广东佛山市南海区狮山镇英才学校2026-2027学年度第一学期 九年级数学阶段性学情自测(一)

态度决定一切，信心面对一切，决心战胜一切，行动成就一切！ 2026-2027学年度第一学期英才学校初三数学阶段性学情自测（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数和常数项分别是（　　） A．2，-3 B．2，3 C．1，3 D．-1，3 2．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 3．已知关于x的方程(k-3)x|k|-1-3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．-3 D．不能确定 4．用配方法解方程x2+6x+1=0时，配方结果正确的是（　　） A．(x-3)2=10 B．(x-3)2=8 C．(x+3)2=10 D．(x+3)2=8 5．下列方程无实数根的是（　　） A．x2+6x=0 B．2x2+4x+1=0 C．x2-3x+5=0 D．(x-2)2=3 6．已知m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2020 B．2021 C．-2021 D．-1 7．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为（　　） A．200(1+x)2=1000 B．200+200(1+x)+200(1+x)2=1000 C．200+200×3x=1000 D．200+200×2x=1000 8．下列四条线段是成比例线段的是（　　） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，2，3，3 9．如图，已知矩形ABCD的对角线长为10cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．30cm 10．如图，将面积为30的矩形ABCD放在平面直角坐标系中，若顶点B、D的坐标分别为(0，-1)、(0，9)，则顶点C的坐标为（　　） A．(3，8) B．(4，8) C．(3，7) D．(4，7) 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.根据下表： x -3 -2 -1 … 4 5 6 x2-bx-5 13 5 -1 … -1 5 13 确定方程x2-bx-5=0的解的取值范围是_______________. 12.若，则=__________. 13.若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为_________. 14.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________. 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是__________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每道题7分，共24分 16.解方程：(1)x2-2x=3； (2)x(x-2)+x-2=0. 17.如图，∠ABC=∠ADC=90°，点M，N分别是AC，BD的中点，求证：MN⊥BD. 18.如果，那么k的值是多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E在BC边上，且满足AE平分∠CAB，∠ACD=60°. (1)用尺规完成基本作图：过点E作AC的垂线，交AC于点O，交AD于点F，连接CF.（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是菱形. 20.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21.已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，满足x1+x2=2x1x2+5，求k的值. 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分. 22.“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力. 【学习研究】材料1：定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1<x2)，以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点. 材料2：解决含参数（如m，k，t等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点(x0，y0)都满足直线方程.如直线y=kx+k+1可化为y=(x+1)k+1，所以直线恒过(-1，1)点. 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程x2-7x+6=0的衍生点M的坐标为__________. 【尝试应用】 (2)关于x的一元二次方程x2-2(m+2)x+m2+4m=0， ①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点M的坐标. ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，直接写出直线解析式y1=________. ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题.在②的条件下，若已知另一个函数y2=x2-5x+6，请求出y1-y2的最大值. 【拓展提高】 (3)是否存在b、c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+3(2-k)的图象上.若有请直接写出b、c的值；若没有，请说明理由. 23.数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动. 【动手操作】 如图1，将边长为6cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q.打开铺平，连接PQ、PD、PH.若点P的位置恰好使得PH⊥AC. 【探究提炼】 (1)∠PHC=______°； (2)求CQ的长； 【类比迁移】 (3)如图2，某学校有一块边长为32m的菱形空地ABCD，其中∠BCD=60°.现打算在空地中修建步道AC，MN，ND，DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN=ND.请问步道MN，ND，DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由. 1/24 学科网（北京）股份有限公司 $