2026-2027学年高三上学期数学期中自编模拟一（山东烟台适用）

高三数学期中复习（一）(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.设集合，，则 A. B. C. D. 2.已知，，则“”是“与夹角为钝角”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 4.设P是所在平面内一点，，则 A. B. C. D. 5.记函数的最小正周期为T，若，且是图象的一个最高点，则 A. B. C. D. 6.已知函数，令，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 7.如图，在中，，，点D在直线AC的右侧，且，，则BD的长度的最大值是    A. B. C. 3 D. 8.若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为      A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有    A. ab的最大值为1 B. ab的最大值为9 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则下列结论正确的有 A. 的最小值为 B. C. 的最大值为 D. 当时，为等腰直角三角形 11.已知函数，则 A. 是R上的增函数 B. 函数有且仅有一个零点 C. 函数的最小值为 D. 存在R，使得函数为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则           13.若函数，则的最小值是           14.设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为           四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题14分 已知 若，求的单调区间； 若且，解关于x的不等式 16.本小题14分 在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答． 问题：已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是AC边的中点，，且_______. 求b的值； 若的平分线交BC于点E，求的周长． 17.本小题14分 已知函数R，若在点处的切线方程为 求的解析式； 求函数在上的值域． 18.本小题15分 受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份．为了保证A，B两个产粮大镇农作物的用水需求，政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库．已知蓄水库原有水量为18万立方米，计划从2月初每月补进q万立方米地下水，以满足A，B两镇农作物灌溉需求．若A镇农作物每月的需水量为2万立方米，B镇的农作物前x个月的总需水量为万立方米，其中，且N已知B镇前4个月的总需水量为24万立方米． 试写出第x个月水被抽走后，蓄水库内蓄水量万立方米与x的函数关系式； 要使9个月内每月初按计划补进地下水之后，水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足A，B两镇的农作物用水需求，试确定q的取值范围． 19.本小题20分 已知函数 讨论函数的单调性； 设函数有两个极值点， ①求实数a的取值范围； ②证明： 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了描述法、区间的定义，绝对值不等式的解法，对数函数的定义域，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可． 【解答】 解：或，，  ． 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 【分析】 本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 由题意结合平面向量数量积的知识可得若，夹角为钝角，则且，再结合充分条件、必要条件的概念即可得解. 【解答】 解：若，夹角为钝角，则且， 由 可得：，解得且， 故，夹角为钝角的x取值范围为： 且， 可得“”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用不等式的基本性质比较大小，利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题. 对于A，由特例进行判断；对于B，由作差法比较大小，进行判断；对于C，由特例进行判断；对于D，由指数函数的单调性比较大小，进行判断. 【解答】 解：对于A，当，时，，故A错误； 对于B， ， ， ， 不能判断a，的符号，故不能判断，的大小关系，故B错误； 对于C，当，，时，，，即，故C错误； 对于D，，在R上单调递减，，即，故D正确. 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查向量加减和数乘混合运算，熟练掌握向量的运算法则是解决问题的关键，属基础题． 由向量的运算法则可得：，，代入已知式子化简可得． 【解答】 解：， ，， ， ， 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题． 由周期范围求得的范围，由对称中心求解与b值，可得函数解析式，则可求． 【解答】 解：函数的最小正周期为T， 则，由，得， 是图象的一个最高点，， 且， 又，取，可得， ， 则 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，考查函数求值，属于中档题. 由，，得到，可得结果. 【解答】 解：， 当时，单调递减，由于， 所以， 由于， ， 由于， 所以， 所以， 故选 7.【答案】B  【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角函数的最值问题等，属于中档题. 在中，设，则，设，则由余弦定理，得，结合正弦定理可得在中，由余弦定理，得，由诱导公式及辅助角公式可得，，由此可得 BD长的最大值. 【解答】 解：由题意可设，，， 则由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以 连接BD，在中，由余弦定理，得， ， 当时，BD的长度取得最大值，为 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题. 将式子整理变形可得，可令，即为，利用导数研究新函数的增减性即可解决. 【解答】 解：，x，， 可得， 可令，上式即为， 可设，， 由，可得函数为上的减函数， 由，可得，，递增时，，递减， 可得在处取得极大值，且为最大值1， 由题意可得，即， 解得 故实数m的取值范围为 . 9.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式求最值、一元二次不等式的解法，属于中档题． 根据基本不等式和一元二次不等式的性质逐个分析即可. 【解答】 解： 正数a，b满足， ，即  ， 当且仅当时等号成立， 解得  ， ，即ab的最大值为1，故A正确；B错误； 正数a，b满足，   ，即  ， 解得 ，当且仅当时取等号，   ，即的最小值为2，故C正确；  正数a，b满足， ， ， 令，， 上式 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了二倍角公式，基本不等式，属于中档题. 根据三角形内角和定理，结合，可求得，由此可知，结合基本不等式逐项判断即可. 【解答】 解：因为 所以 因为 即， 所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 因为，所以，，则，故B正确； 因为三角形ABC是直角三角形，所以，所以，因为a，b均正，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； ，当时，即，因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，故D正确. 11.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题. 利用导数研究函数的单调性判断由函数的单调性求得函数的零点判断利用导数求最值判断C；代特殊值再验证判断 【解答】 解：对于A，由，得， ，可得，即存在，满足， 所以， 所以在单减，单增，故A错误； 对于B，，， 当时，，则， 当时，，则， 可得函数有且仅有1个零点，故B正确； 对于C，由选项A可得，当时，取得最小值， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，则， ，， 所以，解得 经检验，当时，， 则，故函数为奇函数， 所以存在，使得函数为奇函数，故D正确. 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题. 由诱导公式，二倍角公式可得，进而得出答案. 【解答】 解： ， 又， 故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，二倍角公式，正弦函数的性质，属于中档题. 对求导，利用导数、正弦函数的性质得到函数的单调性及最值. 【解答】 解：因为，所以 ， 由得，即，，函数单调递增， 由得，即，，函数单调递减， 所以当时，取得最小值，且 14.【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了函数的周期性，奇偶性的应用，函数零点个数判断，属于较难题. 根据和的函数图象，判断在 ， 上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和. 【解答】 解： ，  关于直线对称， ， 关于直线对称， ， ， 是以2为周期的函数， 在 ， 上共有3条对称轴，分别为直线，，， 又关于直线，，对称， 直线，，为的对称轴， 作出和的函数图象如图所示： 可知在， 和 ，上各有1个零点，由函数的对称性和周期性可得在 ，上有1个零点，在上有1个零点，在上有一个零点，在上有1个零点， 且为的一个零点，，为的一个零点， 在 ， 上共有8个零点， 设这8个零点从小到大依次为 ， ， ， ， ，，则， 则 ， 关于对称， ， 关于对称， ， 关于对称.   ，   2，  ，         故答案为 15.【答案】解：由已知得，，，得， ， 由得，， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 由得，又且，， ， 因为，所以， 所以，即， ①当时，， 又因为，所以 ②当时，， 又因为，所以 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为  【解析】本题考查了对数函数的单调性与最值以及利用对数函数的单调性解不等式，是中档题. 先由，得，再研究复合函数单调性即可； 由，得，分和两种情况求解即可. 16.【答案】解：选择①：设，则， 在中，， 在中，， ， ， 即， 所以， 故， 选择②：由正弦定理得，， ， ， ， 即，于是， ， 设，， 在中，，即，① 在中，，即，② 联立①②得，，， 即，， 若选择①， 由余弦定理知， 所以无论选择①还是选择②， ，，，， 由题意得，， ， ， 又， ， 故的周长为  【解析】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积的应用，属于中档题. 选择①：设，则，在中，中，由余弦定理以及，求得b； 选择②：由正弦定理得，边化角，，在中，中，由余弦定理得，即，求解得c，b； 由题意得，，由三角形的面积公式得AE，由，得BE，得三角形的周长. 17.【答案】解：，，故， 在点处的切线方程为，即 ，即， 所以函数的解析式为 ，，， 令得，， ，， ，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，， ，， 所以函数在上的值域为  【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求最值，属于中档题. 由题得，，利用导数的几何意义可知在点处的切线方程为，对照已知条件即可求解. 对函数求导，，利用导数判断函数的单调性，求出最值，即可求解. 18.【答案】解：因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米， 所以，则， 所以 ①由题意知：对且恒成立， 即对且恒成立， 令，则， ，所以， ②首先，即， 其次，对且恒成立， 所以对且恒成立， 令，则 ， 因为且， 所以恒成立，所以函数单调递减， 所以当时，y取得最小值，且 所以， 综合①②可得q的取值范围为  【解析】本题考查函数模型的应用，基本不等式求最值，导数与函数的单调性、最值，由导数求解不等式恒成立问题，属于较难题. 由题意，则，得； ①由题意知：对且恒成立，即对且恒成立，令，则，，由二次函数的最值得q的范围；②首先，即，其次，对且恒成立，即对且恒成立，令，由导数求函数的单调性得最值，得q的范围，综上得q的范围. 19.【答案】解：， ， 令得，或， 因为， 所以：①当时，，，单调递增，，，单调递减， ，，单调递增， ②当时，，在单调递增， ③当时，，，单调递增，，，单调递减，，，单调递增， 综上所述： 当时，函数在，上单调递增，函数在上单调递增的单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，函数在上单调递减; ①由已知得，， ， 函数有两个极值点，， 即方程在上有两个不等实根， 令， 因此只需即，故， ②由①知，，，且， ， 要证，即证， 只需证， 令， ，令， 因为恒成立，所以在上单调递减， 又，， 由函数根的存在性定理得，， 使得，即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， 在上显然单调递增， ，， 即  【解析】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、极值和最值，导数中的不等式. 分，，三种情况，利用导数研究函数单调性的方法即可得出答案； ①由已知得，，函数有两个极值点，， 即方程在上有两个不等实根，令，因此只需，解不等式组即可； ②由①知，，，且，，要证，只需证，令，，利用导数的方法得，因为在上显然单调递增，所以，即可得证. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $