重难点专题20 弧长与面积有关的计算（9大题型）数学新教材人教版九年级上册.

重难点专题20 弧长与面积有关的计算 重难点一 求弧长 先找准题目对应的三个关键量：圆的半径、弧所对圆心角度数、整圆周长，弧长通用公式为，解题时优先提取题干已知半径和圆心角，无直接圆心角时可通过圆周角、平行关系、等腰三角形、圆内接四边形性质推导求出圆心角度数，半径未知时可借助垂径定理、勾股定理、直角三角形性质先求出半径，计算时注意区分优弧和劣弧，优弧对应的圆心角为360°减去劣弧圆心角，计算结果无需约分可保留含π的最简形式，禁止直接套用圆周角代替圆心角计算弧长。 1．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 2．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 【详解】解：将，代入 ． 3．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 4．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 5．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 7．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 8．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 重难点二 求半径 求圆半径优先根据题干已知条件匹配对应公式逆向求解，已知弧长和圆心角可通过弧长公式变形得，已知扇形面积和圆心角可通过扇形面积公式变形求半径，几何图形题型中可利用垂径定理构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形，结合勾股定理列方程求解半径，圆锥题型中可根据底面圆周长等于侧面扇形弧长建立等量关系求母线长或底面半径，实际应用题中通过拱高、弦长构造方程求解半径，计算后舍去负数和不符合实际的无效解。 1．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解． 【详解】解：设半径为， 弧长公式，其中，， ， ，故半径为， 故选：D． 2．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 3．已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 4．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 5．已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为______cm． 【答案】7.2 【分析】设圆的半径为r cm，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设圆的半径为r cm， 则， 解得，r=7.2， 故答案为：7.2． 6．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】由题意得：，其中， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧的中点，若∠BAC＝30°，劣弧的长为π，则⊙O的半径为____． 【答案】1 【分析】连接OC、OB，根据已知求出∠COB的度数，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点C是劣弧的中点，劣弧的长为， ∴劣弧的长为， ∵， ∴， 根据弧长的计算公式得， ∴． 故答案为：1 8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ___. 【答案】/ 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为，则底面圆的周长是， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：， 即：， 与之间的关系是． 故答案是：． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 重难点三 求圆心角问题 求圆心角优先利用公式逆向推导，已知弧长和半径可通过弧长公式变形得，已知扇形面积和半径可通过扇形面积公式变形求圆心角度数，几何推导题型中牢记同弧圆心角是圆周角的两倍，可通过题干给出的圆周角直接换算圆心角，多条弧组合题型利用整圆360°、半圆180°，通过已知弧度数加减推导未知圆心角，圆内接四边形、平行线、三角形外角题型可通过角度等量代换求出对应弧的圆心角，优弧圆心角统一用360°减去劣弧圆心角计算，所有圆心角计算结果均为0°到360°之间的正数。 1．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 2．如图，已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知： 弧长=圆锥底面周长=2×3π=6πcm， 扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=6π×180÷6π=180°． 故选：C． 3．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　)    A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴圆锥的底面周长为6π， ∵圆锥的高是6， ∴圆锥的母线长为 设扇形的圆心角为n∘， ∴ =6π， 解得n=120. 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°. 故选B. 4．如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 【答案】/60度 【详解】解：设圆心角是，由题意，得， 解得， ∴这个扇形的圆心角是． 5．若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 【答案】 【详解】∵圆锥的底面圆的周长是， ∴圆锥的侧面扇形的弧长为 cm， ， 解得： 故答案为． 6．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 重难点四 求扇形面积问题 扇形面积有两个通用公式灵活选用，已知圆心角和半径优先使用，已知弧长和半径优先使用简便公式，解题时先判断题干给出的已知条件快速匹配公式，圆心角未知时通过圆周角、几何角度关系推导得出，半径未知时借助勾股定理、垂径定理、边长关系求出，多个扇形拼接题型可利用等弧等圆性质合并扇形统一计算面积，避免分开重复计算，旋转类扇形面积直接找准旋转半径和旋转角度代入公式，计算始终保留π，不进行小数近似计算。 1．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 2．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 3．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径． 【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得， 解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 4．如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 6．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积公式，即等于弧长与半径乘积的一半．设大圆半径为，小圆半径为，得到，则，即可得答案． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 则扇形的面积，扇形的面积， ∵扇形与扇形的面积相等， ∴， ∵ ∴， 即， 故选：B 7．如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．过点作于点，先根据等边三角形的性质和勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用扇形的面积公式可得，然后比较大小即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积， 由题意可知，扇形的面积， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是_______． 【答案】 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以． 因为， 则在中， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 9．如图，四边形内接于，∥，，，，连接OB、OC，若点E是劣弧的中点，则扇形的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 故答案为：． 重难点五 求弓形的面积 弓形面积统一采用加减法则计算，劣弧弓形面积等于对应扇形面积减去弓形内部三角形面积，优弧弓形面积等于对应大扇形面积加上外部三角形面积，解题时第一步先判断弓形为优弧弓形还是劣弧弓形，第二步利用圆的性质求出半径和圆心角，算出扇形面积，第三步根据圆心角构造等腰三角形，利用三角函数、勾股定理、底乘高求出三角形面积，最后代入对应加减公式得出弓形面积，杜绝优弧劣弧公式混用，无特殊说明题目默认求解劣弧弓形面积。 1．如图，已知扇形的圆心角为，直径为，则图中弓形（阴影部分）的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题易得空白部分三角形（）为等边三角形，先求出扇形和的面积，由S阴影=S扇形-S△ABC即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D    ∵AB=AC=×6=3，∠BAC=60° ∴为等边三角形， ∠ACB=60° ∴AD=AC·sin∠ACB= ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，掌握等边三角形的判定及性质、锐角三角函数、扇形面积公式是解决此题的关键． 2．如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 3．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 4．文艺复兴时期，意大利艺术大师达·芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图所示称为达·芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为，所在圆的圆心为点（或）．若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别连接AD，AB，BD，构造扇形ABD，等腰直角ABD及弓形，用扇形ABD的面积减去等腰直角ABD的面积，即得到弓形面积，再用圆的面积减去2倍弓形面积即可． 【详解】∵圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D， ∴A，B，C，D分别是正方形各边中点， 如图所示，分别连接AD，AB，BD， 则∠DAB=90°， ∵正方形边长为2， ∴AD=BD=， S扇形ABD-S△ABD=， ∴S阴影=S圆． 故选B． 5．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6．如图，扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题易得空白部分的三角形为等边三角形，先求出扇形和空白三角形的面积，由S阴影=S扇形-S△即可求解. 【详解】解：由扇形圆心角为60°可得空白部分的三角形为等边三角形， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，扇形面积的计算公式为． 7．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 8．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 9．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 重难点六 求不规则图形的面积 不规则圆类图形面积核心解题方法为割补法、平移法、旋转拼凑法、面积加减法，优先将零散、不规则的阴影图形通过平移、旋转、对称转化为扇形、三角形、半圆、圆环等规则图形，无法拼凑的图形直接采用整体减空白的思路，用大圆、大扇形、整体图形面积减去空白三角形、空白小扇形、空白小圆面积，多块分散阴影可合并为单一规则图形简化计算，圆环类不规则面积直接套用，全程规避复杂分步计算，优先整体代换求解。 1．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 2．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， ， ， ， 由旋转可得，，， ． 3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 4．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 5．如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后求出，根据菱形邻角互补求出，再求出点到的距离以及点到的距离；然后根据阴影部分的面积，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，设交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形和菱形的边长分别为4和6， ∴， 解得， 则， ∵四边形和四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， =． 6．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 7．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 8．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于长方形面积减去和的面积，根据已知比例关系，将转化为长方形长和宽的分数倍，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】过C作交的延长线于点F，先利用平行四边形的性质得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，由阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于点F，如图所示， ∵四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ，， ， ∴阴影部分的面积为 ． 10．如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【详解】解：由图可知， ，． ∵四边形是正方形，边长为2， ∴，，， ∴ ∴扇形的半径为，圆心角为， ∴ ∴． 11．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， ， ． ，， ． 重难点七 求旋转图形扫过的面积 旋转扫过面积本质为扇形或圆环组合图形面积，解题关键是找准旋转中心、旋转半径、旋转角度，单一图形定点旋转时，图形端点扫过的轨迹为圆弧，整体扫过面积多为扇形面积，线段旋转扫过面积为圆环部分扇环面积，三角形、四边形旋转扫过面积为大扇形减去小扇形的扇环面积，固定旋转角度90°、180°可直接代入特殊角度公式快速计算，旋转过程中重叠区域只计算一次面积，禁止重复累加，无特殊说明旋转角度以题干给出或图形直角、平角为准。 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 2．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 3．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 4．如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，……，均为等腰直角三角形． ∴，，，……． ∴，， ，，……． ∴可推导一般性规律为． ∴当时， ∴． 故选：A． 6．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据 得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出 ，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 7．如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 8．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 【答案】 【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴线段扫过的图形的面积为． 9．如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 【答案】 【分析】先画出线段经旋转运动所形成的平面图形，然后根据直角三角形的性质求出，，结合，可得，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在上的点H处， 则， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】用割和补求不规则图形的面积是常用的解题方法． 10．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 重难点八 与圆锥有关的计算问题 圆锥计算牢记唯一核心等量关系：圆锥底面圆周长=侧面展开扇形的弧长，圆锥底面半径、母线长、侧面圆心角满足固定关系，可快速推导三者之间任意未知量，圆锥侧面积公式为，全面积为侧面积加底面积即，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足，所有圆锥计算优先理清底面圆和侧面扇形的对应关系，不混淆母线长和底面半径，所有公式可灵活逆向变形求未知量。 1．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆锥侧面积为. 2．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：． 3．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 4．如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 5．小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 6．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 7．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 8．如下图，有一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器．圆柱的半径是、高是，圆锥的高是，容器中液面的高度是．现在将这个容器倒过来，从圆锥尖到液面的高是（    ）． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查圆柱和圆锥的体积公式的应用，通过体积关系分析容器倒过来后液面的高度．因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以圆柱内高为的水的体积等于圆锥内高的水的体积．把圆柱中高的水倒入圆锥中，正好把圆锥部分装满，则剩下的就是圆柱内水的高度，即，最后用圆锥的高加上圆柱内水的高度即为从圆锥尖到液面的高度． 【详解】解：（） （） （） 所以从圆锥尖到液面的高是． 故答案为：C． 9．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为x， ∵圆锥的底面圆的周长为， ∴ 解得． 10．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 11．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 12．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 13．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 14．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据圆锥的展开图即可得到答案； （2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到． 【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长， 或． （2）解：， ， ， 解得：， 在直角中，， ， ， ． 15．综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 重难点九 圆锥侧面最短路径问题 圆锥侧面最短路径解题唯一思路为化曲面为平面，将圆锥侧面沿母线剪开展开为扇形平面图形，根据两点之间线段最短，圆锥底面圆周上两点、顶点到底边任意点的最短路径，全部转化为展开扇形中的线段长度，解题步骤为先根据圆锥底面半径和母线长求出侧面展开扇形的圆心角度数，再在展开扇形中定位对应两点位置，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理、三角函数计算线段长度，曲面曲线长度一律舍弃，只计算平面直线距离，是此类题型唯一标准答案。 1．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 2．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 3．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 4．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】/3厘米 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 5．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为_____cm． 【答案】 【详解】如图，过点A作AH⊥OB于H． ∵OE=OF=9cm，FA=3cm，EB=1cm， ∴OA=6cm，OB=8cm． 圆锥的底面周长是π×6=6π，则6π=， ∴n=120°， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120°． ∴∠EOF=60°， ∴AH=OA•sin60°=6×（cm），OH=OA•cos60°=6×=3（cm）， ∴BH=OB-OH=5cm， ∴在直角△ABH中，由勾股定理得到：AB=（cm）． 6．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 7．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等；(2)；(3) 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题20 弧长与面积有关的计算 重难点一 求弧长 先找准题目对应的三个关键量：圆的半径、弧所对圆心角度数、整圆周长，弧长通用公式为，解题时优先提取题干已知半径和圆心角，无直接圆心角时可通过圆周角、平行关系、等腰三角形、圆内接四边形性质推导求出圆心角度数，半径未知时可借助垂径定理、勾股定理、直角三角形性质先求出半径，计算时注意区分优弧和劣弧，优弧对应的圆心角为360°减去劣弧圆心角，计算结果无需约分可保留含π的最简形式，禁止直接套用圆周角代替圆心角计算弧长。 1．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 7．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 8．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 重难点二 求半径 求圆半径优先根据题干已知条件匹配对应公式逆向求解，已知弧长和圆心角可通过弧长公式变形得，已知扇形面积和圆心角可通过扇形面积公式变形求半径，几何图形题型中可利用垂径定理构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形，结合勾股定理列方程求解半径，圆锥题型中可根据底面圆周长等于侧面扇形弧长建立等量关系求母线长或底面半径，实际应用题中通过拱高、弦长构造方程求解半径，计算后舍去负数和不符合实际的无效解。 1．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 3．已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为______cm． 6．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝______． 7．如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧的中点，若∠BAC＝30°，劣弧的长为π，则⊙O的半径为____． 8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 ___. 重难点三 求圆心角问题 求圆心角优先利用公式逆向推导，已知弧长和半径可通过弧长公式变形得，已知扇形面积和半径可通过扇形面积公式变形求圆心角度数，几何推导题型中牢记同弧圆心角是圆周角的两倍，可通过题干给出的圆周角直接换算圆心角，多条弧组合题型利用整圆360°、半圆180°，通过已知弧度数加减推导未知圆心角，圆内接四边形、平行线、三角形外角题型可通过角度等量代换求出对应弧的圆心角，优弧圆心角统一用360°减去劣弧圆心角计算，所有圆心角计算结果均为0°到360°之间的正数。 1．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　)    A．90° B．120° C．135° D．150° 4．如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 5．若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 6．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 重难点四 求扇形面积问题 扇形面积有两个通用公式灵活选用，已知圆心角和半径优先使用，已知弧长和半径优先使用简便公式，解题时先判断题干给出的已知条件快速匹配公式，圆心角未知时通过圆周角、几何角度关系推导得出，半径未知时借助勾股定理、垂径定理、边长关系求出，多个扇形拼接题型可利用等弧等圆性质合并扇形统一计算面积，避免分开重复计算，旋转类扇形面积直接找准旋转半径和旋转角度代入公式，计算始终保留π，不进行小数近似计算。 1．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 3．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 4．如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 5．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是_______． 9．如图，四边形内接于，∥，，，，连接OB、OC，若点E是劣弧的中点，则扇形的面积为__________． 重难点五 求弓形的面积 弓形面积统一采用加减法则计算，劣弧弓形面积等于对应扇形面积减去弓形内部三角形面积，优弧弓形面积等于对应大扇形面积加上外部三角形面积，解题时第一步先判断弓形为优弧弓形还是劣弧弓形，第二步利用圆的性质求出半径和圆心角，算出扇形面积，第三步根据圆心角构造等腰三角形，利用三角函数、勾股定理、底乘高求出三角形面积，最后代入对应加减公式得出弓形面积，杜绝优弧劣弧公式混用，无特殊说明题目默认求解劣弧弓形面积。 1．如图，已知扇形的圆心角为，直径为，则图中弓形（阴影部分）的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．文艺复兴时期，意大利艺术大师达·芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图所示称为达·芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为，所在圆的圆心为点（或）．若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B．2 C． D． 5．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ） A． B． C． D． 7．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 8．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 9．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 重难点六 求不规则图形的面积 不规则圆类图形面积核心解题方法为割补法、平移法、旋转拼凑法、面积加减法，优先将零散、不规则的阴影图形通过平移、旋转、对称转化为扇形、三角形、半圆、圆环等规则图形，无法拼凑的图形直接采用整体减空白的思路，用大圆、大扇形、整体图形面积减去空白三角形、空白小扇形、空白小圆面积，多块分散阴影可合并为单一规则图形简化计算，圆环类不规则面积直接套用，全程规避复杂分步计算，优先整体代换求解。 1．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 8．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 9．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 10．如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 11．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 重难点七 求旋转图形扫过的面积 旋转扫过面积本质为扇形或圆环组合图形面积，解题关键是找准旋转中心、旋转半径、旋转角度，单一图形定点旋转时，图形端点扫过的轨迹为圆弧，整体扫过面积多为扇形面积，线段旋转扫过面积为圆环部分扇环面积，三角形、四边形旋转扫过面积为大扇形减去小扇形的扇环面积，固定旋转角度90°、180°可直接代入特殊角度公式快速计算，旋转过程中重叠区域只计算一次面积，禁止重复累加，无特殊说明旋转角度以题干给出或图形直角、平角为准。 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 3．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 6．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 9．如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 10．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 重难点八 与圆锥有关的计算问题 圆锥计算牢记唯一核心等量关系：圆锥底面圆周长=侧面展开扇形的弧长，圆锥底面半径、母线长、侧面圆心角满足固定关系，可快速推导三者之间任意未知量，圆锥侧面积公式为，全面积为侧面积加底面积即，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足，所有圆锥计算优先理清底面圆和侧面扇形的对应关系，不混淆母线长和底面半径，所有公式可灵活逆向变形求未知量。 1．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（     ） A． B． C． D． 3．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 6．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 7．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 8．如下图，有一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器．圆柱的半径是、高是，圆锥的高是，容器中液面的高度是．现在将这个容器倒过来，从圆锥尖到液面的高是（    ）． A．7 B．9 C．11 D．13 9．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 10．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 11．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 12．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 13．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 14．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 15．综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 重难点九 圆锥侧面最短路径问题 圆锥侧面最短路径解题唯一思路为化曲面为平面，将圆锥侧面沿母线剪开展开为扇形平面图形，根据两点之间线段最短，圆锥底面圆周上两点、顶点到底边任意点的最短路径，全部转化为展开扇形中的线段长度，解题步骤为先根据圆锥底面半径和母线长求出侧面展开扇形的圆心角度数，再在展开扇形中定位对应两点位置，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理、三角函数计算线段长度，曲面曲线长度一律舍弃，只计算平面直线距离，是此类题型唯一标准答案。 1．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 2．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 3．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 4．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 5．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为_____cm． 6．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 7．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $