培优02 圆与其他知识综合4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题02 圆与其他知识综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 圆和圆的位置关系 1 题型二、 圆与三角形的综合 5 题型三、 圆与四边形的综合 11 题型四、 圆与函数的综合 14 题型五、 隐圆问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆和圆的位置关系 1．如图，已知、的半径分别为2、4，经过点，且两圆相交于点A、B两点，连接交于D点，连接AD并延长交于C点，连接、、，下列正确的结论是（     ） A． B． C． D． 2．如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 4．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 5．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 6．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 7．如图所示，排列着圆心分别为，，，和的五个圆，相邻的两个圆互相外切．相邻圆的圆心用线段相连．已知，，，，．问半径最大的圆的圆心是哪个点？（   ） A． B． C． D． E． 8．某工厂生产圆形零件，质检标准规定：将零件放入一个半径为圆形模板中，若零件完全在模板内且与模板至少有一个接触点，则为合格品．现有半径为的零件，要保证零件合格，那么这些圆形零件的圆心必须落在（   ） A．半径为的圆内 B．半径为的圆上 C．半径为的圆外且半径为的圆内 D．半径为的圆外且半径为的圆内 9．已知线段，用尺规作大小确定的圆，使之过点，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个，1个或2个 10．如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 11．如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（   ）． A． B． C． D． 12．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 13．两圆的半径分别为，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．内切或外切 14．已知两圆没有公共点， 则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 15．如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 16．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 17．已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 18．已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 19．两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（    ） A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆 20．已知与有交点，圆心距如果的半径，那么的半径为的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 22．如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 23．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则，若两个圆内切则，已知两圆的半径分别为方程的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的最大值为________． 24．半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于______． 25．平面上三个圆形纸片两两外切，它们两两之间的圆心距分别为5，6，7，则它们覆盖平面的总面积是______． 题型二、圆与三角形的综合 26．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 27．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 28．如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 29．如图，内接于，过中点D作平行于的直线l，l交于E，交于G、F，交在A点的切线于P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 30．如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 32．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（    ） A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 33．如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的长为（    ） A． B． C． D．3 34．如图，是的直径，点C是上一点，且点D是的中点，过点D作的切线与的延长线交于点E，连接．若，，则直径的长为（    ） A．12 B． C． D． 35．若A，B，C是⊙上三点，，则⊙的半径是（    ） A． B． C．6 D． 36．如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长（　　） A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D．随C、D的运动位置而变化，没有最值 37．如图，在中，，于点，，是的中位线，则线段的最小值为______． 38．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 39．点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接． （1）如图1，当时，____； （2）如图2，当时，____． 40．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为__________． 41．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 42．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 43．如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 44．已知：点P为外一点，为的切线，切点为点A，为的弦，点C为弧上一点，分别连接、、、． (1)如图，求证：； (2)如图，延长交于点D，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点E为优弧上一点，连接、（），，，若的半径为，，求弦的长． 45．如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 题型三、圆与四边形的综合 46．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 47．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 48．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 49．如图，，，且a，b满足：，点M为AB的中点，等腰的腰CD经过点M，，N是BO中点，AD交NC于点P，设点P的横坐标为t．则______，______（用含t的式子表示）． 50．如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．得到如下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；所有正确结论的序号是__________． 51．如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______． 52．已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 53．【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 54．如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点． (1)如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 　 　； (2)如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 　． 55．如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的面积． 56．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 57．如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． (3)在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 58．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． (1)求证：AF=CE； (2)若BF=2，，求⊙O的半径． 题型四、 圆与函数的综合 59．对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：①所有点均在的内部或边上；②半径最大．则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点（不与、重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动（不与3或0重合），将关于的内半圆半径记为，当时，点的坐标的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 60．如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则______． 61．在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 62．直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 63．在平面直角坐标系中，已知的半径为2，对于点P，直线和，给出如下定义： 若点P关于直线对称的点在上或的内部，则称点P为关于的反射点． 　 (1)已知直线为， ①在点，，中，是关于的反射点有_______________________； ②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于的反射点，则点P的横坐标的最大值为________________． (2)已知直线的解析式为， ①当时，若点P为直线上的动点，且点P为关于的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是___________________； ②点，，若线段的任意一点都为关于的反射点，则k的取值范围是_____________． 题型五、隐圆问题 64．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为（　　） A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2 65．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 66．如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 67．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是______． 68．如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____． 69．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___． 70．如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            71．如图，是等边三角形与三角形的公共边，且，    (1)连接，请探究，，的数量关系； (2)点E是等边三角形内部一点，且满足，求线段的最小值． 72．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点的坐标； (3)直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值． 2．如图1是嘉琪家走廊内摆放的一张桌子，其桌面为半圆形，图2是走廊和桌子的部分俯视图．其中，表示走廊的两面墙，且，AB是半圆的直径且长为2米，O是半圆的圆心，C，D是半圆上两动点，且米． (1)求弧的长； (2)若E是弦的中点，求的最小值和最大值； (3)已知半圆O可以绕点B顺时针旋转，若点A在旋转过程中到的最大距离为1.2m，求，之间的距离． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与其他知识综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 圆和圆的位置关系 1 题型二、 圆与三角形的综合 17 题型三、 圆与四边形的综合 46 题型四、 圆与函数的综合 67 题型五、 隐圆问题 79 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆和圆的位置关系 1．如图，已知、的半径分别为2、4，经过点，且两圆相交于点A、B两点，连接交于D点，连接AD并延长交于C点，连接、、，下列正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称性得到，结合圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定推导出即可． 【详解】解：∵、两圆相交于A、B两点， ∴A、B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 2．如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：如图所示： 和和都外切的圆，可以画两个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和，都内切的圆可以画一个，共个． 3．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 4．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解． 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 5．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】先根据切线性质得到的半径，再用勾股定理计算两圆圆心距，结合点B在内和两圆相交的条件得到r的取值范围，最终选出符合范围的选项． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 6．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解． 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 7．如图所示，排列着圆心分别为，，，和的五个圆，相邻的两个圆互相外切．相邻圆的圆心用线段相连．已知，，，，．问半径最大的圆的圆心是哪个点？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】设圆心分别为，，，和的五个圆的半径为，，，，，由，，，，，得，然后求出，再比较大小即可． 【详解】解：设圆心分别为，，，和的五个圆的半径为，，，，， ∵，，，，， ∴， ∴得 则， 然后把分别代入得， ∴， ∴半径最大的圆的圆心点． 8．某工厂生产圆形零件，质检标准规定：将零件放入一个半径为圆形模板中，若零件完全在模板内且与模板至少有一个接触点，则为合格品．现有半径为的零件，要保证零件合格，那么这些圆形零件的圆心必须落在（   ） A．半径为的圆内 B．半径为的圆上 C．半径为的圆外且半径为的圆内 D．半径为的圆外且半径为的圆内 【答案】B 【分析】根据合格零件的要求，推导零件圆心到模板圆心的距离范围即可得到结论． 【详解】解：设模板圆心为，零件圆心为，记 ∵零件要完全在模板内，零件上离最远的点到的距离为，所有点都不能超出模板 ∴ 又∵合格要求零件与模板至少有一个接触点，即至少有一个点在模板边界上 ∴ ∴，整理得 因此所有符合条件的零件圆心，到的距离都等于，即圆心落在半径为的圆上． 9．已知线段，用尺规作大小确定的圆，使之过点，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个，1个或2个 【答案】D 【分析】过已知两点作大小确定（即半径确定）的圆，圆心需到两点的距离都等于定半径，通过判断两个以已知点为圆心，定半径为半径的圆的交点个数，分情况讨论即可得到结果． 【详解】解：∵ 所作圆过A、B两点且大小确定，即半径r为定值，圆心需满足到A、B两点的距离都等于r， ∴ 圆心是以A为圆心r为半径的圆与以B为圆心r为半径的圆的交点，两圆圆心距， 分三种情况讨论： 当，即时，两圆外离，无交点，符合条件的圆有0个， 当，即时，两圆外切，仅有1个交点，符合条件的圆有1个， 当，即时，两圆相交，有2个交点，符合条件的圆有2个， 因此这样的圆的个数为0个，1个或2个． 10．如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的半径性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理、线段垂直平分线判定、垂线段最短原理，以及含角直角三角形的性质．先由圆的半径相等推出为等边三角形，得到；再利用直角三角形斜边中线定理，结合线段垂直平分线判定，确定点在的平分线上运动；最后根据“垂线段最短”，找到垂直于时的最小值，结合含角直角三角形的性质，算出最小值为． 【详解】解：如图，连接，，过点作， 分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为， ， 是等边三角形， ， 为的斜边的中点， ， 为的边的垂直平分线， ，即点在的平分线上运动， 根据从直线外的一点到直线的垂线段是所有连接该点与直线的线段中最短的，则当点与点重合时，有最小值，此时． 故选：C． 11．如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，，过作于，交于，由切线的性质推出，，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出，求出的面积，判定，推出，即可求出的面积． 关键是判定，推出． 【详解】解：连接，，过作于交于，如图： 两圆的外公切线切于点，切于点， ，， 四边形是矩形， ，， 和的半径分别是和， ，， ，， ， 的面积， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故选：C． 12．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，两圆的位置关系，掌握这些知识是关键； 连接三个圆心，构造了一个等边三角形，其边长是，则它的高是，则雕塑的最高点到地面的距离为三角形高与1的和． 【详解】解：连接三个圆心，如图， ∴是等边三角形，且， ∴它一边上的高是：， ∴雕塑的最高点到地面的距离为：． 故选：A． 13．两圆的半径分别为，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．内切或外切 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况得判别式为0，列方程可求出圆心距与两圆半径的关系，最后根据圆与圆的位置关系可确定两圆的位置关系；本题主要考查一元二次方程根的情况和两圆位置关系的判定，熟练掌握“一元二次方程有两个相等的实数根时判别式为0”、“时，两圆外切，时，两圆内切”是解题的关键． 【详解】解：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式等于0， 则 或． 因此两圆外切或者内切． 故答案为：D． 14．已知两圆没有公共点， 则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 【答案】C 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据外离或内含是两个圆没有公共点，由此即可得解，熟练掌握圆与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：若两圆没有公共点，则这两圆的位置关系是外离或内含， 故选：C ． 15．如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，圆周角定理，函数解析式，弧长公式等知识点，难度较大，解题的关键注意分类讨论思想的应用． 连接，根据相切两圆的连心线经过切点得到共线，然后分三种情况讨论，利用弧长公式建立函数关系式，即可判断． 【详解】解：连接 ∵半圆经过点，且分别与圆切于点，圆的半径为2， ∴共线，半圆的半径为1， 当点在半圆上时， ∵的度数为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，, 当时，随的增大而减小； 当点在半圆上时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而减小； 当点在下半圆上， 则， ∴ ∴当时，随的增大而增大， 综上可得：关于的函数解析式为， 故选：B． 16．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 17．已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】本题主要考查了两圆位置关系，掌握两圆半径、圆心距的关系以及两圆不同位置关系时的公共点数成为解题的关键． 根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵和的半径分别是5和7， ∴． A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误； B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误； C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误； D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 18．已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交两圆的性质，先根据题意画出图形，设和相交于A，B，连接，设与相交于点C，设，则，，，，，在和中，由勾股定理得，则，由此解出，则，进而即可得出公共弦AB的长． 【详解】解：设和相交于点，，连接，，，，，设与相交于点，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 19．两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（    ） A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆和圆的位置关系，三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义．根据圆与圆的位置关系，俯视图是从上面看到的图形，进行解答即可． 【详解】解：观察图形可知该几何体的俯视图是：两个相交的圆． 故选：C． 20．已知与有交点，圆心距如果的半径，那么的半径为的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查圆与圆相交时，圆心距与半径的关系． 根据圆心距与半径之和，半径之差的关系即可得到答案． 【详解】由题意可知：， 解得：． 故选：D． 21．已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先根据两圆内切的性质得到点到两圆圆心的距离，再结合的长度，利用三角形三边关系列不等式，分情况讨论排除无解情况，即可得到的取值范围． 【详解】解：设半径为， ∵与都内切， ∴，， ∵， ∴当时，，， ∴， 根据三角形三边关系，任意两边之差的绝对值小于等于第三边， ∴， ∴不成立，此情况无解； 当时，，， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， 则，不成立，此情况无解． 综上所述，半径的取值范围是． 22．如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【答案】/ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和角的度数，利用勾股定理求出，假设与的半径分别为，根据等圆和相切的性质得出，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 假设与的半径分别为，且与外切，两圆为等圆， ∴，， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和为． 23．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则，若两个圆内切则，已知两圆的半径分别为方程的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的最大值为________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得，，再分两圆内切和两圆外切两种情况分类讨论即可确定正确的答案． 【详解】解：∵两圆的半径分别为方程的两个根， ∴，， 当两圆外切时，， 解得：； 当两圆内切时，， ∴， ∴， ∴， 解得（正值已舍去）， ∵， ∴m的最大值为． 24．半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于______． 【答案】或 【分析】需分两圆圆心位于公共弦同侧和异侧两种情况讨论，利用相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦，再结合勾股定理即可求解． 【详解】设两圆的圆心分别为，，公共弦，交于点C， ∵两圆半径分别为，， 根据相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦， ∴，， ①如图，当两圆圆心位于公共弦的两侧时： 在中，， 在中，， ∴； ②如图，当两圆圆心位于公共弦的同侧时： 同理可得，， ∴， 综上，两个圆的圆心距为或． 25．平面上三个圆形纸片两两外切，它们两两之间的圆心距分别为5，6，7，则它们覆盖平面的总面积是______． 【答案】 29π 【分析】本题主要考查圆和圆的位置关系，先根据三圆两两外切的性质，通过圆心距与半径的关系列方程组求出三个圆的半径，再结合两两外切无重叠区域的特点，利用圆的面积公式计算覆盖总面积（即三圆面积之和）。 【详解】解：设三个圆形纸片的半径分别为、、。 因为三个圆两两外切，根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，可得方程组： 解得， 所以，三个圆的面积分别为：，，。 ∵三个圆两两外切，任意两圆仅有一个公共点，无重叠区域， 三个圆覆盖平面的总面积为三圆面积之和，即， 故答案为：． 题型二、圆与三角形的综合 26．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 27．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 28．如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 29．如图，内接于，过中点D作平行于的直线l，l交于E，交于G、F，交在A点的切线于P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是综合性题目． 根据利用平行线的性质，证出且．再由弦切角定理证出，从而得出，可得，最后利用题中数据计算线段的比，即可算出的长． 【详解】解：连接，，，作的直径，连接， ∵ ∴，且， ∴ 是的中点， ， ∵为的直径， ∴， ∴， 又切圆于点， ∴， ∴， ∵， ，可得． ， ∴，可得， ． 由此解出． ∵，， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 30．如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键． 31．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形与圆的综合，切线的性质，切线长的运用，勾股定理的知识，掌握切线的性质，切线长的运用是解题的关键． 32．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（    ） A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 【答案】D 【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题． 【详解】解：因为AB固定， 所以∠AEB固定，定弦定角， 故x不随C、D运动而变化； ∵CD为定长1，∠DEC为定角60°， ∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°， 此时E在圆O′上运动，如图， 由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化， 即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 33．如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】连接，根据，，证出，求出，在中，,，解得、的长度即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键． 34．如图，是的直径，点C是上一点，且点D是的中点，过点D作的切线与的延长线交于点E，连接．若，，则直径的长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图（见详解），连结OD、OC， 先由切线的性质定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理以及圆的性质得到，从而推出，进而求出边ED长．最后过点O作，解直角梯形ODEA，把OA求出来，即可得到直径AB的长． 【详解】解：连结OD、OC，过点O作， ∵ED是的切线，且D在上， ∴，即：， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴OH=6， 设，则， 在中，运用勾股定理得：，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，以及解直角三角形的运用．证明四边形ODEA是直角梯形，从而通过解直角梯形求出边长OA，是解决本题的关键．圆的切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过切点的半径．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理是：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等． 35．若A，B，C是⊙上三点，，则⊙的半径是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，∠ADC＝180°−∠ABC＝30°，根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根据等边三角形的判定定理知△AOB是等边三角形，所以等边三角形的三条边相等，即可求解． 【详解】解：⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，如图所示： ∵∠ABC＝150°， ∴∠ADC＝180°−∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝6， ∴⊙O的半径是6． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．解答该题时，利用圆周角定理要注意圆心角与圆周角的定义，只有三个点都在圆上所组成的角才称之为圆周角． 36．如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长（　　） A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D．随C、D的运动位置而变化，没有最值 【答案】C 【分析】连接：、、，证明O、N、C、M四点共圆，求得，再根据等边三角形的性质可得． 【详解】解；连接：、、． ∵N是的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴O、N、C、M四点共圆． ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，圆的性质，解题的关键是是作辅助线并运用圆的性质以及等边三角形的性质解答． 37．如图，在中，，于点，，是的中位线，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接、、，过点作、的垂线，垂足分别为、，设，由圆周角定理可得，在中，求出，，则，再结合三角形中位线定理，得到，即当取最小值时，有最小值．当点与点重合时，有最小值，此时，利用的长求出为最小值，即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作、的垂线，垂足分别为、， 设， ， ， ，， ，， 在中，，， ， 是的中位线， ， 当取最小值时，有最小值． ， 四边形是矩形， ， 当点与点重合时，有最小值，此时， ， 为最小值， 的最小值为． 38．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 39．点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接． （1）如图1，当时，____； （2）如图2，当时，____． 【答案】 【分析】（1）利用含度角的直角三角形的性质求出长，然后根据垂径定理，利用证明，得到解题即可； （2）连接，，过作交延长线于，过作于，则，先根据已知求得，分别证明、是等腰直角三角形，得到 ，利用勾股定理分别求解得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在图1中，∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在中， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，过作交延长线于，过作于，则， ∵，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 设， 在中，，， 由勾股定理得 解得(负值舍去) ， 则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 设， 在中，，，由勾股定理得， 解得(负值舍去)， 则， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造等腰直角三角形求解是解答的关键． 40．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 41．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 42．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 43．如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 44．已知：点P为外一点，为的切线，切点为点A，为的弦，点C为弧上一点，分别连接、、、． (1)如图，求证：； (2)如图，延长交于点D，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点E为优弧上一点，连接、（），，，若的半径为，，求弦的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， ∵切于点A， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ， ∴， ∴． (2) 证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． (3) 【分析】本题为几何综合题，正确作出辅助线是关键． （1）先连接，利用切线的性质得出，再根据，，得出，即可得证； （2）先连接，先根据圆周角定理得出，进一步得出，最后利用“”证明，即可得证； （3）先延长交于点F，延长交于点，连接，，，，过点作，过点作，垂足为，利用锐角三角函数可得，利用“”证明，可得；易得出，进一步得出，通过设，利用勾股定理得出，在中，利用勾股定理建立方程，再解方程可得，进一步得出，，，，再通过导角，得出，进一步求出、、、的值，即可得出的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长交于点F，延长交于点，连接，，，，过点作，过点作，垂足为， ，． ， ． ∵是直径， ∴． 又∵，， ∴，． ∵， ∴． 又，， ∴， ∴，． ， ． ， ∴， ． 设，（），则，， ∴． 在中，， ∴， 解得，，． 当时，， 即， 故不符合题意，舍去， ∴， ∴，，， ∴． ∵， ， ∴，， ． ， ． ， ∴， ∴． ∵， ，， 解得，，， 在中，， ． 45．如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1) 解：四边形为菱形，理由如下： 连接， ， ， 为劣弧的中点， ，， ， 又， ， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形为菱形； (2) 证明：方法：， ， ， ， 在中，， ， 又与圆相切于点， ， ， 又， ； 方法：连接并延长交圆于点，连接， 为圆的直径， ， 又， ， 直线与圆相切于点， ， ． 【分析】（1）利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合为劣弧中点的条件，证明和为等边三角形，进而判定四边形的形状； （2）方法：利用切线性质得到，结合圆周角定理与等腰三角形性质，通过角的计算进行等量代换，证明； 方法：构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合同弧所对圆周角相等，通过角的互余关系完成等量代换，证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的性质、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定，熟练运用圆的相关定理和特殊四边形的判定方法是解答本题的关键． 题型三、圆与四边形的综合 46．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 47．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 48．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 49．如图，，，且a，b满足：，点M为AB的中点，等腰的腰CD经过点M，，N是BO中点，AD交NC于点P，设点P的横坐标为t．则______，______（用含t的式子表示）． 【答案】 45°/45度 2t 【分析】由非负数的性质求出a=4，b=4，由等腰直角三角形的性质可得出第一空答案；在OC上截取OQ=CM，连接QN，OM，MN，OP．证明△ONQ≌△MNC（SAS），由全等三角形的性质得出QN=CN，∠ONQ=∠MNC，证得OD∥NP，由此得出S△DCO=S△DPO，则可得出答案． 【详解】∵a2-8a+16+|b-4|=0， ∴（a-4）2+|b-4|=0， ∴a-4=0，b-4=0， 解得a=4，b=4， ∵A（0，a），B（b，0）， ∴A（0，4），B（4，0）， ∴OA=OB=4， ∵∠AOB=90°， ∴∠OAB=∠OBA=45°； ②如图2，在OC上截取OQ=CM，连接QN，OM，MN，OP． 在等腰Rt△OMB中， ∵N为BO的中点， ∴MN⊥OB，MN=ON=BN， ∴∠MNO=∠DCO=90°， ∴∠NOQ=∠NMC， 在△NOQ和△NMC中， ， ∴△ONQ≌△MNC（SAS）， ∴QN=CN，∠ONQ=∠MNC， ∴∠ONQ+∠MNQ=∠MNC+∠MNQ， ∴∠CNQ=∠MNO=90°， ∴∠NQC=∠NCQ=45°，   ∵∠OAB=∠ODC=45°， ∴点A、O、M、D四点共圆 ， ∴∠ADO=∠AMO=90°， ∴∠OQN=∠MCN=∠ADM=135°， ∴∠NQC=∠CDP=∠DCP=45°， ∴∠NPA=∠ODA=90°， ∴OD∥NP， ∴S△DCO=S△DPO， ∴S四边形ADCO=S△ADO+S△ODC=S△ADO+S△DOP=S△APO， 又∵点P的横坐标为t，OA=4， ∴S四边形ADCO=×4×t=2t． 故答案为①45°；②2t． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定与性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，坐标与图形的性质，四边形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 50．如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．得到如下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】①②正确，证明即可；③错误，可证；④正确，由题意可证△OBN是等边三角形，可得结论；⑤错误，∠BON的大小不确定，故面积不确定． 【详解】连接AM，BN，OM，根据平行线间的距离相等，可得MC=ND， ∴(HL)， ∴∠MOC=∠NOD，OC=OD， ∴，AC=BD，所以①②正确 若四边形是正方形，则MC=2OC，， 则，所以③错误． 当M是的中点时，可得∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∴△BON是等边三角形， 又∵ ， ∴D为OB中点．所以④正确 若半径，扇形的圆心角大小不确定，所以面积不一定为，所以⑤错误． 故正确答案为：①②④ 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定等，根据圆心角、弧、弦之间的关系正确分析题意，作出辅助线是解题的关键． 51．如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______． 【答案】 【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示： 连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴△OFC是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到上的点的距离的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 52．已知，经过矩形的四个顶点，过点B作，垂足为K，过点D作分别与，及的延长线相交于点E，F，G，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形为矩形； (3)若F是的中点，求出的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (3) 【分析】本题属于圆的综合题，考查了矩形的性质与判定、圆的内接四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．能准确找到全等三角形是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质可得，即可求证； （3）证明，可得，从而得到，再由平行线分线段成比例，可得，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 53．【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】 【特殊体会】 【初步探究】， 证明：如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【深入探究】①与相切； 理由：如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：略 深入探究：①略 ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 54．如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点． (1)如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 　 　； (2)如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 　． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接，则，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得，求解即可； （2）连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，证四边形是平行四边形，得，取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J为圆心，为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，延长，，交，于点K，L，求得，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）连接，则，， ， ， 与弧相切于点B， ， 设，则， 中，， 即， 解得，即， 故答案为：2； （2）如图，连接、，取的中点H，连接，则， ， 连接，取的中点I，连接，同理， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ∵P、Q是、的中点， ， ， 取的中点J，由， ∴四边形是平行四边形， ，即点M在以J为圆心，为半径的圆弧上， ∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值， 延长，，交，于点K，L，则， ∴点K，点L分别是，的中点， ，，， ，， 中， ， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键． 55．如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】（1）连接，根据切线的性质，则，则，根据点是的中点，等弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的判定和性质，即可； （2）连接，根据平行四边形的判定，得四边形是平行四边形，根据，则平行四边形是菱形，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，得，；根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一边，得，再根据圆的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：．    【点睛】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线，等边三角形的性质，菱形的判定和性质． 56．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 经过正方形的顶点，， ， 是的直径， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质及圆周角定理可得有三个内角是直角，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，过点作于点，证明四边形、四边形和四边形均为矩形，推出，，，，设，，则，推出，，由勾股定理，构建关系式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点，连接，过点作于点， 经过圆心， ， 是的切线， ， 由（1）知四边形是矩形， ， ， ， ， 是半径， ， 同理可得四边形和四边形均为矩形， ，，， ， 设，，则， ， ，， ， 整理得， ， 或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握知识点，利用参数构建方程是解题的关键． 57．如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． (3)在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 【答案】(1) 证明：如图，连接． ∵四边形是菱形                      又∵是的半径 ∴是的切线． (2) (3) 【分析】（1）连接，通过菱形的性质和圆的性质证明，又由，证得，即可得证； （2）连接，根据菱形和圆的有关性质，求得，，在，由勾股定理解答即可． （3）如图，连接,交于两点，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵是的直径       在中，， 在中，， 在中， ， ∴=． （3）解：如图，过点C作垂直，交延长线于点M， 由（2）知，          ∴==      ∵， ∴线段的取值范围是： 【点睛】本题考查的是圆和菱形的综合题，运用了圆周角定理，圆的切线的判定，含有60°的特殊菱形的性质，以及特殊角的三角函数的运算，再对圆和菱形的基础进行整合提高，最后再运用圆的动点知识，求出动线段的取值范围。这是一道代几综合题型，侧重几何综合考察。从思想方法上看，本题运用模型思想、三角函数运算、转化思想、运动变化观念等，渗透增量，巧设简化意识的考查。本题体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台，培养了学生的数学综合素养。 58．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． (1)求证：AF=CE； (2)若BF=2，，求⊙O的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ADE=90°． ∵AD∥BC， ∴∠CED=∠ADE=90°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA=90°． ∴∠AFD=∠CED=90°． 在△DAF和△DCE中，， ∴△DAF≌△DCE（AAS）． ∴AF=CE． (2) 【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证； （2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接AH，DF， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD=∠DFA=90°． ∵AD=AB，， ∴． 在Rt△ADF和Rt△BDF中， 由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2， ∴AD2－AF2=BD2－BF2． ∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2． ∴． ∴AD=5． ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题． 题型四、 圆与函数的综合 59．对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：①所有点均在的内部或边上；②半径最大．则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点（不与、重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动（不与3或0重合），将关于的内半圆半径记为，当时，点的坐标的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设点坐标为，分点在第一象限和第三象限两种情况，结合圆的切线性质、相似三角形、勾股定理等知识，根据内半圆半径的范围求解的取值范围，再综合两种情况得到最终结果． 【详解】解：当时，当时，设与直线相切于点，过点作的切线，交于点，作于点，连接，如图所示， 点在直线， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，如图所示， 由，可知点在上，由图可知，此时， 当时，，只需； 当时，作于点，如图所示， ，， ， 当时，， ， ，， ， 即， 解得， 当时，，，同理得，等式不成立，即的半径总小于1， ， 综上所述，或． 60．如图，二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点，若点坐标为，以点为圆心，为半径作圆，为上一动点，当面积最小为5时，则______． 【答案】 【分析】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，由∠ACO=∠DCM，得，解得：DM=，进而即可求解． 【详解】过点D作DM⊥CA，交CA的延长线于点M，DM交于点P，此时面积最小， ∵二次函数与轴交于两点（点在点左边），与轴交于点， ∴A(-2，0)，C(0，-4)，即：OA=2，OC=4，AC=， ∵点坐标为， ∴OD=2， ∵∠ACO=∠DCM， ∴sin∠ACO=sin∠DCM，即：， ∴DM=CD×=6×=． ∵面积最小值为5， ∴，解得：R=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，添加辅助线，找出面积最小值为5时，点P的位置，是解题的关键． 61．在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，若存在以点P为直角顶点的直角，使得图形W都在该直角内部，就称点P是图形W的“直角关联点”． (1)若图形W是线段，其中点，点，则以下三点：，，中是线段的“直角关联点”的为________； (2)若的半径为，直线，求直线l上的“直角关联点”P的横坐标m的取值范围； (3)已知点，的半径为，若直线，与x轴，y轴围成的封闭图形中，既存在的“直角关联点”，且该封闭图形中并非所有点都是的“直角关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)D (2) 或 (3) 或 【分析】（1）根据新定义，点P是线段的直角关联点当且仅当P对的张角，利用勾股定理逆定理判断三个点即可； （2）半径是，圆心在原点，点P是圆的直角关联点需包含，等价于：从P向作两条切线，切线夹角，即用三角函数和一元二次方程解答即可； （3）先确定封闭图形的存在范围，根据题意要求封闭图形内既有直角关联点也有非直角关联点，等价于封闭图形与圆心为T半径为4的圆相交，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 根据勾股定理逆定理，等价于， 点，，满足条件，故D是直角关联点； 点，，不满足条件，故E不是直角关联点； 点，，不满足条件，故F不是直角关联点； 线段的“直角关联点”的为D； （2）由题意可知：从P向作两条切线，切线夹角， 当时，， 设， ， ， 解这个方程得：， 时， 横坐标m的取值范围或； （3）的半径， 因此P是的直角关联点等价于，非关联点等价于， 由题意可知：封闭图形中既存在关联点也存在非关联点，即封闭图形内既有的点，也有的点， 因此点到封闭图形的最短距离小于或等于4，且最远点距离大于4， 设， 当时，， ， 解得(舍）， ∴， 点到直线的距离， 解得：， 同法可求两直线间的距离为， 点到直线的距离，， 此时，解得：， 封闭图形最远点为，其到T的距离平方满足， 解得：或， 的取值范围或． 62．直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线．在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是，，，，四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有最值，的最大值为，最小值为 【分析】（1）通过直线解析式以及交点横坐标为0，求出点的坐标即可； （2）根据题意，直线和抛物线没有交点，且，列出方程，利用根的判别式列出不等式求解； （3）根据题意可求，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，从而求出解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：∵抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当，抛物线开口向下，且与直线没有交点时，符合要求， ∵，， ∴， 令， 整理得， ∵抛物线与直线没有交点， ∴， 解得； （3）解：∵直线且过点， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，不成立， ∴， 如图所示， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， ∵点，，，四点共圆， 设点为外接圆圆心， 过点作于点， ∴点在上， ∴， 连接， 在中，， 即， 解得半径， ∴设， ∵点， ∴由勾股定理得， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， 将代入抛物线得， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为8，最小值为0． 63．在平面直角坐标系中，已知的半径为2，对于点P，直线和，给出如下定义： 若点P关于直线对称的点在上或的内部，则称点P为关于的反射点． 　 (1)已知直线为， ①在点，，中，是关于的反射点有_______________________； ②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于的反射点，则点P的横坐标的最大值为________________． (2)已知直线的解析式为， ①当时，若点P为直线上的动点，且点P为关于的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是___________________； ②点，，若线段的任意一点都为关于的反射点，则k的取值范围是_____________． 【答案】(1)①，，②8 (2)①≤t-≤，② 【分析】（1）①根据题目中的定义，画出图形，进行判断即可；②根据圆的半径，求出圆与x轴的负半轴交点坐标，并求出这个点过于直线x=3的对称点的坐标，即可解答； （2）①求出直线l和直线的交点N坐标，过点N作直线的垂线，交于两个点，分别求出点N到这两个点的距离，即可进行求解；②先求出直线l经过点C时的k值，再求出当点B的对称点在圆上时，经过点和（0，2）的直线的表达式，根据两直线互相垂直时，k值互为负倒数，即可进行求解． 【详解】（1）①如图所示，点，，关于直线x=3的对称点分别为，，， ∵点在圆上，点在园内， ∴关于的反射点有，， 故答案为：，． ②如图： ∵的半径为2， ∴M（-2，0），N（2，0）， 作点M关于直线x=3的对称点， ∵点M到直线x=3的距离为5， ∴点到直线x=3的距离为5， ∴（8，0）， ∴点P横坐标最大值为8， 故答案为：8． （2）①∵， ∴直线l的函数表达式为：y=-x+2， 当时，y=， ∴点N（）， 过点N作直线的垂线，交于点G和点H，连接OG， ∵OQ=，OG=2， ∴GQ=， ∴GQ=HQ=， ∴GN=，HN=， ∵点P和点关于直线对称， ∴PN=， ∴≤NP≤， ∵点N的纵坐标为， ∴≤t-≤，解得：≤t-≤， 故答案为：≤t-≤． ②如下图，当直线l经过点C时， 将点代入y=kx+2得：，解得：， 以点P为圆心，PB长为半径画弧，交于点，过点作⊥x轴于点Q， ∵P（0，2），B（2，2）， ∴PB=2，OP=2， ∴=2， =2， ∴△为等边三角形，则∠， ∵=2， ∴=1，OQ=，即， 将点代入y=kx+2得：，解得：， ∵点B和点关于直线l对称， ∴直线l⊥， ∴此时直线l的表达式中， 综上：k的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、轴对称和圆的相关知识，仔细理解题意，明白“反射点”的定义，熟练掌握圆的相关内容和一次函数的图像和性质是解题的关键． 题型五、隐圆问题 64．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为（　　） A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2 【答案】B 【分析】根据PD⊥AC，PE⊥AB可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定∠BAC=60°，进而确定当AP⊥BC时，线段DE取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定∠ADE=45°，根据相似三角形的判定定理和性质可＝，设AE=2x，根据等角对等边和勾股定理表示出AB和AP，根据30°所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出AD，最后代入比例式中计算即可． 【详解】解：如下图所示，以AP为直径作，连接OD，过D作DM⊥AP于M． ∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E， ∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°． ∴∠ADP+∠AEP＝180°． ∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP． ∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°， ∴∠BAC＝60°． ∴DE是中60°圆周角所对的弦． ∴当直径最小时，DE取得最小值． ∴当AP⊥BC时，DE取得最小值． ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAP=45°． ∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP． ∴∠BAP=∠APE，AP=BP． ∴AE=PE． ∵∠ADE和∠APE都是所对的圆周角， ∴∠ADE＝∠APE＝45°． ∴∠ADE＝∠ABC＝45°．   ∵∠EAD＝∠CAB， ∴△AED∽△ACB． ∴＝． 设AE＝2x，则PE＝2x． ∴． ∴OA＝OD＝x，． ∴． ∵∠BAC=60°，∠BAP=45°， ∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝15°． ∵∠DOP和∠DAP分别是所对的圆心角和圆周角， ∴∠DOP＝2∠DAP＝30°．   ∴DM＝OD＝． ∴． ∴AM＝OA+OM＝． ∴AD＝＝． ∵， ∴． ∴DE＝． ∴线段DE的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含30°的直角三角形，正确确定何时DE取得最小值是解题关键． 65．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 66．如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键． 由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ， ， ，平分， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四点共圆， 设的中点为， 为的直径， 如图，在的延长线上取，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 如图，连接， ，即， 的最小值为； 故答案为： ． 67．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的关系，圆周角定理，勾股定理，明确点在以为直径的圆上是解题的关键．取的中点，连接，推出，得到点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 为的中点， ， ， 点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 68．如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】在上方以为一边作等边，连接，先证出，从而可得，由此得出点在以点为圆心，长为半径的圆上，设与交于点，过点作于点，再根据圆的性质得出当点与点重合时，取得最小值，最小值为，然后利用等边三角形的性质、勾股定理求出的长，最后根据可得的长，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接， 和都是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， 点在以点为圆心，长为半径的圆上， 如图，设与交于点，过点作于点，则， 则当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ， ， 是等边三角形，， ， ， 在中，， 则， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、圆的性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形，从而确定点的轨迹是解题关键． 69．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___． 【答案】8 【分析】连接AE，可得∠AED＝∠BEA＝90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值． 【详解】解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5， 当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC＝12， ∴QC＝， ∴CE＝QC−QE＝13−5＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 70．如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用以及圆的确定，取中点，再取中点，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，连接，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，当点共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ∴，， ∵，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆弧， ∵点为的中点， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧， 当点共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为． 故答案为：． 71．如图，是等边三角形与三角形的公共边，且，    (1)连接，请探究，，的数量关系； (2)点E是等边三角形内部一点，且满足，求线段的最小值． 【答案】(1) 数量关系为：． 理由：以为边作等边，连接，如图所示， ∵与是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴．    (2)线段AE的最小值为 【分析】（1）通过构造三角形全等，以为边作等边，连接，，将要解决的问题转化到特殊的三角形中，根据勾股定理即可得解． （2）依据题意可得，点D，E，B，C四点共圆，可证四边形是菱形， 中，，，；分析出A、E、O在一直线上时可得的最小值． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴． ∴点D，E，B，C四点共圆． 以点O为圆心作的外接圆，连接、，交于点F如图所示， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵是等边三角形， ∴． ∴四边形是菱形． ∴与互相直分，平分． 在中，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴线段AE的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点与圆的位置关系，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练运用全等三角形求证等角、相等线段是解题的关键． 72．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 【答案】(1) 是二次函数的坐标圆，理由为： 当时，，当时，解方程得，， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∵，，， ∴， 故是二次函数的坐标圆； (2)线段的垂直平分线 (3)6 【分析】（1）先求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再利用两点坐标距离公式和圆的定义判断三个点是否在上，进而根据题中定义作出判断； （2）根据题中定义和圆的定义，结合线段垂直平分线的性质，进而可得到结论； （3）连接，的周长为，当点C、P、共线时取等号，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P满足， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线； （3）解：连接，则， ∴的周长为，当点C、P、共线时取等号， ∵，， ∴，， ∴周长最小值为6． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、最短路径问题、线段垂直平分线的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点的坐标； (3)直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)8 【分析】（1）由题意及抛物线的对称性知，即可求得的值，从而用待定系数法可求得函数解析式； （2）首先求出直线的解析式，由轴及点在抛物线上，可得点的坐标，从而求得的长度，然后分两种情况讨论：当与轴相切时和当与轴相切时，分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得答案； （3）由可知该直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去得关于的一元二次方程，可求得与的横坐标，再由，可得关于的函数关系式，即可求得面积的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线， ∴点和点关于抛物线对称轴对称， ∴，解得， ∴，， 将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）对于抛物线，令，则有， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点是直线一动点，则可设， 又∵轴，点在抛物线上， ∴， ∴， 当与轴相切时， ， 即或， 解得，或，， 当时，点重合，不合题意， 当时，可有，即 当时，可有，即； 当与轴相切时，， 即或， 解得，或，， 当时，点重合，不合题意， 当时，可有，即， 当时，可有，即． 综上所述，与坐标轴相切时，点的坐标为或或或； （3）如下图， 对于直线，当时，可有， ∴该直线过点， ∵， ∴轴，且， 联立直线与抛物线的解析式， 可得， 消去，整理可得，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵当时，有最小值16， ∴此时有最小值，最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数、圆、三角形的综合问题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数的最值、圆的相切、三角形面积、解一元二次方程等知识，综合性强，灵活运用相关知识，运用数相结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 2．如图1是嘉琪家走廊内摆放的一张桌子，其桌面为半圆形，图2是走廊和桌子的部分俯视图．其中，表示走廊的两面墙，且，AB是半圆的直径且长为2米，O是半圆的圆心，C，D是半圆上两动点，且米． (1)求弧的长； (2)若E是弦的中点，求的最小值和最大值； (3)已知半圆O可以绕点B顺时针旋转，若点A在旋转过程中到的最大距离为1.2m，求，之间的距离． 【答案】(1) (2)最小值为，的最大值为 (3)，之间的距离为 【分析】（1）连，证明为等边三角形，可得，再利用弧长公式计算即可； （2）如图，连接，，求解，可得E在以O为圆心．为半径的弧上，当，重合时最大．如图，连接，当，重合时，的最小值为，从而可得答案． （3）由A与最大距离为1.2 ，可得此时与相切过作于，作于，过 作于，交于，则，，，证明，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：连， ， ， ， ∴为等边三角形， （2）如图，连接，， ∵为的中点，为等边三角形， ∴，， ∴， E在以O为圆心．为半径的弧上 当，重合时最大．如图，连接， ∵为直径      ， ， ， E为CD中点， ， 在中， ， 当，重合时，的最小值为，如图， （3）A与最大距离为1.2   此时与相切 过作于，作于，过 作于，交于， 则，，， ∴，而， ∴， ∴，而， ，    ． ∴，之间的距离为． 【点睛】本题考查的是俯视图的含义，切线的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $