第6章 二次函数（5考点+9易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版九年级下册

第6章 二次函数 知识点一 二次函数的概念与解析式 1. 二次函数：形如 (a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数。 2. 解析式： （1）三种解析式： ①一般式：； ②顶点式：，其中二次函数的顶点坐标是； ③交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标。 （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式。 知识点二 二次函数的图象与性质 二次函数的图象和性质 图象 [来源: 开口 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小. 当时，随x的增大而减小； 当时，随x的增大而增大. 最值 ，＝. ，＝. 系数 决定抛物线的开口方向及开口大小 当时，抛物线开口向上； 当0时，抛物线开口向下. 决定对称轴（）的位置 当同号，，对称轴在轴左边； 当时， =0，对称轴为轴； 当异号，，对称轴在轴右边． 决定抛物线与y轴的交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在正半轴上； 当时，抛物线经过原点； 当时，抛物线与轴的交点在负半轴上. 决定抛物线与轴的交点个数 时，抛物线与轴有2个交点; 时，抛物线与轴有1个交点; 时，抛物线与轴没有交点 知识点三 二次函数的平移、翻折与旋转 1. 二次函数的平移： 平移方式（＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(xh) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(xh+n) 2+k 左加 向右平移个单位 y=a(xn)2+b(xn)+c y=a(xhn)2+k 右减 向上平移个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(xh)2+k+n 上加 向下平移个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(xh)2+kn 下减 2. 二次函数的翻折与旋转： 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(xh)²+k 绕顶点旋转180° y= a(xh)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= a(x+h)² k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y=a(xh)² k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、k不变，h变号 知识点四 二次函数与方程、不等式 1. 二次函数与一元二次方程： 一元二次方程的解就是二次函数图象与轴交点的横坐标. 与 0的关系 二次函数与轴交点个数 一元二次方程根的情况 2个交点 有两个不相等的实数根 1个交点 有两个相等的实数根 0个交点 没有实数根 2. 二次函数与不等式： 抛物线在轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的的所有值就是不等式的解集；在轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的的值就是不等式的解集。 知识点五 二次函数的应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤 ①审：仔细审题，理清题意； ②设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； ③列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； ④解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； ⑤检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.方法技巧总结 ①利用二次函数解决面积最值：先设线段变量，列出面积的二次函数，求出顶点横坐标并结合自变量实际取值范围，再确定面积最值。 ②抛物线形问题：建立平面直角坐标系，把实际条件转化为抛物线上点的坐标，求出抛物线解析式，再代入求值或利用性质求解。 ③销售利润问题：找准单件利润与销量，列出利润二次函数，结合自变量实际范围求利润最值。破题口诀：单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售量，注意售价、销量的取值限制。 ④利用二次函数解决动点问题：用时间表示动点线段长，列出对应函数，结合自变量取值范围，分类讨论求解。 ⑤利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 易错点1 概念易错 1. 核心条件：，只要二次项系数为，则不是二次函数。 2. 必须是整式，排除分式、根式。 3. 化简后再判断，不要只看原式表面，先去括号、合并同类项，看化简后的最高次数。 4. 最高次数只能是2，不能高于2。 【对点训练】1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 易错点2 对称轴与增减性 1. 对称轴公式：，容易漏掉负号，错写成。 2. 减性的分界线是对称轴，不是轴！ 3. 开口方向决定增减趋势 （开口向上）：对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大； （开口向下）：对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小。 4. 比较两点函数值大小，优先看两点是否在对称轴同侧 同侧：直接按增减性比较； 异侧：先用对称性，转化到对称轴同一侧再比较，不能直接对比横坐标大小。 5. 给定自变量范围时，增减变化只在这个区间内生效，不能拿整个抛物线的增减规律，脱离给定范围判断。 【对点训练】3．抛物线经过点和原点，该抛物线的对称轴是（     ） A．轴 B． C． D． 【对点训练】4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 易错点3 最值问题 1. 顶点最值是全体实数范围内的最值，一旦限定自变量范围，不一定能取到顶点！ 2. 分三种情况判断： - 对称轴在取值范围内：顶点处取最值； - 对称轴在范围左边：函数在范围上只增或只减，最值在右端点； - 对称轴在范围右边：函数在范围上只增或只减，最值在左端点。 3. 分清最大、最小由开口方向决定：顶点是最小值；顶点是最大值，极易记反。 4. 范围端点能不能取要看不等号：<、>取不到该点；、才可以取到端点的函数值。 5. 实际应用题（利润、面积、动点）一定要先求自变量取值范围，长度、价格、时间都有现实限制，不能直接套用顶点结果。 【对点训练】5．二次函数的最小值为________． 【对点训练】6．已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错点4 与轴交点 1. 抛物线与轴交点的横坐标，是方程的根；交点坐标是、，不要只写数字，漏掉纵坐标。 2. 判断交点个数： ，2个交点；，只有一个交点（顶点落在轴上）；，没有交点。 3. 求两交点之间的线段长：，必须带绝对值，长度不能为负数。 4.区分：和轴交点、和轴交点。y轴交点永远是，不要混为一谈。 【对点训练】7．抛物线与x轴的交点坐标为____________． 【对点训练】8．关于的二次函数与轴没有交点，则的最小整数值是____________ 易错点5 图象与系数符号判断 1. 看开口：开口向上，开口向下。 2. 直接看图像左右判断符号，忘记必须结合一起判断。 3. 看抛物线与轴交点，当成和轴交点判断；混淆是交点纵坐标，不是线段长度。 4. 误判为没有交点。 5. 特殊代数式取值，代错的值，式子写错；不会反向根据函数值正负判断代数式符号。 6. 多个结论辨析题：一个结论错误，不要连带误判其他结论；不能凭直观感觉，要用式子推导。 【对点训练】9．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【对点训练】10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 易错点6 实际应用题 1. 先求自变量取值范围：长度、售价、销量、时间等都大于0；同时结合题干限制，比如售价不能低于进价、篱笆总长有限制，不符合范围的解直接舍去。 2. 区分解析式里的变量含义 - 面积题：靠墙模型分清是还是，错写平行墙边长； - 销售题：单件利润=售价-进价；涨价销量减少、降价销量增加，容易把销量变化写反；总利润=单件利润×销量。 3. 最值不能直接取顶点：算出顶点横坐标，一定要检验它是否落在自变量取值范围内；不在范围内，最值在区间端点。 4. 建系类抛物线问题（拱桥、隧道、投篮），没有说顶点在原点时，不能默认顶点为原点；建系不同，点坐标、解析式完全不同；坐标有正负，代入计算注意符号。 5. 结果要贴合实际，求出的长度、价格一般不取负数；部分场景如人数、件数要取整数；答句带上单位。 6. 单位统一：题干单位不一致时，没有先换算就列式计算。 【对点训练】11．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【对点训练】12．某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 易错点7 平移变换 1. 平移口诀：左加右减，上加下减，核心易错：左加右减只针对单独的，不是整个括号外的。 2. 看清平移对象：是图像平移，不是点的坐标反向平移；图像左移，对应自变量加；图像右移，自变量减。 3. 平移不改变开口大小与方向：的值保持不变。 4. 一般式平移，建议先化成顶点式再平移；直接对一般式加减很容易符号出错。 5. 多步平移顺序不能乱：先左右、再上下，或者先上下、再左右都可以，但加减对应位置不能混淆。 【对点训练】13．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】14．将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 易错点8 动点问题 1. 设动点时间，必须先确定的取值范围，根据起点、终点，找到的上下界；或者超过运动终止时刻的情况直接舍去，很多同学直接忽略范围。 2.表示线段长度时，分清“往哪个方向运动”，距离 = 速度×时间；当动点折返、超过定点时，线段长要用差的绝对值表示，长度不能为负。 3. 求出点坐标后，一定要检验，检验该点是否在对应线段/抛物线上、动点是否还在有效运动区间内，不符合条件的坐标要舍去。 4. 审题看清限制条件，比如“在线段上”和“在直线上”是不一样的；直线上点更多，线段上只有区间内的点才有效。 【对点训练】15．如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点 ，则的值为__________． 【对点训练】16．如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 易错点9 存在性问题 1. 凭图像直观只画一种情况，漏解。 2. 在坐标系里，横坐标、纵坐标正负不要搞错；平行四边形利用中点公式时，中点坐标公式套用出错。 3. “在线段上”和“在直线上”是不一样的；直线上点更多，线段上只有区间内的点才有效。 4. 分类讨论要标注清楚类别。 【对点训练】17．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【对点训练】18．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 若，是抛物线上两点，则； 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，则________． 7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）将抛物线沿轴翻折后，再向右平移个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标为_______． 8．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）“科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 9．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 10．（2026九年级上·上海·专题练习）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象，则当直线与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是________________． 三、解答题 11．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴． 12．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： (1)当时，的取值范围________； (2)此二次函数的解析式是________________； (3)当时，的最大值是________； (4)当时，的取值范围是________； 13．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 14．（26-27九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于 ？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为 ，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小． 15．（2026九年级上·上海·专题练习）如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； 16．（2026九年级上·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 二次函数 知识点一 二次函数的概念与解析式 1. 二次函数：形如 (a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数。 2. 解析式： （1）三种解析式： ①一般式：； ②顶点式：，其中二次函数的顶点坐标是； ③交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标。 （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式。 知识点二 二次函数的图象与性质 二次函数的图象和性质 图象 [来源: 开口 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小. 当时，随x的增大而减小； 当时，随x的增大而增大. 最值 ，＝. ，＝. 系数 决定抛物线的开口方向及开口大小 当时，抛物线开口向上； 当0时，抛物线开口向下. 决定对称轴（）的位置 当同号，，对称轴在轴左边； 当时， =0，对称轴为轴； 当异号，，对称轴在轴右边． 决定抛物线与y轴的交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在正半轴上； 当时，抛物线经过原点； 当时，抛物线与轴的交点在负半轴上. 决定抛物线与轴的交点个数 时，抛物线与轴有2个交点; 时，抛物线与轴有1个交点; 时，抛物线与轴没有交点 知识点三 二次函数的平移、翻折与旋转 1. 二次函数的平移： 平移方式（＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(xh) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(xh+n) 2+k 左加 向右平移个单位 y=a(xn)2+b(xn)+c y=a(xhn)2+k 右减 向上平移个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(xh)2+k+n 上加 向下平移个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(xh)2+kn 下减 2. 二次函数的翻折与旋转： 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(xh)²+k 绕顶点旋转180° y= a(xh)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= a(x+h)² k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y=a(xh)² k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、k不变，h变号 知识点四 二次函数与方程、不等式 1. 二次函数与一元二次方程： 一元二次方程的解就是二次函数图象与轴交点的横坐标. 与 0的关系 二次函数与轴交点个数 一元二次方程根的情况 2个交点 有两个不相等的实数根 1个交点 有两个相等的实数根 0个交点 没有实数根 2. 二次函数与不等式： 抛物线在轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的的所有值就是不等式的解集；在轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的的值就是不等式的解集。 知识点五 二次函数的应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤 ①审：仔细审题，理清题意； ②设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； ③列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； ④解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； ⑤检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.方法技巧总结 ①利用二次函数解决面积最值：先设线段变量，列出面积的二次函数，求出顶点横坐标并结合自变量实际取值范围，再确定面积最值。 ②抛物线形问题：建立平面直角坐标系，把实际条件转化为抛物线上点的坐标，求出抛物线解析式，再代入求值或利用性质求解。 ③销售利润问题：找准单件利润与销量，列出利润二次函数，结合自变量实际范围求利润最值。破题口诀：单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售量，注意售价、销量的取值限制。 ④利用二次函数解决动点问题：用时间表示动点线段长，列出对应函数，结合自变量取值范围，分类讨论求解。 ⑤利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 易错点1 概念易错 易错提醒 1. 核心条件：，只要二次项系数为，则不是二次函数。 2. 必须是整式，排除分式、根式。 3. 化简后再判断，不要只看原式表面，先去括号、合并同类项，看化简后的最高次数。 4. 最高次数只能是2，不能高于2。 【对点训练】1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、中的最高次数为2，右边为整式，是二次函数； B、中的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； C、是一元二次方程，不是关于的函数，不是二次函数； D、的右边为分式，是反比例函数，不是二次函数． 【对点训练】2．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 易错点2 对称轴与增减性 易错提醒 1. 对称轴公式：，容易漏掉负号，错写成。 2. 减性的分界线是对称轴，不是轴！ 3. 开口方向决定增减趋势 （开口向上）：对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大； （开口向下）：对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小。 4. 比较两点函数值大小，优先看两点是否在对称轴同侧 同侧：直接按增减性比较； 异侧：先用对称性，转化到对称轴同一侧再比较，不能直接对比横坐标大小。 5. 给定自变量范围时，增减变化只在这个区间内生效，不能拿整个抛物线的增减规律，脱离给定范围判断。 【对点训练】3．抛物线经过点和原点，该抛物线的对称轴是（     ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴把代入解析式得，把代入解析式得， 将代入上式，得， ∴对称轴为直线． 【对点训练】4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为； 又， . 易错点3 最值问题 易错提醒 1. 顶点最值是全体实数范围内的最值，一旦限定自变量范围，不一定能取到顶点！ 2. 分三种情况判断： - 对称轴在取值范围内：顶点处取最值； - 对称轴在范围左边：函数在范围上只增或只减，最值在右端点； - 对称轴在范围右边：函数在范围上只增或只减，最值在左端点。 3. 分清最大、最小由开口方向决定：顶点是最小值；顶点是最大值，极易记反。 4. 范围端点能不能取要看不等号：<、>取不到该点；、才可以取到端点的函数值。 5. 实际应用题（利润、面积、动点）一定要先求自变量取值范围，长度、价格、时间都有现实限制，不能直接套用顶点结果。 【对点训练】5．二次函数的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．本题二次函数开口向上，顶点纵坐标即为最值，代入公式或者配方都可以． 【详解】， 开口向上，当时有最小值． 【对点训练】6．已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵当时，；当时，， ∵， ∴的最小值为． ∴的取值范围是． 易错点4 与轴交点 易错提醒 1. 抛物线与轴交点的横坐标，是方程的根；交点坐标是、，不要只写数字，漏掉纵坐标。 2. 判断交点个数： ，2个交点；，只有一个交点（顶点落在轴上）；，没有交点。 3. 求两交点之间的线段长：，必须带绝对值，长度不能为负数。 4.区分：和轴交点、和轴交点。y轴交点永远是，不要混为一谈。 【对点训练】7．抛物线与x轴的交点坐标为____________． 【答案】， 【分析】抛物线与轴交点的纵坐标为，令求解一元二次方程，即可得到交点横坐标． 【详解】解：对于抛物线，令， 得， 因式分解得， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 【对点训练】8．关于的二次函数与轴没有交点，则的最小整数值是____________ 【答案】 【分析】先整理二次函数为一般形式，根据二次函数定义得二次项系数不为0，再结合函数与轴无交点得判别式小于0，解不等式得到的取值范围，即可求出的最小整数值． 【详解】解：整理二次函数得： ∵ 该函数是关于的二次函数． ∴ 二次项系数不为0，即，解得． ∵ 二次函数与轴没有交点 ∴ 根的判别式 将，，代入得： 解得：． ∴的最小整数值是． 易错点5 图象与系数符号判断 易错提醒 1. 看开口：开口向上，开口向下。 2. 直接看图像左右判断符号，忘记必须结合一起判断。 3. 看抛物线与轴交点，当成和轴交点判断；混淆是交点纵坐标，不是线段长度。 4. 误判为没有交点。 5. 特殊代数式取值，代错的值，式子写错；不会反向根据函数值正负判断代数式符号。 6. 多个结论辨析题：一个结论错误，不要连带误判其他结论；不能凭直观感觉，要用式子推导。 【对点训练】9．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 【对点训练】10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，根据对称轴可得，则可得①错误；将点代入函数的解析式即可得②正确；根据二次函数的对称性可得③错误；根据二次函数的最值可得④正确；根据二次函数的对称性可得抛物线经过点，据此可得⑤正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，则说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则说法②正确； ∵，是抛物线上的两点，且， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴，则说法③错误； 当时，， 由二次函数的图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴，则说法④正确； ∵抛物线经过点，且其对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴，则说法⑤正确； 综上，正确的结论是②④⑤． 易错点6 实际应用题 易错提醒 1. 先求自变量取值范围：长度、售价、销量、时间等都大于0；同时结合题干限制，比如售价不能低于进价、篱笆总长有限制，不符合范围的解直接舍去。 2. 区分解析式里的变量含义 - 面积题：靠墙模型分清是还是，错写平行墙边长； - 销售题：单件利润=售价-进价；涨价销量减少、降价销量增加，容易把销量变化写反；总利润=单件利润×销量。 3. 最值不能直接取顶点：算出顶点横坐标，一定要检验它是否落在自变量取值范围内；不在范围内，最值在区间端点。 4. 建系类抛物线问题（拱桥、隧道、投篮），没有说顶点在原点时，不能默认顶点为原点；建系不同，点坐标、解析式完全不同；坐标有正负，代入计算注意符号。 5. 结果要贴合实际，求出的长度、价格一般不取负数；部分场景如人数、件数要取整数；答句带上单位。 6. 单位统一：题干单位不一致时，没有先换算就列式计算。 【对点训练】11．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】设矩形花圃的宽为米，长为米，根据篱笆总长与墙长的关系列出与的等量关系，构建面积关于的二次函数，结合确定自变量取值范围，利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：设米，米， ∵篱笆总长为米，墙米，且其余部分用篱笆围成， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 解得， 又， ∴， 设矩形花圃面积为平方米， ， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时， ∴， 即矩形花圃面积的最大值是平方米． 【对点训练】12．某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，从图中读取信息，则，设点是原点，得到点，的坐标；设二次函数的解析式为：，求出解析式；再根据水面上升米，则，代入函数解析式，求出，即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， 由题意得，，， ∵抛物线关于轴对称， ∴， 设点是原点， ∴点，， 设二次函数的解析式为：， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当水面上升米交抛物线，交于点， ∴， ∴， 解得：， ∴点，， ∴， ∴水面宽度为米． 易错点7 平移变换 易错提醒 1. 平移口诀：左加右减，上加下减，核心易错：左加右减只针对单独的，不是整个括号外的。 2. 看清平移对象：是图像平移，不是点的坐标反向平移；图像左移，对应自变量加；图像右移，自变量减。 3. 平移不改变开口大小与方向：的值保持不变。 4. 一般式平移，建议先化成顶点式再平移；直接对一般式加减很容易符号出错。 5. 多步平移顺序不能乱：先左右、再上下，或者先上下、再左右都可以，但加减对应位置不能混淆。 【对点训练】13．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得． 【对点训练】14．将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则计算得到新抛物线的解析式． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式，， ∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴根据平移规则，对自变量左移加，对常数项上移加， 可得． 易错点8 动点问题 易错提醒 1. 设动点时间，必须先确定的取值范围，根据起点、终点，找到的上下界；或者超过运动终止时刻的情况直接舍去，很多同学直接忽略范围。 2.表示线段长度时，分清“往哪个方向运动”，距离 = 速度×时间；当动点折返、超过定点时，线段长要用差的绝对值表示，长度不能为负。 3. 求出点坐标后，一定要检验，检验该点是否在对应线段/抛物线上、动点是否还在有效运动区间内，不符合条件的坐标要舍去。 4. 审题看清限制条件，比如“在线段上”和“在直线上”是不一样的；直线上点更多，线段上只有区间内的点才有效。 【对点训练】15．如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点 ，则的值为__________． 【答案】 【分析】由函数图象终点可知运动总时间为，即；由图象最高点可知最大面积为，此时点到达点，点在上，可得；联立解得；当时，点在上，点在上，求出的值；当时，点在上，点在上，利用面积割补法列方程求解． 【详解】解：由图2可知，当时，，即两点相遇停止运动， ， 由图2可知，的最大值为，此时点运动到点，点运动到边上， ，即， ， ∴联立， 解得， ∴当时，点在上，点在上， 此时，； 当时，点在上，点在上， 此时， ； 当时，点在上，点在上， 此时，，， ； ∵图象经过点 ， ∴结合图2函数图象可知，当时，，当时，，且， ∴， 整理得， ， 解得， ∵， ∴． 【对点训练】16．如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息． 连接，过点D作于点G；当点P在线段上运动时，在中，，则，函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大；由此得，，由勾股定理求得，再证明，即可求解， 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， 当点P在线段上运动时， 在中，，则， ∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大； 当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而， ∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大， ∴结合图象知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 易错点9 存在性问题 易错提醒 1. 凭图像直观只画一种情况，漏解。 2. 在坐标系里，横坐标、纵坐标正负不要搞错；平行四边形利用中点公式时，中点坐标公式套用出错。 3. “在线段上”和“在直线上”是不一样的；直线上点更多，线段上只有区间内的点才有效。 4. 分类讨论要标注清楚类别。 【对点训练】17．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； （2）解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； （3）解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 【对点训练】18．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 一、单选题 1．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不能仅通过表达式表面是否含判断，需先化简各选项，再结合二次函数的定义逐一验证． 【详解】解：A选项，的右边为分式，不是整式，不是二次函数． B选项，化简得，的最高次数为1，是一次函数． C选项，化简得，右边为整式，的最高次数为2，且二次项系数为，是二次函数． D选项，中的最高次数为1，是一次函数． 2．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；b矛盾，故选项A不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；故选项B符合题意； C、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；a矛盾，故选项C不符合题意； D、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；a矛盾，故选项D不符合题意． 4．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 5．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 若，是抛物线上两点，则； 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性等知识解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点为，设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得，则抛物线与x轴的另一个交点为， ∵，二次函数开口向下， ∴抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 故当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 当时，直线与抛物线的交点位于第一象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， ，故④错误； ∵二次函数开口向下， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵点，都在抛物线上，且， ∴，故⑤正确， 综上，正确的有3个． 二、填空题 6．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可以得到，根据可得：或，根据可得，从而确定的值． 【详解】解： 函数是关于的二次函数. 满足条件， 解方程， 可得：， 解得：或， ， ， . 7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）将抛物线沿轴翻折后，再向右平移个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】先配方求出原抛物线的顶点坐标，再根据沿x轴翻折的坐标变化得到翻折后的顶点，最后利用平移规律计算得到新顶点坐标． 【详解】解：对原抛物线配方得：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线沿轴翻折后，顶点横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数， ∴翻折后顶点坐标为 ∵再向右平移个单位长度，向右平移时横坐标加，纵坐标不变， ∴新顶点横坐标为，纵坐标为， ∴ 所得新抛物线的顶点坐标为． 8．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）“科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 【答案】或 【分析】令，将函数值代入与的关系式中解一元二次方程，求出自变量的值即可． 【详解】解：令，则， 整理得，， 因式分解得，， 解得，． 当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为或． 9．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据的正负分类讨论，确定最小值的位置，代入计算得到的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵在区间内，分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，即时， 代入得， 整理得， 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 在中，离对称轴更远， ∴时取得最小值， 代入得， 整理得， 解得； 综上，的值为或． 10．（2026九年级上·上海·专题练习）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象，则当直线与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是________________． 【答案】或 【分析】先求出经过、、三个点的二次函数表达式为，由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，， 当时，， 解得：，， ∴图象与坐标轴的交点为，，， 设经过、、三个点的二次函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴经过、、三个点的二次函数表达式为． 如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象得，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或． 三、解答题 11．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的解析式为；图像的顶点坐标为；对称轴为直线． 【分析】先由待定系数法求解函数解析式，再配方成顶点式，即可求解顶点坐标和对称轴． 【详解】解：将点和代入， 可得 解得 ∴二次函数的解析式为 而 ∴图像的顶点坐标为，对称轴为直线． 12．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： (1)当时，的取值范围________； (2)此二次函数的解析式是________________； (3)当时，的最大值是________； (4)当时，的取值范围是________； 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次函数的对称性求出另一个与轴的交点坐标，根据图象确定答案； （2）利用对称轴公式求出的值，再将点代入求出的值，即可求出二次函数的表达式； （3）先判定与对称轴的位置关系，利用二次函数的增减性求解； （4）先判定与对称轴的位置关系，利用二次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：∵二次函数关于直线对称， ∴设二次函数与轴相交的另一个交点的横坐标为， 则， 解得， 即二次函数与轴相交的另一个交点坐标为， 由图象可知当或时，． （2）解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴，解得， ∴， 将点代入中，得， 解得， ∴． （3）解：由题可知，二次函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴是直线，， ∴在时，随的增大而减小， ∴二次函数在处取得最大值． （4）解：当时，在对称轴直线的两侧，且二次函数开口向下， ∴在处取得最大值， ， ∵二次函数开口向下，离对称轴越远，的值越小，且， ∴二次函数在处取得最小值， ∴当时，． 13．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长米、宽米的长方形菜地，如图，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图，在地块中间修建一个长为米，宽为米的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)方案一中，求小路的面积； (2)方案二中，若设道路的宽为米，求菜地面积（单位：）关于的函数表达式； (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧米内（含米）的菜地．在方案二中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，请直接写出道路宽度（单位：米）的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小路面积等于总面积减去菜地面积，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先列出关于x的不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得． 14．（26-27九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在矩形中，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于 ？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为 ，写出与的函数关系式及自变量的取值范围；并求出当为何值时，的值最小． 【答案】(1)运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)，当时，最小值为． 【分析】（1）设运动时间为秒，可将，表示出来，再由三角形的面积公式列出关于的方程求解即可； （2）根据五边形的面积等于矩形减去，用表示，再通过配方法求得的最小值． 【详解】（1）解：设运动开始后第秒时，的面积等于 ． 则有，， 由得， ， 当时，，即， 解得或，符合题意， 即运动开始后第或秒时，的面积等于 ． （2）解：五边形的面积等于矩形的面积减去， ， 配方得， 当时，最小值为． 15．（2026九年级上·上海·专题练习）如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； 【答案】(1) (2)点的坐标为， 【分析】（1）由点、点的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式． （2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线，由对称轴， 得，解得， 抛物线解析式为． （2）解：将代入抛物线解析式得：， 顶点， ， ， ，， 设直线解析式为， 将点，点代入， 得 ，解得， 直线的解析式为：， 如图，设直线与对称轴的交点为， 将代入得，， 点， ， ， ， 设中边上的高为，则， ， 如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 点在过点与直线平行的直线上， 即将直线向下平移个单位长度即可得到直线， 直线的解析式为： ， 联立， 解得或， 点的坐标为，． 16．（2026九年级上·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，根据列方程求出t的值即可求E点坐标； （3）表示出，，得到，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵， 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点P的横坐标为n，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵二次项系数为，， ∴当时，有最大值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $