精品解析：山东聊城第二中学2025-2026学年高三上学期期中模拟数学试题（二）

2023级高三期中冲刺数学模拟卷二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，须满足，即. ，所以. 2. 复数在复平面所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数除法法则化简复数，得其代数形式，再根据复数的几何意义确定对应点的坐标，最后判断该点所在象限. 【详解】根据题意，， 在复平面上的对应点为，位于第一象限. 故选：A 3. 如图，是圆上的三点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则利用数量积可求，. 【详解】设圆的半径为， 设，则， 而，故即， 又，而， 故，故， 故， 故选：A. 4. 已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据扇形的弧长公式求出圆锥的母线长，进而求出高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：D. 5. 若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，由此列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意可知当时，， 结合函数（且）在上为单调函数， 可知当时，为单调递增函数， 当时，也必为单调递增函数， 由于在上单调递减，故在上单调递减， 此时在上单调递增， 故，解得， 故实数的取值范围为， 故选：B 6. 已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，则当时，则使需要的雹程步数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程. 【详解】解：根据题意，当，根据上述运算法则得出42→21→64→32→16→8→4→2→1， 所以共需经过8个步骤变成1，故使需要的雹程步数为8. 故选：B 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列中，则（ ） A. 的前10项和为 B. 的前100项和为100 C. 的前项和 D. 的最小项为 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由，利用错位相减法求解判断；B.由，利用幷项求和判断；C.由 ，利用裂项相消法求解判断；D. 由，利用对勾函数的性质求解判断. 【详解】A.易知，则 ， ， ， 两式相减得 ， ， ， ，则 ，故错误； B. 易知，则其前100项和为，故正确； C. ，故正确； D. 易知，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，而，当时，，当时，，所以的最小项为，故错误； 故选：BC 10. 已知奇函数在上单调递增，，，若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 或 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合题中的条件对抽象函数求导可以得到，，再结合选项进行判断即可. 【详解】对于A，由为上的奇函数，则，， 则，所以，即为偶函数，因此关于直线对称，故A正确； 对于B，由，则两边同时求导得：，即，故B正确； 由，则，即，即， 则（为常数），设（为常数）， 对于C，由，则，即，解得或， 当，则，则，即， 又为偶函数，则即是奇函数也是偶函数，与在上单调递增矛盾， 因此不符合题意，则，故C错误； 对于D，当时，则，则，即，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：奇偶函数的性质，及对抽象函数求导，比如，求导可以得到，再结合，，灵活变化，必要时可以对其进行赋值. 11. 在中，，为边上的两点，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积最大值为 C. 若，则长的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由题意知，由及余弦定理分析判断；对于B：在中由余弦定理及基本不等式得的面积最大值；对于C：可知点在外接圆的优弧上运动，当经过圆心时最长，根据余弦定理可求得最长值；对于D：取的中点，设，可知，根据角度关系结合三角恒等变换求的值，进而求和. 【详解】在中，设角所对的边分别为， 对于选项A：因为， 则， 可得， 且 ，可得，即， 由余弦定理， 消去可得， 所以，故A正确； 对于选项B：在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 所以，故B错误； 对于选项C：在中，设外接圆半径为，圆心为， 则点在外接圆的优弧上运动（不包括端点）， 则，即， 且，，则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以当经过圆心时最长，最长为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 因为，， 可知，且点为的中点， 设， 在中，则， 在中，可得， 因为， 则， 即，解得， 可得 ， 且为锐角，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件可得，代入化简即可. 【详解】已知向量，，若，则有， ∴. 故答案为： 13. 已知点在函数的图象上，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先代入点，求出，得到的解析式，再通过求导求出切线的斜率，进而得在点处的切线方程. 【详解】由题意，知 ∵，∴，故， 故，， ∴， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，由题意知在内有两个不等实根，再结合二次方程根的分布列不等式即可求得m的范围. 【详解】作出的图象， 令，则方程，即为， 有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 若函数的相邻两个对称轴间的距离为. （1）求的值及的对称轴方程； （2）将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 【答案】（1）；对称轴方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合周期性求的值，再以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解； （2）根据图象变换可得，结合三角恒等变换运算求解，注意以整体和三角函数值的符号性. 【小问1详解】 因为 ， 由题意可知：函数的最小正周期为，且， 可得，解得，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，可得， 再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 因为，即， 且，则， 可得，， 则 ， 所以. 16. 函数的图象在处的切线为. （1）求的值； （2）求在上零点的个数. 【答案】（1） （2）在上仅有1个零点 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，和切点，然后得到切线方程，利用对应相等，即可求得的值； （2）利用一次求导和二次求导分析原函数和导函数的单调性，分与两种情况讨论，结合单调性和零点存在性定理，即得证. 【小问1详解】 因为， 所以，所以切线斜率为，即， 所切线方程为 又，所以切点坐标为，代入得 则，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 令，则， 当时，恒成立，所以在上递增， 所以， 因此在无零点； 当时，恒成立，所以单调递增， 又， 所以在上存在唯一的零点， 当单调递减； 当单调递增； 又，， 因此在上仅有1个零点； 综上，在上仅有1个零点. 17. 已知函数满足，且为的一个极值点. （1）求，； （2）已知图象与的图象关于点对称，若存在使成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值的定义结合导数，即可列方程组求值； （2）利用对称思想求出，再结合不等式存在性问题，通过分离参变量可求得参数范围. 【小问1详解】 ， 由题，所以， 经检验合题意， 又因为，所以； 【小问2详解】 设上任意一点，关于的对称点在上， 所以，所以，即， 因为存在使得成立， 所以成立，即成立， 令，，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知锐角三角形的外心为，内角，，满足. （1）求； （2）若，求边的取值范围； （3）若，点满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形三个角的关系、诱导公式以及二倍角公式化简等式即可求得角，由圆周角与圆心角的关系即可得到的值； （2）由正弦定理得到边关于的关系式，然后由锐角三角形的角的关系求出的取值范围，即可求得边的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，得到点坐标，设坐标，得到坐标，从而求出其模长，由锐角三角形得到变量的取值范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 以为原点，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以，所以， 设，则， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而可求出切线方程. （2）对函数求导，分，，三种情况讨论函数的最大值，从而确定的值. （3）先化简不等式，然后构造函数，两次求导，判断单调性求出最小值，进而求出的范围. 【小问1详解】 当时，，求导得， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，，令，得， ①当，即时，在恒成立，所以在上单调递减， 所以，，不合条件，舍； ②当，即时，当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，符合条件； ③当，即时，在恒成立，所以在上单调递增， 所以，，不合条件，舍. 综上，. 【小问3详解】 由，可得，即， 设，其中，则， 设，则， 当时，，，且等号不同时成立，则恒成立， 当时，，，则恒成立，则在上单调递增， 又因为，， 所以，存在使得， 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 当时，由（2）得，且当时，， 此时函数的值域为，即. （ⅰ）当时，即当时，恒成立，合乎题意； （ⅱ）当时，即当时，取， 结合图象可知，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 20. 已知数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，若数列的最小项为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件通过递推关系式求出数列的通项公式，再结合等比数列的求和公式即可得到结果； （2）法一：先由（1）中的结果可得数列的通项公式，通过导数分析其单调性即可得到结果；法二：通过分析的符号得到其单调性即可. 【小问1详解】 由题意可得①， 当时，， 当时，②， 由①②可得，， 则，， 又时，也满足上式， 所以， 即 . 【小问2详解】 由（1）可知， 则 法一：令，则， 则，令可得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因为， 当时，，当时，， 且，， ，所以. 法二：所以， 令， 得，得， 所以且， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三期中冲刺数学模拟卷二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，是圆上的三点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，则当时，则使需要的雹程步数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列中，则（ ） A. 的前10项和为 B. 的前100项和为100 C. 的前项和 D. 的最小项为 10. 已知奇函数在上单调递增，，，若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 或 D. 11. 在中，，为边上的两点，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积最大值为 C. 若，则长的最大值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则的值为______. 13. 已知点在函数的图象上，则曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 若函数的相邻两个对称轴间的距离为. （1）求的值及的对称轴方程； （2）将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 16. 函数的图象在处的切线为. （1）求的值； （2）求在上零点的个数. 17. 已知函数满足，且为的一个极值点. （1）求，； （2）已知图象与的图象关于点对称，若存在使成立，求的取值范围. 18. 已知锐角三角形的外心为，内角，，满足. （1）求； （2）若，求边的取值范围； （3）若，点满足，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 20. 已知数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，若数列的最小项为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $