专题07 二次函数存在性问题12大题型46题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题07 二次函数存在性问题 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型6 二次函数中矩形的存在性问题 题型7 二次函数中菱形的存在性问题 题型8 二次函数中正方形的存在性问题 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点不确定，需分三类讨论；计算边长平方时符号易错，求出坐标后要检验三点能否构成三角形。 1．（2024·河江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解； （2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交于，    当时，，即， ∴， ∴； （2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下： 设， ∴，，， 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴或； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（2026·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴l为直线，即可求得答案； （2）设，根据题意分别表示出，，，然后分三种情况：①当BC为斜边时；②当PB为斜边时；③当PC为斜边时；即可求得答案． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：存在点P，使为直角三角形． 设，令， 解得，． ∴B点坐标为，， 则，，， 在中， ①当BC为斜边时，有，， 解得：或； ②当PB为斜边时，有，， 解得：； ③当PC为斜边时，有，， 解得：； ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、会用代数思想和勾股定理解决直角三角形的存在性问题． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上； (3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)D(1，－)；顶点D不在直线y＝－2x上 (3)存在；P1(＋1，2)，P2(－＋1，2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用抛物线顶点坐标公式求出点D的坐标，然后代入直线解析式中看是否满足直线解析式即可； （3）如解图，过点C作x轴的平行线，与该抛物线交于点P1，P2，可证△P1BC、△P2BC都是以BC为直角边的直角三角形，只需要求出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1； （2）解：∵a＝，b＝，c＝－1， ∵抛物线的顶点D坐标为(，)， ∴xD＝－＝1，yD＝＝ ， ∴D(1，)． ∵把D(1，)代入y＝－2x中，≠－2×1， ∴顶点D不在直线y＝－2x上； （3）存在． 理由：如解图，过点C作x轴的平行线，与该抛物线交于点P1，P2， ∵直线BC⊥x轴， ∴， ∴△P1BC、△P2BC都是以BC为直角边的直角三角形． 把x＝－1代入y＝－2x中得：y＝－2×(－1)＝2， ∴C(－1，2)． ∴把y＝2代入y＝x2－x－1中得x2－x－1＝2， 解得x1＝＋1，x2＝＋1． ∴P1(＋1，2)，P2(＋1，2)． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题（共3小题） 【易错】等腰三角形顶点不确定，分三种腰的情况；解方程易产生增根，要验证三点不共线、边长为正。 4．（2025·江苏盐城·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（）． (1)若，求该函数图象的顶点坐标； (2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点； (3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2) 证明：当时，， 则． ， ， ， 该函数图象与轴有两个公共点； (3)存在，， 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质和判定， 对于（1）将代入关系式，再配方可得答案； 对于（2），令得出一元二次方程，再根据根的判别式可得结论； 对于（3），由题意得，，再根据是一个以为底边的等腰三角形，可得，然后设存在点，根据线段长相等可得方程，接下来根据有两个相等的实数根可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：若，，顶点坐标为； （2）略 （3）解：存在， 由题意，得，对称轴为直线， ． 是一个以为底边的等腰三角形， ，设存在点 ． 有两个相等的实数根． ， ，． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键． （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式； （2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值； 【详解】（1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为； 故答案为：，； （2）解：的伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ，， 在中，令可解得或， ，， ，， 当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示， ，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去） 若为等腰三角形时，a的值为． 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点与腰长都要分类；利用全等或斜率计算坐标，容易遗漏另一侧的点，不检验边长关系 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：，       ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， （2）解：当时，， 解得：，， ， ，      过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 8．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【答案】(1)存在，或或或或 (2)或或 【分析】（1）由抛物线得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； （2）过点N分别作轴于D，轴于E，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 当时，， 解得或3， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∴， ， ， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 综上所述，P点坐标为或或或或； （2）解：过点N分别作轴于D，轴于E， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点N是抛物线上一动点， ∴设N点坐标为， ∴， 解得或， ∴N点坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 9．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ∴，解得 ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形． 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题（共3小题） 【易错】角可以在直线两侧，存在多解；构造辅助线转化角度时考虑不全，求得结果忘记回代验证 10．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 11．（24-25九年级下·湖南·期末）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的表达式为，将点代入，求出 ，即可得出答案； （2）先求出直线的表达式为，设，则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）连接，过点作轴于点，于点，连接得到是等腰三角形，则当点与点重合时，，过点作交轴于点，得到是等腰直角三角形，则当点与点重合时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为． 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 设，则， 当时， ， 当时， ， 综上所述，； （3）解：当时，，当时，， ∴， 连接，过点作轴于点，于点，连接，则，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当点与点重合时，，此时， 过点作交轴于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴当点与点重合时，，此时， 综上，点的坐标为或． 12．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长， 过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题（共3小题） 【易错】不确定哪两点为对角线，分类不全；利用中点公式计算坐标，忽略点是否在抛物线上或限定范围内 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点E的坐标为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则，， 将，代入抛物线解析式可得： ， 解得， 即； （2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，∴当时，有最小值，最小值为3； 此时点E的坐标为； （3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即， 当为边时，点到点的水平距离是4， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是5或， 代入抛物线解析式可得，，， 即点的坐标为或， 当为对角线时，点到点的水平距离是3， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去）， 则，即点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）令，则，即点，点，将点，点代入抛物线，即可求解； （2）由，设点，则，求出利用二次函数的性质即可求解； （3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ，， 将，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， 设点，则， ， ， ， 当时，面积最大， ； （3）解：， 抛物线的对称轴为：， 令，则， 解得：， ， ， 设点，点， ①当是平行四边形的一条边时， 当点P在对称轴的右侧时， 点M向左平移个单位向下平移个单位得到A， 同理向左平移个单位向下平移个单位得到， 即，解得：，故点； 当点P在对称轴的左侧时， 同理可得点； ②当是平行四边形的对角线时， 的中点坐标为，此坐标即为P，Q的中点坐标， 即，解得：，故点； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 题型6 二次函数中矩形的存在性问题（共3小题） 【易错】先按平行四边形分类，再加直角条件；计算斜率或勾股定理易算错，漏写点的位置情况 16．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，，其对称轴为直线，且． (1)求抛物线的解析式； (2)连接．求证：． (3)点P是x轴上的动点，点Q是直线上的动点，是否存在点P、O，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）注意是这一问的关键突破口． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且， ， 由题意得： 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如下图，连接， 抛物线与轴交于点C，顶点为D， ， 当时，， 即点， ， 由点B、C、D的坐标得：， 同理可得：， ， 为直角三角形，即； （3）存在，理由： 设直线的解析式为：， ， ， 解得： ， 直线的解析式为：， ， ， 是矩形的邻边， ， 的解析式为：， 点P、Q的坐标分别为 ． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、勾股定理逆定理、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 17．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 18．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，点的坐标为，点的坐标为．当时，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质． （1）将点代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点为，分两种情况讨论：①当时，证明即可得，可求得M的坐标，再根据矩形的性质可求得E的坐标；②当时，此时点与原点重合，而可得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在． 设点为， 分以下两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形为矩形， ∴ 解得， 点的坐标为， ②当时，此时点与原点重合， 点的坐标为． 四边形为矩形， ， 点的坐标为． 题型7 二次函数中菱形的存在性问题（共3小题） 【易错】平行四边形基础上加邻边相等；分类讨论对角线容易漏情况，算出坐标不检验四边长度 19．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 20．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 21．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 题型8 二次函数中正方形的存在性问题（共3小题） 【易错】同时满足邻边相等且夹角 90°；分类复杂易丢解，坐标运算符号出错，忽略点的范围限制 22．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； （2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形为正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 23．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，点是抛物线上任意一点，其横坐标为，当点不在轴上时，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． (1)点、坐标分别为 ； ． (2)当轴时，求的值． (3)当点在轴上方时，点到轴的距离是点到轴距离一半时，求的值． (4)以、为邻边构造正方形，当点在轴上方时，正方形的面积被轴分成时，直接写出此时的值． 【答案】(1)   (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）抛物线和轴交点的纵坐标为，令，解一元二次方程可以得到两个解，因为在的左侧，数值更大的解即对应点的横坐标，抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式，算出对应的值，即可得到点坐标； （2）因为线段绕原点顺时针旋转得到，利用坐标旋转的性质，由抛物线上点的坐标推导出点的坐标，由平行于轴的直线上所有点的纵坐标相同建立方程，整理得到一元二次方程并求解，再结合题干要求点不在轴上检验所得解，得到的取值； （3）由点位于轴上方，说明点的纵坐标大于，可以先确定的取值范围．由平面中点到轴的距离是该点横坐标的绝对值，分别写出两点到轴的距离，根据题目所给倍数关系列出含有绝对值的等式，分情况讨论解得符合取值范围条件的； （4）由旋转可知与垂直且长度相等，由此写出正方形全部顶点的坐标，正方形面积被轴分成，说明两部分面积占正方形总面积的和，从而推导出轴必然经过正方形某边的中点，分情况讨论写出对应边中点的横坐标，根据轴上的点横坐标为建立方程，解得符合点在轴上方条件的． 【详解】（1）解：令，即， ， 解得，， 点在点左侧， ，． 当时，， （2）解：如图所示，当点为抛物线上不在轴上的任意一点时， 过点作轴，过点作轴， ，， ， 同理，， 在和中， ， ， ， 点的横坐标与点的纵坐标互为相反数，点的纵坐标与点的横坐标相等， 设点坐标为，则点坐标为， 轴，绕点顺时针旋转得到线段， 如图所示，有点在轴上方或下方两种情况． 点的纵坐标相等， ， 解得或． （3）解：点在轴上方， ， 或． 点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 根据题意得，， 即，分两种情况讨论， 当两边同号时，， ， 解得或（舍去），情形如图所示， 当两边异号时，， ， 解得（舍去）或，情形如图所示， 综上，或． （4）解：正方形的面积被轴分成，即轴把正方形切成两部分，较小部分占总面积的，较大部分占总面积的， 可以推出轴过正方形一条边的中点，这条边可能是或． 设点坐标为，则可推出点坐标为，点坐标为． 情形一：中点在轴上 ，， 中点横坐标为，， ， ， 解得或， 当时，，点在轴下方，舍去； 当时，，点在轴上方，符合． 情形二：中点在轴上 ，， 中点横坐标为，， ， ， ， 解得或， 当时，，点在轴下方，舍去； 当时，，点在轴上方，符合． 综上，或． 24．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题（共3小题） 【易错】相似对应顶点不固定，必须分类；比例式写反，求出点后不验证夹角与边长比例是否匹配 25．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 26．（2026·陕西西安·三模）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 【分析】（1）令和，分别求解即可； （2）分两种情况：和，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， 当时，， ； （2）解：∵是直线与抛物线的交点， ①如图，若时，则， ， 解得：（舍去）或， ②如图，若时，过作轴于点， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ，， ，， ， ， 解得：（舍去）或 综上，符合题意的的值为或． 27．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题（共3小题） 【易错】忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；割补求面积时线段漏加绝对值，分类讨论不全 28．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为． (3)存在，或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，是以为腰的等腰三角形，分两种情况：，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， ∵为等腰三角形的腰，分情况如下： 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 29．（26-27九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求点、、的坐标及顶点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向左平移个单位得到抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)16， (3)或． 【分析】（1）令求抛物线与轴交点的横坐标，令求与轴交点的纵坐标，配方求顶点坐标； （2）先求直线的解析式，设出点的坐标并表示线段的长，配方求最大值； （3）写出平移后抛物线的解析式，用表示、、的坐标，由的面积为列方程求，注意分与两种情况讨论． 【详解】（1）解：令，得，即， ∴， ∴，， ∵点在点的左侧， ∴，， 令，得， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为（）， ∵轴，点在直线上， ∴点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：把抛物线向左平移个单位， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴或， ∴或， ∵点在点的左侧， ∴，， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴， ①当时，， ∴， ∴或（，舍去）， ②当时，， ∴或（，舍去）， ∴的值为或． 【点睛】第（2）问中把线段的长表示成关于的二次函数、用配方法求最值是通法；第（3）问平移后抛物线与轴两交点间的距离保持不变（等于原抛物线与轴两交点间的距离），把面积条件转化为后，务必分与两种情况讨论，漏掉一种会丢解． 30．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； (3)设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （2）把两点代入小问1求出的解析式，作差，可求出与的关系，进而求得的值； （3）设，连接交对称轴于点，把用含的代数式表示出来，利用三角形的面积得出关于的二次函数，化成顶点式，再根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ， 由题意得， 解得，， ∴该抛物线的函数解析式为． （2）解：由题意得，， ， ， ， ， ． （3）解：如图，∵点在抛物线上， 设，， 连接交对称轴于点， 设直线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 点坐标为， 设直线的函数解析式为， 把与代入得：， 解得： 直线的函数解析式为， ∴点坐标为， ， ，， ， 配方得， 的面积的最大值为．     提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练（共8小题） 31．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)； (2)3 (3)存在点，使得和面积相等，坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，， ∴；， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 32．（24-25九年级下·河南南阳·期中）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， (1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ； (2)若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案； （2）①将点代入，可得的值，再将代入，解方程即可； ②利用二次函数的顶点式求得和的值，即可求得答案； （3）由题意可得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即转化为在内与x轴至少有一个交点求解即可． 【详解】（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得． 故答案为：． （2）①将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：， 解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为． ②∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． （3）由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得：， 即转化为在内与x轴至少有一个交点， 函数的对称轴为,开口向上， 当时，;当时，;当时，; ①当与x轴交点的横坐标x，满足时， 则有即解得：; ②当与x轴的交点的横坐标x，满足时， 则有即解得：; 综上，的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，根的判别式的应用和新定义“三倍点”的理解与应用，根据“三倍点”的定义结合二次函数的相关性质是解题的关键． 33．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 34．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 35．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最大值可以借助于二次函数． （1）运用待定系数法求解即可； （2）求出直线的函数表达式为，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分点位于轴上方和点位于轴下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把，代入抛物线， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的函数表达式为． 把，代入，得 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴当时，有最大值． （3）解：①当点位于轴上方时． 如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点， 则． ∵为等腰直角三角形，且， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 设点的坐标为，此时，则， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； ②当点位于轴下方时． 如图2，设点的坐标为，此时， 同理得，则有， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 36．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 37．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图①，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，连接，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点，点是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最大面积，；（3）或 或 或 【分析】（1）把A,B坐标代入即可求解； （2）先求出直线AC解析式，证明△EFG是等腰直角三角形，再得到当EG最大时，面积的最大故可列出EG关于x的二次函数，即可求解； （3）根据菱形的性质作图，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）把、代入得 ，解得 ∴抛物线解析式为； （2）令x=0，解得y=3 ∴C（0,3） 设直线AC解析式为y=mx+n， 把，C（0,3）代入得 解得 ∴直线AC解析式为y=-x+3， ∵CO=OA ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO=45° ∵ ∴∠FGE=45° ∵ ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴EF=FG,EG2=EF2+FG2=2EF2 ∴S△EFG=EF×FG=EF2=EG2 ∴当EG最大时，面积的最大 设E（x, ）则G（x，-x+3） ∴EG=（）-（-x+3）=-（x-）2+ ∴当x=，EG最大值为，故此时最大面积为×（）2=，； （3）如图①AD=DP时， ∵=-（x-1）2+4 ∴D（1,4） 又A（3,0） ∴AD==DP ∴P1,P2 ②DP=AP时 设P（1，y） ∵DP2=AP2，A（3,0） ∴（4-y）2=（3-1）2+（0-y）2 解得y= ∴P3 ③当AD=AP时，设P（1，y） ∵AD2=AP2，A（3,0） ∴（2）2=（3-1）2+（0-y）2 解得y=-4（4舍去） ∴P4 综上，P点坐标为或 或 或． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、等腰直角三角形及菱形的性质． 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练（共8小题） 39．（2026·江苏盐城·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象记为，正比例函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，． (1)当时： 求、交点的坐标； 若，求的值； 要使随的增大而增大，请直接写出的取值范围． (2)当时，存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)①交点坐标为和；②的值为、或； ③的取值范围为或 (2)的取值范围为 【分析】（1）①当时先写出的解析式，再联立和的解析式组成方程组，解方程组得到两组解，对应得到、交点的坐标；②根据过点作轴的垂线分别交、于、，得到、的横坐标均为，代入各自函数解析式得到纵坐标，用两点纵坐标差的绝对值表示的长度，将代入得到绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号，分别解一元二次方程，最后综合得到的所有值；③先将的表达式配方成顶点式，分析其图象是由原抛物线沿轴将轴下方部分翻折到上方得到的，令函数值为求出图象与轴的交点，分范围讨论不同情况下对应的函数解析式、开口方向和对称轴，根据抛物线的单调性判断随增大而增大的范围，综合得到的取值范围； （2）根据、的横坐标均为，代入各自函数解析式得到纵坐标，用纵坐标差的绝对值表示的长度，令绝对值内的二次式为，确定这是开口向下的抛物线，求出抛物线与轴的交点和对称轴，根据开口向下的抛物线只有对称轴落在的范围内时才能在这个范围内取到最大值的性质，列出关于对称轴的不等式，解不等式得到的范围，再结合已知，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ①联立、的解析式，得 ， 解得或， ∴、交点的坐标为和； ②∵过点作轴的垂线分别交，于点，， ∴、， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为、或； ③，其图象由抛物线沿轴将轴下方部分翻折到上方得到，如图： 令，则，解得或， 即函数图象与轴交于、， 当时，，抛物线开口向下，对称轴为，故在时，随的增大而增大； 当或时，，抛物线开口向上，对称轴为，故在时，随的增大而增大； 综上，随的增大而增大时，的取值范围为或； （2）解：∵点在上，点在上，横坐标均为， ∴，， ∴， 令，这是开口向下的抛物线， ∵令，得， 解得，， 又∵， ∴ ∴抛物线对称轴为直线（开口向下，对称轴处是函数的最高点）， 当时，存在最大值， ∵对于开口向下的抛物线，只有当对称轴落在时，才能在取到最大值， ∴， 解得， 又∵， ∴． 40．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 41．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，二次函数的图像交轴于点、，点A坐标为与轴交于点，以、为边作矩形，点为线段上的动点，过点作轴的垂线分别交、和二次函数的图像于点、、，连结． (1)写出点B的坐标___________； (2)求线段长度的最大值； (3)试问：在上方的二次函数的图像部分是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求此时点的横坐标，并判断的形状；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，的横坐标为时，是直角三角形；的横坐标为1时，是等腰三角形 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据，得当以、、为顶点的三角形和相似时，以、、为顶点的三角形和相似，设，则，得，，①若，则，由，得，解得，此时，，，是直角三角形；②若，则，得，解得，此时，， 得， 得， 是等腰三角形． 【详解】（1）解：将A点坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时,， 解得或， 即B点坐标为， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， ∵点A坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵点M在直线上， ∴， ∵点P在二次函数的图象上， ∴， ∴()， ∴当时，取最大值3； （3）解：存在，理由： ∵， ∴， ∴当以、、为顶点的三角形和相似时，以、、为顶点的三角形和相似， ∵点P在二次函数的图象上，点F在矩形边上， 设，则， ∴，， ①若， 则， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 此时，， ∴， ∴是直角三角形； ②若， 则， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数图象性质，一次函数的图象和性质，二次函数与线段周长综合，二次函数与相似三角形综合，分类讨论，是解题关键． 42．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或； ②存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②略 ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． 43．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质、二次函数与四边形综合题等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数进行解答即可； （2）过点作轴，交直线于点，求出，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ，∴当时，取最大值27， 此时； （3）解：在抛物线：中，令，则；在直线中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 44．（2026·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 45．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，面积为3； (3) 【分析】本题考查了有关二次函数的知识，是一道综合题． （1）由函数对称轴求出m的值，代入即可求抛物线的解析式； （2）由抛物线可以求出点，，，的坐标，求所在直线解析式，当的面积为定值时，直线与所在直线平行．可得出的值，设点P在x轴上，则可得出面积的定值； （3）由抛物线的顶点求出M的最高点、最低点坐标，图象在直线上方的部分沿着直线翻折，得出三种情况，可求出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线． 对称轴为直线， ．解得． 则抛物线 （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，，则点C坐标为． 点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称， ，解得，则点D坐标为． 抛物线与轴交于、两点， ，解得，则点A坐标为，点B坐标为， 点的坐标为， 在直线上， 设所在直线解析式为， 则 则． 当的面积为定值时， 直线与所在直线平行． ．即． 设，则， 解得，则点P坐标为． 的面积为定值， ． （3）解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为． 当时，． 时M的最高点坐标为，最低点坐标为． 关于的对称点坐标为， 关于的对称点坐标为． 当时，N的最高点坐标为，最低点坐标为． 此时，不合题意舍去； 当最高点纵坐标为t时，即，． ，解得． 当 N的最高点纵坐标为t， 即，最低点纵坐标为，即时， ，解得． 综上：． 46．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式： (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点H的坐标为或 【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得，推出，，则，求出的最大值即可求解； （3）求出新抛物线的表达式为：，分当点H在x轴上方时，延长交轴于点，当点H在下方时，过点B作直线，两种情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：将、点代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）令，则， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点，代入得： ， 解得：， 直线直线的表达式为：， ∵， ∴， ∵轴交于点E，轴交于点E， ∴， ，， ∴ 设点，则， 则， 即， ， 有最大值为2，此时点； 则的周长有最大值，最大值为； （3）存在，点H的坐标为或 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，向上平移个单位， 则新抛物线的表达式为：， 连接， 当点H在下方时，过点B作直线，则点即为直线与抛物线的交点，    ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，点，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设直线的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（舍去）， ∴点H的坐标为； 当点H在x轴上方时，延长交轴于点，   ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立得到， 解得或（舍去）， 此时两点重合， ∴点H的坐标为； 综上，点H的坐标为或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数存在性问题 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型6 二次函数中矩形的存在性问题 题型7 二次函数中菱形的存在性问题 题型8 二次函数中正方形的存在性问题 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点不确定，需分三类讨论；计算边长平方时符号易错，求出坐标后要检验三点能否构成三角形。 1．（2024·河江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上； (3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由． 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题（共3小题） 【易错】等腰三角形顶点不确定，分三种腰的情况；解方程易产生增根，要验证三点不共线、边长为正。 4．（2025·江苏盐城·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（）． (1)若，求该函数图象的顶点坐标； (2)若，求证：该函数图象与轴有两个公共点； (3)该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？ 6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点与腰长都要分类；利用全等或斜率计算坐标，容易遗漏另一侧的点，不检验边长关系 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 8．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 9．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题（共3小题） 【易错】角可以在直线两侧，存在多解；构造辅助线转化角度时考虑不全，求得结果忘记回代验证 10．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级下·湖南·期末）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题（共3小题） 【易错】不确定哪两点为对角线，分类不全；利用中点公式计算坐标，忽略点是否在抛物线上或限定范围内 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 15．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 题型6 二次函数中矩形的存在性问题（共3小题） 【易错】先按平行四边形分类，再加直角条件；计算斜率或勾股定理易算错，漏写点的位置情况 16．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，，其对称轴为直线，且． (1)求抛物线的解析式； (2)连接．求证：． (3)点P是x轴上的动点，点Q是直线上的动点，是否存在点P、O，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说理由． 17．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 18．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 二次函数中菱形的存在性问题（共3小题） 【易错】平行四边形基础上加邻边相等；分类讨论对角线容易漏情况，算出坐标不检验四边长度 19．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 20．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型8 二次函数中正方形的存在性问题（共3小题） 【易错】同时满足邻边相等且夹角 90°；分类复杂易丢解，坐标运算符号出错，忽略点的范围限制 22．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 23．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，点是抛物线上任意一点，其横坐标为，当点不在轴上时，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． (1)点、坐标分别为 ； ． (2)当轴时，求的值． (3)当点在轴上方时，点到轴的距离是点到轴距离一半时，求的值． (4)以、为邻边构造正方形，当点在轴上方时，正方形的面积被轴分成时，直接写出此时的值． 24．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题（共3小题） 【易错】相似对应顶点不固定，必须分类；比例式写反，求出点后不验证夹角与边长比例是否匹配 25．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2026·陕西西安·三模）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 27．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题（共3小题） 【易错】忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；割补求面积时线段漏加绝对值，分类讨论不全 28．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（26-27九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求点、、的坐标及顶点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向左平移个单位得到抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．若的面积为，求的值． 30．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； (3)设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练（共8小题） 31．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 32．（24-25九年级下·河南南阳·期中）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， (1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ； (2)若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 33．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 34．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图①，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，连接，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点，点是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练（共8小题） 39．（2026·江苏盐城·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象记为，正比例函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，． (1)当时： 求、交点的坐标； 若，求的值； 要使随的增大而增大，请直接写出的取值范围． (2)当时，存在最大值，求的取值范围． 40．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，二次函数的图像交轴于点、，点A坐标为与轴交于点，以、为边作矩形，点为线段上的动点，过点作轴的垂线分别交、和二次函数的图像于点、、，连结． (1)写出点B的坐标___________； (2)求线段长度的最大值； (3)试问：在上方的二次函数的图像部分是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求此时点的横坐标，并判断的形状；若不存在，请说明理由． 42．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 43．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（2026·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 46．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式： (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $