培优16 切线及圆的综合（8大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优16 切线及圆的综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.切线的概念：直线和圆只有一个公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。即：切线垂直过切点的半径。 3.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径。 4.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 6.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；三角形的内心到三边的距离相等（等于内切圆半径）；直角三角形内切圆半径公式：（是斜边）。 二 解题步骤 （一）证明切线的两种常用方法 方法一：当直线与圆有明确的公共点时，连接圆心与这个公共点，证明这条半径与直线垂直； 方法二：当直线与圆的公共点不明确时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 （二）切线长定理应用步骤 第一步：找切点，确定从圆外一点引的两条切线的切点； 第二步：得等长，由切线长定理得两条切线长相等； 第三步：得角等，圆心与圆外一点的连线平分两条切线的夹角； 第四步：结合其他定理，结合勾股定理、等腰三角形、相似三角形等求解。 题型分析 题型1：切线的概念问题 【例1】  （24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-1 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 变式1-2 （2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 题型2：切线的性质和判定的应用问题 【例2】 （2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 变式2-1 （2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式2-2 （2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 题型3：证明某直线是圆的切线问题 【例3】 （26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1 （25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 变式3-2 （26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型4：应用切线长定理求解问题 【例4】 （2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式4-1 （26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 变式4-2 （25-26九年级下·四川绵阳·阶段检测）在梯形中，，，以为直径的半圆切于点M，若这个梯形的面积是，周长是，则半圆O的半径为________． 题型5：应用切线长定理求证问题 【例5】 （2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 变式5-1 （26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 变式5-2 （24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型6：圆内知识综合问题 【例6】 （2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 变式6-1 （25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 变式6-2 （2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 题型7：圆与三角形综合问题 【例7】 （26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 变式7-1 （25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 变式7-2 （2025·四川绵阳·二模）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ______． 题型8：圆与四边形综合问题 【例8】 （2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式8-1 （2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 变式8-2 （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 解题技巧 1.见切线，连半径，得垂直：这是切线问题最常用的辅助线，遇到切线立即连接切点与圆心，得到直角； 2.切线长定理的“双等”：等长（两条切线长相等）+等角（连线平分夹角）； 3.内切圆三角形的周长关系：三角形周长=2×(从一个顶点到两个切点的距离之和)； 4.直角三角形内切圆半径公式快速计算。 归纳总结 一、重点 1.切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径，这是切线计算和证明的核心依据； 2.切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是切线，证明切线的两种方法（有交点连半径证垂直、无交点作垂线证半径）； 3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心连线平分夹角； 4.三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，直角三角形内切圆半径公式； 5.圆的综合问题：切线与垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形等知识的综合应用。 二、难点 1.切线证明的辅助线选择：何时连半径、何时作垂线，需要根据题目条件判断； 2.切线长定理的灵活应用：在复杂图形中找到从同一点引出的两条切线，利用等长关系建立方程； 3.圆的综合题知识点多：切线、垂径定理、圆周角、相似三角形、四边形等多个知识点结合。 三、易错点 1.切线判定条件不完整：认为“垂直于半径的直线是切线”，忽略了“经过半径外端”这个前提； 2.切线性质与判定混淆：性质是“已知切线得垂直”，判定是“已知垂直得切线”，方向搞反； 3.切线长概念错误：切线长是线段长度，不是切线这条直线； 4.内切圆与外接圆混淆：内心是角平分线交点（到三边距离相等），外心是垂直平分线交点（到三顶点距离相等）； 5.证明切线时辅助线错误：有明确公共点却去作垂线，或没有明确公共点却去连半径； 6.切线长定理应用条件错误：必须是“从圆外一点引的两条切线”，不是任意两条切线都有切线长相等； 7.圆内接四边形性质误用：不是任意四边形都有对角互补，必须四个顶点共圆。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将切线问题转化为直角三角形问题（切线垂直半径）；将圆的综合问题转化为三角形、四边形的问题；将不规则图形面积转化为规则图形的和差。 2.数形结合思想：通过图形直观理解切线、半径、弦之间的位置关系，再用定量计算求解。圆的对称性是数形结合的重要体现。 3.方程思想：求半径、求线段长度时，常设未知数，利用勾股定理、切线长定理、全等三角形等建立方程求解。 4.分类讨论思想：动点问题中点在不同位置时结果不同，需要分类讨论；等腰三角形问题中哪条边为腰需要分类讨论。 5.建模思想：从实际问题（不倒翁、灯罩、量角器等）中抽象出圆和切线的几何模型，用数学方法解决实际问题。 6.对称思想：圆是轴对称图形，切线长定理中，圆心与圆外一点的连线是两条切线的对称轴。 同步测评 1．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 4．（2025·山东威海·二模）如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 8．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D．直线和都是的切线 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 10．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 11．（2025·广东佛山·一模）如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：_____． 12．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 13．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 14．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    15．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 16．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 17．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 18．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 19．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 20．（2026·天津南开·三模），分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长． 21．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 23．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 25．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 26．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 27．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 28．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 29．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 30．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 31．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优16 切线及圆的综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.切线的概念：直线和圆只有一个公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。即：切线垂直过切点的半径。 3.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径。 4.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 6.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；三角形的内心到三边的距离相等（等于内切圆半径）；直角三角形内切圆半径公式：（是斜边）。 二 解题步骤 （一）证明切线的两种常用方法 方法一：当直线与圆有明确的公共点时，连接圆心与这个公共点，证明这条半径与直线垂直； 方法二：当直线与圆的公共点不明确时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 （二）切线长定理应用步骤 第一步：找切点，确定从圆外一点引的两条切线的切点； 第二步：得等长，由切线长定理得两条切线长相等； 第三步：得角等，圆心与圆外一点的连线平分两条切线的夹角； 第四步：结合其他定理，结合勾股定理、等腰三角形、相似三角形等求解。 题型分析 题型1：切线的概念问题 【例1】  （24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 变式1-1 （24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 变式1-2 （2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 题型2：切线的性质和判定的应用问题 【例2】 （2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 变式2-1 （2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 变式2-2 （2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ，解得， 故的长为． 题型3：证明某直线是圆的切线问题 【例3】 （26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①直径是弦，是真命题； ②原命题缺少经过半径外端的条件，是假命题； ③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，是真命题； ④原命题缺少三点不在同一直线上的条件，是假命题； 故真命题共有2个． 变式3-1 （25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 变式3-2 （26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：为的直径， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：，，， ， ， ， ， 题型4：应用切线长定理求解问题 【例4】 （2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 变式4-1 （26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 【答案】 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆半径为， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，解得． 即的内切圆的半径为 ． 变式4-2 （25-26九年级下·四川绵阳·阶段检测）在梯形中，，，以为直径的半圆切于点M，若这个梯形的面积是，周长是，则半圆O的半径为________． 【答案】 【详解】解：如图，由切线长定理可得，， ∴， 设半圆O的半径为，则， ∵这个梯形的面积是，周长是， ∴，， ∴，整理可得：，解得：或 ， 当时，，，此时，不符合题意，舍去， ∴，即半圆O的半径为． 题型5：应用切线长定理求证问题 【例5】 （2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式5-1 （26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】见详解 【详解】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 变式5-2 （24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 题型6：圆内知识综合问题 【例6】 （2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见详解；(2)． 【详解】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ②证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中，，∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2） 证明：同②的方法． 变式6-1 （25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分 （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ，即． 变式6-2 （2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角；(2) (3)①见详解；②；③点P到的距离为或 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形． （2） （3）①解：点O在半圆上．理由如下： 如图，连接，，． ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵的直径， ∴的半径， ∴，解得：， 即， ∴点O在半圆上 ②解：∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∴， ∴． ③解：点P到的距离为或．理由如下： 如图，当点在点O的右侧时，过点作于点N，过点P作于点M． ∴， ∴， ∴， 在和中，，∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴点P到的距离为； 如图，当点在点O的左侧时，过点作于点S，过点P作于点R． 同理可证， ∴同理可得， ∴， 同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 题型7：圆与三角形综合问题 【例7】 （26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 变式7-1 （25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 变式7-2 （2025·四川绵阳·二模）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ______． 【答案】6 【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N， 设D的坐标是，P的坐标是， ∵， ∴由圆的对称性得到C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值6， 故答案为：6 题型8：圆与四边形综合问题 【例8】 （2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 变式8-1 （2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式8-2 （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2)8 【详解】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 解题技巧 1.见切线，连半径，得垂直：这是切线问题最常用的辅助线，遇到切线立即连接切点与圆心，得到直角； 2.切线长定理的“双等”：等长（两条切线长相等）+等角（连线平分夹角）； 3.内切圆三角形的周长关系：三角形周长=2×(从一个顶点到两个切点的距离之和)； 4.直角三角形内切圆半径公式快速计算。 归纳总结 一、重点 1.切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径，这是切线计算和证明的核心依据； 2.切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是切线，证明切线的两种方法（有交点连半径证垂直、无交点作垂线证半径）； 3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心连线平分夹角； 4.三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，直角三角形内切圆半径公式； 5.圆的综合问题：切线与垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形等知识的综合应用。 二、难点 1.切线证明的辅助线选择：何时连半径、何时作垂线，需要根据题目条件判断； 2.切线长定理的灵活应用：在复杂图形中找到从同一点引出的两条切线，利用等长关系建立方程； 3.圆的综合题知识点多：切线、垂径定理、圆周角、相似三角形、四边形等多个知识点结合。 三、易错点 1.切线判定条件不完整：认为“垂直于半径的直线是切线”，忽略了“经过半径外端”这个前提； 2.切线性质与判定混淆：性质是“已知切线得垂直”，判定是“已知垂直得切线”，方向搞反； 3.切线长概念错误：切线长是线段长度，不是切线这条直线； 4.内切圆与外接圆混淆：内心是角平分线交点（到三边距离相等），外心是垂直平分线交点（到三顶点距离相等）； 5.证明切线时辅助线错误：有明确公共点却去作垂线，或没有明确公共点却去连半径； 6.切线长定理应用条件错误：必须是“从圆外一点引的两条切线”，不是任意两条切线都有切线长相等； 7.圆内接四边形性质误用：不是任意四边形都有对角互补，必须四个顶点共圆。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将切线问题转化为直角三角形问题（切线垂直半径）；将圆的综合问题转化为三角形、四边形的问题；将不规则图形面积转化为规则图形的和差。 2.数形结合思想：通过图形直观理解切线、半径、弦之间的位置关系，再用定量计算求解。圆的对称性是数形结合的重要体现。 3.方程思想：求半径、求线段长度时，常设未知数，利用勾股定理、切线长定理、全等三角形等建立方程求解。 4.分类讨论思想：动点问题中点在不同位置时结果不同，需要分类讨论；等腰三角形问题中哪条边为腰需要分类讨论。 5.建模思想：从实际问题（不倒翁、灯罩、量角器等）中抽象出圆和切线的几何模型，用数学方法解决实际问题。 6.对称思想：圆是轴对称图形，切线长定理中，圆心与圆外一点的连线是两条切线的对称轴。 同步测评 1．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 4．（2025·山东威海·二模）如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：，解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即，解得， ∴． 7．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 8．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D．直线和都是的切线 【答案】C 【详解】解：点是中点， ， ， ， 垂直平分，故B正确，不符合题意； ，， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， 都是的半径，， 直线和都是的切线，故D不符合题意； 假设正确，则， ， ，无法得证， ，不正确． 故选：C． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 11．（2025·广东佛山·一模）如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：连接，∵为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切， 同理，直线与相切， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 13．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 14．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【答案】 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    15．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 【答案】 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵半径为， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 16．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的切线，切点为B，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C，连接．求证：是的切线． 【答案】见详解 【详解】证明：连接，，， ∵是的切线，切点为B， ∴，即， ∵以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点C， ∴， 在和中，，∴， ∴， 即，且为半径， ∴是的切线 17．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ，即， 又，， ． 18．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见详解；(2)6 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴的半径长为． 19．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴，展开化简得，解得， ∴． 20．（2026·天津南开·三模），分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 21．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，；(2)，的面积为． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【答案】(1)；(2)2 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2)5 【详解】（1）证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 故的长为5． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示， ∵直线、都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即的半径为． 25．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 26．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 27．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2)3 【详解】（1）条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； （2）解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴，解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为． 28．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)；(2)见详解 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 29．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， 在和中，，， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即，解得， 即的半径为． 30．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； （2）解：，， 在和中，，， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 31．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 【答案】见详解 【详解】证明：平分， ， 、都是的圆周角， 且对，对， ， 同理，平分， ， ， ， 且，， ， 即， 为，即、为的一条直径的两个端点， 为的直径． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $