周周练03 第六章二次函数综合训练（数学新教材苏科版九年级下册）

2026-2027学年九年级下学期数学周周测03 第六章二次函数综合训练 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 3．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y2＜y1 D．无法确定 4．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 5．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．如果的图象是抛物线，那么m＝ _______ ． 8．已知二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点（﹣1，m）和（1，m+2），则实数m的取值范围是_________ ． 9．将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_____ ． 10．二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b+1的值等于_________ ． 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根是_______________ ． 12．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 ___________ ． 13．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为_______ ． 14．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 _______ ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表达式为y＝x2﹣bx+b+1． （1）当b＝4时，求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 16．（10分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用26米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为____________ 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为150平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测03 第六章二次函数综合训练 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 3．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y2＜y1 D．无法确定 4．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 5．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 7．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如果的图象是抛物线，那么m＝ _______ ． 10．已知二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点（﹣1，m）和（1，m+2），则实数m的取值范围是_________ ． 11．将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_____ ． 12．二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b+1的值等于_________ ． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根是_______________ ． 14．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 ___________ ． 15．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为_______ ． 16．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 _______ ． 17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是 ___________ ． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 _____ ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当y＝0时，求自变量x的值． 20．（8分）已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表达式为y＝x2﹣bx+b+1． （1）当b＝4时，求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点． （1）当y1＝y2＝0时，求x1+x2的值； （2）当x1＝3，x2＝4时，比较y1与y2的大小； （3）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 22．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用26米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为____________ 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为150平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 23．（8分）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．（8分）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m，拱高CD为6m． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离． 25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1）N（m+2，y2）为二次函数y＝ax2+bx+3图象上两点． （1）求二次函数的表达式． （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点D，求PDDC的最大值． 26．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）a＝_____ ，点C（0，_______ ）； （2）P是该抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），设点P的横坐标为m． ①连接AC，若∠BCP+45°＝∠BAC，求m的值； ②过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．当时．线段PQ的长随m的增大而增大，求t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测03 第六章二次函数综合训练 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 【分析】二次函数的基本表示形式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．二次函数最高次必须为二次． 【解答】解：A：最高次项为一次，不符合题意； B：最高次项为一次，不符合题意； C：满足二次函数的定义，符合题意； D：y不是整式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义．掌握相关定义即可． 2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 【分析】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的顶点坐标为（h，k），由此可解． 【解答】解：∵根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的顶点坐标为（h，k）， ∴抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4）， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y2＜y1 D．无法确定 【分析】先求得函数的对称轴为y轴，再判断（﹣2，y1），（1，y2）离对称轴距离，从而判断出y1，y2的大小关系． 【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的对称轴为y轴， ∴（﹣2，y1），（1，y2）在对称轴两侧， ∵抛物线开口向下，且|﹣2|＞|1|， ∴y1＜y2， 故选：A． 【点评】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴，进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 5．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【分析】把（1，3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，即可得到mn+1＝﹣（m﹣1）2+2，根据二次函数的性质即可得到代数式mn+1有最大值2． 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 【分析】先求出抛物线的对称轴，得出x＝4比x＝1距离对称轴远，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别求出当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值，然后再根据函数的最大值与最小值之差为8，求出a的值． 【解答】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x2， 则x＝4比x＝1距离对称轴远， 当a＞0时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在x＝4时取得最大值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则3﹣（﹣4a+3）＝8， 解得a＝2， 当a＜0时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在x＝4时取得最小值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则﹣4a+3﹣3＝8， 解得a＝﹣2， 综上所述，a＝2或a＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质和最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先观察二次函数的图象，抛物线开口向上，当x＞0时，函数在y轴右侧单调递增，x＝0时 y＝3，所以x＞0时y＞3． 【解答】解：二次函数yx2+2x+3，a0，开口向上， x2， 当x＞0时，y随x增大而增大， 当x＝0，y＝3，因此x＞0时，y＞3， 选项里只有4满足y＞3， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与增减性．熟练掌握二次函数对称轴和增减性判断是解题的关键． 8．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0，再根据a、b、c的符号，即可得出y＝cx2+ax+b的大致图象． 【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0， 所以y＝cx2+ax+b的图象大致是：抛物线开口向上，图象与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的正负． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如果的图象是抛物线，那么m＝ 　﹣1　 ． 【分析】根据二次函数的性质得出m2+1＝2且m﹣1≠0，然后解方程和不等式得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意得m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 10．已知二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点（﹣1，m）和（1，m+2），则实数m的取值范围是m＜﹣1　 ． 【分析】把点的坐标代入解析式得到，两式相加得a＝m+1，结合a＜0即可求得m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点（﹣1，m）和（1，m+2）， ∴， ①+②得2a＝2m+2，即a＝m+1， ∵a＜0， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 11．将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是　3　 ． 【分析】先根据平移的规律写出抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点可得Δ＝0，由此列出关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度得y＝x2﹣6x+12﹣m， ∵平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点， ∴Δ＝0， 即（﹣6）2﹣4（12﹣m）＝0， 解得m＝3．， 故答案为：3． 【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 12．二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b+1的值等于　2028　 ． 【分析】由点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数图象上，可知a，b是方程x2﹣2x﹣2024＝﹣1的两个根，利用根与系数的关系可得a+b＝2，再将点A代入二次函数解析式，得到a2＝2a+2023，将其代入所求式子变形后即可求值． 【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上， ∴a，b是方程x2﹣2x﹣2024＝﹣1的两个根， ∴x2﹣2x﹣2023＝0， 由根与系数的关系得a+b＝2， 将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2024得： a2﹣2a﹣2024＝﹣1， ∴a2＝2a+2023， ∴原式＝2a+2023+2b+1＝2（a+b）+2024＝2×2+2024＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根是x1＝0，x2＝﹣4　 ． 【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝﹣2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝﹣2时，y均为﹣2，即可求解． 【解答】解：从表格看，函数的对称轴为x＝﹣2， 根据函数的对称性，当x＝0时和x＝﹣2时，y均为﹣2， 故一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根x＝0或﹣4， 故答案为x1＝0，x2＝﹣4． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，确定函数的对称轴是解题的关键． 14．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 　（﹣1，0）　 ． 【分析】把二次函数化简，再把含有m的项提公因式m，然后令m的系数为0求得横坐标，最后求出对应的纵坐标即可得到定点A的坐标． 【解答】解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣x2+mx﹣x+m＝﹣x2+m（x+1）﹣x， ∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，函数图象恒过定点， 此时y＝﹣1+1＝0， ∴定点A的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可． 15．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　﹣4　 ． 【分析】由二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则关于x轴对称的函数y＝﹣ax2+bx﹣2有最小值﹣8，再向上平移4个单位得到y＝﹣ax2+bx+2，则最小值为﹣4． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx﹣2有最小值﹣8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最小值﹣4， ∴当x时，y＝﹣ax2+bx+2有最小值﹣4， ∴当x﹣3时，函数y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 　﹣4　 ． 【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的性质得到关于b的方程，解方程即可． 【解答】解：二次函数 y＝x2+bx+2b﹣3 的对称轴为x， ①当1即b＞2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝1﹣b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣13（舍去）； ②当﹣12即﹣4≤b≤2时，x的函数值最小，y最小b22b﹣3＝﹣15， 解得b＝12（舍去）或b＝﹣4， ③当2即b＜﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝4+2b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣4， 综上，b的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，关键是找到分类标准，一般以对称轴对应的值与范围的两个端点值比较大小． 17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是 　﹣3≤x≤0　 ． 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）， ∴不等式ax2+c≥kx+m的解集是﹣3≤x≤0， 故答案为：﹣3≤x≤0． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 　9　 ． 【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得AB长度，由抛物线的对称性可得点D，C的坐标，从而可得m的值，由四边形ABCD的面积为（AB+CD）•OA求解． 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+m， ∴抛物线对称轴为直线x2， ∴AB＝4， ∵AB+CD＝6， ∴CD＝6﹣4＝2， ∴由抛物线的对称性可得点D坐标为（1，0），点C坐标为（3，0）， 将（1，0）代入y＝﹣x2+4x+m得0＝﹣1+4+m， 解得m＝﹣3， ∴OA＝3， ∴四边形ABCD的面积为（AB+CD）•OA6×3＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数图象与系数的关系． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当y＝0时，求自变量x的值． 【分析】（1）根据二次函数的定义得到k﹣2≠0，k2﹣2＝2，进而求解即可； （2）当y＝0时，﹣4x2+4x+8＝0，求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知k﹣2≠0，k2﹣2＝2， ∴k≠2，k＝±2， 即k＝﹣2； （2）由（1）可得，该二次函数为y＝﹣4x2+4x+8， 当y＝0时，﹣4x2+4x+8＝0， ∴x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 20．（8分）已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表达式为y＝x2﹣bx+b+1． （1）当b＝4时，求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为y＝x2﹣b（x﹣1）+1，可得当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝2，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）当b＝4时，把函数解析式化为顶点式可得： y＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 此时该函数的顶点坐标为（2，1）； （2）∵y＝x2﹣bx+b+1＝x2﹣b（x﹣1）+1， ∴当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝2， ∴该定点坐标为（1，2）； （3）将抛物线解析式配方可得： ，且1＞0， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当b＝2时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点． （1）当y1＝y2＝0时，求x1+x2的值； （2）当x1＝3，x2＝4时，比较y1与y2的大小； （3）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后分当a＞0时和当a＜0时两种情况讨论，根据抛物线的增减性比较大小即可； （3）先表示出y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），根据已知可得x1﹣x2＜0，分两种情况讨论：若a＞0和若a＜0，根据x1+x2的取值范围列式求解即可． 【解答】解：（1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点． 当y1＝y2＝0时，x1，x2是一元二次方程ax2﹣4ax+c＝0的两个根， ∴． （2）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）， ∴抛物线的对称轴为直线． 当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵x2＞x1＞2， ∴y2＞y1； 当a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵x2＞x1＞2， ∴y2＜y1； （3）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2， ＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4a（x1﹣x2） ＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）， ∵a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3， ∴x1＜x2，2a+2＜x1+x2＜2a+5， ∴x1﹣x2＜0， ∵y1＜y2， ∴y1﹣y2＜0，即a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0， ∴a（x1+x2﹣4）＞0， 若a＞0，则x1+x2﹣4＞0，即恒有x1+x2＞4， ∴2a+2≥4，解得a≥1； ∴a≥1； 若a＜0，则x1+x2﹣4＜0，即恒有x1+x2＜4， ∴2a+5≤4，解得； ∴； 综上，a的取值范围是a≥1或． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 22．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用26米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（45﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为150平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【分析】（1）根据栅栏总长度＝3倍CD长度+AD长度﹣2个门的宽，列式即可； （2）先确定x的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为S，则S＝x（45﹣3x）＝﹣3x2+45x，再根据二次函数的性质求解即可； 【解答】解：（1）∵CD＝x米， 根据栅栏总长度＝3倍CD长度+AD长度﹣2个门的宽，列式：3x+AD﹣2＝43， ∴AD＝（45﹣3x）米； 故答案为：（45﹣3x）； （2）∵AB＝CD＝x，AB侧墙最大可用15米， ∴x≤15， ∵AD＝（45﹣3x）米，AD侧墙最大可用26米， 故45﹣3x≤26， 解得， ∴， ∵矩形面积为CD•AD＝150， ∴x（45﹣3x）＝150， ∴x2﹣15x+50＝0， 解得x1＝10，x2＝5（不符合要求，舍去）， ∴x＝10； （3）设实验田面积为S， 则S＝x（45﹣3x）＝﹣3x2+45x， 开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴x＝7.5时，S取得最大值，此时AD＝45﹣3×7.5＝22.5，符合AD≤26的要求， ∴代入x＝7.5，得S＝﹣3×7.52+45×7.5＝168.75， ∴实验田的最大面积为168.75平方米． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（8分）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据“用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个”，求解即可； （2）根据利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据题意，得 50， 解得x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意， ∴2x＝2×2＝4， 答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元； （2）设售价定为t元，利润为y元，根据题意得， y＝（t﹣4）[200]＝﹣20（t﹣10）2+720， ∵﹣20＜0， ∴当t＝10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用和分式方程的应用，解题的关键：（1）准确找出等量关系；（2）利用了利润＝1个蛋黄豆沙月饼所获得的利润×销售量列式． 24．（8分）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m，拱高CD为6m． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离． 【分析】（1）以拱顶C为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点在原点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2，将点B的坐标代入即可求得a的值； （2）水面宽为28m时，水面与抛物线的交点的横坐标为±14，将x＝14代入即可求得交点的纵坐标，从而可求得此时拱顶C到水面的距离． 【解答】解：（1）如图， 以C为原点，CD所在直线为y轴，过点C垂直于CD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则拱顶C（0，0），A（﹣15，﹣6），B（15，﹣6）． 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2（a＜0）． 将点B（15，﹣6）的坐标代入，得﹣6＝a•152， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）当水面宽为28m时，水面与抛物线的交点的横坐标为±14． 当x＝14时，， ∴拱顶C到水面的距离为． 答：此时拱顶C到水面的距离为． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用——拱桥问题，正确得出二次函数图象上点的坐标是解题关键． 25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1）N（m+2，y2）为二次函数y＝ax2+bx+3图象上两点． （1）求二次函数的表达式． （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点D，求PDDC的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数表达式，分别写出M、N两点的函数值y1、y2，进而得出y1+2y2的表达式，再通过根的判别式判断是否存在实数m使等式成立； （3）作DE⊥y轴于E，利用二次函数解析式求得C的坐标，即可证得OB＝OC，从而求得∠OCB＝45°，得出DECD，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则D（t，﹣t+3），那么PDDC＝﹣t2+3t+t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： ∵M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点， ∴y1＝﹣m2+2m+3， y2＝﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝﹣m2﹣2m+3， ∴y1+2y2＝﹣m2+2m+3+2（﹣m2﹣2m+3） ＝﹣3m2﹣2m+9， ∵y1+2y2＝10， ∴﹣3m2﹣2m+9＝10， 即3m2+2m+1＝0， ∴Δ＝22﹣4×3×1＝﹣8＜0， ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10． （3）如图，作DE⊥y轴于E， ∵二次函数为y＝﹣x2+2x+3， ∴C（0，3）， ∵B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝45°， ∴DECD， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC为y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则D（t，﹣t+3）， ∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∵DE＝ CD＝t， ∴PDDC＝﹣t2+3t+t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， ∵a＝﹣1＜0，0＜t＜3， ∴当t＝2时，PDDC有最大值4． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）a＝　1　 ，点C（0，　﹣3　 ）； （2）P是该抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），设点P的横坐标为m． ①连接AC，若∠BCP+45°＝∠BAC，求m的值； ②过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．当时．线段PQ的长随m的增大而增大，求t的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①由（1）在y轴上取点D（0，﹣1），连接BD，可证明△AOC≌△DOB（SAS），推导出∠BCP＝∠CBD，过C点作CP∥BC交抛物线于点P，直线CP与抛物线的交点为P（，）；在x轴上取点E（1，0），连接CE，可证明△OCE≌△OBD（SAS），直线CE与抛物线的交点为P（5，12）； ②求出Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝﹣（m）2，当0＜m时，线段PQ的长随m的增大而增大，此时t＞0且t，可得0＜t≤1；当m＞3或m＜0时，PQ＝（m）2，当m＞3时，线段PQ的长随m的增大而增大，此时t＞3． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c中， ∴， 解得， 故答案为：1，﹣3； （2）①由（1）可知y＝x2﹣2x﹣3， ∵点P的横坐标为m， ∴P（m，m2﹣2m﹣3）， 在y轴上取点D（0，﹣1），连接BD， ∴OD＝OA＝1， ∵OB＝CO＝3， ∴△AOC≌△DOB（SAS）， ∴∠CAO＝∠ODB， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝45°， ∴∠ODB＝∠OAC＝45°+∠CBD， ∵∠BCP+45°＝∠BAC， ∴∠BCP＝∠CBD， 过C点作CP∥BC交抛物线于点P， 设直线BD的解析式为y＝kx﹣1， ∴3k﹣1＝0， 解得k， ∴yx﹣1， ∴CP的解析式为yx﹣3， 当x2﹣2x﹣3x﹣3时，解得x＝0或x， ∴P（，）； 在x轴上取点E（1，0），连接CE， ∴OE＝OD＝1， ∵CO＝BO＝3， ∴△OCE≌△OBD（SAS）， ∴∠OCE＝∠OBD， ∴∠BCE＝∠DBC， ∴直线CE的解析式为y＝3x﹣3， 当3x﹣3＝x2﹣2x﹣3时，解得x＝0或x＝5， ∴P（5，12）； 综上所述：P点坐标为（，）或（5，12）， ∴m的值为5或； ②∵PQ∥y轴， ∴Q（m，m﹣3）， 当0＜m＜3时，PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m）2， 当0＜m时，线段PQ的长随m的增大而增大， ∴t＞0且t， ∴0＜t≤1； 当m＞3或m＜0时，PQ＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m＝（m）2， 当m＞3时，线段PQ的长随m的增大而增大， ∴t≥3； 综上所述：0＜t≤1或t≥3． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测03 第六章二次函数综合训练 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 【分析】二次函数的基本表示形式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．二次函数最高次必须为二次． 【解答】解：A：最高次项为一次，不符合题意； B：最高次项为一次，不符合题意； C：满足二次函数的定义，符合题意； D：y不是整式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义．掌握相关定义即可． 2．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 【分析】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的顶点坐标为（h，k），由此可解． 【解答】解：∵根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的顶点坐标为（h，k）， ∴抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4）， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．已知点（﹣2，y1），（1，y2）都在函数y＝﹣2x2的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y2＜y1 D．无法确定 【分析】先求得函数的对称轴为y轴，再判断（﹣2，y1），（1，y2）离对称轴距离，从而判断出y1，y2的大小关系． 【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的对称轴为y轴， ∴（﹣2，y1），（1，y2）在对称轴两侧， ∵抛物线开口向下，且|﹣2|＞|1|， ∴y1＜y2， 故选：A． 【点评】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴，进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 5．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【分析】把（1，3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，即可得到mn+1＝﹣（m﹣1）2+2，根据二次函数的性质即可得到代数式mn+1有最大值2． 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a≠0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（　　） A．4或﹣4 B．3或﹣3 C．2或﹣2 D．1或﹣1 【分析】先求出抛物线的对称轴，得出x＝4比x＝1距离对称轴远，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别求出当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值，然后再根据函数的最大值与最小值之差为8，求出a的值． 【解答】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x2， 则x＝4比x＝1距离对称轴远， 当a＞0时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在x＝4时取得最大值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则3﹣（﹣4a+3）＝8， 解得a＝2， 当a＜0时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在x＝4时取得最小值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则﹣4a+3﹣3＝8， 解得a＝﹣2， 综上所述，a＝2或a＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质和最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．如果的图象是抛物线，那么m＝ 　﹣1　 ． 【分析】根据二次函数的性质得出m2+1＝2且m﹣1≠0，然后解方程和不等式得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意得m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 8．已知二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点（﹣1，m）和（1，m+2），则实数m的取值范围是m＜﹣1　 ． 【分析】把点的坐标代入解析式得到，两式相加得a＝m+1，结合a＜0即可求得m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象经过点（﹣1，m）和（1，m+2）， ∴， ①+②得2a＝2m+2，即a＝m+1， ∵a＜0， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 9．将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是　3　 ． 【分析】先根据平移的规律写出抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点可得Δ＝0，由此列出关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度得y＝x2﹣6x+12﹣m， ∵平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点， ∴Δ＝0， 即（﹣6）2﹣4（12﹣m）＝0， 解得m＝3．， 故答案为：3． 【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 10．二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b+1的值等于　2028　 ． 【分析】由点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数图象上，可知a，b是方程x2﹣2x﹣2024＝﹣1的两个根，利用根与系数的关系可得a+b＝2，再将点A代入二次函数解析式，得到a2＝2a+2023，将其代入所求式子变形后即可求值． 【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上， ∴a，b是方程x2﹣2x﹣2024＝﹣1的两个根， ∴x2﹣2x﹣2023＝0， 由根与系数的关系得a+b＝2， 将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2024得： a2﹣2a﹣2024＝﹣1， ∴a2＝2a+2023， ∴原式＝2a+2023+2b+1＝2（a+b）+2024＝2×2+2024＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根是x1＝0，x2＝﹣4　 ． 【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝﹣2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝﹣2时，y均为﹣2，即可求解． 【解答】解：从表格看，函数的对称轴为x＝﹣2， 根据函数的对称性，当x＝0时和x＝﹣2时，y均为﹣2， 故一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根x＝0或﹣4， 故答案为x1＝0，x2＝﹣4． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，确定函数的对称轴是解题的关键． 12．已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为 　（﹣1，0）　 ． 【分析】把二次函数化简，再把含有m的项提公因式m，然后令m的系数为0求得横坐标，最后求出对应的纵坐标即可得到定点A的坐标． 【解答】解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣x2+mx﹣x+m＝﹣x2+m（x+1）﹣x， ∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，函数图象恒过定点， 此时y＝﹣1+1＝0， ∴定点A的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可． 13．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　﹣4　 ． 【分析】由二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则关于x轴对称的函数y＝﹣ax2+bx﹣2有最小值﹣8，再向上平移4个单位得到y＝﹣ax2+bx+2，则最小值为﹣4． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx﹣2有最小值﹣8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最小值﹣4， ∴当x时，y＝﹣ax2+bx+2有最小值﹣4， ∴当x﹣3时，函数y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 　﹣4　 ． 【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的性质得到关于b的方程，解方程即可． 【解答】解：二次函数 y＝x2+bx+2b﹣3 的对称轴为x， ①当1即b＞2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝1﹣b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣13（舍去）； ②当﹣12即﹣4≤b≤2时，x的函数值最小，y最小b22b﹣3＝﹣15， 解得b＝12（舍去）或b＝﹣4， ③当2即b＜﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝4+2b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣4， 综上，b的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，关键是找到分类标准，一般以对称轴对应的值与范围的两个端点值比较大小． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表达式为y＝x2﹣bx+b+1． （1）当b＝4时，求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为y＝x2﹣b（x﹣1）+1，可得当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝2，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）当b＝4时，把函数解析式化为顶点式可得： y＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 此时该函数的顶点坐标为（2，1）； （2）∵y＝x2﹣bx+b+1＝x2﹣b（x﹣1）+1， ∴当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝2， ∴该定点坐标为（1，2）； （3）将抛物线解析式配方可得： ，且1＞0， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当b＝2时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 16．（10分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用26米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（45﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为150平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【分析】（1）根据栅栏总长度＝3倍CD长度+AD长度﹣2个门的宽，列式即可； （2）先确定x的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为S，则S＝x（45﹣3x）＝﹣3x2+45x，再根据二次函数的性质求解即可； 【解答】解：（1）∵CD＝x米， 根据栅栏总长度＝3倍CD长度+AD长度﹣2个门的宽，列式：3x+AD﹣2＝43， ∴AD＝（45﹣3x）米； 故答案为：（45﹣3x）； （2）∵AB＝CD＝x，AB侧墙最大可用15米， ∴x≤15， ∵AD＝（45﹣3x）米，AD侧墙最大可用26米， 故45﹣3x≤26， 解得， ∴， ∵矩形面积为CD•AD＝150， ∴x（45﹣3x）＝150， ∴x2﹣15x+50＝0， 解得x1＝10，x2＝5（不符合要求，舍去）， ∴x＝10； （3）设实验田面积为S， 则S＝x（45﹣3x）＝﹣3x2+45x， 开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴x＝7.5时，S取得最大值，此时AD＝45﹣3×7.5＝22.5，符合AD≤26的要求， ∴代入x＝7.5，得S＝﹣3×7.52+45×7.5＝168.75， ∴实验田的最大面积为168.75平方米． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $