2026-2027学年苏科版七年级上册期中专项练习 ：规律探索

七年级（上）规律探索题 模块一　数列规律 例题 1 古希腊的毕达哥拉斯学派把 这样的一列正整数称为“三角形数”，把 这样的一列正整数称为“正方形数”。 （1）第 个“三角形数”是，第 个“正方形数”是（用含 的式子表示）； （2）在小于 的正整数中，设最大的“三角形数”为 ，最大的“正方形数”为 ，求 的值。 【解析】 （1）三角形数：，一阶差分为 ，故 正方形数：，即 ，故第 个为 。 （2）由 得 ，即 。因为 所以 。 又 且 为正整数，故 ，最大的正方形数为 ，即 。 所以 。 点评：本题的关键不是“会算 ”，而是把“三角形数”翻译成和式 。凡是名字古怪的数列（三角形数、正方形数、四面体数），第一步都是写几项、看它是不是某个熟悉的和。 例题 2 有一列数 ，其中任意相邻四个数之和都等于 。已知 ，，，求 的值。 【解析】 由条件，对任意 都有 两式相减得 所以这列数以 为周期。 由 ，，且 ，得 又 ，故 点评：“相邻 个数之和为定值”是周期数列的经典模型，结论是以 为周期。推法只有一步：写出相邻两组，相减即得 。记住这个模型，比现场推更省时间。 练习 1 在一列数 中，，，，且任意相邻三个数的和都相等。若前 个数的和等于 ，求 的值。 练习 2 有一列数 ，从第二个数开始，每个数都等于 与它前面那个数的差的倒数（即 ）。若 ，求 的值。 练习 3 已知整数 满足下列条件： 依此类推，求 的值。 模块二　周期规律与循环节 【方法】 周期题的通法是三步：写出前若干项（找出循环节）→ 定周期 → 用带余除法定位（，）。注意余数为 时要取第 个。求和的周期题，还要先算“一个周期的和”。 例题 1 观察下列等式： （1） 的末位数字以几为周期循环？循环节是什么？ （2）求 的末位数字。 【解析】 （1）逐项看末位数字： 可见末位数字以 为周期循环，循环节为 。 （2）一个周期内四个末位数字之和为 末位数字是 。又 ，即前 项中含有 个完整周期，另余 项。 故总和 （ 个末位为 的周期），而 与 末位相同，为 。 所以原式的末位数字是 。 点评：末位数字问题是“周期 + 求和”的典型：周期管位数，余数管位置。切记余下的那一项要单独加回去，不能连同“周期的和”一起算成 。 例题 2 电子跳蚤在数轴上的点 处，第一步从 向右跳 个单位到 ，第二步由 向左跳 个单位到 ，第三步由 向右跳 个单位到 ，第四步由 向左跳 个单位到 ，，按以上规律跳了 步后落在点 处。若 所表示的数是 ，求电子跳蚤的初始位置 所表示的数。 【解析】 把每步的位移记下来：，即第 步是“向右 个单位”还是“向左 个单位”，取决于 的奇偶。 配对求和：把相邻两步配成一组， 每组都是 ，共 组，故 步的总位移为 于是 所以初始位置 表示的数是 。 点评：形如 的求和，标准做法是两项一组，每组为 （或 ），再数组数。奇数项时多出来的那一项要单独处理。本题的“奇偶决定方向”本质上也是一个以 为周期的规律。 练习 1 最近一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于 年、 年、 年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则从 、、、 这四年中，这三项运动会均不举办的是哪一年？ 练习 2 一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以“每前进 步后退 步”的程序运动。设该机器人每秒钟前进或后退 步，且每步的距离是 个单位长度， 表示第 秒时机器人在数轴上位置所对应的数。 给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）。其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（2）　　B．（1）（2）（3）　　C．（2）（3）（4）　　D．（1）（2）（4） 练习 3 有四张卡片分别写着“诚”“真”“勤”“仁”，一开始分别在 号位置上（ 号为上排， 号为下排，且“诚、真、勤、仁”依次对应 号位）。以后它们不停地变换位置：第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后再左右两列交换位置，第三次又上下两排交换，第四次再左右两列交换，，这样一直下去。则第 次交换位置后，“真”在几号位上？ A．　　B．　　C．　　D． 模块三　图形规律与点阵 【方法】 图形题的入口是数数：把第 个图形中的个数数出来，得到数列，马上做差分。只有一点要特别注意——数的是增量而不是总数：第 个图形比第 个多了多少？这个“多出来的部分”往往就是每步固定的那一块。最后一步是写出 ，再回答“能否恰好用完”这类问题（本质是解方程）。 例题 1 用相同的小木棒按规律拼成图形：第 个图形用 根，第 个图形用 根，第 个图形用 根，，每个图形比前一个图形多用相同根数的小木棒。 （1）按此规律，第 个图形用根小木棒；第 个图形用根小木棒（用含 的式子表示）； （2）小明说他按这种方式拼出来的一个图形共用了 根小木棒，你认为可能吗？如果可能，是第几个图形？如果不可能，请说明理由。 【解析】 （1）一阶差分为 是常数，故为等差数列，公差 。于是 第 个图形：（根）。 （2）假设存在正整数 使 ，则 不是正整数。而 对任何正整数 都是整数，且 必为偶数， 是奇数，故不可能。 所以小明的说法不成立——用 根小木棒不可能拼出符合规律的图形（任何符合规律的图形，木棒根数都是 的倍数加 ，即除以 余 ，而 ，余 ）。 点评：第（2）问是这类题的固定问法，两个判据任选其一：解方程看是否为整数，或看余数是否相符。后者更快，也更像“说理”。 例题 2 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片拼成长方形： 第①个图形中有 张正方形纸片； 第②个图形中有 张正方形纸片； 第③个图形中有 张正方形纸片； （1）第⑦个图形中有张正方形纸片； （2）猜想：（用含 的式子表示）； （3）根据你的发现计算：① ；② 。 【解析】 （1）第 个图形中有 张，故第⑦个有 （2）由 得 （3）① 这是从 开始的 个连续偶数之和，由（2）取 ： ② 把原式补成“从 开始”的偶数串再减去前面多出的部分： 取 与 ： 点评：第（3）②是“补一段、减一段”的标准手法。凡是从中间某处开始的连续偶数（或奇数）求和，都先补到起点，再减掉补上去的那一截；比逐项加要快得多。 练习 1 用边长相等的正方形卡片和等边三角形卡片按规律拼出图形。拼第 个图形所用两种卡片的总数为 枚，拼第 个图形所用两种卡片的总数为 枚，，且每拼一个图形，两种卡片的总数都比前一个多相同的枚数。 若按这样的规律拼出的第 个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 枚，则拼第 个图形所用两种卡片的总数为（　　） A． 枚　　B． 枚　　C． 枚　　D． 枚 练习 2 用同样大小的圆点和线段按一定规律排列成篆书简化的“汉”字。其中第①个图形中共有 个圆点，第②个图形中共有 个圆点，第③个图形中共有 个圆点，第④个图形中共有 个圆点，，依此规律，第⑧个图形中共有圆点的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 练习 3 用同样大小的圆点按规律摆成一组图形，各图形中圆点的个数依次为 、、、。按此规律，第 个图形中共有圆点的个数是。 模块四　数阵与位置规律 【方法】 数阵题的实质是定位：第 行第 个数对应哪个自然数？解决套路固定——先算“前 行一共多少个数”，再加上本行内的偏移。三种常见的排列要分清：顺序排列、蛇形排列（奇数行正、偶数行倒）、三角形数阵（第 行恰有 个数）。求“某个数在第几行第几列”时，用带余除法；余数为 表示恰在该行末尾。 例题 1 把连续的正整数按下面规律排成若干行： （1）第 行等号左边和右边各有多少个数？第 行一共有多少个数？ （2）求前 行一共用去多少个连续的正整数。 （3）第 行从左往右数最后一个数是多少？ 【解析】 （1）第 行等号左边有 个数，右边有 个数，故第 行共有 （2）前 行用去的数的个数为 （也可这样看：，即第 行最后一个数。） （3）第 行最后一个数，就是前 行用去的数的总个数： 点评：第（2）问的结论 既是“个数”又是“第 行的末数”，这是因为这些数恰好是从 开始连续排下来的。凡是“连续正整数按行排布”的数阵，个数与末数相等，这一条能省下大量计算。 例题 2 将正整数从 开始按螺旋形排布，其中 在第一个拐弯处， 在第二个拐弯处， 在第三个拐弯处， 在第四个拐弯处， 在第五个拐弯处，，依此类推。 （1）写出前 个拐弯处的数； （2）从第 个拐弯处起每 个为一组，第 组的四个数分别是多少？ （3）求第 个拐弯处的数。 【解析】 （1）在图上从 出发沿螺旋方向走，每到要改变方向的地方记下一个数，依次得 （2）观察相邻两个拐弯处的差： 同一个差连出两次，然后逐次加 ——这正是“每往外绕一层，每条边就要多走一格”的表现。把 之后的拐弯处每 个分成一组： 第 组：；第 组：；第 组：； 每组的前三个数，正好是边长为 的正方形（即 这一层）的三个角；第四个数是这一层的最后一格再往后一格，也就是下一层的第一个数。于是第 组的四个数依次为 验证 ：，，，，与（1）吻合。 （3）第 组的四个数占据第 个拐弯处。由 知第 个拐弯处是第 组的第 个数，即 点评：螺旋数阵只有两个抓手：每层最后一格是奇数的平方（），每层恰好拐四次弯。把拐弯处四个一组排开，规律立刻显形；定位时先除以 ，商定“第几组”、余数定“组内第几个”。注意本题第 个拐弯处不是角，而是下一层的第一个数（差 的那一步），这一点看错就会差 。 练习 1 将连续正整数按如下规律排成四列（奇数行从左往右排，偶数行从右往左排）： 若正整数 位于第 行、第 列，求 的值。 练习 2 将全体正奇数排成一个三角形数阵：第 行 个数，第 行 个数，第 行 个数，，第 行 个数，且按从左到右、从上到下的顺序依次排列 。求第 行第 个数。 练习 3 已知一列数：（第 个数是 ，当 为奇数时取正号，当 为偶数时取负号）。将这列数排成如下形式： 第 行：； 第 行：； 第 行：； 第 行：； 第 行：； 即第 行有 个数。按照上述规律排下去，第 行从左边数第 个数是多少？ 模块五　日历与方格中的数值规律 【方法】 日历题的全部秘密只有两条：同一行相邻差 ，同一列上下差 。于是任何框出的几个数都能写成“基准数 偏移量”的形式，求和后得到“个数 中心数”（或类似的倍数关系）。判断“能不能等于某个数”时，先用这个倍数关系筛掉不可能的选项，再检验中心数在日历中的位置是否合法。 例题 1 下面是一张某月的月历（ 日是星期日）： （1）某月日历上圈出 的四个数（相邻两行、相邻两列），正方形方框内的四个数的和是 ，则方框内最小（左上角）的数是； （2）在日历上圈出 个数，呈十字框形（中间一个数，上下左右各一个），它们的和是 ，则中间的数是； （3）某月有 个星期日，这 个星期日的日期之和是 ，则这个月中最后一个星期日是号； （4）若干个偶数按每行 个数排成一个数表（第 行为 ，第 行为 ，依此类推）。用一个 的方框框出 个数：这 个数的和与中间的数有什么关系？若一个斜框内 个数的和是 ，则斜框中间的一个数是。 【解析】 （1）设左上角的数为 ，则另三个数为 、、。于是 即四个数为 。 （2）设中间的数为 ，则上、下两数为 、，左、右两数为 、。于是 （3）同一列的星期日相差 ，设最早的一个是 ，则五个日期为 ，于是 所以最后一个星期日是 号。 （4） 方框中，中间数两侧的对应位置相差 （同行）或 （异行），每一对都以中间数为中心对称，故 所以和是中间数的 倍。当和为 时，中间数为 点评：第（4）问的结论——“关于中心对称的方框，框内之和 个数 中心数”——是日历与数表题的万能钥匙，几乎每年都考。判断“能否等于 ”时，先看 能否被个数整除，再看中心数是否落在表的每一行中间（不能贴边是常见陷阱）。 例题 2 下表给出的是某月的月历。 任意选取“H”型框中的 个数：上排相邻 个数、中间 个数（与上排中间的数上下相邻）、下排相邻 个数（位于上排的下一行至下两行，即中间数与上排中间的数同列、下排与上排相隔一行），这 个数之和不可能是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】 设上排三个数中最小的为 ，则 · 上排：； · 中间：（在 的正下方）； · 下排：（在 的正下方两行处）。 七数之和为 即和必为 的倍数，且中间的那个数为 。 检验四个选项： 都是 的倍数，分别对应中间数 （如中间数为 时，，七数为 ，在月历中可以实现）。 而 不是 的倍数，故不可能。 所以选 A。 点评：“不可能是”这类题的解法不是逐个构造，而是先求出“和必须满足的必要条件”。本题中“和为 的倍数”就是那个必要条件，一步筛掉答案。做完之后一定要顺手验证其余三个选项确实可以做到，答案才算严谨。 练习 1 小淇在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是 。若这三种排布分别是：A．同一行相邻的三个数；B．同一列相邻的三个数；C．形如 的三个数（ 在 的正下方）；D．形如 的三个数（ 在 的正下方），则这三个日期在日历中的排布不可能的是（　　） 练习 2 已知下列一排方格中 五个字母各表示一个数，七个方格自左向右依次填的是 、、、、、、，且任意 个连续方格中的数之和为 。求 的值。 A．　　B．　　C．　　D． 练习 3 年 月的月历中， 月 日是星期三。那么 年的元旦是星期。 模块六　幻方 【方法】 所有幻方题都靠三条结论：幻方和 中心数；过中心的三个数成等差（两端数之和 中心数）；对角两数之和 中心数。由此还能得到一个极好用的公式：若左上角、上中、左下角三个位置的数分别为 、、，则中心数 ，幻方和 。遇到含字母的幻方题，直接套这两个公式，比一格一格推快得多。 例题 1 把 这 个数填入 方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”。 已知一个九宫格中，第一行第二列是 ，第二行第一列是 ，第三行第一列是 ，第三行第三列是 。求这个九宫格的幻方和与 的值。 【解析】 设中心数为 ，则幻方和 。把九个位置按行记为：第一行依次为 、、，第二行依次为 、、，第三行依次为 、、。 由“每条对角线上的三数之和等于 ”得 由第一列之和为 得 ，即 代入 得 再由第三行之和为 ： 最后由第二列之和为 ： 于是 完整的九宫格为：第一行依次是 ，第二行依次是 ，第三行依次是 。（每行、每列、每条对角线之和都是 ，验证无误。） 所以幻方和为 ，。 点评：本题的推演只用了两条结论：每条线上的三数之和等于幻方和、对角两数之和等于 倍中心数。四个未知位置（）不必全部求出，只要沿着“第一列 对角线 第三行 第二列”这条链条，把 逼出来即可——这是“设而不求”的典型用法。 例题 2 在 的幻方中（每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等），左上角为 ，上边中间为 ，左下角为 ，右下角为 。 （1）若 ，，，求 所表示的代数式； （2）若 ，，（ 为常数），且幻方和与 的取值无关，求 的值及该幻方和。 【解析】 （1）设中心数为 ，则幻方和 。由“对角两数之和为 ”得 又 的对角位置上的数为 ，而第一行三数之和为 ： 代入 ，，： 所以 。 （2）由（1）得到的公式 ： 幻方和与 的取值无关，当且仅当 的系数为 ，即 此时 ，。 点评：第（1）问的关键公式只有一条：（ 左上、 上中、 左下），它是“第一行三数之和等于幻方和”与“对角两数之和等于 倍中心数”两条结论联立的结果。第（2）问则是“与 无关”的标准处理：令含 的项的系数为 。 练习 1 （1）把 这九个数字填入 方格，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，请写出一个这样的填法； （2）将 个连续自然数填入 方格，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都等于 ，求这九个数的中心数，并写出一种填法。 练习 2 将 个数字填入 的正方形方格内，如果每行、每列、每条对角线上的 个数字的和都相等，那么这个正方形就叫做 阶幻方（其幻方和为 ）。由 这 个自然数构成的 阶幻方的一部分如下：第三列自上而下的前三个数依次是 、灰色格子、，第四个数是 。求灰色格子内应填入的数字。 练习 3 有一个类似于幻方的“幻圆”：将 分别填入 个圆圈内（外圈 个、内圈 个），使横、竖以及内、外两圈上的 个数字之和都相等。 现已完成部分填数：外圈左、上、右、下四个位置的数依次为 、、、；内圈左右两个位置分别是 和 ；内圈上、下两个位置分别填 、。求 的值。 模块七　进位制、加密与循环小数 【方法】 这一类题的共同点是“换一种记数方式”。结绳计数、结绳记数本质是进位制：自右向左各位的权重是 ；加密题本质是在模 的意义下平移；“”本质是幂与指数的互译；循环小数化分数本质是乘 后作差，消掉无限循环的部分。看清“换的是什么”，题目就不难。 例题 1 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数。 （1）若三根绳子上从右到左的结数依次为 、、，求孩子自出生后的天数； （2）若孩子出生已 天，则三根绳子上从右到左的结数应分别是多少？ 【解析】 （1）“满七进一”就是七进制：从右到左，第一根绳的每个结表示 天，第二根绳的每个结表示 天，第三根绳的每个结表示 天。故天数为 （2）把 化成七进制，用“除 取余，倒序排列”： 自右向左的余数依次为 ，即 所以三根绳子上从右到左的结数分别是 、、（中间的绳子上一个结也没有）。 点评：这类题的实质是位值制：我们平时用的是“满十进一”，逢十进位，所以 ；本题只是把 换成了 。换进制时，权重跟着换，位值的算法不变。注意（2）中“ 个结”这种情况，不要漏掉，否则位就错开了。 例题 2 我们知道循环小数都可以化为分数。例如化 为分数，方法是：设 ，即 ，两边同乘 得 ，又因为 ，所以 ，解得 。 请仿照上面的方法，把循环小数 （即 ）化为分数。 【解析】 设 第一步：把“不循环的部分”移到整数位。不循环部分“”有两位，两边同乘 ： 第二步：把“一个循环节”也移到整数位。循环节“”有两位，再乘 ： 第三步：两式相减，循环部分被消掉。 即 由于 是质数，与 互质，故结果不能再约分。 所以 。 点评：一般规律是：分母由“循环节的位数个 ”后面添“不循环部分的位数个 ”组成，分子是“一个完整循环节连同前面不循环部分组成的数”减去“不循环部分组成的数”。本题分母是 （两个 加两个 ），分子是 ，一步就能写出来。 练习 1 现将 个数字 按顺时针顺序排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：把每个数字换成从它开始沿顺时针方向跳过 个数字后所落到的那个数字。例如明文是 ，从 开始跳过 ，落在 上，故对应的密文是 。 若收到的密文是 ，那么通过解密，它对应的明文是（明文是 之间的数字，逐位解密）。 练习 2 若 ，则 （ 且 ）。例如，若 ，则 。请计算 的值。 A．　　B．　　C．　　D． 练习 3 某部落用“满五进一”的结绳法记数，绳子从右到左依次排列。 （1）若三根绳子上从右到左的结数依次为 、、，求所表示的数； （2）若某人所记录的数（十进制）为 ，求三根绳子上从右到左的结数。 模块八　数形结合与等式规律 【方法】 给出若干等式求第 个等式，标准的四步是：①数清各项的个数；②找出首项与末项；③写出左边的和；④用公式化简右边。凡是“奇数串求和”，一律往 上靠；凡是“偶数串求和”，一律往 上靠；凡是“越加越小、无限逼近”的，一律往“ 减掉最后剩下的那一块”上靠。 例题 1 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； （1）在④后面的横线上写出相应的等式； （2）请写出第 个等式； （3）利用（2）中的等式，计算 。 【解析】 （1）第 个等式左边是从 开始的 个连续奇数，右边是 ： （2）第 个等式左边是从 开始的 个连续奇数之和，最后一个奇数为 ： （3）把所求的奇数串“补一段、减一段”： 共有 个奇数， 共有 个奇数。由（2）： 点评：第（3）问最容易出错的地方是“数错个数”。判据只有一个：从 到 共有 个奇数，。99 对应 ，19 对应 ，代入 即可。 例题 2 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法。 问题提出：计算 （ 为正整数，）。 探究问题：通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来。 第 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ； 第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，； 第 次分割，所有阴影部分的面积之和为 ，最后空白部分的面积是 。 （1）根据第 次分割图可得等式：； （2）类比探究：类比上面的方法，求 ； （3）拓展思考：计算 （）。 【解析】 （1）阴影部分与空白部分拼成整个正方形，面积之和为 ，故 （2）把面积为 的正方形先三等分，取其中两份涂阴影，阴影面积为 ，空白为 ；再把空白三等分，取两份涂阴影，新增阴影 ，空白剩下 ；如此继续，第 次后空白面积为 。于是阴影面积之和为 两边同除以 ： （3）把面积为 的正方形分成 份，先取其中 份涂阴影，阴影面积为 ，空白剩下 ；再把空白部分分成 份，取其中 份涂阴影，新增阴影 ，空白剩下 ；如此继续，第 次之后剩下的空白面积为 。于是阴影面积之和为 点评：这类“等比求和”不必用等比数列公式，看“最后剩下多少空白”就够了：总和 最后剩余。第（2）问之所以多出一个 ，是因为每次涂的是“三分之二”而不是“二分之一”——类比时比例要一起换，这是最常见的失分点。 练习 1 已知 ，，，，，根据前面各式的规律，求 的值。 练习 2 观察下列式子： 探索以上式子的规律，与 的结果相等的算式是（　　） A． B． C． D． 练习 3 （1）用含 的代数式表示相应图形的面积：①边长为 的正方形，面积为；②两个长 、宽 的长方形，面积之和为；③边长为 的正方形，面积为；④边长为 的正方形，面积为； （2）把①、②、③三块拼进④中，可以发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系，请用数学式子表达：； （3）利用（2）的结论计算 的值。 模块九　操作变换与递推 【方法】 “按规则反复运算”的题，唯一有效的办法是动手算前几步：算到 步，一旦出现重复的数，周期就找到了。定位时仍用带余除法。要特别小心真正进入循环之前的“过渡项”——前几步往往不服从周期，不能直接套公式。 例题 1 定义一种对正整数 的“”运算：①当 为奇数时，；②当 为偶数时，（其中 是使 为奇数的正整数）。两种运算交替重复进行。 例如取 ：。 若 ，求第 次“”运算的结果。 【解析】 按规则依次计算： 把第 次运算的结果记为 ，则 从 开始，结果在 与 之间循环，周期为 ，且 因为 为奇数，所以 。 点评：本题有两个坑。第一，前 项不服从周期（ 是“过渡项”），必须从 开始用周期；第二， 要一直除到结果为奇数为止， 而不是 。这两点都做到，答案才可靠。 例题 2 把有理数 代入 得到 ，称为第一次操作；再将 作为 的值代入得到 ，称为第二次操作；。若 ，求经过第 次操作后得到的数。 【解析】 依次计算： 从 开始，结果在 与 之间循环，周期为 ，且 因为 为奇数，所以第 次操作后得到的是 。 点评：与例题 1 一样，“过渡项 + 周期”是这类题的标准结构。判断是否进入循环的办法是：一旦某个数重复出现，此后的走势就完全重复了。所以算到第二次出现同一个数，就可以停笔写结论。 练习 1 将有理数 （ 不等于 和 ）按以下步骤进行运算： 第一步，求相反数；第二步，求所得的相反数与 的和；第三步，求这个和的倒数。 现将有理数 和 分别按上述步骤运算，得到的结果记为 和 ；再将 和 分别按上述步骤运算，得到的结果记为 和 ；如此重复上述过程，。 （1） 的值是， 的值是； （2）求 的值。 练习 2 有依次排列的 个数：。对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第 次操作；做第 次同样的操作后也可产生一个新数串：。继续操作下去，则从数串 开始操作第 次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 练习 3 数轴上有三个互不重复的点 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 。若 三个点中，其中一点到另外两点的距离相等，则称这三个点为“和谐三点”。求符合“和谐三点”的点 所表示的数。 模块十　数表定位与阅读探究 【方法】 最后这一类题是把“数表”与“方程”结合起来，或者给一段新定义让你现场读懂再应用。数表题靠定位公式；新定义题靠逐字翻译：把定义中的每一句话都变成一个等式或一个不等式，再按情形分类讨论。判断“能否等于”时，要用“必须整除”“必须为奇数”这类必要条件把矛盾说清楚。 例题 1 将正整数 按每行 个的顺序排成下表： 记 表示第 行第 个数，如 表示第 行第 个数是 。 （1）直接写出：，，； （2）若 ，求 、 的值； （3）将表格中的一个“十字形” 个格子看成一个整体并平移，这 个格子分别是：中心 ，它的上方 、下方 、左方 、右方 。所覆盖的 个数之和能否等于 ？若能，求出这 个数中的最小数；若不能，请说明理由。 【解析】 （1）第 行第 个数为 于是 （2）由 ，其中 。用 除以 ： 故 ，，即 （3）十字形 个数之和为 必为 的倍数。而 不是 的倍数（），故不可能。 所以这 个数之和不能等于 。 点评：第（3）问的关键在于“和为 ”这个结构：中心数出现 次，其余四个数两两抵消。凡是轴对称为“十字形”“ 框”的图形，都能这样“抵消成个数乘中心数”。判断时只需看目标数能否被个数整除。 例题 2 将奇数 按每行 个的顺序排成下表： 记 表示第 行第 个数，如 表示第 行第 个数是 。 （1）； （2）若 ，求 、 的值； （3）将表格中的一个 方框（ 个格子）看成一个整体并平移，所覆盖的 个数之和能否等于 ？若能，求出这 个数中的最大数；若不能，请说明理由； （4）用 的式子表示 。 【解析】 （1）第 行第 个数在整列奇数中是第 个，而第 个奇数是 ，故 于是 （2）由 得 因为 ，故 必须被 整除。逐一检验 ： 此时 ，。所以 （3） 方框内的四个数依次为 由（4）的公式，它们分别是 四数之和为 令 ，得 。但表中的数全为奇数， 是偶数，矛盾。 所以这 个数之和不能等于 。 （4）由（1）已得 点评：第（2）问用的是整除性： 中 只有 六种可能，逐一检验比硬猜快；抓住“ 被 整除”还可直接定出 。第（3）问则用奇偶性否定存在性——在奇数表里，四个数之和不可能是偶数，这是最快的一句话。 练习 1 【阅读】邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第 次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第 次操作；；依次类推，若第 次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为 阶方形。 例如：邻边长分别为 和 的长方形，只需第 次操作（剪去边长 的正方形），余下的四边形就是正方形，故它是 阶方形。 【探索】 （1）邻边长分别为 和 的长方形是阶方形； （2）若长方形的邻边长分别为 和 （），且满足 ，（），则这个长方形是阶方形； 【拓展】 （3）已知长方形的邻边长分别为 和 （），且这个长方形是 阶方形，求 的所有可能的值。 练习 2 将正整数 排成三角形数阵：第 行 个数，第 行 个数，第 行 个数，，第 行 个数： 第 行：； 第 行：； 第 行：； 第 行：； （1）第 行第 个数是； （2）数 排在第几行、该行的第几个？ （3）求第 行所有数之和（用含 的式子表示）。 练习 3 观察以下等式： 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 个等式：； （2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明。 第三部分　练习参考答案与解析 模块一 练习 1 【答案】 或 。 【解析】由“任意相邻三个数的和都相等”得 故 ，这列数以 为周期，循环节为 ，一个周期的和为 设 （），则前 项的和为“ 个周期的和”加上“余下的 项”。 · 当 时，，得 ，； · 当 时，，得 ，； · 当 时，，得 ，不是整数，舍去。 所以 或 。 检验：前 项为 重复三次，和为 ，符合；前 项为四个完整周期再加 ，和为 ，符合。 练习 2 【答案】（选 D）。 【解析】按 依次计算： ，故这列数以 为周期： 循环出现。 因为 ，余数为 ，应取第 个，所以 提醒：余数为 时对应的是 而不是 ，这是本题唯一的陷阱。 练习 3 【答案】。 【解析】依次计算前几项： 观察可得：对一切正整数 ，都有 证明：当 时 ，成立。若 ，则 由数学归纳法，结论对一切正整数 成立。 因为 ，所以 点评：形如 的递推，本质是“每次把前一项与一个递增的数相加再取绝对值的相反数”。多写几项就能看出“两个一组、依次为 ”的结构。 模块二 练习 1 【答案】 年（选 B）。 【解析】三项运动会都是每四年举办一次，故“举办年份”构成等差数列，公差为 。对每个选项，只需考察它与三项运动会最近的举办年份之差是否为 的倍数。 · 年：（不是 的倍数）；（是 的倍数），故 年是亚运会年； · 年：，，，都不是 的倍数； · 年：，是奥运会年； · 年：，是世界运动会年。 所以三项运动会均不在 年举办。 点评：“每隔四年一次”就是“年份之差是 的倍数”，把它翻译成同余条件，逐个检验即可。这类题也可用“ 是亚运年”作基准：亚运年为 ，世运年为 ，奥运年为 ，一眼看出 落在空档里。 练习 2 【答案】（1）（2）（4），选 D。 【解析】机器人的程序是“前进 步、后退 步”， 秒为一个周期，每个周期净前进 一个周期内每秒的位置依次为 。 （1），正确。 （2），正确。 （3）：前 个周期净前进 ，再前进 步，故 。 ：前 个周期净前进 ，第 秒处于“后退”阶段，故 。 于是 ，（3）错误。 （4），故 ； ，故 。 于是 ，（4）正确。 所以正确的结论是（1）（2）（4），选 D。 点评：周期题的标准写法是“先算整周期，再算余数”：，位置 （第 秒在一个周期内的位置）。第 秒的位置要按 逐个查，不能想当然。 练习 3 【答案】 号位（选 B）。 【解析】设 号为上排， 号为下排。则“上下两排交换”即 、；“左右两列交换”即 、。 逐次记录四个位置上的卡片： 开始时： 诚， 真， 勤， 仁； 第 次（上下）： 勤， 仁， 诚， 真； 第 次（左右）： 仁， 勤， 真， 诚； 第 次（上下）： 真， 诚， 仁， 勤； 第 次（左右）： 诚， 真， 勤， 仁——与开始时完全相同。 故每 次交换为一个周期。因为 余数为 ，即第 次后与初始状态相同，“真”在 号位上。 点评：这类“位置交换”题的周期一定是有限群的一个循环，写出 步就能看出周期。本题的周期 恰好等于“卡片总数”，是一个常见巧合（上下 左右两次交换合起来相当于 与 、 与 对调）。 模块三 练习 1 【答案】 枚（选 B）。 【解析】两种卡片的总数构成等差数列：第 个图形 枚，第 个图形 枚，公差为 ，故第 个图形的总数为 设第 个图形中正方形卡片 枚、等边三角形卡片 枚，则 两式相加得 ，即 必须是偶数，故 是偶数， 为偶数，从而 也是偶数。 逐一检验选项： · ，此时 ，不是整数，排除； · ，此时 ，，符合； · 不是 的形式（ 无正整数解），排除； · ，此时 ，不是整数，排除。 所以总数为 枚。 点评：本题不必知道“正方形与三角形各多少枚”的具体公式，只要抓住“总数与差同奇偶”这一条：总数 差 三角形数是偶数，所以总数与差必须同奇偶；而差为 （偶数），故总数为偶数。 练习 2 【答案】（选 B）。 【解析】把圆点个数排成一列： 一阶差分：，构成等差数列；二阶差分恒为 （不为 ），故圆点个数 是关于 的二次式。 设 ，代入前三项： 第二式减第一式：；第三式减第二式：。相减得 ，，，。 于是 取 ： 所以图⑧中共有 个圆点。 点评：二阶差分为常数 二次式，这是判断“该用一次式还是二次式”的唯一依据。求出通项后，一定要用已知的第四项 回代检验：，符合，说明公式没错。 练习 3 【答案】。 【解析】点数为 一阶差分：；二阶差分：，故为二次式。 设 ，则 由前两式得 ，由后两式得 ，相减得 ，，，。 于是 取 ： 所以第 个图中共有 个点。 点评：与练习 2 同一套路。三个已知项就能定出二次式的三个系数，这是“三点定抛物线”的代数版本。 模块四 练习 1 【答案】。 【解析】每行 个数。奇数行从左往右递增，偶数行从右往左递增。 第 行占据的数是从 到 。用带余除法： 说明前 行恰好排完 个数，故 是第 行的第 个数。 第 行是奇数行，从左往右递增，故 在第 列。 所以 ，， 点评：蛇形排列只需记住“偶数行反过来看”：先按顺序算出“它是该行的第几个”，若该行是偶数行，再用“”换算成从右数的位置（本题每行 个数，用 ）。 练习 2 【答案】。 【解析】前 行共有 把这列正奇数记为第 个，则第 个正奇数是 。所以前 行排到的最后一个数是 第 行的数依次为 第 个数为 所以第 行第 个数是 。 点评：两个“序号的换算”必须分清：第 个奇数是 ，以及本行内第 个要加 。这两处任一处算错，答案都会差 或 。 练习 3 【答案】。 【解析】第 行有 个数，故前 行共有 这列数的第 个数是 （奇数取正号、偶数取负号），所以第 行从左边数第 个数是第 个数，即 第 个数是第 个数， 是偶数，故取负号： 所以第 行从左边数第 个数是 。 点评：符号与数值要分开算：先定“它是第几个数”（这里恰好等于数值），再由奇偶定符号。行末定位也别忘了：第 行的第一个数是第 个，而不是第 个。 模块五 练习 1 【答案】C。 【解析】设这三个数中最小的一个为 ，逐个情形列出方程： A．同一行相邻三个数：，得 ，三数为 ，可以（它们在同一行且不跨行）； B．同一列相邻三个数：，得 ，三数为 ，可以； C．：，得 ，不是整数，不可能； D．：，得 ，三数为 ，可以。 所以不可能的是 C。 点评：“三个日期之和为 ”这一条件，在三种排布下分别给出 、、、 四个式子。凡是形如 的，只有当 能被 整除时才有整数解——先看余数，再谈可能。 练习 2 【答案】（选 C）。 【解析】设第 个方格中的数为 （，，，，，，）。 由“任意 个连续方格中的数之和为 ”： 相减得 ，即以 为周期。于是 由 得 由 得 。 又 ，即 ，得 ，从而 。 所以 点评：与模块一的例题 2 是同一种模型——“相邻 个数之和为定值”“以 为周期”。这里 ，故第 格相等，第 格相等，第 格相等。 练习 3 【答案】四。 【解析】 年 月 日是星期三。 从 月 日到 月 日经过 天；到 月 日再经过 天；到 年 月 日再经过 天。共 因为 ，即 天是 个星期零 天，所以 年 月 日的星期数比星期三多 ，即星期四。 点评：星期的推算只需做一件事：算天数、除以 看余数。注意“从 月 日到 月 日”的天数不包含起点、包含终点，正好是本月的天数 ，不要多算一天或少算一天。 模块六 练习 1 【答案】（1）例如：第一行依次填 ，第二行 ，第三行 （各行、各列、各对角线之和均为 ）；（2）中心数为 ，例如：第一行依次填 ，第二行 ，第三行 （幻方和为 ）。 【解析】 （1） 的九个数字之和为 ，而三行之和恰为全部九数之和，故 再由 得中心数 。把 放在中心，四个偶数放在四角，四个奇数放在四边的中间，得到 第一行 ；第二行 ；第三行 。 验证：三行之和 、、；三列之和 、、；两条对角线 、。全部符合。 （2）幻方和 ，故中心数 九个连续自然数关于中心数对称分布，故它们是 把上面的九宫格“整体平移”（每个数加 ）即得一种填法： 第一行 ；第二行 ；第三行 。 点评：三阶幻方的构造有一个现成的“模子”：把 的那个九宫格整体加同一个数 ，就得到“以 为中心数、幻方和为 ”的幻方。本题 ，故 ，，每个数都加 即可。 练习 2 【答案】。 【解析】 阶幻方的幻方和等于每行（每列） 个数之和。已知每一列之和为 ，而第三列自上而下的四个数依次是 、灰色格子（记为 ）、、，故 点评： 阶幻方的幻方和可以这样算：，而四行之和恰为全部数之和，故 ，。这就是题目中“幻方和为 ”的来源——它不是背下来的，而是算出来的。 练习 3 【答案】。 【解析】 个数的总和为 设内、外两圈上 个数之和与横、竖两线上 个数之和都等于 。由于“内圈 个数 外圈 个数”恰好把 个数各算一次，而两者之和相等，故 于是 外圈：，恰好等于 ，与题意相符； 内圈：，故 检验：竖线上四数为 ，其和为 ，符合。再由 及剩余两数为 ，可知 。 点评：本题的关键是“整体求和”：横、竖两线之和相加，恰好每个数被算一次，从而定出 。有了 ，剩下的只是简单的加减。 模块七 练习 1 【答案】。 【解析】先弄清加密的规则：从明文的数字出发，跳过 个数字后落在密文上。以明文 为例，依次跳过 这 个数字，落在 上，与题中“明文 对应密文 ”一致。 所以“密文 明文 （超过 就绕回 ）”。解密时反过来，密文 ，不够减就加 ，也就是“密文 后取个位”。 逐位解密： 所以密文 对应的明文是 。 点评：加密题的通用做法是先把规则写成算式（这里是“加 取个位”），再把解密写成逆运算（“减 取个位”即“加 取个位”）。注意“跳过 个”等价于“移动 格”，这一步最容易数错。 练习 2 【答案】（选 D）。 【解析】由定义 ： 所以 点评： 就是“ 的多少次方等于 ”。把幂写成指数形式再对照，比记符号更靠谱。特别地， 对任何合法的 都成立。 练习 3 【答案】（1）；（2）三根绳子上从右到左的结数依次为 、、。 【解析】 （1）“满五进一”即五进制：从右到左三根绳的权重依次为 、、。故所表示的数为 （2）把 化成五进制，用“除 取余、倒序排列”： 自右向左的余数依次为 ，即 所以三根绳子上从右到左的结数依次为 、、。 点评：第（2）问的“除 取余”就是十进制转五进制的标准算法。余数从下往上读、自右向左填，方向弄反就全错了。 模块八 练习 1 【答案】。 【解析】由 ，需要把所求的奇数串“补成两段相减”： 共有 个奇数， 共有 个奇数，故 点评：也可以直接数项数：从 到 共有 项，用等差数列求和得 ，结果一致。两种方法互为依据，考试时任选一种。 练习 2 【答案】B。 【解析】由给出的三个式子可以归纳出 （验证： 时右边 ，而 ，成立。） 所求的式子并不是从 开始的，而是从 开始，因此用“补一段、减一段”： 所以选 B。 点评：首项必须是 的起点。本题从 开始，前一段的“末项”是 （对应 ），减去的“末项”是 （对应 ），不是 。选 A 或 D 的同学，都是把起始位置算偏了一格。 练习 3 【答案】（1）① ；② ；③ ；④ ；（2）；（3）。 【解析】 （1）①边长为 的正方形面积为 ； ②两个长 、宽 的长方形面积之和为 ； ③边长为 的正方形面积为 ； ④边长为 的正方形面积为 。 （2）把①、②、③这三块拼起来，恰好填满④这个边长为 的正方形（两个 的长方形夹在 与 之间），故面积相等： （3）注意到 ，于是原式恰好是公式的左边： 由（2），取 ，： 点评：第（3）问的关键是看出 ，即“中间项 ”。凡是形如“”的算式，先检查中间项是否恰好是 两边之积，一旦符合，立即写成平方，比硬算快几十倍。 模块九 练习 1 【答案】（1），；（2）。 【解析】 （1）对 依次执行“取相反数、加 、取倒数”，结果记作 ，则 取 ：，即 ； 取 ：，即 。 （2）继续迭代，分别观察两条“轨道”。 由 出发： 即 ，，，，以 为周期。 由 出发： 即 ，，，，也以 为周期。 两条轨道交错排列，故整个数列 以 为周期，一个周期为 一个周期的和为 因为 ，故 点评：本题的“三步运算”就是一个固定函数 ，反复代入即反复求 的值。注意到 （即三次之后回到原数），周期为 便一目了然；两条轨道交错后，总周期为 。 练习 2 【答案】（选 B）。 【解析】记第 次操作后数串的所有数之和为 ，数串的首项为 、末项为 （操作不改变首末两项）。 第 次操作：在原数串 的每两个相邻数之间插入“右减左”的差 和 ，插入的两数之和为 即 （验证：）。 一般地，每插入一批数，其总和恰为 （中间各项两两抵消，这正是“裂项相消”），而首末两项 、 始终不变。 所以每次操作后总和都增加 ： 所以第 次操作后所有数之和为 。 点评：本题的“题眼”是插入的数之和等于“末项减首项”——无论数串多长，插入的差之和都只有 。找出这一条， 次操作就变成了一次乘法。 练习 3 【答案】 表示的数为 、 或 。 【解析】，。“三个点中某一点到另外两点的距离相等”意味着这一点是另外两点所连线段的中点。分三种情形： （1） 是 的中点：，得 ； （2） 是 的中点：，得 ； （3） 是 的中点：，得 。 检验： 时 为 ，，符合； 时三点为 ，，符合； 时三点为 ，，符合。三个点互不重复，均合法。 所以 表示的数为 、 或 。 点评：新定义题的套路是“翻译 分类”：先把“到另外两点距离相等”翻译成“是中点”，再按“哪一个点居中”分成三类。三类都做完才算完整，漏一类就少一个解。 模块十 练习 1 【答案】（1）；（2）；（3）、、 或 。 【解析】 （1）邻边 和 ：第 次剪去边长 的正方形，余下 的长方形；第 次剪去边长 的正方形，余下 的正方形。故为 阶方形。 （2）由 、 得 第 步：从 中连续剪去 个边长为 的正方形（ 次操作），余下 （的长方形，边长 与 ）。 第 步：从 中连续剪去 个边长为 的正方形（ 次操作），余下 的正方形。 共操作 次，故为 阶方形。 （3）长方形的邻边为 和 （），每次剪去一个正方形。按 的大小分类讨论。 情形一：。第 次剪去 ，余 （此时 ，不是正方形）。第 次剪去 ，余 · 若 （即 ），第 次剪去 ，余 。要求它是正方形： · 若 （即 ），第 次剪去 ，余 。要求它是正方形： （若 ，第 次后余下的已是正方形，属 阶方形，不符合。） 情形二：。第 次剪去 ，余 ，其中 ；第 次再剪去 ，余 ，其中 ；第 次剪去 ，余 要求它是正方形：，得 情形三：。第 、 次后余 ，第 次后余 。要求它是正方形： （当 时，第 次后已得到 的正方形，属 阶方形，不符合；当 时第 次后余 不是正方形，需继续操作，也不符合。） 综上， 点评：本题是“新定义 分类讨论”的典型。分类的标准只有一个——每次剪去的是哪个正方形（即以短边为边长）。每剪一次就把长边“削短”，直到两条边相等为止；在第 次剪完时恰好相等，就是 阶方形。 练习 2 【答案】（1）；（2）第 行，该行第 个；（3）。 【解析】 （1）第 行第 个数为 前 行共有 故第 行第 个数是 ，第 个数是 。 即 。 （2）先定行：因为 所以 排在第 行。它在第 行中是从左数第 个数。 所以 排在第 行、该行第 个。 （3）第 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，这一行共有 个数，成等差数列，故 验证： 时 ； 时 ； 时 。均符合。 点评：三角形数阵的定位公式 是本题的全部。求“第几行”时用夹逼：找到满足 的 ，这就是行号。 练习 3 【答案】（1）； （2）第 个等式为 证明见解析。 【解析】 （1）观察前 个等式可知，第 个等式左边的分数为 （分子是奇数 ，分母是 ），括号内为 ，右边为 。故第 个等式中左边的分数依次为 括号内为 ，右边为 。于是 验证：左边 ，右边 ，相等。 （2）猜想：第 个等式为 证明：左边括号内通分， 于是 而 左边 右边，等式对一切正整数 成立。 点评：这类“写第 个等式并证明”的题，猜想的正确性靠“验证一项”，严格性靠“通分化简”。证明时只需把左边的括号通分， 立即约掉，剩下的 与右边完全一样——这也说明右边写成 是为了“藏住” 这个结果。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $