当x=0时，y=1, .B0,1, 28/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 顶点坐标为 把B01)代入y-ax--,1-a0 32-1, 2 8 28 1 解得a= 二次函数的解析式为 1/ V= 2X 3-x-3 282 +1: 3 (2)解：联立 y= +1 解得x=4或x=0, 1 y=2x+1 y=3y=1 .C4,3: 如图所示，作点B关于x轴的对称点R,连接PR,CR,则RO,-1, B X 由轴对称的性质可得PR=PB, ∴.PB+PC=PR+PC≥CR, 当C、P、R三点共线时，PB+PC有最小值： 设直线CR的解析式为y=kx+b, 则4k+b=3 b=-1 29/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=1 b=-1 .直线CR的解析式为y=x-1, 在y=x-1中，当y=0时，x=1, 点P的坐标为1,0： (3)解：设Pm,0: .B0,1,C4,3; BC2=0-4+1-32=20'Bp2=0-m2+1-02=m2+1' CP2=4-m2+3-02=m2-8m+25 当点P为直角顶点时，则BP+CP=BC2, .m2+1+m2-8m+25=20, 解得m=1或m=3, ∴点P的坐标为1,0或3,0： 当点B为直角顶点时，则BP+BC2=CP2, ∴.m2+1+20=m2-8m+25, 解得m号 点的标为}0时 当点C为直角顶点时，则CP2+BC2=BP2 .m2-8m+25+20=m2+1, 解得m 2 点P的坐标为 除1所述，点P的标为1,0成3,0200 30/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型8二次函数中平行四边形问题 29. 详解】(1)解：①：抛物线y=二4X+m-2x+m-2m(m>0交y轴于点C0,3 将点C代入得：m2-2m=3, 解得：m=3或m=-1(舍去)， 将m=3代入抛物线得：y=-X+x+3, 4 令y=0,得0=-2X2+x+3, 4 解得：X1=-2,X2=6, ,点A在点B的左侧 点A的坐标为-2,0，点B的坐标为6,0， ®白y=-子×+x43=x2+4 则抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为2,4， ,当t-1≤x≤t+1时，y的最大值为3， .顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则t+1<2, 解得：t<1, 此时y随着x的增大而增大，当x=t+1时取得最大值， 代入得：寻+1-2+4=3. 解得t=-1或t=3(舍去)， ∴.t=-1 第二种情况，当区间在对称轴右侧， t-1>2, 解得：t>3, 此时y随着x的增大而减小，当x=t-1时取得最大值， 代入得：4 t-1-22+4=3, 31/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=5或t=1(舍去)， ∴.t=5 综上所述，t=-1或t=5 ③设直线BD的解析式为：y=x+b, 将点D0,2,B6,0代入得： b=2 6k+b=0 1 解得： k= 3 b=2 直线BD的解折式为：y=一日x+2 设点p的坐标为： -1a2+a+3 a,- PQx轴 ∴点Q的纵坐标为：- 2+a+3, 4 将点Q的级坐标代入直线BD得：一子0+a+3=一言x+2 则得到点Q的横坐标：X=子-30-3。 则L=P0=a-2d2-3a-3-a2+4a+3 4 4 8 当 2x/ 3 3时，取得最大值， 4 则工的最大值为： =-3×/8 43 +4×8+3=25, 3 3 则点p的纵坐标为：- 1x 82+8+3=35, 3 ∴L的最大值为25，此时点p的坐标为835 3 3’9 32/80 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：抛物线的对称轴为X=2, 则股点N2,n小点Mm,子m2+m+3 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况，以BC为对角线，则对角线的中点重合， 则BC的中点为： 0+60+3, 2’2 则MN的中点为： m+2 m2+m+3+n 4 2 2 m+2 =3 则 12 m+m+3+n 4 3 2 2 解得： m=4 n=0 ∴点N2,0,点M4,3, 第二种情况，以BN为对角线，则对角线的中点重合， B 33/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则BN的中点为： 2+60+n, 2,2 即为4 1 则CM的中点为： m+0 m+m+3+3 4 2 m+0=4 则 1 m2+m+3+3 4 n 2 m=8 解得： n=-2 ∴点N2,-2,点M8,-5, 第三种情况，以BM为对角线，则对角线的中点重合， 1 I 11 12 则BM的中点为： m+m+3 m+6 4 2 则CN的中点为： m+6=1 3 则 4m+m+3 1 n+3 2 2 34/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得： m=-4 n=-8 ∴点N2,-8,点M-4,-5, 综上所述，满足条件的M,N的有三组： 点N2,0,点M4,3或点N2,-2,点M8,-5或点N2,-8,点M-4,-5. 30. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax+bx-3与x轴交于A-1,0,B3,0两点， .a-b-3=0 9a+3b-3=0 解得： a=1 b=-2 .抛物线的解析式为y=x2-2x-3; (2)解：，点C2,n在抛物线y=x2-2x-3上， ∴.n=22-4-3=-3, 点C的坐标为C2,-3: 设直线AC的解析式为y=kx+d, :直线AC过点A-1,0和点C2,-3, 0=-k+d k=-1 -3=2k+d 解得：d=-1 ∴.直线AC的解析式为y=-x-1, 设点P的坐标为x,-X-1少点E的坐标为x,X2-2x-3其中-1≤x≤2 …PE=-X-1-x2-2x-3 =-x2+x+2, -1<0 ∴.抛物线的开口向下， 9 当x专，PE有最大值，最大值为2 此时点P的坐标为 1 3: 2’ 35/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：存在，理由如下： 设点D的坐标为n,0点P的坐标为t,2-2t-3 若AD和CF为平行四边形的对角线时， ∴AD的中点即为CF的中点， -1+n_2+t 2 2 0+0=-3+2-2t-3 2 解得t4=1-7 t2=1+V7 n1=4-V7 n2=4+V7 ∴此时点D的坐标为4-7,0或4+只/7,0 若AC和DF为平行四边形的对角线时， .AC的中点即为DF的中点， -1+2=n+t 2 0+-3_0+t2-2t-3 2 解得4=0， t4=2 (此时点F和点C重合，故舍去)， n3=1n4=-1 此时点D的坐标为1,0： 若AF和CD为平行四边形的对角线时， ∴.AF的中点即为CD的中点， -1+t-n+2 2 2 0+t2-2t-3_0+-3 2 2 解得t5=0 t6=2 (此时点F和点C重合，故舍去)， n5=-3 n6=-1 36/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时点D的坐标为-3,0. 综上，存在，此时点D的坐标为4-7,0戌4+7,0戌1,0或-3,0 31. 【详解】(1)解：，抛物线y=-x2+bx+c过A(-1,0、B(3,0), .-(-12-b+c=0 -32+3b+c=0 解得b=2,c=3, ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3 =-(x-1)2+41 .顶点D的坐标为1,4： 2 (2)解：在y=-x2+2x+3中，对称轴为直线x=- 2×(-11, 当x=0时，y=3, .C(0,3, 设直线BC的函数关系式为y=px+q, .B(3,0),C(0,3, 3p+q=0 9=3 p=-1 解得9=3 .y=-X+3, ∴直线BC的函数关系式为y=-X+3, ∴.P(m,-m+3),Fm,-m2+2m+3 在y=-x+3中，当x=1时，y=-1+3=2, ∴.E(1,2), 点P在线段BC上， ∴点F在点P的上方， ∴.PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m' .PF‖DE, 37/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形， D .∴.-m2+3m=4-2,（1<m<3) B .m=2, 答：线段PF的长为-m2+3m,当m=2时，四边形PEDF为平行四边形. (3)解：过点F作FH‖y轴，交线段BC于点H, H Fa,-a2+2a+3 H(a,-a+3) 设 ,则 FH=yr-yH=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a1 a=- 3 27, 8 :二次项系数 3∠0， ∴二次函数的开口向下， .当a= 时，△FBC的面积最大，最大值为 3 此时点F的坐标为： 315 24 故△FBC的面积最大值为2Z,此时点p的坐标为3,15 8 2’4 38/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32. 【详解】(1)解：，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于点A-1,0,与y轴交于点C0,3, -1-b+c=0 c=3 b=2 解得c=3” ∴.抛物线解析式为y=-x+2x+3. (2)解：设直线BC的解析式为y=kx+n, B3,0,C0,3, 3k+n=0 n=3 k=-1 解得n=3' ∴直线BC的解析式为y=-x+3, 设pt,-+2t+3广 PE⊥X轴，交BC于E, E(t,-t+3), PE=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t 5m-sx-f+3tx9x-2 27 27 ~当X=2时，△PBC的面积有最大值，最大值为 此时， -f*2*3=-+2×*3 4 :点P@标为号异 (3)解：以B,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形， ∴.对角线的交点分别为两对角线的中点， 设p(p,-p2+2p+3)/ M是抛物线的对称轴直线X=1上的一动点， ∴设M(1,m), ①当BC、PM为对角线时， 39/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(3,0),C0,3）. :中点坐标为22 33 .1+p_3 22 解得p=2, .-p2+2p+3=3,即P(2,3): ②当BM、PC为对角线时，则3=P 2 解得p=4, ∴-p2+2p+3=-5,即P(4,-5; ③当B即、CM为对角线时，则3-02 解得p=-2, .-p2+2p+3=-5,即P(-2,-5)； 综上所述，点P的坐标为2,3)或4，-5)或(-2，-5) ◆题型9二次函数中角度存在性问题 33.【详解】(1)解：，抛物线y=ax+bx+c对称轴为直线x=2, b=2,即b=-4a, 2 ..y=ax-4ax+c, :点A(-4,0),OA=0C, .C0,-4, 把A(-4,0),C0,-4代入y=ax2-4ax+c,得 16a+16a+c=0 c=-4 1 解得 8 c=-4 _121 六抛物线的表达式为y=8X-2X4, (2)解：，抛物线与x轴交于A(-4,0),B两点，对称轴为直线x=2, 40/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B8,0; 设直线BC的表达式为y=x+dk≠0，把B8,0、C0,-4, 8k+d=0 d=-4 解得 d=-4 :直线BC的表达式为y-之x-4, 根据题意， 设pt--40<8则--4ct,or PH=-4哈--4=君+rG=8-t 2PH-B6=2-言+t8-=-+31-8=-6f+1 1<0,0<t<8, 当=6,2PH-6G有最人值，时日6-×6-4=号 2 p6,引 如图，过点P作PP1‖EF,过点E作PF的平行线交PP1于点P1,则四边形EP,PF是平行四边形；作点 E关于y轴的对称点E1,连接EF,将E1F沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到CE2, B ∴PF=P1E,EF=E1F=E,C, 41/80 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PF+FE+EC=P E+EC+CE, ∴当P1、E、C、E四点共线时，PF+FE+EC取得最小值，此时E1、F、P三点共线，如图所示， G E c0.4rr6} ∴.不妨设直线CE的表达式为y=mx-4,直线PF的表达式为y=mx+n, ,点E在抛物线的对称轴上，对称轴为直线X=2, .点E的横坐标为2， ∴E2,2m-4, :点E和点E关于y轴对称， 六E-2,2m-4 p6,多引代人直线pp的东达成为y=mrg6mn= 2 .n=- 5 -6m,即直线PF的表达式为y=mx- 5 -6m, 把点E1-2,2m-4代入y=mx- 5-6m,得2m-4=-2m号6m 3 解得m= 20 -4 V409 10 EP=-2-62+ 37 5 2V409 10 5 42/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PF+FE+EC=PF+E F+EC=E P+EC-2409409409 5 10 2 V409 即当2PH-BG有最大值时，PF+FE+EC的最小值为2： (3)解：点M的横坐标为2V109-16或16-2/109 3 3 .OA=OC=4,∠AOC=90°， ∴.△AOC是等腰直角三角形， 小将淡的y日×一方X-4后x-2一号0站线CA方向平22个单位长度，相当于将该机的线向衣 平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， yx-2*2-*2-x-号 ①当点M在第四象限时，如图所示，取BC的中点Q,过点Q作QH⊥x轴于点H,作QN⊥OM交OM的 延长线于点N,过点N作NT⊥y轴于点T,延长TN交HQ的延长线于点S, 则∠STO=∠TOH=∠OHS=90°， ∴.四边形OTSH是矩形， ∴.OT=HS,OH=TS,∠TSH=90°， ∠B0C=90°，点Q是BC的中点，B8,0,C0,-4, :0Q=BQ=CQ,0B=8,0C=4,Q4,-2, ∴.∠OCB=QOC,∠OBC=∠QOB, ,∠COM=∠OCB-∠OBC,即∠COM+∠OBC=∠OCB, ∴.∠COM+∠QOB=∠OCB=∠QOC=∠COM+∠QON, ∴.∠QOB=∠QON=∠OBC, tam∠QoN=tan∠OBC=0C=4_1 OB 8 2' 43/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 QN⊥OM, tan∠Qow=QW=1 ONF2∠TN0+∠QNS=∠INO+∠TON=90, ∴.∠QNS=∠NoT, .'∠OTN=∠NSQ=90°， ·△OTN△NSQ :5=S=Qw-1 NT OT NO 2 设QS=z,则WT=2z, Q4,-2,QH⊥x轴， ∴.OH=TS=4,HQ=2, ..OT=HS=QH+QS=2+z,NS=TS-NT=4-2z, 4-22=1 2+z2' 解-号 S,7w=2×62 六0T=2+6-16 5-5, 设直线oM的表达式为y=qx代入N 得12 q=- 5 ∴.直线OM的表达式为y=- 3七， y=- 联立 + 5 y=。 解得x,=2109-16 X=-2109-16 3 3 (舍去)， V109-16 ∴.点M的横坐标为 3 44/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点M在第三象限时，如上图所示，取点M关于y轴的对称点M, 则∠COM=∠COM=∠OCB-∠OBC,此时点M的横坐标为 16-2109 3 又y对为y 81 :点M在抛物线y=。X-三上， 82 点M符合条件： 综上，符合条件的点M的横坐标为2V109-16或16-22/109 3 3 34. 【详解】（1)解：..抛物 y=aX+bx+31a≠0与抽交于点A-2,0抛物线对称轴为x=2 4a-2b+3=0 1 b=2 a=- 解得 4 2 b=1 ∴.抛物线的函数解析式为y=一 1 x2+x+3; (2)解：：抛物线y=-x2+X+3与x轴交于点A-2,0,B,抛物线对称轴为X=2,与y轴交于点C, ∴.B6,0, 令x=0,得y=3, .C0,3, 1 ∴.S△A0c= A0-0C=1 ×2×3=3, 设直线BC的解析式为y=心+t, 将点B6,0,C0,3代入得， 6k+t=0 k=- t=3 解得 2 t=3 y=- 1 X+3, 2 AE BC, 1 ∴.设直线AE的解析式为y=一 x+t, 45/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点A-2,01代入得，-×-2+1=0，解得=-1， 2 直线A亚的解析式为y= 2x1, 令x=0,得y=-1, ∴.E0,-1, 如图，过点P作PF‖y交AE于F, pp30xp<6.-p-1 r=p+p--小-pp4 ∴.S△AEP=S△APr-SAPEF =1PF-(xp-xA) IPF-Xp -P(xa p+42 p3 p+4, 4 -1<0,对称轴为p=3,0<p<6, :当p=3时，5一5ck最大值，最大位为是到-子P+p+3- “,抛物线对称轴x=2上有一动点N,过点N作MN⊥y轴于点M, ∴.MN=2, 如图，将点B16,0向左平移2个单位得到B4,0:作点B4,0关于y轴的对称点B-4,0: 连接pB” 46/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与y轴的交点为M,连接MB, B、 ∴.MB=MB B .MN‖BB,MN=BB, .四边形BNMB是平行四边形， ∴.MB=BN, .BN=MB”, .PM+BN+MN=PM+M B+2, 要使PM+BN+MN取最小值，即PM+MB取最小值，当点P、M、B”共线时，PM+MB取最小 值，最小值为PB, 时p--4+-0 2 V1009 4 '.PM+BN+MN的最小值 V1009 4 +2: (3)解：将抛物线y=-x+x+3沿射线AC方向平移得到新抛物线y,且OC-3 4 ∴.设将抛物线沿x轴向右平移2m个单位，向上平移3m个单位得到新抛物线y,其中m>0, y=-x-2mP+x-2m+3+3m. 4 ,新抛物线y恰好经过点C0,3, 40-2m+0-2m+3+3m=3. 整理得-m+m=0, 解得m=0(舍去)或m=1, y=4x-2+-21+3+3= x+2x+3, 4 47/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点D为原抛物线的顶点，当x=2时，y=-一×22+2+3=4， 4 ∴.D2,4, 设原抛物线的对称轴与x轴的交点为G,则DG=4,BG=6-2=4, ∴.DG=BG, ∴.△BDG是等腰直角三角形，∠DBG=45°，即∠DBC+∠CBO=45°， 当点Q在BD右侧时，如图，过点D作DQBC交抛物线y于点Q, .∠BDQ=∠DBC G ∴.∠BDQ+∠CBO=45°， 1 设直线DQ的解析式为y=一 x+t2, 将点D2,4代入得，-号×2+，=4，解得t,=5, ∴.直线DQ的解析式为y=一 1 +5. y=- 3+5 x=5+V17 x=5-V17 联立 解得 或 (不合题意，舍去)， 1 y=- x2+2X+3 y= 5-V17 2 y= +V17 4 2 05+,5 2 当点Q在BD左侧时，如图，作∠BDQ=∠DBC,此时∠BDQ+∠CBO=∠DBC+∠CBO=45°， 设DQ与BC相交于点H,过点H作HR⊥DG于R,作HS⊥x轴于S, 48/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4 G ∴.∠DRH=∠BSH=90° .·∠BDQ=∠DBC,∠GDB=∠DBG=45°， ∴.DH=HB,∠GDB-∠BDQ=∠DBG-∠DBC,即∠RDH=∠HBS, :'∠DRH=∠BSH=90°，∠RDH=∠HBS,DH=HB, '.△DRH≌△BSH AAS, .'RH=SH 设Hn,n+3则RH=n-2S= 1 2n+3, .n-2=- 2n+3,解得n=10 4 2n+3 3 设直线DH的解析式为y=k3x+t3, 将点D12,4' H 104代入得， 33 2k3+t3=4 10k+t 解得k3=-2 1t3=8 ∴.直线DH的解析式为y=-2x+8, 49/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-2x+8 x=8+2V11 x=8-211 联立 ys、 x2+2x+3: 解得 y=-8-4V11/或 y=-8+4V11 (不合题意，舍去)， ∴.Q8+2V11,-8-4/11月 ∴.所有符合条件的点Q的横坐标为5+V17或8+2V11 35. 【详解】(1)解：联立二次函数y,=-X+3x+3与直线y=X得， y=-x2+3x+3 y=X x=-1x=3 解得y=-1或y=3 ∴点A的坐标为3,3，点B的坐标为-1，-1， 将A3,3?B-1,-1代入y,=aX2+c得， 3=9a+c -1=a+c 1 解得 2 3 1.23 2 (2)解：①i证明：由题意可知，点p的坐标为m,-m2+3m+3?点N的坐标为m,m点Q的坐标为 m-2 .0<m<3, pN-m-8m+3-m=-+2m0-mm引m+m-m+2m3 2 ..PN=2NQ; ②如图，作BE⊥X轴，垂足为E,作CF⊥AB,垂足为F 50/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B-1,-1,BE⊥X轴， ∴点E的坐标为-1,0， .BE=OE=1, ∴△BOE是等腰直角三角形， ∴.∠B0E=45°， 由勾股定理可得0B=VBE2+0E=P+1=2 :∠BOE是△BOC的外角， .∠BOE=∠OBC+∠OCB=45°， .∠OBC=2∠OCB, <0BC=2 ∠B0E=30°， CF⊥AB, 又：∠C0F=∠BOE=45°， ∴△OCF是等腰直角三角形， ∴OF=CF 在直角△BCF中，∠OBC=30°，∠BFC=90°， ∴.BC=2CF, 由勾股定理可得BF=√BC2-CF=3CF' ..OB=BF-OF=3CF-CF=2. OF-CF=6+2 在直角A0CF中，OC=VOF2+CF2=3+1 51/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点c的坐标为3+1,0 设直线BC的解析式为y=tx+b, 将B-1,-1C3+1,0代入y=tx+b得， -1=-t+b 0=RV3+1t+b 解得t=2-V3 b=1-V3 “直线BC的解析式为y=2-3x+1-3 联立直线BC与抛物线y1,得， y=2-3x+1-3 y=-x2+3x+3 解得x=-1或x=2+3 y=-1y=2-V3 ∴点D的坐标为2+3,2-3 (3)解：y3= y1y1≤y2 y2(yi>y2) ∴.y3的图象为y1与y2中较低的部分，如图所示， 对于直线l2:y=kx+k-1,当x=-1时，y=-1为定值， 直线l2过定点B-1,-1, 52/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当直线l2过点A时，此时直线l2与直线y=x重合， k=1, 当直线，与数物线一相切时，联立方程，得。 3=x+k-1, 化简，得x-2kx-2k-1=0: :直线，与抛物线⅓号一多相切，副只有一个交点， 2 ∴判别式4=-2k2-4-2k-1=0 ∴.4k2+8k+4=0, 解得k=-1, ,直线l2:y=kx+k-1与函数y3的图象有三个公共点， .-1<k<1, 在二次函数y=X2-2+3中，图象开口向上，对称轴为直线X=--2k=k, ①当-1<k≤0时，区间0≤x≤2k+4在对称轴右侧， y随x的增大而增大， 二当x=0时，y取得最小值3：当x=2k+4时，y取得最大值2k+4?-2k2k+4+3=8k+19 3=n 8k+19=2n+14 解得K=个 这与-1<k≤0矛盾，故舍去： n=3 ②当0<k<1时， 图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 0<k<2k+4, ∴.当x=k时，y取得最小值k2-2k2+3=-k2+3, :0-k<2k+4-k, ∴.当x=2k+4时，y取得最大值8k+19, 53/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -k2+3=n, 8k+19=2n+14 3V2-4 解得 2 (负值舍去)， 12V2-3 n= 2 综上所述， k=3/2-4 2 36.【详解】(1)解：将A-1,0,B3,0代入y=ax+bx+3,得， a-b+3=0 9a+3b+3=0' a=-1 解得b=2” ∴，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：如图，过点P作y轴的平行线，交BC于点E,连接AP,BN,作点P关于y轴的对称点P,连接 PM设点p的坐标为t,-2+2t+3 将x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3, 点C的坐标为0,3， 设直线BC的函数解析式为y=x+b, 将B3,0,C0,3代入y=x+b,得， 0=3k+b 3=b 54/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得k=-1 b=3 ∴.直线BC的函数解析式为y=x+3, :PE‖y轴， ..Xp=XE=t, .∴点E的坐标为t,-t+3, PE=-t2+2t+3--t+3=-t2+3ti ,点B到直线PE的距离为3-t,点C到直线PE的距离为t, SABPC=SACPE+SABPE: =1PE.t+lPE.(3-t) 2 PE-13-+ -f+33. 22+9t, 2 3 1 2 ≤0 当=3时SA 取得最大值27，此时点p的坐标为315 24 ∴点p的坐标为 315 24 由轴对称的性质可得，PM=PM,NA=NB, ∴.PM+MN+NA=PM+MN+NB 由线段公理可得，PM+MN+NB≥PB, ∴.当P、M、N、B四点共线时，PM+MN+NB取得最小值，即PM+MN+NA取得最小值， 55/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理可得，PB= 15 2 3V61 2 +4 3V61 ∴，PM+MN+NA的最小值为 4 (3)解：①当点Q在直线BC下方时，如图，作射线BQ交y轴于点G,设点C平移到点C处，作 CF⊥OC,垂足为F, .OB=OC=3,∠B0C=90°， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠OCB=∠OBC=45°， ,CF⊥OC, ∴，△CCF是等腰直角三角形， ∴CF=CF, 由题意可知，CC=V2, 由勾股定理可得，CC=VCF2+CF=√CF2+CF=2CF' .CF-CP-CC=1 .∴抛物线y由抛物线y=-x2+2x+3向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， y=-x-1+2x-1+3-1=-x2+4x-1' ,∠OBC=∠GBO+∠CBQ=45°，∠ACO+∠CBQ=45°， ∴.∠ACO=∠GBO, 在△ACO和△GBO中， 56/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACO=∠GBO OC=OB ∠AOC=∠GOB=90° ∴.△ACO≌△GBO ASA, ..OG=OA=1. ∴点G的坐标为0,1， 设直线BQ的函数解析式为y=k1x+b, 将B3,0,G0,1代入y=k1x+b1,得， 0=3k1+b1 1=b1 解得k=- 3 b1=1 ∴.直线BQ的函数解析式为y=-x+1, 3 联立直线BQ与抛物线y,得， 3*1 y=-x2+4x-1 13-997 13+V97 X= 解得 6 或 6 y=5+97 y= 5-V97 18 18 点Q在第一象限， “点Q的坐标为 13-9Vg75+V97 6 18 ②当点Q在直线BC上方时，如图，作∠CBH=∠CBG,且HC⊥OC, 57/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴射线BH与抛物线y的交点即为点Q, .HC⊥OC, ∴.∠HC0=90, .∠BC0=45°， ∴.∠BCH=45=∠BC0, 在△BCG和△BCH中， ∠BCG=∠BCH BC=BC ∠CBG=∠CBIH ∴.△BCG≌△BCH ASA ∴.CG=CH=2, ∴点H坐标为2,3， 将x=2代入y=-x2+4x-1,得y=-2+4×2-1=3, ∴点H在抛物线y上， ∴点H即为所求的点Q, 点Q坐标为2,3： 综上所述，点Q坐标为 13-V975+V97 6 18 或2,3 ◆题型10二次函数与特殊四边形 37.【详解】(1)解：在y=x+1中，当x=0时，y=1,即A0,1, ,抛物线顶点C的坐标是2,5， 58/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴设抛物线的解折式为y=alx-2+5a≠0 将A0,1代入解析式可得g×0-22+5=1 解得：a=-1, 抛物线的解析式为y=-x-2P+5=-X2+4x+1 (2)解：·过点A作ADX轴， .当y=1时，-x2+4x+1=1, 解得：X1=0,X2=4, D4,1, 联立y=-x2+4x+1, y=x+1 解得： |x=0x=3 y=1或y=4 ∴B3,4, 如图，作BF⊥AD于点F, 4 3 012345 则F3,1, ∴.BF=4-1=3,DF=4-3=1, :tan∠ADB=BE-3-3: DF 1 (3)解：设直线BD的解析式为y=k1x+b,k≠0 将D4,1B34代入解析式可得4k+b,-1 3k1+b1=4 59/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得： k,=-3 b1=13 .直线BD的解析式为y=-3x+13, ,以A、B、D、E为顶点的四边形是梯形， :.当AEBD时，设直线AE的解析式为y=-3x+t, 将A0,1代入解析式可得t=1, ∴.直线AE的解析式为y=-3x+1, 联立y=-x2+4x+1, y=-3x+1 x=0 X=7 解得： y=1减y=-20: ∴此时点E的坐标为7，-20； 当BE‖AD时，此时点E的纵坐标为4， 在y=-x2+4x+1中，令y=4,则-x2+4x+1=4, 解得：x=1或x=3, .此时点E的坐标为1,4： 当DE‖AB时，设直线DE的解析式为y=x+t, 将D4,1代入解析式可得4+t1=1, 解得：t1=-3, ∴.直线DE的解析式为y=x-3, 联立y=-x2+4x+1, y=x-3 解得： 4- ∴此时点E的坐标为-1，-4： 综上所述：点E的坐标为7，-20或1,4或-1，-4。 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合一特殊四边 形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键， 38.【详解】(1)解：把A-3,0,B2,0代入抛物线得： 0=9a-3b+4 0=4a+2b+4' 60/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :该抛物线的解析式为y=-X-?x+4. 3 (2)解：：抛物线的解析式为y=-x-号x+4与y轴交于点C, 3 3 ∴.C0,4, PC‖AB, ∴.P点纵坐标为4， 3x+4=4, .x1=0,x2=-1, ∴.P-1,4. (3)解：拋物线 、 2_ 3+ 3X*4= 2 122 3 X+ 2 6 故顶点坐标为 125 26 当0<m≤2时， 最高点为顶点坐标，最低点为A点坐标， 25-0=4m, 6 25 .∴.m= 24 当m>2时， 最高点为顶点坐标，最低点为P点坐标， 25 6 3m+4=4m .4m2-20m+1=0, .m= 5±2V6 2 .m>2, 61/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴m= 5+2V6 3 2 综上所述，m 24或m=5+26 2 (4)解：①如图，过P作PH⊥X轴. M B ·正方形PQMN, ∴.PQ=QM,∠PQM=90 .∠PQH+∠MQO=90°，∠QMO+∠MQO=90°， .∠PQH=∠QMO, 在△PQH和△QMO中， ∠PHQ=∠QOM ∠PQH=∠QMO PQ=QM ∴.△PQH≌△QMO AAS, .'MO=QH,PH=OQ. .M为OC中点， ∴.M0,2, ∴.QH=MO=2, .Pm, n2 3m2 3m+4, 2 ∴.OQ=PH=- m3 m+4, .OQ+QH=OH, .-2m2-2m+4+2=m, .∴.2m-m-18=0, 62/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .m=1±145 x .m<0, ∴m= 1-9V145 x ②如图所示：如图，过P作PH⊥x轴. B IA O ·正方形PQMN, ∴.PN=NM,∠PNM=90° ,∠PNH+∠MNO=90°，∠NMO+∠MNO=90°， .∠PNH=∠NMO, 在△PNH和△NMO中， ∠PHN=∠NOM ∠PNH=∠NMO PN=NM ∴.△MON≌△NHP AAS, .HN=MO=2,N0=PH=2m+2m-4, 3 3 ON=NH+HO, .-m+2=2m2+ 3 5m-4, ∴.2m2+5m-18=0, 9 .m=-或2， 2 .m<0, 9 ∴.m=- 63/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，m= 1-9V145 4 或m=-9 39.【详解】(1)解：将0，-3代入y=x2+bx+c中 解得：c=-3, ,对称轴为直线x=1, b =1,解得b=-2, 则该抛物线的解析式y=x2-2x-3; (2)解：由(1)知y=x2-2x-3 由题意知Qm,-m+2Pm,m2-2m-3 点P与点Q重合时，-m+2=m2-2m-3, 解得：m1+四，m,2 2 3)解：由(2)知，Qp=m2-2m-3-m+2m2-2m-3+m-2=m2-m-5 令X-2x-3=0,解得x1=-1,X2=3, .PM=3-m, :矩形PQNM为正方形， ..PM=PQ 3-ml=m2-m-5 即3-m=m2-m-5或3-m=-m2-m-5 解得m,=22:m,=-22:m,=3+1'm4=-3+1 (4)解：当点P在直线对称轴的左边，点P在点Q上面时，抛物线在矩形PQNM内的部分所对应的函数值 y随x的增大而减小，如图，不合题意： 64/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点P在直线的左边，对称轴的右边，且点P在x轴下面、在点Q上面时，抛物线在矩形PQNM内不存在 对应的部分，如图，不合题意： 当点P在直线的左边，且点P在x轴上面、在点Q下面时，抛物线在矩形PQNM内不存在对应的部分，如 图，不合题意； 当点P在直线I的左边，点P在点Q和x轴下面时，抛物线在矩形PQWM内的部分所对应的函数值y随X的 增大而增大，如图， 此时，m>-1且m2-2m-3<-m+2,解得-1<m<1+2I 2 65/80 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点P在直线的右边，点P在点Q上面时，抛物线在矩形PQNM内的部分所对应的函数值y随x的增大而 增大，如图 此时，m>3且m2-2m-3>-m+2,解得m>3; 综上，-1<m<1+2 2 或m>3时，抛物线在矩形PQNM内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大. 40. 【详解】(1)解：，矩形ABCD的顶点坐标分别是A-1,2,B-1,-1,C3,-1,D3,2, ∴矩形ABCD“立信之点”x,y满足-1≤x≤3，-1≤y≤2， 点M11,1,M,2,2是矩形ABCD“立信之点”· (2)解：，点A,B是抛物线y=-x+2x+c上的“立信之点”， ∴点A,B是直线y=X上的点， 设点A的坐标为Aa,a,点B的坐标为Bb,b, 联立y=-x+2x+C得：X-x-c=0 y=x ∴.a,b是这个关于x的一元二次方程x-x一c=0的两个不相等的实数根， atb=-1=1,ab=2C=-c, 1 1 将二次函 y=-X+2x+e化成顶点式为y=-x-12+c+1: 66/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的顶点C的坐标为C1,c+1, AC2=a-1P+a-c-12,BC2=b-12+b-c-12’AB2=a-b+a-b2=2a-bP ,△ABC是以点C为直角顶点的直角三角形， AC2+BC2=ABI(a-1P+la-c-1P+(b-1P+(b-c-1P=2(a-b} 整理得：2c2+4c+-2c-4a+bl+4ab+4=0' 2c2+4c+-2c-4-4c+4=0'即2c2-2c=0 解得c=1或c=0, 当C=0时，二次函数为y=-x2+2x,顶点坐标为C1,1, 联立y=-x2+2x,解得x=0或x=1: y=x y=0y=1 此时B0,0,A1,1,点A与点C重合，不能构成△ABC,不符合题意，舍去， .c的值为1. (3)解：由(2)可知，二次函数的解析式为y=-x+2x+1, 联立y=-X2+2x+1得：X-X-1=0' y=x 解得x-1+5或X-1-5 2 2 1,1,1 设点p的坐标为pt,-2+2t+1 ,以A,B,P,Q为顶点的菱形是以AB为对角线的， ∴AP=BP, ..AP2=BP2, e-4r*11-1-42115 整理得：-t+3t=0, 67/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=0或t=3, 当t=0时，-t+2t+1=1,则此时点P的坐标为P0,1, 当t=3时，-t+2t+1=-32+2×3+1=-2,则此时点P的坐标为P3,-2, 设点Q的坐标为Qm,n, 由菱形的性质得：对角线AB,PQ互相平分， 1+51-5 1+V5,1-V5 0+m= 2 2 3+m 2 2 2 或 2 2 1+5,1-V5 1+5+1-5 1+n= 2 2 2+n= 2 2 2 2 2 解得 =02 m=1 n=3 ∴.存在点P,Q,使得以AB为对角线，以A,B,P,Q为顶点的四边形是菱形，此时点Q的坐标为1,0或 -2,3. ◆题型11利用二次函数的对称性求最短路径 41. 【详解】(1)解：将点C0,3代入y=ax-2x+c,得c=3, 将点A-3,0和c=3代入y=ax-2x+c,得， 9a-2×-3+3=0, 9a+6+3=0, 9a=-9, a=-1, ∴.该抛物线解析式为y=-x2-2x+3. -2 (2)解：由y=-x2-2x+3可知，对称轴为直线x=- =-1, 2×-1 ,点A与点B关于对称轴对称，点P在对称轴上， ∴PA=PB, ∴.PB+PC=PA+PC, 当A,P,C三点共线时，PA+PC最小，即PB+PC最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b, 将A-3,0,C0,3代入得， 68/80 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3k+b=0 b=3 k=1 解得b=3” ∴.直线AC解析式为y=x+3, ∴.当x=-1时，y=-1+3=2, 此时点P坐标为-1,2 (3)解：当x=-1时，y=--1-2×-1+3=4 .顶点D的坐标为-1,4， 设直线AC与对称轴x=-1交于点P,由(2)知P-1,2, ∴.DP=4-2=2, .∴S△ACD=S△ADP+SACDP =号DPxx+2DPke-xa 吉×2x3-1+号×2x0-训 =1×2+1×1 =3 答：△ACD面积为3 42.【详解】(1)解：分别将点A-3,0,C0,-3代入二次函数y=x2+bx+c中， 得0=-3-3b+c,解得b=2, -3=c c=-3 ∴.抛物线的表达式为y=x+2x-3. (2)解：由题意知，点A,B关于对称轴对称， ∴PA=PB, 则PB+PC=PA+PC≥AC, 当A,P,C三点共线时，PB+PC取得最小值， 此时点P为直线AC与抛物线对称轴的交点； 设直线AC的表达式为y=kx+m, 分别将A-3,0,C0,-3代入y=x+m中， 69/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0=-3k+m k=-1 得 -3=m 解得 m=-3 直线AC的表达式为y=-x-3: 2 二次函数的对称轴为X=一 2a 2x71, 将x=-1代入y=-x-3,解得y=-2, 点P的坐标为-1，-2. (3)解：如图所示，过点Q向x轴作垂线，交AC于点H, B 设点Q的坐标为m,m2+2m-3则点H的横坐标为m 将x=m代入y=-x-3,解得y=-m-3, 点H的坐标为m,-m-3, Q点在直线AC的下方， QH=-m-3-m2+2m-3=-m2-3m 则sxo=Q10A=×-m2-3mx3=引-m2-3m, + .当m= 27 时，SAc0取得最大值8， 2 此时，m2+2m-3=-15 点g的坐标为-号，15△AC0最大面积为27 2’4 43. 【详解】(1)解：，抛物 y=aX-h+k的对称轴为直线x=-1 70/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h=-1 h=-1 al1-h2+k=0 解得 a=-1 a0-h2+k=3 k=4 ∴抛物线的解析式为 =-x+12+4 (2)解： y=-x+12+4=-x2-2x+31 ,抛物 y=ax-hP+k的对称轴为直线x=-1'A1,0 .B-3,0, ∴.AB=1--3=4, 设pm,-m2-2m+3 △ABP的面积为6， ×4×-m2-2m+3=6,即-m2-2m+3=3, 解得m,=0:m,=-2'm,=-1+/7:m4=-1-/7 ∴满足条件的点P的坐标为0,3或-2,3或-1+7，-3或-1-V7,-3 (3)解：，点A和点B关于对称轴X=-1对称，点M在对称轴上， ∴.MB=MA, ∴，MA+MC=MB+MC≥BC,当点B、M,C共线时，取等号，此时MA+MC的值最小，最小值为 BC=32+3=3V2 如图， 设直线BC的函数解析式为y=kX+3, 71/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将B-3,0代入，得-3k+3=0,解得k=1, ∴.直线BC的函数解析式为y=x+3, 当x=-1时，y=-1+3=2, ∴点M的坐标为-1,2， 44. 【详解】(1)解：二次函数y=ax+bx+c的图象过点A-1,0,C0,5,3,8, a-b+c=0 则 c=5 9a+3b+c=8 a=-1 解得： c=5 b=4 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+4x+5: (2)解： y=-x2+4x+5=-x-22+9 ∴此抛物线对称轴为直线x=2,顶点M2,9 :二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A-1,0, ∴由对称性得：B5,0, ·点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴.NC+NA=NC+NB≥BC, ∴.当点NB、C三点共线时，NC+NA值最小， 如下图： AO: 设直线BC表达式为y=k+m,由题意得： m=5 5k+m=0' 解得： /m=5 k=-1 .直线BC表达式为y=-x+5, 72/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .当x=2时，y=-2+5=3, .N2,3: (3)解：连接OM, M 4O B M2,9,B5,0,C0,5, .SAMBC=SAMOC+SAMOB-SAORC x5x2+号x5x9-x5x5 2 =15 题型专练 高频重难特训 一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C 7.C 8.A 二、填空题 9.m≠5 10. y=x+12 11.y2>y3>y1 12.y=x84-4x 73/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.①②③⑤ 14.①② 6 15. -6<m<- 且m×-2 三、解答题 16.【详解】（1)解：，二次函数图象的顶点坐标是-1,2， .设抛物线的解析式为 y=ax+12+2' 把0，-2代入解析式：-2=a10+1?+2 解得：a=-4, 抛物线的解析式为：y=-4x+1?+2=-4x2-8x-2 (2)解：把x=m-1代入y=-4x+1+2得，y=-4m2+2 故点pm-1,-4m2+2在这个二次函数的图象上， 17.【详解】(1)解：抛物线y=x2-4mx+2m+1经过点4,3， 代入可得：16-16m+2m+1=3, 解得：m=1, ∴抛物线解析式为y=x2-4x+3, 由y=x2-4x+3 =x2-4x+4-4+3 =x-22-1 得顶点坐标为2，-1： (2)解：y=x2-4mx+2m+1 =x2-4mx+4m2-4m2+2m+1 =x-2m2-4m2+2m+1 .抛物线对称轴为直线x=2m,开口向上， 74/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,当x≥3时，y随x的增大而增大， 2m≤3，即m≤2 (3)解：由(2)知抛物线对称轴为直线x=2m,开口向上， 又当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4， 且2m-3<2m<2m+1, 即当x=2m-3时，y=4, 代入得：2m-3-2m2-4m2+2m+1=4 化简得：2m2-m-3=0, 3 解得：m=2,m=-1. 18. 【详解】(1)解：由题意A(0,2),顶点B(6,4). 设顶点 y=a(x-hP+k顶点为(64) y=a(x-62+4 把A(0,2)代入：2=a(0-6+4 2=36a+4 1 a三- 18 yx-6+4,即y=+号+2 3 (2)解：车最高点离地2.5m,令y=2.5: （x-62+4=2.5 18 (x-62=27 x-6=±33 在A到顶点B这一段，取x=6-3V3≈0.804」 该位置向右可利用的水平长度为6-0.804=5.196m. .5.196>5, ∴，观光车可以完全停进遮阳棚正下方. 75/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：设直线AB的函数解析式为y=kx+2k≠0. 将点B6,4代入y=kx+2中， 商k=号 1 yAB=3x+2 点C在抛物线上，D在直线AB上，CD⊥x轴： c0x-6+4Dxx2 >、、b 3 =3 2a 1 2× 18 X=3时，CD取得最大值： CD大=- ×32+x3= 18 3 2 答：CD的最大值为米. 19.【详解】(1)解：GF=9,乙=8， ∴.EF=GF-≥=1， ∴.E0,1, .碗体DBC的抛物线解析式可设为y=aX2+1a≠0” .CD‖x轴，CD=12, ∴.CG=6, .GF=9, .c6,9, ∴.36a+1=9, 2 解得a= 76/80 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C碗体DC的抛物线解析式为y号X+打 (2)解：根据题意可知∠GCH=45°， ∴.GS=CG=6, GF=9, ..OS=GF-GS=3, ∴.S0,3, 设直线CH的关系式为y=kx+bk≠0 则 b=3 k=1 k+6=9解得6=3 .y=x+3, x+3=2x2+1 9 3 解得x1=6,X2=- 当x=6时，y=9,即点C6,9,舍去： 当x=- 2 故s0,3 -33 H-22 20. 【详解】(1)解：将A(-1,0,C(0,-3)代入y=x+bx+c, 1-b+c=0 得 c=-3 解为化-3引 抛物线的函数表达式：y=x-2X-3; (2)解：设直线AD的解析式y=+n将-1,00, 代入得 -k+n=0 k= 1 解得 1-2 n= 77/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴.直线AD的解析式为y= 2 点e(m,m-2m-3rmm+ 1 *号m-2m-3-m* ·EF=, `.△AEF的面积减去△就的面积得出△ADE的面积， m 5+8 42 32 2 <0,二次函数开口向下， 当m= 时， 有最大值是8， 32 (3)解：，点E位于第四象限， ∴.m>0, .2m+1>m,即点H位于点E右侧， ,矩形EFGH与抛物线有三个交点， ∴.点E位于抛物线对称轴左侧， ∴.0<m<1, 点E的对称点为2-m,m2-2m-3 则必有2m+1>2-m, 即m> 3' <m<1, 由题意得， G2m+1.m+ H2m+1,m2-2m-3' ①当中点位于GH上时，如图， 78/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 1 2 +m2-2m-3 .'.GH 2m+1,y 备用图 中点坐标为 又中点在抛物线上， ∴.y=4m2-4, 1 +m2-2m-3 -=4m2-4 2 1 解得：m1=-1(舍去)，m,14 ②当中点位于FG上时，如图， D H 备用图 同理可得， FG中点坐标为 3m+1m+1, 22 代入抛物线解析式得 2 2 17 解得：m,=-1(舍去)，m2=9 (舍去)： ③当中点位于EH上时，如图， 79/80 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B E 备用图 同理可得， EH中点坐标为3m+1,m2-2m-3 2 y=3m+1 2 代入抛物线解析式得， 2 -3m-4=m2-2m-3' 3 解得：m1=-1(舍去)，m2= 5 3.11 综上所述，m=或4 80/80 第6章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与一般式 题型2 二次函数的一般式与顶点式 题型3 二次函数的对称轴、顶点坐标 题型4 二次函数的增减性 题型5 二次函数的平移 题型6 待定系数法求二次函数解析式 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型8 二次函数与坐标轴的交点 题型9 二次函数与轴交点求参数 题型10 二次函数与方程 题型11 二次函数与不等式 核心提升·重难题型归纳 题型1 二次函数图象综合判断 题型2 二次函数与各项系数的关系 题型3 二次函数的最值 题型4 二次函数利润问题 题型5 二次函数面积问题 题型6 二次函数图形运动问题 题型7 二次函数中特殊三角形问题 题型8 二次函数中平行四边形问题 题型9 二次函数中角度存在性问题 题型10 二次函数与特殊四边形 题型11 利用二次函数的对称性求最短路径 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与一般式 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列函数，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则________． 3．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 4．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． ◆题型2 二次函数的一般式与顶点式 5．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 8．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）已知抛物线过点，，求它的解析式及顶点坐标． ◆题型3 二次函数的对称轴、顶点坐标 9．（2026九年级上·上海·专题练习）已知抛物线的最高点为，则 ________． 10．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，则_________． 11．（2026九年级上·上海·专题练习）若二次函数的顶点在轴上，则_____________． 12．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． ◆题型4 二次函数的增减性 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为____________ 15．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为________（用“<”连接）． 16．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线，其中满足，且点，，在该抛物线上，则、、的大小关系为____________________． ◆题型5 二次函数的平移 17．（2026九年级上·上海·专题练习）把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 18．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_______________． 19．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线对称的点坐标是_________． 20．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，函数图象恰好经过原点，求的值． ◆题型6 待定系数法求二次函数解析式 21．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点， (1)求这条抛物线的函数解析式． (2)判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 22．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 23．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 24．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）解答下列各题： (1)二次函数图象过点，．求该二次函数的解析式； (2)已知二次函数的，的部分对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 2 1 … 求此二次函数的解析式． ◆题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 25．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则________． 26．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 11 2 2 11 … 则抛物线的对称轴为___________； 27．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）抛物线图像经过、两点，则___________． 28．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表所示，则该二次函数图象的对称轴是______________． x … 0 1 2 … y … 5 0 … ◆题型8 二次函数与坐标轴的交点 29．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线与坐标轴共有几个交点（     ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 30．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为________． 31．（24-25九年级上·浙江台州·期末）抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于________． 32．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． ◆题型9 二次函数与轴交点求参数 33．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 34．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 35．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 36．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． ◆题型10 二次函数与方程 37．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 38．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 39．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（     ） − − − − − − A． B． C． D． 40．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤方程的解为，．其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 ◆题型11 二次函数与不等式 41．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 42．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 43．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 44．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． ◆题型1 二次函数图象综合判断 1．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 3．（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 ◆题型2 二次函数与各项系数的关系 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 6．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ ◆题型3 二次函数的最值 9．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值为10，最小值为1，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 12．（2026·四川宜宾·模拟预测）若，则的最小值是______． ◆题型4 二次函数利润问题 13．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 14．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 15．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）中秋节是我国的传统节日，吃月饼是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比莲蓉月饼的进价便宜元，某商家用元购进的莲蓉月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售莲蓉月饼时，调查发现：售价为元/盒时每天可售盒，售价每提高元，每天少售盒，设莲蓉月饼每盒售价为元． (1)莲蓉月饼和豆沙月饼每盒的进价分别为__________元和__________元； (2)若商家每天要获得元的利润，莲蓉月饼每盒售价应定为多少元？ (3)若要求，求商家每天获得的最大利润为多少元？ 16．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． (1)借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ (2)若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． ◆题型5 二次函数面积问题 17．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 18．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，为抛物线的顶点． (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； ②若在第一象限下方的抛物线上有点B，使最大，求出点B的坐标； (2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2）交轴于、两点，点为x轴上方抛物线上的一个动点，直线、分别交轴于、两点，求的最大值（用含的式子表示）． 19．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 20．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． ◆题型6 二次函数图形运动问题 21．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 22．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 23．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． ◆题型7 二次函数中特殊三角形问题 25．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，求的面积． (3)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 26．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 27．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． ◆题型8 二次函数中平行四边形问题 29．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线 的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 30．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 31．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 32．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； (3)如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． ◆题型9 二次函数中角度存在性问题 33．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 34．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 35．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 36．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． ◆题型10 二次函数与特殊四边形 37．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 38．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 39．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当矩形为正方形时，求的值； (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 40．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型11 利用二次函数的对称性求最短路径 41．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 42．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； (3)若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 43．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 44．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 一、选择题 1．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的最大值是（     ） A．1 B． C．4 D． 2．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）下列关于抛物线的说法中不正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．对称轴是直线 D．该抛物线对应的函数有最大值是 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）下表列出的是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．下列各选项中，正确的是（     ）． A．当时，随的增大而增大 B．抛物线的开口向下 C．函数的最小值小于 D．方程的根为和 6．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）某工厂生产一种产品，日利润y（万元，负值表示亏损）与日产量x（百件）之间近似满足二次函数关系．当日产量为3百件和5百件时，日利润分别为a万元和b万元．若，且，则n的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 10．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 11．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 12．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 13．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 14．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论： 水面宽度； 拱桥的最大高度是； 若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条； 其中，正确结论是______．（填序号） 15．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 三、解答题 16．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 17．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； (3)如果当时，的最大值为，求的值． 18．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 19．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 20．（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与一般式 题型2 二次函数的一般式与顶点式 题型3 二次函数的对称轴、顶点坐标 题型4 二次函数的增减性 题型5 二次函数的平移 题型6 待定系数法求二次函数解析式 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型8 二次函数与坐标轴的交点 题型9 二次函数与轴交点求参数 题型10 二次函数与方程 题型11 二次函数与不等式 核心提升·重难题型归纳 题型1 二次函数图象综合判断 题型2 二次函数与各项系数的关系 题型3 二次函数的最值 题型4 二次函数利润问题 题型5 二次函数面积问题 题型6 二次函数图形运动问题 题型7 二次函数中特殊三角形问题 题型8 二次函数中平行四边形问题 题型9 二次函数中角度存在性问题 题型10 二次函数与特殊四边形 题型11 利用二次函数的对称性求最短路径 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与一般式 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列函数，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二次函数的三个特征：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，自变量最高次数为1，不符合题意， B选项，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，符合题意， C选项，自变量在分母上，不符合题意， D选项自变量最高次数为3，不符合题意． 2．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）若是关于的二次函数，则________． 【答案】或 【分析】二次函数需要满足两个条件，一是x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴x的次数等于，可得方程：， 解得，即或， ∵二次项系数不能为， ∴，解得， 和都满足， 因此或． 3．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 【答案】 【分析】根据常数项为零得到关于的方程，再结合二次函数定义要求二次项系数不为零，舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵二次函数 的常数项为零， ∴，解得 或 ， ∵该函数是二次函数，二次项系数不能为零， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． ◆题型2 二次函数的一般式与顶点式 5．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 6．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 【答案】 或 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 【答案】 【分析】设二次函数解析式为，根据二次函数最小值得到顶点纵坐标，代入直线方程求出顶点横坐标，代入已知点求出二次项系数即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的最小值为， ∴， ∵图象顶点在直线上， ∴把代入，得，解得， ∴二次函数顶点坐标为， ∴解析式可写为， 把点代入解析式得 ， 计算得，解得， ∴二次函数的解析式为． 8．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）已知抛物线过点，，求它的解析式及顶点坐标． 【答案】抛物线的解析式为，顶点坐标为 【分析】设抛物线的解析式为：，利用待定系数法解得抛物线的解析式，并将解析式的一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， 由题意把点代入抛物线的解析式得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， ， 抛物线的顶点坐标为． ◆题型3 二次函数的对称轴、顶点坐标 9．（2026九年级上·上海·专题练习）已知抛物线的最高点为，则 ________． 【答案】 【分析】把代入即可求出的值． 【详解】把代入得，， ， ， 又∵有最高点， ，， ． 10．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，则_________． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称轴是直线，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， 解得. 11．（2026九年级上·上海·专题练习）若二次函数的顶点在轴上，则_____________． 【答案】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点横坐标为求出． 【详解】解：把二次函数写成顶点式为， 二次函数的顶点坐标为． 二次函数的顶点在轴上， 顶点的横坐标为， 解得． 12．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． ◆题型4 二次函数的增减性 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数开口向下时离对称轴越近函数值越大的规律，通过比较各点到对称轴的距离比较函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 14．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为____________ 【答案】 / 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的水平距离越大，对应函数值越大比较大小． 【详解】解：对抛物线解析式配方得： ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 开口向上的抛物线，点的横坐标离对称轴越远，对应函数值越大． 计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：， ∵ ， ∴ ． 15．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】由抛物线解析式可确定开口方向与对称轴，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：抛物线中， 二次项系数， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 16．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线，其中满足，且点，，在该抛物线上，则、、的大小关系为____________________． 【答案】 【分析】先利用点，，在抛物线上，求出，，，再作差根据的范围确定差的正负性即可确定、、的大小关系． 【详解】解：∵点，，在抛物线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ◆题型5 二次函数的平移 17．（2026九年级上·上海·专题练习）把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【分析】结合二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律和平移前后抛物线二次项系数不变的性质完成推导． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线解析式为． 18．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_______________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是． 19．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线对称的点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”得到平移后的解析式，再找到顶点的对称点解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即. 20．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，函数图象恰好经过原点，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先通过配方得到顶点，进而得到平移后的解析式，将原点坐标代入求的值． 【详解】（1）解：顶点为， 设二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：由题意可得：，即， 图象恰好经过原点， ， 解得或， 的值为3． ◆题型6 待定系数法求二次函数解析式 21．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）已知一条抛物线的顶点坐标是，并经过点， (1)求这条抛物线的函数解析式． (2)判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点不在该抛物线上． 理由：∵抛物线的解析式为， ∴将代入解析式，得， ∵， ∴点不在该抛物线上． 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标设顶点式，代入点的坐标求出系数，整理得到函数解析式； （2）将点的横坐标代入抛物线解析式，计算对应函数值，与点的纵坐标比较，判断点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为，即 （2）略 22．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标； (2)如果将该抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度得到新的抛物线，写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)平移后的抛物线解析式为（或） 【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）根据平移后顶点的坐标变化，结合二次项系数不变求解新解析式． 【详解】（1）解： ， ∴ 此抛物线的顶点坐标为； （2）∵ 原抛物线顶点坐标为，抛物线向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度， ∴ 新顶点坐标为，即， ∵ 平移前后抛物线的二次项系数不变， ∴ 平移后的抛物线解析式为，即． 23．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【分析】（1）将三个已知点的坐标代入二次函数一般式，列方程组求解待定系数，，，再回代即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合的取值范围，比较顶点和取值范围两端点的函数值，得到最值． 【详解】（1）解：把点，，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由（1）得该二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，； 当时，； ∵， ∴函数的最小值为； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． 24．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）解答下列各题： (1)二次函数图象过点，．求该二次函数的解析式； (2)已知二次函数的，的部分对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 2 1 … 求此二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知两点坐标代入二次函数解析式，解方程组求出待定系数、的值； （2）选取表格中三组、的对应值代入二次函数解析式，解方程组求出待定系数、、的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴代入得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：选取表格中三组对应值：时，时，时，代入解析式得， ，   解得， ∴此二次函数的解析式为． ◆题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 25．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则________． 【答案】 【分析】二次函数上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，先求出对称轴，再利用二次函数对称轴公式计算的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过和两点，两点纵坐标相同 ∴二次函数的对称轴为直线 ∴ ∵，约分化简得 ∴ 26．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 11 2 2 11 … 则抛物线的对称轴为___________； 【答案】 直线 【分析】从表格中找到纵坐标相等的两个点，利用抛物线的对称性即可求出对称轴． 【详解】解：∵当时，，当时，，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 27．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）抛物线图像经过、两点，则___________． 【答案】 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线的对称轴对称，先确定抛物线对称轴，再根据对称轴与两点横坐标的关系求解. 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 点和的纵坐标相等， 两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点落在对称轴上， 可得方程， 化简得， 解得． 28．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表所示，则该二次函数图象的对称轴是______________． x … 0 1 2 … y … 5 0 … 【答案】直线 【分析】二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两个点横坐标的平均值，据此计算即可. 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； ∵点与点的纵坐标相等； ∴两点关于二次函数的对称轴对称； ∴对称轴为直线 . ◆题型8 二次函数与坐标轴的交点 29．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线与坐标轴共有几个交点（     ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】C 【分析】求出抛物线与x轴和y轴的交点个数即可． 【详解】解：当时，，故抛物线与轴有1个交点 当时，， ， 故抛物线与轴有2个交点 抛物线与坐标轴共有个交点． 30．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】y轴上的点横坐标为0，将代入抛物线解析式计算y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：抛物线， 令， 则， 因此抛物线与轴的交点坐标为． 31．（24-25九年级上·浙江台州·期末）抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于________． 【答案】33 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象及性质是解题关键．根据题意得抛物线顶点的纵坐标是1，则，根据抛物线的对称性得到，将点A坐标代入中可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线顶点的纵坐标是1， ∴， ∵抛物线过点，， ∴点A、B关于直线对称， ∴，则， ∴， 将代入中， 得， 故答案为：33． 32．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 【答案】 直线 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线上值相等的两个点关于对称轴对称， 由表格可知其经过，， ∴对称轴为直线， 是它与轴的一个交点， 与轴的另一个交点的坐标为． ◆题型9 二次函数与轴交点求参数 33．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先根据抛物线的定义确定， 再结合抛物线与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是抛物线， ∴ ， ∵ 抛物线与轴有交点， ∴ 一元二次方程有实数根， ∴ ， 整理得， 解得， 综上， 的取值范围是且． 34．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）抛物线与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线与轴无交点，则，然后列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得． 35．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 【答案】 【分析】抛物线与轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 36．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】到轴距离为的点满足，即对应和，存在四个点说明两个方程都有两个不相等实根，且原函数为二次函数，分别计算判别式即可得到取值范围． 【详解】解：∵图象上点与轴距离为， ∴，即或． ∵若为一次函数，其图象与直线和最多共有2个交点，要得到四个点，原函数必为二次函数， ∴，得，且和对应的一元二次方程都要有两个不相等的实数根． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 综上，的取值范围是且． ◆题型10 二次函数与方程 37．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于x的方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：点，是与的图象交点， 所以：的解是，． 38．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴一元二次方程的解为，． 39．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（     ） − − − − − − A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格中的数据，当自变量的值从变化到时，对应的值从变化到，即从负数变为正数，所以对应的值一定在到之间，即方程的一个解的范围为． 【详解】解：方程的解对应二次函数中时的自变量的值， 由表格数据可知，当时，； 当时，， 的值由负变为正， 使的值在与之间， 即方程的一个解满足． 40．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤方程的解为，．其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①利用二次函数的图象与x轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的图象开口方向确定a的符号，根据对称轴确定b的符号，根据二次函数的图象与y轴的交点位置确定c的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④⑤根据二次函数的图象与x轴的交点即可判断，进而可得答案． 【详解】解：①二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴，故①正确； ②由图象知，二次函数的图象开口向下，得， ∵对称轴为直线， ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故②正确； ③由②中得，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为 ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， 又∵二次函数的图象的开口向下 ∴当时，，故④错误； ⑤二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴方程的解为，，正确 综上，正确的有①②③⑤，共4个． ◆题型11 二次函数与不等式 41．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：由关于x的不等式可知：， ∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或． 42．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式转化为，直接由图象进行求解． 【详解】解：将不等式转化为， 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点， 由图象可知，的解集为或， 不等式的解集为或． 43．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 【答案】 【分析】利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为 ∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为， ∴由题意可得：时，的取值范围为： ． 44．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 【答案】 【分析】根据图象即可得出时，直线在抛物线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线的交点为，， 从图象看，当时，直线在抛物线的上方，即． ◆题型1 二次函数图象综合判断 1．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向确定 的符号，结合对称轴位置确定 的符号，再根据直线的增减性判断 的符号、根据与 轴交点判断 的符号，看是否一致. 【详解】解： A、由抛物线开口向上可知 ，由直线从左下到右上可知 即 ，矛盾，故本选项错误； B、由抛物线开口向下可知 ，对称轴在 轴右侧可知 ，因 故 ，由直线从左下到右上可知 即 ，与 轴交于正半轴可知 ，一致，故本选项正确； C、由抛物线开口向上可知 ，对称轴在 轴右侧可知 ，因 故 ，由直线与 轴交于正半轴可知 ，矛盾，故本选项错误； D、由抛物线开口向下可知 ，由直线从左上到右下可知 即 ，矛盾，故本选项错误. 3．（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征． 先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项． 【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距， 当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限， ，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交． 综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确， 故选：A． 4．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴一次函数经过一、二、四象限， 故选：D． ◆题型2 二次函数与各项系数的关系 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【答案】B 【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为， ∴对任意实数，， ，当时取等号，故C错误； 对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 抛物线开口向下，， 点离对称轴更远，即， 解得，故D错误． 6．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得出，由对称轴的位置得出，由抛物线与轴交点的位置得出，即可判断①；由，即可判断②；由抛物线经过点，且开口向上，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 7．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断，，符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标；利用二次函数的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线开口向下，  抛物线对称轴为直线， ∴，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，故②正确； ∴当时，，故③错误； ∵当时，，由图象可知时， ∴，故④正确； ∵，，且，抛物线开口向下， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，该抛物线的开口向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且点和点都在抛物线上， 而，，， ∴，故②错误； 由图象知，当时，为最大值， 当时，， ∴对于任意实数m，都有， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，则，故④正确， 综上，正确的有③④，故选项B符合题意． ◆题型3 二次函数的最值 9．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数，当时，函数的最大值为10，最小值为1，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式得到开口方式和对称轴，顶点坐标和最小值，再求出时，或；结合当时，函数的最大值为10，最小值为1求解即可． 【详解】解：，二次项系数 ∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为，最小值为， 令，则， 解得或； ∵ 时，函数最小值为， ∴ ， ∵ 函数最大值为，且时，随的增大而增大， ∴， 综上，． 10．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】抛物线开口向上，顶点纵坐标小于给定区间的最小值，故对称轴不在给定区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两种情况求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，的最小值为． ∵当时，的最小值为，且， ∴不在的范围内． 当时，在中，随的增大而增大， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时，在中，随的增大而减小， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得（不符合，舍去），． 综上可知，常数的值为或． 11．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知当时，二次函数的最小值为，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数顶点纵坐标小于，可知给定区间不包含对称轴，分区间在对称轴左、右两侧两种情况讨论求解． 【详解】解：将配方得 ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴区间不包含对称轴， 分两种情况： ①当，即时，区间在对称轴左侧，随增大而减小， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ ②当，即时，区间在对称轴右侧，随增大而增大， ∴当时，取最小值，代入得， 解得或， ∵， ∴ 综上，的值为或． 12．（2026·四川宜宾·模拟预测）若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】从原方程得到关于的表达式，代入待求式得到的二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】解：整理原方程，得， 将代入，得， ∵， ∴该二次函数开口向上，存在最小值，最小值为， 即的最小值为． ◆题型4 二次函数利润问题 13．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 【答案】(1) 当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． (2) 每双鞋子应降价元． 【分析】（1）设降价金额为自变量，根据总利润的等量关系列出二次函数，利用二次函数顶点性质求最值； （2）根据给定利润列一元二次方程，结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件选取较大的解． 【详解】（1）解：设每双鞋子降价元，每天获得的总利润为元， 由题意得，每双鞋子的利润为元，每天的销售量为双， 总利润 （）， 整理得 ， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， 将代入得 （元）； 答：当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． （2）解：令，则 ， 整理得 ， 解得 ，， ∵ 要让顾客尽可能多得实惠， ∴ 选择较大的降价幅度，即． 答：每双鞋子应降价元． 14．（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 【详解】（1）解：设月平均增长率是，根据题意得： ，解得：，（舍）， ∴月平均增长率为. （2）解：设售价降低元，收入为，则根据题意得：， 化简得：， 配方得：， ∵， ∴此二次函数开口向下，对称轴是直线，有最大值，当时，（元）， ∴售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 15．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）中秋节是我国的传统节日，吃月饼是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比莲蓉月饼的进价便宜元，某商家用元购进的莲蓉月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售莲蓉月饼时，调查发现：售价为元/盒时每天可售盒，售价每提高元，每天少售盒，设莲蓉月饼每盒售价为元． (1)莲蓉月饼和豆沙月饼每盒的进价分别为__________元和__________元； (2)若商家每天要获得元的利润，莲蓉月饼每盒售价应定为多少元？ (3)若要求，求商家每天获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1)， (2)元或元 (3)元 【分析】（1）设莲蓉进价为元，则豆沙进价为元，由两种月饼“花费不同但盒数相同”列分式方程求解； （2）先由“售价每提高元每天少售盒”写出日销量关于的表达式，再按“单盒利润×日销量=日利润”列方程求； （3）日利润是关于的二次函数，利用对称轴与区间的相对位置判断单调性，在离对称轴最近的端点取最大值． 【详解】（1）解：设莲蓉月饼每盒进价为元，则豆沙月饼每盒进价为元． 用元购进的莲蓉月饼与用元购进的豆沙月饼盒数相同， ． 解得． 检验：时，且符合题意． 元 莲蓉月饼每盒进价为元，豆沙月饼每盒进价为元． （2）解：由题知，莲蓉月饼售价为元/盒时，每天可售盒，单盒利润为元． 商家每天要获得元的利润， ． 展开并整理得， 即，两边同除以得． ， 解得，即，． 检验：当时，日销量；当时，日销量，均符合题意． 莲蓉月饼每盒售价应定为元或元． （3）解：设每天获得的利润为元，则 ． 这是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为． ，该区间在对称轴的右侧， 在此区间内随的增大而减小， 当时，取得最大值， ． 商家每天获得的最大利润为元． 16．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． (1)借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ (2)若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每件应降价10元． (2)当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设每件降价元．根据“每件利润×销售量=总利润”列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的要求选取降价更多的解． （2）设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元分别表示线上、线下的日利润，求和得到总利润关于降价金额的二次函数，利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设每件降价元． ∵线下每件利润为元，日销量为件， ∵总利润为1800元， ∴， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴， 答：每件应降价10元． （2）解：设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元． ∵线下每件利润为元，日销量为件； 线上每件利润为元，日销量为100件， ∴， ， ． ∵且， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为3310元． 答：当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． ◆题型5 二次函数面积问题 17．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3)四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为 【分析】（1）把，代入抛物线，列出二元一次方程组，通过加减消元求出，，得到抛物线解析式． （2）由抛物线对称性得、关于直线对称，转化，利用两点之间线段最短，求出直线解析式，将对称轴代入得到，算出即为最小值． （3）设横坐标为，将四边形拆分为与，分别写出两个三角形面积表达式，相加得到，用二次函数顶点公式求得时面积最大值为 12，对应． 【详解】（1）解： 抛物线经过，， 把，代入解析式得 化简，得 两式相加，得， ． 把代入， ， ， ． 抛物线的函数表达式为． （2）解：，是抛物线与轴交点， 抛物线的对称轴为直线． 点、点关于对称轴直线对称， ， ． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 在中，令，得， ． 设直线的解析式为，把，代入， 解得，， 直线解析式为． 把代入，得， ． 由勾股定理，， 的最小值为，此时． （3）解：设点的横坐标为， 在第四象限抛物线上， ，其中． 连接， ． ，在轴上， ． ，点纵坐标为负数，到轴距离为， ． ． ， 二次函数开口向下，有最大值． 当时，取得最大值， 最大值． 把代入抛物线解析式， ， ． 答：四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为． 18．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，为抛物线的顶点． (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； ②若在第一象限下方的抛物线上有点B，使最大，求出点B的坐标； (2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2）交轴于、两点，点为x轴上方抛物线上的一个动点，直线、分别交轴于、两点，求的最大值（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①因为抛物线经过点，所以把点代入，解出即可求抛物线的解析式； ②求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，设，，则，表示出，再用配方法取面积最大即可； （2）将抛物线绕顶点旋转，旋转后的抛物线的解析式为，,，设，求出直线的解析式和直线的解析式，得到，，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ②∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为，代入点和 ， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴，交于点， 设，，则， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，此时点坐标为． （2）解：如图， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点， ∵将抛物线绕顶点旋转， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 令，则， 解得，或， ∴,． 设点，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， 同理可求直线的解析式为， ∴， ∴， ， ， ∴当时，有最大值． 19．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 20．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点D的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． （3）解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． ◆题型6 二次函数图形运动问题 21．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 22．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵， ， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵， ，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 23．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 24．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)解：当时，y取得最小值，且最小值为．理由如下： 设的面积为， ， ， 根据题意，得 ， ， ∴有最小值，当时，y取得最小值，且最小值为． (3) 存在，当时，有最大值，且最大值为 【分析】（1）设运动时间为秒．根据题意，得，，根据三角形的面积，列式解答即可； （2）设的面积为，根据题意得，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意，得，设，根据函数的最值，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．设运动时间为秒． ，，， ， 的面积为， ， ， ， 整理，得， 解得， 当点Ｍ在上运动时，经历时间长为：， 都符合要求， 故当或时，的面积为； （2）略； （3）解：当时，有最大值，且最大值为．理由如下： 根据题意，得的面积为，的面积为，令， ，， ， ， 时，两个三角形不存在， ∴， 设， ， ∴有最大值，且当时，取得最大值，函数的最大值为4， 取得最小值，此时最小值为， 取得最小值，此时最小值为， 取得最大值，此时最大值为， 取得最大值，此时最大值为， ∴当时，有最大值，且最大值为． ◆题型7 二次函数中特殊三角形问题 25．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，求的面积． (3)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再由求解即可； （3）由题意设，由题意得，轴，则，，据此可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵点在抛物线上 ∴把点代入，可得 ∴ ∵，， ∴ ∴ （3）解：由题意设， 由题意得，轴， 则， ∴ ∴，解得或（与点横坐标相同，舍去） ∴； 或，解得或（与点横坐标相同，舍去） ∴ 综上：点的坐标为或． 26．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为； (2)存在，符合条件的点坐标为或或或. (3)二次函数的解析式为或． 【分析】（1）把代入即可求解析式及顶点坐标； （2）为等腰三角形，分三种情况，勾股定理列方程即可； （3）先确定对称轴，再根据顶点是否在范围内，分类讨论，确定最小值时x值，代入即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，， 则抛物线的解析式为； ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：存在点P，设， 根据题意得：， 则； ； ， ∴为等腰三角形，分三种情况： ①当时， ，得， ∴点P的坐标为或； ②当时， ，， 解得，， ∴点P的坐标为； ③当时， ，， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ∴符合条件的点P存在，点P坐标为或或或； （3）解：抛物线的对称轴为：，区间长度是固定值 当对称轴在区间左边时，，即， 此时区间在对称轴右侧，函数在区间上随x增大而增大，最小值在左端点， 则， 解得（舍去负值）， 解析式为； 当对称轴在区间左边时，，即， 此时最小值在对称轴， 则， 即，此情况不存在，舍去； 当对称轴在区间右边时，，即， 此时区间在对称轴左侧，函数在区间上随x增大而减小，最小值在右端点， 则， 解得（舍去）， 解析式为； 综上，二次函数的解析式为或． 27．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 28．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． ◆题型8 二次函数中平行四边形问题 29．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线 的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【答案】(1)①；点的坐标为，点的坐标为； ②或 ③的最大值为，此时点的坐标为 (2)点，点或点，点或点，点 【分析】（1）①将点代入即可求解函数解析式，将代入即可求解A、B两点的坐标； ②分别考虑在对称轴左右两侧即可求解； ③求得直线的解析式，设点的坐标为：，进而可求点的坐标，再联立可知的长度，根据二次函数求最值即可求解； （2）分别以为对角线，为对角线，为对角线讨论即可，根据中点坐标构造方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线 交y轴于点 将点代入得：， 解得：或（舍去）， 将代入抛物线得：， 令，得， 解得：，， ∵点A在点B的左侧 ∴点的坐标为，点的坐标为， ②由， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，y的最大值为3， ∴顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则， 解得：， 此时随着的增大而增大，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 第二种情况，当区间在对称轴右侧， ， 解得：， 此时随着的增大而减小，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 综上所述，或 ③设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 设点的坐标为：， ∵轴 ∴点的纵坐标为：， 将点的纵坐标代入直线得： 则得到点的横坐标：， 则 ∴当时，取得最大值， 则的最大值为：， 则点的纵坐标为：， ∴的最大值为，此时点的坐标为， （2）解：∵抛物线的对称轴为， 则设点，点， 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第二种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第三种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 综上所述，满足条件的的有三组： 点，点或点，点或点，点． 30．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为，其中， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，， ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 此时点D的坐标为． 综上，存在，此时点D的坐标为或或或． 31．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 32．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； (3)如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时，点坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，进而得出，根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据平行四边形的性质得出对角线的交点分别为两对角线的中点，分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴，交于， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时，， ∴点坐标为． （3）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的交点分别为两对角线的中点， 设， ∵是抛物线的对称轴直线上的一动点， ∴设， ①当、为对角线时， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴，即； ②当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； ③当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； 综上所述，点的坐标为或或． ◆题型9 二次函数中角度存在性问题 33．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点M的横坐标为或 【分析】（1）根据对称轴得到，再根据点A坐标和得到点C坐标，最后把点A和点C的坐标代入即可解答； （2）先根据抛物线的对称性求得点B的坐标，再求得直线的表达式，设 ，则，，从而用t表示出，进而根据二次函数的性质得到当有最大值时点P的坐标，然后过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到，可推出当四点共线时，取得最小值，接着设直线的表达式为，直线的表达式为，利用点P的坐标和点E的横坐标可求出m的值，得到点E和的坐标，即可利用两点距离公式解答； （3）根据是等腰直角三角形，可推出该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，然后分情况讨论，当点M在第四象限时，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S，根据直角三角形的性质和等边对等角，结合已知角度关系可推出，从而得到，接着证明，利用相似三角形对应边成比例和矩形的性质，结合线段的和差，设，表示出和，求得z的值，从而得到点N的坐标，进而求得直线的表达式，最后联立抛物线，即可求得答案；当点M在第三象限时，利用抛物线的对称性即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵点，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线， ∴， 设直线的表达式为，把、， ， 解得， ∴直线的表达式为， 根据题意，设 ，则，， ∴，， ∴  ， ∵，， ∴当时，有最大值，此时， ∴， 如图，过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，此时三点共线，如图所示， ∵，， ∴不妨设直线的表达式为，直线的表达式为， ∵点E在抛物线的对称轴上，对称轴为直线， ∴点E的横坐标为2， ∴， ∵点和点关于y轴对称， ∴， 把代入直线的表达式为，得， ∴，即直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴，， ∴，， ∴， 即当有最大值时，的最小值为； （3）解：点M的横坐标为或； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， ①当点M在第四象限时，如图所示，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，点是的中点，，， ∴，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∵，轴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为，代入，得，则， ∴直线的表达式为， 联立， 解得，（舍去）， ∴点M的横坐标为； ②当点M在第三象限时，如上图所示，取点关于y轴的对称点， 则，此时点的横坐标为， 又∵的对称轴为y轴， ∴点在抛物线上， ∴点符合条件； 综上，符合条件的点M的横坐标为或． 34．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)； 的最小值 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作交于，利用待定系数法可求得直线的解析式，设，则，根据表示出，再利用二次函数的性质确定点的坐标，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接，则 ，要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ，利用勾股定理求解即可； （3）根据平移的性质先求出抛物线的解析式，设原抛物线的对称轴与轴的交点为，可得到是等腰直角三角形，，即，然后分两种情况讨论：当点在右侧时，当点在左侧时，利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，抛物线对称轴为， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点，，抛物线对称轴为，与轴交于点， ， 令，得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 如图，过点作交于， 设，则， ， ， ， ，对称轴为，， 当时，取最大值，最大值为，此时， ； 抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点， ， 如图，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ， 此时， 的最小值 ； （3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，且， 设将抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位得到新抛物线，其中， ， 新抛物线恰好经过点， ， 整理得， 解得（舍去）或， ， 点为原抛物线的顶点，当时，， ， 设原抛物线的对称轴与轴的交点为，则，， ， 是等腰直角三角形，，即， 当点在右侧时，如图，过点作交抛物线于点， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在左侧时，如图，作，此时， 设与相交于点，过点作于，作轴于， ， ，， ，，即， ，，， ， ， 设，则，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 所有符合条件的点的横坐标为或． 35．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 【答案】(1)，， ， (2)①证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ② (3) 【分析】（1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）①先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ②作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． 【详解】（1）解：联立二次函数与直线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①略 ②如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴， 解得，这与矛盾，故舍去； ②当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得（负值舍去）， 综上所述，． 36．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为，先求出直线的函数解析式为，则点的坐标为，使用割补法表示出的面积，得到关于的关系式，求出的面积最大时，点的坐标，从而得到点的坐标．由轴对称的性质可得，，，因此．根据两点之间，线段最短，可得当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值，使用勾股定理计算即可； （3）根据题意可得，抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到，则．当点在直线下方时，作射线交轴于点，容易证明，则点的坐标为，求出的函数解析式，再与抛物线联立，求出点的坐标．当点在直线上方时，作，且，容易证明，从而得到点的坐标为，经过分析可得，点即为所求的点． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （3）解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，函数的平移规律，解一元二次方程，轴对称的性质，线段和最值问题，熟练掌握相关知识是关键． ◆题型10 二次函数与特殊四边形 37．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∵抛物线顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过点作轴， ∴当时，， 解得：，， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作于点， 则， ∴，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵以、、、为顶点的四边形是梯形， ∴当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，此时点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 38．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 39．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当矩形为正方形时，求的值； (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)， (3)，，， (4)或 【分析】本题主要考查二次函数的应用、矩形的性质、一元二次方程、不等式等知识点，熟练应用分类讨论思想和掌握相关知识并正确解读题意是解题的关键． （1）将代入中求得c，结合对称轴求得b即可； （2）由（1）知，结合题意知和，列出等式求解即可； （3）由（2）知，，解二元一次方程求得，结合为正方形的性质得，列出方程求解即可； （4）分五种情况：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面时；当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面，在点上面时；当点在直线的右边，点在点和x轴上面，在点上面时；分析出符合题意的情况即可求解即可． 【详解】（1）解：将代入中 解得：． ∵对称轴为直线， ∴，解得， 则该抛物线的解析式； （2）解：由（1）知 由题意知、， 点与点重合时，， 解得：，； （3）解：由（2）知，， 令，解得， ∴， ∵矩形为正方形， ∴， ∴ 即或， 解得，，，； （4）解：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图，不合题意； 当点在直线的左边，对称轴的右边，且点在x轴下面、在点上面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意； 当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意； 当点在直线的左边，点在点和x轴下面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图， 此时，且，解得； 当点在直线的右边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图， 此时，且，解得； 综上，或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大． 40．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，或 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． （2）解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． （3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． ◆题型11 利用二次函数的对称性求最短路径 41．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)面积为1． 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． （2）解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． （3）解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． 42．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； (3)若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)当最小时点的坐标为 (3)点的坐标为，最大面积为 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入求解； （2）根据对称性将求的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短求解； （3）过点向轴作垂线，交于点，将点设出来，利用两点之间的距离求出的长度，再将的面积表示出来，利用二次函数的顶点式求出最值． 【详解】（1）解：分别将点，代入二次函数中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，点关于对称轴对称， ∴， 则， 当三点共线时，取得最小值， 此时点为直线与抛物线对称轴的交点； 设直线的表达式为， 分别将，代入中， 得，解得， 直线的表达式为； 二次函数的对称轴为， 将代入，解得， 点的坐标为． （3）解：如图所示，过点向轴作垂线，交于点， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线的下方， ∴， 则， ∴， ∴当时，取得最大值， 此时，， ∴点的坐标为，最大面积为． 43．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或； (3)和的最小值为， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求得点B坐标，进而求得，设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可； （3）根据抛物线的对称性得到，则，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为；求得直线的函数解析式为，求出当时的y值即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，，，， ∴满足条件的点P的坐标为或或或； （3）解：∵点A和点B关于对称轴对称，点M在对称轴上， ∴， ∴，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为； 如图， 设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为． 44．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； （3）连接，根据列式计算即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点 ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴； （3）解：连接， ∵，，， ． 一、选择题 1．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的最大值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值． 2．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将向左平移2个单位，得， 再向下平移1个单位，得， 展开整理得． 3．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）下列关于抛物线的说法中不正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．对称轴是直线 D．该抛物线对应的函数有最大值是 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线，故A、C选项正确； ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故B选项正确； ∵抛物线开口向上， ∴函数有最小值，为，无最大值，故D选项错误． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式求出的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：把代入中， 得， ， . 5．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）下表列出的是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．下列各选项中，正确的是（     ）． A．当时，随的增大而增大 B．抛物线的开口向下 C．函数的最小值小于 D．方程的根为和 【答案】D 【分析】通过已知点求二次函数解析式，再判断各选项正误即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， A、当时，随的增大而减小，错误； B、由得抛物线开口向上，错误； C、根据，则函数的最小值等于，错误； D、令，得，解得，， 即方程的根为和，正确． 6．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）某工厂生产一种产品，日利润y（万元，负值表示亏损）与日产量x（百件）之间近似满足二次函数关系．当日产量为3百件和5百件时，日利润分别为a万元和b万元．若，且，则n的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合与确定、的正负，再代入二次函数列不等式求解的取值范围． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵且， ∴，，即且， 解，得， 解，得， ∴， 故选项C符合题意． 7．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形对角线相等，把求的最小值转化成求抛物线上点到轴的最小距离即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 轴， 的最小值为， 的最小值为． 8．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别确定重叠部分的形状，求出与的函数关系式，进而判断图象． 【详解】解：小等腰直角三角形的面积为． 当时，小三角形完全在大三角形内部，重叠部分面积等于小三角形面积，即； 当时，小三角形右侧移出大三角形，重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为，． 综上所述，关于的函数图象在时为水平线段，在时为开口向上的抛物线的一部分，且随增大减小，变化率逐渐变小． 即y关于x的函数图象大致是． 二、填空题 9．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是关键． 将函数表达式化简为一般形式，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，从而求解． 【详解】解：， ∵该函数为二次函数， ∴其二次项系数， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 11．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较距离即可得到大小关系． 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， 由对称轴公式可得对称轴为直线， 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 13．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 14．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论： 水面宽度； 拱桥的最大高度是； 若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条； 其中，正确结论是______．（填序号） 【答案】 【分析】令求出的值判断；将解析式配方成顶点式判断；令求出的值计算安全宽度，结合赛道宽度判断． 【详解】解：令，则， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故正确； ∵龙舟最高处距离水面，安全距离至少， ∴龙舟通过时桥拱高度至少为， 令，则， 整理得， 解得，， ∴安全通行的水平宽度为， ∵每条赛道宽度为， ∴最多可设计赛道，取整数为条，故结论错误； 综上所述，正确结论是． 15．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】到轴距离为的点满足，即对应和，存在四个点说明两个方程都有两个不相等实根，且原函数为二次函数，分别计算判别式即可得到取值范围． 【详解】解：∵图象上点与轴距离为， ∴，即或． ∵若为一次函数，其图象与直线和最多共有2个交点，要得到四个点，原函数必为二次函数， ∴，得，且和对应的一元二次方程都要有两个不相等的实数根． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 综上，的取值范围是且． 三、解答题 16．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)为任意实数，试判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】(1)； (2)点在这个二次函数的图象上． 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将代入求出的值，即可得解； （2）将代入函数解析式判断即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式： 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：把代入得，， 故点在这个二次函数的图象上． 17．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； (3)如果当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 的值为或 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，求出的值，再将的值代入解析式即得答案； （2）先求出抛物线的对称轴为，开口向上，判断出当时，随的增大而增大，从而求得答案； （3）抛物线的对称轴为，开口向上，故当时，的最大值为，即当时，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 由 得顶点坐标为； （2）解： ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即； （3）解：由（2）知抛物线对称轴为直线，开口向上， 又当时，的最大值为， 且， 即当时，， 代入得：， 化简得：， 解得：． 18．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1)； (2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方； (3) 的最大值为米． 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式； 第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进； 第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值． 【详解】（1）解：由题意，顶点． 设顶点式，顶点为： 把代入： ∴，即． （2）解：车最高点离地，令： 在到顶点这一段，取． 该位置向右可利用的水平长度为． ， ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 点在抛物线上，在直线上，轴： 设,则 时，取得最大值： 答：的最大值为米． 【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入． 19．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 碗体DEC的抛物线解析式可设为， 轴，， ， ， ， ， 解得， 碗体DEC的抛物线解析式为； （2）解：根据题意可知， ， ， ， ， 设直线的关系式为 则解得 ， 解得，， 当时，，即点，舍去； 当时，，即点； 故，． 20．（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）根据矩形的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定的值． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的最值问题、矩形的性质以及函数交点与中点问题，熟练运用二次函数的性质、矩形的相关性质及分类讨论思想是解答本题的关键． 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $