专题02 二次函数与几何综合压轴问题（解答类）（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题02 二次函数与几何综合压轴问题（解答类） 题型一：二次函数与特殊三角形综合压轴 题型二：二次函数与特殊四边形综合压轴 题型三：二次函数与相似（全等）三角形综合压轴 题型四：二次函数与特殊角度综合压轴 题型五：二次函数与面积（长度）综合压轴 题型六：二次函数与几何变换综合压轴 题型七：二次函数与几何最值综合压轴 题型一：二次函数与特殊三角形综合压轴 1.（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______；(3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，(2)(3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵，∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得，∴解得，∴点； （3）解：∵，，，∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且，∴为的平分线，∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴，∴，则为等腰三角形， ∴,∴，设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：，∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），，∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，①当时，此时， ∴，∴； ②当时，∴，∴， ∴，解得：，∵，即，解得：； ③当时，此时点M与点B重合，∴不符合题意，∴此情况不存在；∴的长为1或． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求、、三点的坐标；(2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点，令，则，点； (2)四边形为平行四边形，理由如下：，，设直线的表达式为， 则，解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，，四边形为平行四边形； （3）是的中点，点，点，由（2）知，当时，的最大值为， 当时，，，设直线的表达式为，将，代入得：，解得：，直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故，而，， 则直线和直线关于直线对称，， ，，，，，， 设直线的表达式为，将，代入得： ，解得：，直线的表达式为， 联立，解得：或（不合题意，舍去）， 点，设点，，， ，，， 当时，，解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即，解得； 综上所述，点的坐标为或或． 3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式；(2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：在中，当时，，∴， ∵顶点坐标为，∴抛物线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或，∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得，∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值；设直线的解析式为， 则，∴，∴直线的解析式为， 在中，当时，，∴点P的坐标为； （3）解：设：∵，∴，， ； 当点P为直角顶点时，则，∴，解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则，∴，解得，∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则，∴，解得，∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 4．（2025·成都·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式；(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为(2)的最大值为(3) 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧，点坐标为，设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得，直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为，， 在线段上运动，点在点上方，， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴，当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3，，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 5．（2025·成都·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式；(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 (4)存在，或或或 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：，∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，把坐标代入得：，解得：， 即直线解析式为，令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，，设直线解析式为， ∴解得：，∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴，∴．   ∵直线将的面积分成两部分， ∴或，∴或， ∵，∴或∴或，∴点P的横坐标为或， 把代入得：，此时；把代入得：，此时； 综上所述，点P的坐标为或；故答案为：或 （4）解：存在，设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：（舍去）或0；此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E， 此时，，同理∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：或（舍去），∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理∴，，∴，∴点， 把点代入得：， 解得：（舍去）或；∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，，同理；∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：或0（舍去）；∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 题型二：二次函数与特殊四边形综合压轴 6．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴，解得，∴． （2）解：在中，令，得，∴，设， ∵点在直线上方，，，∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积：∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积，的面积， ∴面积， ∵，∴，∴，∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，设直线的解析式为， ∵，，∴，解得，∴直线的解析式为， 设，，∵轴，∴， ∴，∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴，∴， 如图，四边形为正方形，点在上方，连接，，交于点，则，， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴，∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，，∴， 解得或（不合题意，舍去），∴，∴， ∴点的坐标为或或． 7．（26-27九年级上·成都·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式；(2)求线段的最大值，并求此时n的值；(3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【详解】（1）解：当时，，∴点C的坐标为． 将代入中，得，∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为．将，代入中， 得解得∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，，，． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ，．，． ∵点P的横坐标为，，， ， ． ，，∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图，可知，此时N的纵坐标为4， 代入抛物线，解得或（对应点P，舍去）， 即．∴，由平行四边形对边平行且相等， 得或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，，解得：，，即 将代入得，解得​， 当时，， 当时，（舍去），∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 8.（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，，解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接，对于抛物线，当时，可有，即， 又∵，，∴，设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值，∵，∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在，此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线，∴，连接，可得， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得，所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点G， 设，则，，， ∴，解得（舍去），或，∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵，∴，，∴， ，∴，， ∴，，∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M，∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点，∴直线的表达式为：， 联立，解得，∴，∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 9．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为；(2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得，∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，    ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或，． ∵，且，∴当时，取得最大值， 把代入，得，∴； （3）解：，∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，． 综上，点 的坐标为． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，抛物线的顶点的坐标为，∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为， 如图：连接、、，作轴交直线于点， 设，则，∴， ∵，，，∴，， ∴ ， ∵，∴当时，最大，为，此时， ∴点的坐标为； （3）解：如图：∵，，∴，∴， 设点关于的对称点为点，则，， ∴，∴点和点关于直线对称， ∴，∴，∴，即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，∴， 设，∵，，， ∴，解得：或， 当时，，由矩形的性质可得此时， 当时，，由矩形的性质可得此时；综上所述，点的坐标为或． 题型三： 二次函数与相似（全等）三角形综合压轴 11.（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标；(3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：，解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设，在中，令得，， 由，得直线BC解析式为，，，∵， ，，， ，， ，抛物线对称轴为直线，轴，， ， ，当时，的最大值为，此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下：如图： 由，得直线CD解析式为， 令得，，， 直线OC是线段BM的垂直平分线，，， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设，，，，， ，，， 当时，，解得，∴； 当时，，解得，∴． 综上所述，N的坐标为或． 12．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为；(2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：，∴， ∴，∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点，∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下，连接，设， 当时，，解得，， ∴， ∵，，，∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似，，则点在点的左侧， ， ①当时，，∴，解得，所以点N的坐标为， ②当时，，∴，解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 13．（25-26九年级上·成都·校考期中）综合与探究：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式；(2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题：①求出点P的坐标；②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)四边形的面积为5；①点P坐标为；②点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：∵，， ∴设二次函数的表达式为：， 又∵二次函数表达式为，∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：，顶点的坐标为，点C的坐标为， 将点A、C坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图，过点D作轴，交于点G，∴点，则点，∴， ∴； ①如图，过点D作轴交于点G，过点P作轴交于点H， 设点，则点，∴， ∵，抛物线开口向下，故有最大值，当时，有最大值，∴点P坐标为； ②（i）如图，当点Q在直线上方时， 设点P，Q过直线且直线，线段的中垂线与线段的交点为M，此时点M为线段中点， ∴，则点P、Q关于线段的中垂线对称，∴线段的中点， 过点M作轴交点G，直线与y轴交点H，∵，， ∴，，， ∴，∴，即， ∵，∴，∴点H的坐标为， ∵直线过点M和点H，设直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， 同理过点P平行于直线的直线的表达式为：， 联立①②并解得：，即点， ∵点N是的中点，点P坐标为，点，∴由中点公式得点； （ii）如图，当点Q在直线下方时， 当时，同理可得中垂线的表达式为：，设点坐标为， ∵点，，即：， 整理得：，解得：，（舍去），故点； 当时，，∴， 将点A、P坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的解析式为：，设直线的解析式为：，将点C坐标代入得：， ∴直线的解析式为：，设点坐标为， ∵，即：，解得（舍去），，故点为， 综上所述，点Q的坐标为或或． 14．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式；(2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】(1)(2)①点的坐标为或；②的值为或5 【详解】（1）解：把代入得：，故，则的坐标为， 把代入中 得，解得：，∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵，令，则，解得：或3，∴， 又∵，∴，，， 又轴，，，， ∵，∴，，， 当，即时，，解得：（舍去）或，故； 当，即时，，解得：（舍去）或，故， 综上，或． ②∵点，，设直线的解析式为：， 则，解得：，∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ，， ，，，，， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：，，解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示：，， ，，，， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：，， 解得：（舍去）；综上所述，的值为：或5． 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值；(2)证明：为直角三角形；(3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴， 根据题意，得，解得，故，； (2)证明：由（1）得，，∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵，∴，∴是直角三角形； （3）解：令，则，解得或，∴， ∵，点，，∴，，，∴， 当时，∵，∴， ∴，∴，解得，    过点P作轴于点F，则，∴，∴． 当时，∵，∴， ∴，∴，解得， 过点P作轴于点G，则，∴，∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 题型四： 二次函数与特殊角度综合压轴 16．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式；(2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②或(3) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴，∴，∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图所示，过点E作y轴的平行线交于点S， 在中，当时，，∴；设直线的表达式为， ∴，∴，∴直线的表达式为；设，则， ∴， ∵，∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴当有最大值时，有最大值，∴的最大值为； ②∵，∴，∴， 由（2）①可知当点M在直线上方时，的最大值为，此时不满足的面积与的面积相等；当点M在直线下方时，∵的面积与的面积相等， ∴，∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； （3）解：在中，当时，，∴； 如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴，轴，∴，，，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴B、P、G三点共线； 同理可得直线的表达式为，联立，解得或， ∴点P的坐标为． 17．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过作轴交于点，点是轴上的动点，连接，当的长度取得最大值时，求点坐标及的最小值； (3)如图2，取线段的中点为，将抛物线沿射线方向平移后经过点得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)(2)，(3)， 【详解】（1）解：把，代入函数解析式，得，解得，∴； （2）解：∵，∴当时，，∴， ∵，，∴，∴， 设直线的解析式为，把代入得，∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点，∵轴交于点，∴，， ∴为等腰直角三角形，∴，∴当最大时，的值最大， 设，则，∴， ∴当时，有最大值为，即有最大值为，∴，∴； 作，交轴于点，作于点，交直线于点，则，，，∴， ∴当点在线段上时，值最小， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，同法可得直线的解析式为， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴的最小值为； （3）解：∵为等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线方向平移后得到新抛物线，相当于将抛物线向左向下各平移个单位， ∵，∴平移后的抛物线的解析式为， ∵，为的中点，∴， 把代入，得， 解得或（舍去），∴， ∴点是由点先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到，∴， ∵的对称轴为直线，点在抛物线的对称轴上，∴， ∵，又∵，∴， 作，则，同法可得直线的解析式为， 则直线的解析式为，联立， 解得或（舍去），∴； ②设抛物线交轴于点，当时，，∴，∴， ∵点是由点先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到， ∴，∴当在内部时，，∴， 作轴于点，作轴，交于点，则，， ∴，∴，即，∴，∴， 同法可得直线的解析式为， 联立，解得或（舍去），∴； 综上：， 18．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式；(2)P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的解析式为(2)，取得最大值 (3)或 【详解】（1）解：把点和点代入得， 解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴当时，，解得，∴，， ∵，∴，∴， ∵过点P作，交于点D，∴， ∵P为线段上方抛物线上的一动点，∴设，，过作于， ∴，∴，，， ∴ ， ∴当时，取最大值，此时，即； 取点，连接，，，则， ∴，即垂直平分，∴，∵中，即， ∴当，，三点共线时，取得最大值，； （3）解：将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，则新抛物线解析式为， 联立，解得，∴新抛物线与原抛物线交于点， 过作于，交于，在线段上取一点，使，过作交于，在射线上取一点，使，连接， ∵，，，∴，∴， 设直线解析式为，代入得，解得，∴直线解析式为， 当时，，则，，， ∵，，∴， ∴，∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且，∴当点在下方时，在射线上， 设直线解析式为，代入和得，解得， ∴直线解析式为，联立，解得或， ∵，∴此时；∵， ∴当时，，则，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴， ∵M是平移后抛物线上一点，且，∴当点在上方时，在射线上， 同理求出直线解析式为，与联立得到； 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为或． 19．（24-25九年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值；(3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由得，∵，∴，则， 将，代入中， 得，解得，∴该抛物线的表达式为； （2）解：令，则，∴，，设直线的函数表达式为， 则，解得，∴直线的函数表达式为， 如图，过P作轴交直线于H，则， ∴，则当最大时，取得最大值，设，则， ∴， ∵，，∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 连接，则轴，∵M是直线PC上一动点，轴，∴， 如图，过D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴，当、N、C共线时取等号， ∴的最小值为， 设直线的函数解析式为，则，∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得，∴，则， ∴，故的最小值为； （3）解：如图，连接，由（2）知，，直线的函数表达式为， ∵轴交直线于点E，，∴，，， ∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为，∵，∴， 设直线与直线交点为M，，则， ∴，解得，则， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为， 联立方程组，整理得，解得， ∴满足条件的点F横坐标为． 20．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)；(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【详解】（1）解：把，代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设，轴，H在直线上，， ；在中，令得，令得， ，，，， 轴，，，是等腰直角三角形， ，， ，， 当时，取最大值，最大值为，此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或，， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：，解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或，， 由，可得直线函数表达式为，设， ，，，， ，，解得，， 由，可得直线函数表达式为， 联立，解得或，； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，由，得直线函数表达式为， 联立，解得或，；综上所述，的坐标为或． 题型五：二次函数与面积（长度）综合压轴 21.（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值；(3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得；∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵轴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴， 设直线的解析式为∴，解得，∴， 设，则，∴， ∴ ，∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则，设直线的解析式为， ∴，解得，∴，联立方程组， 解得或，∴，同理可求直线的解析式为， 联立方程组，解得或，∴； ∵，∴，，∴． 22．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．(1)求抛物线的函数表达式：(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)(2)的面积不存在最大值，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ∵与轴交于点，∴解得： ∴∴ （2）解：∵轴，当时， 解得：或∴；如图，过点作 依题意，点在直接的抛物线图象上运动， ∵是的中点，，∴； ∴抛物线的顶点坐标为，∴顶点坐标为到的距离为， 直线与的距离为，∵当重合时，的面积最大， 而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值 （3）解：由（2）可得到的距离为 ∵的面积为，∴∴， 如图，当在点的左侧时， ∵，∴∴，∴， ∵是中点，∴，∴， ∵折叠∴∴∴，设， 由，可得直线的解析式为；设，依题意，点在的左侧，则 ∵折叠；∴；∴；设直线的解析式为，代入， ∴，解得：，∴直线的解析式， 当时，，即的横坐标为； 设直线的解析式为，代入， ∴解得：∴ 当时，解得：，即， ∵，∴，解得：（舍去）或，∴ 当在点的右侧时，如图 ∵∴解得：（舍去）或∴ 综上所述，或 23．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；(3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点， ∴将点代入抛物线得：，解得：；∴抛物线表达式为：； （2）解：当时，，当时，，∴， 联立，∴，∴， ∵点在点左侧，∴， ∵，∴， ；，，整理得，， ∵，∴，解得：； （3）解：由题意得，，设直线，代入得，，∴， ∴直线，即， 联立得：， ∵直线与抛物线有且仅有一个公共点，∴， ∴，∴，∴， ∴直线，即，当，∴， 当，则，解得：，∴，∴， ∵与的面积之比等于，∴，∴， ∵，同理可求直线， ∵，∴，∴同理可求直线， 当，则，解得：，∴， 对于直线，同理可求， ∵，∴，∴，∴， 联立，∴，∴，∴，， ∴∴，∴，解得：， ∵，∴． 24．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)(2)2或(3) 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，，抛物线， 令，则，，又，， 第一象限点在抛物线上，设， ①若，则点和点的纵坐标相同，，解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同，，解得：或（舍去），， 代入到抛物线得，，解得：； ③若，取的中点为，则，，， 解得：或（舍去）或（舍去），， 代入到抛物线得，，解得：；综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、，， 联立， 消去整理得：，同理可得，， ， 四边形的面积， 四边形的面积与的函数关系式为． 25．（2026·安徽宣城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、．(1)求抛物线的解析式（关系式）．(2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由．(3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)(2)要寻找在第一象限外点，使得以为直角边的和相似，那么可以通过作的垂线，垂足分别为、，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点的坐标．若点为直角顶点，则点E的坐标为或，此时点不在抛物线上；若点为直角顶点，则点的坐标为或，此时点在抛物线上． (3)点D的坐标为或 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ，解得，，抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点，点坐标为， 又点坐标为，点坐标为，，， ，， 由题意，为直角边，点在第一象限外，分别以点和点为垂足，作的垂线，分别交轴和轴于点、，则另一条直角边或可在对应垂线上确定． ①当点为直角顶点时，可分两种情况讨论，即或． 设直线解析式为，将，分别代入解析式，得 ，解得，直线解析式为，令直线交轴于点， ，，，， 点坐标为．同理可得直线的解析式为， 如图，当时，， 即，解得， 设点，则，解得或（舍去），故此时点坐标为． 如图，当时，， 即，解得， 设点，则，解得或（舍去），故此时点坐标为． ②当点为直角顶点时，也可分两种情况讨论，即或． 令直线交轴于点， 同理，可得点坐标为，直线的解析式为． 如图，当时，，解得， ，解得，设点，则， 解得或（舍去），故此时点坐标为． 如图，当时，，解得，，解得， 设点，则，解得或（舍去）．故此时点坐标为． 最后，将这四个点代入抛物线中验证是否在其上： 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上； 代入，可得，故在抛物线上； 代入，可得，故不在抛物线上；综上，只有点在抛物线上． （3），，． 点为直线上方抛物线上一点，设点D的坐标为，作轴交于点， 点在直线上，点坐标为， ， ，解得或， 代入抛物线解析式得或，点的坐标为或． 题型六： 二次函数与几何变换综合压轴 26.（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标；定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【答案】(1)；(2)或或 【详解】（1）解：∵令，得，∴， ∵，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵，∴，∴或， 当为时，如图，设新的抛物线的解析式为， 抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，则， ∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称， ∴，解得：，∴新的抛物线的解析式为， ∵如图，过点作轴于点， ∵，∴，（相似证明亦可）∴设，设直线解析式为， 将代入，得，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：，，∴； 当为时，如图，同理可得新的抛物线的解析式为， 如图，过点作轴于点，同理可得直线解析式为， 联立，解得：，，∴， 综上所述，或； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，， ∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 同方法可得新的抛物线的解析式为， 设交轴于点，∵，∴，且点在轴负半轴，∴， 设直线解析式为，将，代入， 得，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：，，∴， ∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形， 当时，得，解得：； 当时，得，解得：或（大于，舍）； 综上所述，或． 27．（2025九年级上·成都·专题练习）如图，已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1． (1)求a的值及P的坐标； (2)如图（1），抛物线与抛物线关于x轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式； (3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)，P的坐标为(2) (3)当Q点坐标为或时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 【详解】（1）解：由抛物线：得，顶点P的坐标为， ∵点在抛物线上，∴，解得； （2）解：连接，作轴于H，作轴于G，∴， ∵点P、M关于点B成中心对称，∴过点B，且， ∴，∴，，∴顶点M的坐标为， 抛物线由关于x轴对称得到，抛物线由平移得到，∴抛物线的表达式为； （3）解：∵抛物线由绕x轴上的点Q旋转得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为， 作轴于H，作轴于G，作于K， ∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴． ∵点P是抛物线的顶点，∴，∴∴ ∵点N是抛物线的顶点，∴∴点F坐标为． H坐标为，K坐标为，∵顶点P的坐标为， 根据勾股定理得：， ，， ①当时，，即， 解得，∴Q点坐标为， ②当°时，，， 解得，∴Q点坐标为， ③∵，∴， 综上所述，当Q点坐标为或时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形． 28．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式；(2)若，求点的坐标；(3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 【答案】(1)(2)(3)四边形的面积是定值，这个定值为15 【详解】（1）解：抛物线平移得到新抛物线，设新抛物线的表达式为， 把和代入可得：，解得，新抛物线的表达式为； （2）解：新抛物线的表达式为， 抛物线的顶点平移到抛物线的顶点， 抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位， 设，则， 设的解析式为，它过和，则，解得， 设解析式为，它过和， 则，解得， ，，，经检验：是原方程的根， 当时，，，； （3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E， 设的解析式为，它过，则，解得，∴的解析式为； 设的解析式为，它过和， 则，解得，∴设的解析式为， 联立方程组，解得，，∴, ∴，，， ∵，是直角三角形，， 平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为， ，，， 四边形的面积是定值，这个定值为15． 29．（25-26九年级上·江西上饶·月考）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式；(2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标；(3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点．当四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线，，解得：， 抛物线过点，，抛物线解析式为． （2）解：连接， 平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上， ∴四边形是平行四边形，，设直线：， 代入点，得，直线：．令 得（舍），，将代入，可得，． （3）解：令，得：，， 分别代入中，得：，，∴，， ∵四边形是菱形，垂直平分，∵，∴， 交轴于点，交轴于点， ，，为等腰直角三角形， 设交轴于点，，作轴于点， 则，均为等腰直角三角形， ，，，∴，， 设直线的解析式为：， 代入，，即，解得：， 直线：，令， 得，（舍）， 将代入中，可得，点． 30．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标；(2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)，(2)，(3)存在，点坐标为，． 【详解】（1）解：由题意得，解得． 二次函数的解析式为．配方得，顶点坐标为． （2）解：如图，由题意知， 令，得 ，解得，点坐标为， 令，得，∴点坐标为，在中，，， 则,，又，是正三角形． ∵动点，从出发，速度为每秒2个单位长度，，点在上，坐标为， 点在上，由几何关系可知的坐标为，即． 将沿翻折后，点是关于的对称点， ∴，，∴，∴,的纵坐标与相同，为， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴点的横坐标为，． 点在抛物线上，，化简，得， ，．时，，，． （3）解：由（2）的结论可知，在中，， 当时，为的中点，为的中点， ∵，，∴ 在中，， 是直角三角形，， ，． 当在轴上时，过作交轴于点． ，．．解得， ∴，则；过作轴于， ，，． ，解得，∴，则； 在轴的其它位置时，不可能为直角三角形，不可能与相似； 综上所述：轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点坐标为，． 题型七：二次函数与几何最值综合压轴 31.（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若．①求点和点的坐标；②过点作，交于点，若时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或(2) 【详解】（1）解：①∵，，∴抛物线解析式为，∴, 当时，，解得，，∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知，当时，，∴，∴， ∵，∴，∴在中，，∴， ∵点横坐标为，∴，，∴，∴， ∴，在中，， ∴,∴，解得或，∴或； （2）解：∵点的坐标为，∴，∴，∴抛物线解析式为， ∵，，，∴， ∵，∴，， ∵，∴，过点作，垂足为， 则， ∴，解得，，∴， 过点作，使，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵，∴，∴，解得，， ∵，∴，∴． 32．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为(2)(3) 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：，∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴，∴，∴， 由旋转的性质可知：，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 设直线的解析式为，则有：，解得：，∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：，解得：，∴； （3）解：由题意可联立得：，解得：， ∴，∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 33．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．(1)求抛物线的表达式．(2)若，求的值．(3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线．将代入抛物线表达式得，即， ，，得，故抛物线的表达式为； （2）解：∵，，∴，∴，∴， 当时，，即， 设直线的表达式为，将，代入， 则，解得，则直线的表达式为，同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，，则，． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得，在中垂线上．的坐标为．设， 则，解得，即， 将点代入，得．综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有则，， ∴即．直线的表达式为， 同理直线的表达式为，则，， 即，，即， 整理得，联立直线与抛物线得到 整理得，，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 34．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式；(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】(1)(2)(3)存在，点M的坐标为或(4) 【详解】（1）解：将，代入， ，化简得，解得：，，∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：，，∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：，，∴直线的解析式为；设， ∵轴，∴，， ∵是线段的中点，∴，， 化简得：，解得：（舍去），，∴，∴； （3）解：存在，点的坐标为或．分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点． 设，则，． ∵，∴．∵，∴，∴． 又∵，∴，∴． ∵，∴．∴，解得．∴，∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则，． ∵，∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． ∵，∴，∴，解得， ∴，∴； ③当时，该情况不存在．综上所述，点的坐标为或． （4）解：设，作轴交于，交轴于， ∵直线解析式为，∴，∴， 在中，∵，，∴， ∴，（本题中的三角函数亦可用相似证明） ∵轴，轴∴，∵在中，，∴， ∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大， 此时即，过作轴于，连接， 在中，，∵，， ∴，∴， 当、、共线（即在上）时，， ∵，为到轴的距离，∴，即的最小值为． 35．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． (1)请求出直线对应函数的表达式；(2)当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，当和的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)有最小值为 【详解】（1）解：∵， ∴令，得，令，得或3，，， 设直线的解析式为，将点、点坐标代入可得，解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点， 设，则，， ，当时，四边形的面积最大值为，此时； （3）解：如图，过作于点，于点， 则，，∴，， ，，，△为等腰直角三角形， ，，∴，作，则为等腰直角三角形， ∴，∴，，过作于点， 则△为等腰直角三角形，，， 要求的最小值，则可求的最小值， 作关于轴对称点，则，， ，当且仅当、、三点共线时取等， 另根据垂线段最短可知，当时，最小， ，，△是等腰直角三角形，， ，故有最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与几何综合压轴问题（解答类） 题型一：二次函数与特殊三角形综合压轴 题型二：二次函数与特殊四边形综合压轴 题型三：二次函数与相似（全等）三角形综合压轴 题型四：二次函数与特殊角度综合压轴 题型五：二次函数与面积（长度）综合压轴 题型六：二次函数与几何变换综合压轴 题型七：二次函数与几何最值综合压轴 题型一：二次函数与特殊三角形综合压轴 1.（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______；(3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求、、三点的坐标；(2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式；(2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 4．（2025·成都·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式；(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 5．（2025·成都·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式；(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 题型二：二次函数与特殊四边形综合压轴 6．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．（26-27九年级上·成都·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式；(2)求线段的最大值，并求此时n的值；(3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8.（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型三： 二次函数与相似（全等）三角形综合压轴 11.（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标；(3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．（25-26九年级上·成都·校考期中）综合与探究：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式；(2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题：①求出点P的坐标；②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式；(2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值；(2)证明：为直角三角形；(3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型四： 二次函数与特殊角度综合压轴 16．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值；②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 17．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过作轴交于点，点是轴上的动点，连接，当的长度取得最大值时，求点坐标及的最小值； (3)如图2，取线段的中点为，将抛物线沿射线方向平移后经过点得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程． 18．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式；(2)P为线段上方抛物线上的一动点，过点P作，交于点D，点Q为y轴上一动点．当取最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)如图2，将原抛物线水平向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点K，连接．M是平移后抛物线上一点，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 19．（24-25九年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值；(3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 20．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 题型五：二次函数与面积（长度）综合压轴 21.（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值；(3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 22．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．(1)求抛物线的函数表达式：(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 23．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；(3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 24．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 25．（2026·安徽宣城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，和轴相交于点，连接、．(1)求抛物线的解析式（关系式）．(2)在第一象限外，是否存在点，使得以为直角边的和相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点，然后直接写出点的坐标，并判断是否有满足条件的点在抛物线上；若不存在，请说明理由．(3)在直线上方的抛物线上，找一点，使，并求出此时点的坐标． 题型六： 二次函数与几何变换综合压轴 26.（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标；定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 27．（2025九年级上·成都·专题练习）如图，已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1．(1)求a的值及P的坐标；(2)如图（1），抛物线与抛物线关于x轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式；(3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 28．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为．(1)求新抛物线的表达式；(2)若，求点的坐标；(3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 29．（25-26九年级上·江西上饶·月考）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式；(2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标；(3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点．当四边形是菱形时，求点的坐标． 30．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标；(2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 题型七：二次函数与几何最值综合压轴 31.（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若．①求点和点的坐标；②过点作，交于点，若时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 32．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 33．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．(1)求抛物线的表达式．(2)若，求的值．(3)直线与直线交于点，求的最小值． 34．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式；(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 35．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． (1)请求出直线对应函数的表达式；(2)当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，当和的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $