精品解析：广东佛山市南海区狮山镇英才学校2026-2027学年度第一学期 九年级数学阶段性学情自测(一)

2026-2027学年度第一学期英才学校初三数学阶段性学情自测（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 1，3 D. ，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程中， 一次项为， 一次项系数为，常数项为． 2. 如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； B、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意； D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意． 3. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 由得，即， 由得， ∴． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项，得． 配方，得．即． 5. 下列方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式判断各方程是否有实数根，筛选出无实根的选项． 【详解】解：A、方程，，有实数根，故不符合题意； B、方程，，有实数根，故不符合题意； C、方程，，无实数根，故符合题意； D、方程整理得，，有实数根，故不符合题意． 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 7. 某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：二月份营业额为万元，三月份营业额在二月份基础上增长，为万元， 一月、二月、三月营业额共万元， 列方程为． 8. 下列四条线段能成比例线段的是（　　） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 【答案】C 【解析】 【详解】分析： 根据成比例线段的定义进行分析判断即可. 详解： A选项中，因为1：12：3，所以A中的四条线段不是成比例线段； B选项中，因为1：23：4，所以B中的四条线段不是成比例线段； C选项中，因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段； D选项中，因为2：33：4，所以D中的四条线段不是成比例线段. 故选C. 点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段a、b、c、d满足a：b=c：d，我们就说线段a、b、c、d是成比例线段”是解答本题的关键. 9. 如图，已知矩形的对角线长为，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形的中位线求出的长，再求出四边形的周长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是的中点， ∴， ∴四边形的周长等于． 10. 如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 【答案】或 【解析】 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式变形为，代入已知条件计算即可 【详解】解：因为， 所以． 13. 若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为___________． 【答案】216 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，结合已知边长，利用勾股定理逆定理证明对角线互相垂直，得出该平行四边形为菱形，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：平行四边形如图所示， 设，对角线，，两条对角线交于点 平行四边形的对角线互相平分， ，， ，， ， 由勾股定理的逆定理可得，，即， 平行四边形是菱形， 则菱形的面积． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 15. 如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小． ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每道题7分，共24分 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）将常数项移到等号左边后，用因式分解法求解； （2）先去括号合并同类项化为一般式，再用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：原方程化为． 因式分解，得． 或． 解得，． 【小问2详解】 解：去括号，得， 合并同类项，得． 因式分解，得． 或． 解得，． 17. 已知：如图，分别是的中点．求证：． 【答案】证明：如图：连接， ∵分别是的中点． ∴在中，，在中，， ∴ 又∵N是的中点， ∴． 【解析】 【分析】如图：连接，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得、，即；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：略． 18. 如果，那么k的值是多少？ 【答案】 的值为或 【解析】 【分析】需分与两种情况，结合比例的等比性质求解． 【详解】解： ∵，且分式有意义 ∴，， 分两种情况讨论： （1）当时， 根据等比性质 ∴ ∴； （2）当时， ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，的值为或． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在矩形中，连接，点E在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成基本作图：过点E作的垂线，交于点O，交于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可； （2）通过证明，得，又根据，则可证四边形是平行四边形，再证明，则可证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得， 因尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 23. 数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． （1）______； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）的长为 （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，由折叠可知：，，，再求得，设与相交于点I，证明是的垂直平分线，得到，则，根据等腰三角形的判定与性质可得结论； （3）如图，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，则根据四边形的内角和为求得，根据菱形的性质和角平分线的性质定理得到，进而证明，进而根据全等三角形的性质得到，过点N作于点K，然后根据等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当最小时，面积最小，即时，面积最小，进而利用菱形的性质和直角三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，设与相交于点I， 由折叠可知，，，， 由（1）得， ， ，， 是等腰直角三角形，又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，过点N作于点K， ， ， 在菱形中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ， ， 菱形空地的边长为， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期英才学校初三数学阶段性学情自测（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 1，3 D. ，3 2. 如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列四条线段能成比例线段的是（　　） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，2，3，3 D. 2，3，4，5 9. 如图，已知矩形的对角线长为，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的周长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 12. 若，则______． 13. 若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为___________． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 15. 如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每道题7分，共24分 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知：如图，分别是的中点．求证：． 18. 如果，那么k的值是多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在矩形中，连接，点E在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成基本作图：过点E作的垂线，交于点O，交于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 23. 数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． （1）______； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $