专题03 与切线有关的证明与计算（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题03 与切线有关的证明与计算 题型一：切线的证明------利用等角代换证明垂直 题型二：切线的证明------利用特殊角的计算证明垂直 题型三：切线的证明------利用平行线的性质证明垂直 题型四：切线的证明------利用勾股定理逆定理证明垂直 题型五：切线的证明------利用三角形全等证明垂直 题型六：切线的证明------作垂直，证半径 题型七：利用切线的性质计算 题型八：切线的判定与性质的综合运用 题型一：切线的证明------利用等角代换证明垂直 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的中点，弦与交于点，是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，是弦，F是上一点，，交于点C，D为延长线上一点，且．求证：是的切线． 3．（2024•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行 线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D． 求证：BD是⊙O的切线； 4．（2024秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． （1）求证：MN是半圆的切线． （2）求证：FD＝FG． 5．（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 题型二：切线的证明------利用特殊角的计算证明垂直 6． 如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． 求证：DE是⊙O的切线． 7．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，，DE⊥AC． 求证：DE是⊙O的切线． 8．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．​ （1）求∠AOC的度数； （2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线； 9．如图，△ABC是直角三角形，点O是线段AC上的一点，以点O为圆心，OA为半径作圆．O交线段AB于点D，作线段BD的垂直平分线EF，EF交线段BC于点． （1）若∠B＝30°，求∠COD的度数； （2）证明：ED是⊙O的切线． 10．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4， ∠OAC＝60°．​ （1）求∠AOC的度数； （2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线； 11．（2024•门头沟区二模）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，点F在CD上，且AF＝DF，连接AD，BC． （1）求证：∠FAD＝∠B （2）延长FA到P，使FP＝FC，作直线CP．如果AF∥BC． 求证：直线CP为⊙O的切线． 题型三：切线的证明------利用平行线的性质证明垂直 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF． 求证：CE为⊙O的切线； 13．（2024秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 14．已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：点D是AB的中点； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 15．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 16．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，点，在上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 题型四：切线的证明------利用勾股定理逆定理证明垂直 17．（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8． 求证：PC是⊙O的切线； 18． 如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线. 19．如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线． 题型五：切线的证明------利用三角形全等证明垂直 20．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，中，，过B、C两点，且是的切线，连接交于点P．试判断与的位置关系，并说明理由． 21．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E． 求证：CD是⊙O的切线； 22．（2024•鄞州区校级开学）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点，连接BC，DC，BC＝CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E． 求证：CE是⊙O的切线； 23．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 24． （2024秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线． 25． （2024•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）连接AC交⊙O于点P，若AP，BF＝1，求⊙O的半径． 题型六：切线的证明------作垂直，证半径 26． 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 27． 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 28． 如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE． （1）求证：OB与⊙D相切； （2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长． 29． 如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R． 30． （2024秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长． 题型七：利用切线的性质计算 31．（2024•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E． （1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由； （2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数． 32．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求CD的长． 33．（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 34．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，中，是的直径，G为弦的中点，的切线交的延长线于点C，连并延长交于点D，连接交于点F． (1)求证：； (2)的半径为，，求的长． 35．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 36．（2025·天津河东·二模）已知点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点A，与边交于点D． (1)如图①，过点O作，交于点E，交延长线于点G，若，，求的长； (2)如图②，与切于点M，连接，与直径交于点H，若，且，求的长． 题型八：切线的判定与性质的综合运用 37．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 38．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 39．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求的半径长． 40．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，为的弦，且垂足为M，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 41．（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 42．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． (1)①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． (2)过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 43．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 44．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图1，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分，过点P作，交的延长线于点A． (1)若，求的度数； (2)求证：与相切； (3)如图2，D是的中点，过D作交于C，与的交点为F．若，，求的半径． 45．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与切线有关的证明与计算 题型一：切线的证明------利用等角代换证明垂直 题型二：切线的证明------利用特殊角的计算证明垂直 题型三：切线的证明------利用平行线的性质证明垂直 题型四：切线的证明------利用勾股定理逆定理证明垂直 题型五：切线的证明------利用三角形全等证明垂直 题型六：切线的证明------作垂直，证半径 题型七：利用切线的性质计算 题型八：切线的判定与性质的综合运用 题型一：切线的证明------利用等角代换证明垂直 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的中点，弦与交于点，是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质，关键是“连半径，证垂直”的方法的使用； 连接，证即可． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：是的切线． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，是弦，F是上一点，，交于点C，D为延长线上一点，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】根据圆周角定理推出，根据，结合三角形得内角和定理，推出，即可证明是的切线． 【详解】证明：， ． 又， ， 即， ， 是的切线． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．（2024•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行 线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D． 求证：BD是⊙O的切线； 【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切； 【详解】证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DG∥BC， ∴∠AGE＝∠ACB＝90°， ∴∠A+∠AEG＝90°， 又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB， ∴∠D+∠DEB＝90°， ∴∠DBE＝90°， ∴AB⊥BD， ∵AB为直径， ∴BD与⊙O相切； 【点睛】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定． 4．（2024秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． （1）求证：MN是半圆的切线． （2）求证：FD＝FG． 【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可； （2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是 ∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG． 【详解】证明：（1）如图，∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°． 又∵∠MAC＝∠ABC， ∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°， ∴MA⊥AB． ∴MN是半圆的切线． （2）∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 而DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°， ∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA， ∴∠3＝∠5， ∴∠1＝∠4， 而∠2＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴FD＝FG． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定． 5．（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 题型二：切线的证明------利用特殊角的计算证明垂直 6． 如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． 求证：DE是⊙O的切线． 【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论； 【详解】证明：连接OD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE＝45°， ∴∠DOC＝2∠DBE＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠ODE＝∠DOC＝90°， ∴DE是⊙O的切线； 【点睛】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 7．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，，DE⊥AC． 求证：DE是⊙O的切线． 【分析】连接OD，根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：连接OD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．​ （1）求∠AOC的度数； （2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线； 【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°； （2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案； 【详解】（1）解：在△OAC中， ∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°； （2）证明：过点C作CD⊥AO于点D， ∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO， ∴AD＝DOOA＝2，∠ACO＝60°， ∴CD2， ∵S△PAC＝4， ∴PA•CD＝4， ∴PA＝4， ∴PA＝AC， ∴∠P＝∠PCA∠OAC＝30°， ∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝30°+60°＝90°， ∴OC⊥PC， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC为⊙O的切线． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键． 9．如图，△ABC是直角三角形，点O是线段AC上的一点，以点O为圆心，OA为半径作圆．O交线段AB于点D，作线段BD的垂直平分线EF，EF交线段BC于点． （1）若∠B＝30°，求∠COD的度数； （2）证明：ED是⊙O的切线． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠A＝60°，于是得到∠COD＝∠ODA+∠A＝120°； （2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB＝∠B＝30°，求得ED⊥DO，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠A＝60°， ∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°； （2）证明：∵EF垂直平分BD， ∴∠EDB=∠B， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠OAD， ∵∠C=90°， ∴∠B+BAC=90°， ∴∠BDE+∠ODA=90°， ∴∠EDO=90°， ∴ED⊥DO， ∵OD是⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 10．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4， ∠OAC＝60°．​ （1）求∠AOC的度数； （2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线； 【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°； （2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案； 【详解】（1）解：在△OAC中， ∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°； （2）证明：过点C作CD⊥AO于点D， ∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO， ∴AD＝DOOA＝2，∠ACO＝60°， ∴CD2， ∵S△PAC＝4， ∴PA•CD＝4， ∴PA＝4， ∴PA＝AC， ∴∠P＝∠PCA∠OAC＝30°， ∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝30°+60°＝90°， ∴OC⊥PC， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC为⊙O的切线． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键． 11．（2024•门头沟区二模）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，点F在CD上，且AF＝DF，连接AD，BC． （1）求证：∠FAD＝∠B （2）延长FA到P，使FP＝FC，作直线CP．如果AF∥BC． 求证：直线CP为⊙O的切线． 【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD＝∠ACD＝∠B，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论． 【详解】证明：（1）如图，连接AC， ∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠B， ∵AF＝FD， ∴∠FAD＝∠FDA， ∴∠FAD＝∠B； （2）如图，连接OC， ∵AF∥BC， ∴∠FAB＝∠B， ∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA， ∵∠AED＝90°， ∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°， ∴∠CFP＝60°， ∵FP＝FC， ∴△CFP是等边三角形， ∴∠PCF＝60°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB＝30°， ∴∠OCD＝30°， ∴∠PCO＝60°+30°＝90°， 即OC⊥PC， ∵OC是半径， ∴PC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提． 题型三：切线的证明------利用平行线的性质证明垂直 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF． 求证：CE为⊙O的切线； 【分析】连接OC，BD，可推出EF∥BD，进而可证，进而得出CE为⊙O的切线； 【详解】证明：如图1， 连接OC，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠ADB， ∴EF∥BD， ∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD， ∵∠ECD＝∠BCF， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴， ∴半径OC⊥EF， ∴CE为⊙O的切线； 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线． 13．（2024秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案． 【详解】证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB， ∴OD∥AC． ∴∠ODE＝∠CED． ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°． ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型． 14．已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：点D是AB的中点； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD； （2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线． 【详解】（1）证明：连接CD，如图， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB， ∵AC＝BC， ∴AD＝BD， 即点D是AB的中点； （2）解：DE与⊙O相切．理由如下： 连接OD， ∵AD＝BD，OC＝OB， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， 而DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 15．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理． （1）根据垂径定理得到，根据得到，即可证明是的切线； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得到，设的半径长为x，连接，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D为中点，是半径， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径长为x，则， ∴， 连接，在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 16．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，是的直径，点，在上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线； （2）由题意可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是半圆弧的中点， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型四：切线的证明------利用勾股定理逆定理证明垂直 17．（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8． 求证：PC是⊙O的切线； 【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线； 【详解】解：如图，连接OC、BC， ∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8． ∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10， ∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100， ∴OC2+PC2=OP2， ∴△OCP是直角三角形， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； 【点睛】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键． 18． 如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线. 【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可. 【详解】证明:连接AB， ∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ， ∴AB为直径，AB2 =82+42 =80， ∵CD=2，AD=4 ， ∴AC2 =22 ＋42=20， ∵ CD＝2，BD=8, ∴BC=102=100， ∴AC2+AB2=CB2， ∴∠BAC=90° ， ∴AC是⊙O的切线 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形. 19．如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线． 【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论． 【点睛】证明：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴AB为⊙O的直径， ∵BD＝2AD＝8， ∴AD＝4， 在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80， 在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20， ∵BC2＝（2+8）2＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC⊥AB， ∵AB为直径， ∴AC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理． 题型五：切线的证明------利用三角形全等证明垂直 20．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，中，，过B、C两点，且是的切线，连接交于点P．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】相切，理由见解析 【分析】本题主要涉及圆的切线性质、全等三角形的判定与性质． 先证明，进而得到即可求解． 【详解】解：与相切，理由如下： ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵是半径 ∴与相切． 21．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E． 求证：CD是⊙O的切线； 【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC为直角，即可得证； 【详解】证明：如图，连接OD． ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD， 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； 【点睛】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 22．（2024•鄞州区校级开学）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点，连接BC，DC，BC＝CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E． 求证：CE是⊙O的切线； 【分析】连接OD，OC，证得△COD≌△COB，可得∠OCD＝∠BCO，从而得到∠ADC＝∠DCO，进而得到DA∥CO，利用切线的判定定理即可求证； 【详解】证明：连接OD，OC，如图， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SSS）， ∴∠OCD＝∠BCO， ∵CO＝BO， ∴∠B＝∠BCO， ∵∠B＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠DCO． ∴DA∥CO， ∴∠E+∠ECO＝180°． ∵CE⊥EA， ∴∠E＝90°． ∴∠ECO＝90°， ∴EC⊥CO， ∵CO是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键． 23．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由切线的性质得，由等腰三角形的性质得垂直平分，得到，进而可证，得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ， ∴， ∵， ， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴， ∵是半径， ∴ 与相切． 24． （2024秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线． 【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解． 【详解】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P， ∵四边形OBCD是矩形， ∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD， ∵OB∥CD， ∴∠A＝∠CDE， ∵在⊙O中，OA＝OB＝OE， ∴OE＝CD， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠AEO， ∴∠CDE＝∠AEO， ∴DP＝PE， ∵OE＝CD， ∴OP＝CP， ∴∠COE＝∠DCO， ∵OB∥CD， ∴∠DCO＝∠BOC， ∴∠COE＝∠BOC， 在△BOC和△EOC中， ， ∴△BOC≌△EOC（SAS）， ∴∠CEO＝∠OBC＝90°， ∴CE⊥OE， 又∵OE为⊙O的半径， ∴CE为⊙O的切线． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键． 25． （2024•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）连接AC交⊙O于点P，若AP，BF＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝2，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接AF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACF＝∠ACE， 在△ACF与△ACE中， ， ∴△ACF≌△ACE（SAS）， ∴∠AFC＝∠AEC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∵AB∥DC， ∴∠BAE+∠AEC＝90°， ∴∠BAE＝90°， ∴OA⊥AE， ∵OA是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：连接BP， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠APB＝90°， ∵AB＝CB，AP， ∴AC＝2AP＝2， 设⊙O的半径为R， ∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2， ∴， ∴R（负值舍去）， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题． 题型六：切线的证明------作垂直，证半径 26． 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 27． 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【详解】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键． 28． 如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE． （1）求证：OB与⊙D相切； （2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论； （2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG，然后由勾股定理求出DG，最后由勾股定理求出CE即可． 【详解】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示： ∵⊙D与OA相切于点E， ∴DE⊥OA， ∵OC平分∠AOB， ∴DF＝DE， 又∵DF⊥OB， ∴OB与⊙D相切； （2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示： 由（1）得：DE⊥OA， ∴∠OED＝90°， ∵OE＝4，DE＝3， ∴OD5， ∵EG⊥OD， ∴OD×EGOE×DE， ∴EG， ∴DG， ∴CG＝CD+DG＝3， ∴CE． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线． 29． 如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R． 【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论． （2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径． 【点睛】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E， ∵AM切⊙O于点A， ∴OA⊥AD， 又∵DO平分∠ADC， ∴OE＝OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴四边形ABFD是矩形， ∴AD＝BF，AB＝DF， 又∵AD＝4，BC＝9， ∴FC＝9﹣4＝5， ∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E， ∴DA＝DE，CB＝CE， ∴DC＝AD+BC＝4+9＝13， 在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2， ∴DF12， ∴AB＝12， ∴⊙O的半径R是6． 【点睛】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质． 30． （2024秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长． 【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，证明AC是∠FAB的平分线，进而根据OH＝OE，OE⊥AB，可得AF是⊙O的切线； （2）勾股定理得出AC，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，进而根据切线的性质，在Rt△OEA中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠ACD， ∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD， 又∵， ∴∠FAC＝∠CAD， 即AC是∠FAB的平分线， ∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E， ∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径， ∴OH＝OE，OH是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10， ∴， ∵BE，BC是⊙O的切线， ∴BC＝BE＝6， ∴AE＝10﹣6＝4 设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r， 在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2， ∴16+r2＝（8﹣r）2， ∴r＝3． ∴⊙O的半径长为3． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 题型七：利用切线的性质计算 31．（2024•临汾模拟）如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E． （1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由； （2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠OBE＝∠ODE＝90°，从而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根据等角对等边可得EB＝ED； （2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）BE＝DE， 理由：连接OD， ∵BE与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED； （2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°， ∴∠E＝90°﹣∠C＝70°， ∵EB＝ED， ∴∠EBD＝∠EDB55°， ∴∠EBD的度数为55°． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 32．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求CD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线得到，而，再由互余关系即可证明，则； （2）设的半径为.在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得，再由，得到方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，，即， ∴， ∴； （2）解：设的半径为. 在中，， 即. 在中，， 即. ∵， ∴， 解得. 在中， ∴． 33．（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30度 【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和垂径定理等知识进行推理和计算． （1）利用切线长定理证明，从而得出，得到即可得结果； （2）通过点是中点推出，，由（1）得，，是等边三角形，得到，再结合圆的性质和平行线性质，求出的度数． 【详解】（1）证明： 、分别切圆于、， ，． 又 ， ， ，即点是的中点． （2）点是的中点 ， 垂直平分，连接，则， 由（1）得， 是等边三角形， 是圆的切线， ， 34．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，中，是的直径，G为弦的中点，的切线交的延长线于点C，连并延长交于点D，连接交于点F． (1)求证：； (2)的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，则，由切线的性质可得，从而可得，由等边对等角可得，由等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，即可得证； （2）由（1）可得：，则，由题意可得，由直角三角形的性质可得，得出，由圆周角定理可得，证明为等边三角形得出，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵，G为弦的中点， ∴，即， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 35．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【分析】（1）延长交于点D，连接，根据切线得到，从而得到，根据直径得到，即可得到，结合圆周角定理得到证明； （2）过O作交于点E，延长交于点F，先根据垂径定理得到，得到，再根据垂直、平行及切线得到四边形是矩形，从而得到，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】（1）证明：延长交于点D，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过O作交于点E，延长交于点F， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，是的切线， ∴， 在中， ，即， 解得：， 在中， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，切线长定理，垂径定理，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 36．（2025·天津河东·二模）已知点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点A，与边交于点D． (1)如图①，过点O作，交于点E，交延长线于点G，若，，求的长； (2)如图②，与切于点M，连接，与直径交于点H，若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，切线长定理，垂径定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）切线得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系求出，解，即可； （2）证明四边形是菱形，得到，垂径定理结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． （2）∵与切于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵与切于点M，与相切于点A， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八：切线的判定与性质的综合运用 37．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，弧，弦，角的关系，三线合一，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据弧，弦，角的关系，得到，三线合一得到，平行线的性质，得到，即可得证； （2）证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ ∴， ∴． 38．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 39．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求的半径长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径长为． 【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，等角的余角相等，掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． （）利用切线长定理得到平分，即，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，分别切于点，， ∴平分，即，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 40．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，为的直径，为的弦，且垂足为M，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线得到，根据圆的性质得到，，由，结合切线的判定即可求解； （2）根据垂径定理得到，设，由题意可证，得到，可求出，结合切线的性质得到四边形是矩形，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：为的直径，， ∴， ∵， 设， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 设与交于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故的长的长为． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，切线的判定，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，垂径定理与勾股定理的综合知识是关键． 41．（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，    与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 42．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． (1)①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． (2)过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）①由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再根据圆周角定理即可求解；②连接，由圆周角定理可得，即得，再根据等腰三角形的性质及已知可得，即得，得到，即可求证； （）将绕点逆时针旋转得到，连接，可得，，，，进而可得，即可证，得到，又可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 43．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明： 是的直径， ， ， ； （2）证明：连接，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3）解：过点作于点，    ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 44．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图1，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分，过点P作，交的延长线于点A． (1)若，求的度数； (2)求证：与相切； (3)如图2，D是的中点，过D作交于C，与的交点为F．若，，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合角平分线与圆内接四边形的性质，转化角度关系进行计算． （2）连接，通过“角平分线+等腰三角形”证，结合得，从而证明切线． （3）设，，可得，结合是中点、，通过证明，得到，再根据勾股定理列方程即可求出圆的半径． 【详解】（1）解： ，平分， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 答：的度数为． （2）证明：连接， ， ， 平分， ， 故， ， ， ， 是的半径，且， 与相切． （3）解：连接， ， ， ， 设，，则， D是的中点， ， ，， ， ， ， ， 在中，有， 在中，有， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 半径． 答：的半径为． 【点睛】本题考查圆的基本性质、角平分线的性质、切线的判定定理、直角三角形的性质以及勾股定理，利用圆的性质与几何变换，关联线段与角度是解题关键． 45．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的值为2，理由见解析 【分析】本题考查了圆的性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关定理及全等三角形的判定方法． （1）连接，，由点C是劣弧FB的中点得到，由，从而得到，，即可求解角度； （2）通过连接，证明垂直于来判定切线； （3）构造全等三角形以及，利用线段关系推导常数的值即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵点C是劣弧的中点， ，则， ∵， ， ， ， ∵， ， ， 又∵， 是等边三角形，， 在 中，； （2）证明：连接，如图 ∵为的直径， ， ， ∴， ， ， ∵平分， ， ， ∴， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下， 过点作于点，如图， 则， ， 在和中， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ， ， ， 即， ∴存在常数，使得的值为2． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $