期中复习专题2——综合运算与应用- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与应用 （人教版七年级上册：期中核心基础考点） 目录 一、专题定位 1 二、 核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：有理数实际应用题（水位变化、盈亏） 2 题型2：数轴综合：读数、两点距离、点移动 6 题型3：有理数混合运算（含乘方、多层括号） 10 题型4：利用运算律简便运算 13 题型5：绝对值非负性，若干绝对值之和为0求字母值 18 题型6：多层括号整式的加减化简 22 题型7：同类项综合，利用同类项概念求参数 24 题型8：整式化简求值 27 题型9：整体代入思想求代数式的值 29 题型10：整式“与字母无关”“多项式不含某一项”求参数 33 题型11：列代数式结合整式加减解决简单实际问题 36 一、专题定位 本专题整合第1~4章核心中档重难点，聚焦有理数综合运算、代数式运算、整式加减综合、简单代数推理四大核心能力。区别于基础概念识记，本专题侧重法则综合运用、符号易错点训练、简单参数求值，针对性解决学生有理数混合运算符号出错、去括号漏变号、代入负数计算失误、同类项参数不会求等高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、课后拔高训练、中档题型组卷测评，全面覆盖期中选择、填空、解答高频中档考题。 2、 核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 有理数混合运算（含乘方、括号）；利用运算律简便运算；绝对值与有理数综合计算；根据数轴上点的位置判断代数式符号；科学记数法与近似数的实际应用；有理数实际应用题（水位变化、盈亏、行程问题）。 有理数的运算 绝对值的非负性：|a|≥0，几个非负数之和为0求字母值；数轴上两点间距离公式的简单计算；数轴上点移动后的列式计算。 代数式 将负数、分数代入代数式求值；简单整体代入求值思想；根据实际问题列代数式。 整式的加减 多层括号整式化简；同类项定义求参数；整式化简求值（负数代入）；整式的值与字母无关、多项式不含某一项求参数；整式加减简单实际应用。 三、必考、常考题型 题型1：有理数实际应用题（水位变化、盈亏） 1.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆； （2）本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ （3）请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答） 【答案】（1），；（2）本周总生产量是1409辆，与计划生产量相比是增加了；（3）示例：某水果店一周内计划每日卖出100斤草莓，实际每日销量和计划销量的差值如下表（超过计划的记为正，不足的记为负），请问本周总销量是多少？（答案不唯一，符合题意即可） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 【分析】（1）根据正负数的应用及表格计算即可； （2）用本周7天的计划总产量加上差值，进而判断即可； （3）只要设定类似“以固定值为标准，用正负数表示实际量与标准量的偏差”的生活场景，提出合理问题即可． （1）解：每日计划生产200辆，周三增减为， 因此实际产量为辆． 由表格可知最大值为（周四），最小值为（周日）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆． （2）解：本周7天的计划总产量为辆． ， 因此实际总生产量为辆． ∵， ∴总生产量比计划生产量增加了． （3）略． 2.（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）“湘超”火热进行，某校七年级也组织14支队伍进行足球友谊赛．其中三支球队两两比赛的结果是：1队胜2队，比分为；2队胜3队，比分为；3队负1队，比分为．如果进球数为正，失球数为负，那么三队的净胜球数各为（    ）（注意：净胜球球队的进球数失球数，所以净胜球数也可能是负数） A．4，， B．2，1， C．8，4，3 D．4，1，3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算在净胜球计算中的应用，解题的关键是根据净胜球的定义（净胜球进球数失球数）分别计算各队的净胜球． 分别分析1队、2队、3队的进球数和失球数，再根据净胜球的计算公式求出各队净胜球，最后与选项对比得出答案． 解：1队：1队与2队比赛进球4个，失球2个；1队与3队比赛进球4个，失球2个．所以1队进球数为，失球数为，净胜球为； 2队：2队与1队比赛进球2个，失球4个；2队与3队比赛进球2个，失球1个．所以2队进球数为，失球数为，净胜球为； 3队：3队与1队比赛进球2个，失球4个；3队与2队比赛进球1个，失球2个．所以3队进球数为，失球数为，净胜球为． 故选：A． 3.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用．把长方形草地中的“土”字形状的小路剪去，将剩余部分拼起来，可以得到一个新的长方形，新长方形的长为，宽为，最后利用长方形面积公式计算即可． 解： 4.（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）我国大陆海岸线总长度达千米，建立强大的海防是国家安全的重要保障．海军某部一核潜艇在海下训练时而上升，时而下降，该核潜艇的初始位置在海平面以下米，下面是该核潜艇在某段时间内的运动情况（把上升记为“”，下降记为“”，单位：米）：，，，，，，． （1）现在核潜艇处在什么位置？ （2）假如核潜艇每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量，那么在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】（1）核潜艇处在海平面以下米处；（2）这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量 【分析】（1）根据正、负数的意义，进行有理数的加减计算，即可得到答案． （2）计算所有运动过程的绝对值的和，得到总的路程，根据每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油，乘即可得到答案． （1）解：根据题意有：上升记为“”，下降记为“”，则有 （米）； 答：现在核潜艇处在海平面下米； （2）解：（米）， （升）， 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 题型2：数轴综合：读数、两点距离、点移动 1.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，4，y． （1）在数轴上面出原点O和表示有理数的点E； （2）若点B和点D之间的距离为5，求代数式的值． 【答案】（1）如图取的中点，即为原点， 点与点所表示的数到原点的距离相等且方向相反，点如图所示： （2） 【分析】本题主要考查数轴上中点的性质以及代数式求值，体现了数轴上互为相反数的点的几何特征，同时通过点的位置关系推导距离，是数轴与代数结合的基础． （1）根据数轴上两点的位置关系可确定原点位置，再根据相反数的性质确定的位置； （2）先根据两点之间的距离得出与的关系，再将其代入代数式进行运算即可． 解：（1）略 （2）解：点B和点D之间的距离为5， ， ． 2.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 3.（25-26七年级上·河南安阳·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点、、，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点、、所对应的数的和是．若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键； 根据题意分情况讨论：①当原点在点右侧时，分析计算可得，点、、所对应的数分别为，，，即可求得；②当原点在点左侧时，分析计算可得，点、、所对应的数分别为1，4，12，即可求得． 解：根据题意分情况讨论： 如图，当原点在点右侧时， ∵点到原点的距离为4， ∴点对应的数是， ∵点到点的距离为3，到点的距离为8， ∴点对应的数是,点对应的数是， ∴； 如图，当原点在点左侧时， ∵点到原点的距离为4， ∴点对应的数是， ∵点到点的距离为3，到点的距离为8， ∴点对应的数是,点对应的数是， ∴； 综上可知，或， 故答案为：或． 4.（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． （1）点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； （2）点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； （3）点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】（1）2；（2），两点之间的距离是6.5个单位长度；（3）点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． （1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 题型3：有理数混合运算（含乘方、多层括号） 1.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键． （1）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答即可； （2）先运算乘方和绝对值，然后运算乘除，最后运算加减解答即可． （1）解： ； （2）解： ． 2.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，由题意得两人背单词的总数量为个，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 解：由题意得，两人背单词的总数量为个， 同学比同学多背诵的单词数量为个， ∴同学背诵的单词数量为个， 故选：． 3.（25-26七年级上·全国·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算括号内的减法，然后计算乘法，除法，最后计算减法即可得． 解：原式 ． 故答案为：． 4.（25-26七年级上·河南周口·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （1）解： ； （2）解： ． 题型4：利用运算律简便运算 1.（24-25六年级上·山东威海·期中）计算： （1）（请用两种方法进行运算）； （2）（简便运算）； （3）． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）方法一：先计算括号内的加减运算，再计算乘法；方法二：利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律简便计算即可； （3）利用有理数加法的结合律简便计算即可． （1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ； （3）解： ． 2.（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 3.（26-27七年级上·江西南昌·阶段检测）__________． 【答案】 【分析】算式中每一项绝对值内的差都是正数，去掉绝对值符号后，中间相邻项可以相互抵消，简化计算得到最终结果. 解： ∵ 对任意正整数，都有，因此每一项去掉绝对值符号后等于本身，即 ∴ 原式 4.（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列两组等式： ① ② （1）根据你的观察，先写出猜想： ①_____________ ②_____________ （2）然后，用简便方法计算下列各题： ① ②若有理数满足，试求： 的值 【答案】（1）①；②；（2）① ② 【分析】本题考查了有理数的运算、代数式求值以及数字类规律探求； （1）①根据已知的式子得出规律解答即可；②根据已知的式子得出规律解答即可； （2）①利用（1）中规律展开运算即可；②先根据非负数的性质求出a、b，再根据（1）的规律解答即可． 属于常见题型，找到规律并正确运用规律是解题的关键. （1）解：①因为， 所以； 故答案为：； ②因为， 所以； 故答案为：； （2）①解： ； ②解：∵，， ∴， ∴， ∴ . 题型5：绝对值非负性，若干绝对值之和为0求字母值 1.（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． （1）若，，请你分别求出m、n的值； （2）试计算的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． （1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 2.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】B 解：A、若，则，原结论不成立； B、若，则或，原结论成立； C、若，则，原结论不成立； D、若满足，但是，原结论不成立． 3.（2025七年级上·全国·专题练习）已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据条件方程，分析和 的值只能为1或，且它们的和为零，说明两者符号相反，从而推断x和y的符号关系，进而计算出的值，即可作答． 解：∵， ∴和互为相反数． 当，则， 即， ∴， ∴； 当，则， 即， ∴， ∴； 故答案为： 4.（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． （1）数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； （2）点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【答案】（1），8；（2）①；②2秒或4秒 【分析】知识点：非负数性质、数轴动点问题（相遇/距离）．方法：利用非负数和为0求数，用“路程差=速度差×时间”解动点问题．关键：分相遇前/后讨论距离问题．易错点：忽略距离问题的两种情况． （1）求A、B表示的数：由，得，． （2）动点问题： ① 算初始距离（12）、速度差（4），得相遇时间（3秒），再算P移动后的数． ② 分相遇前、相遇后，分别算时间． 解：（1）由，得，，故： 点A表示的数是，点B表示的数是8． 故答案为：，8． （2）① 求相遇时点P对应的数 初始距离：，速度差：，相遇时间：秒． 点P移动的距离：，对应数：． ② 求相距4个单位的时间 分两种情况： 相遇前：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒； 相遇后：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒． 故点P出发2秒或4秒后，与Q相距4个单位． 题型6：多层括号整式的加减化简 1.（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解： （2）解： （3）解： 2.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 3.（26-27七年级上·天津·开学考试）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 【答案】 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出，再计算即可． 解：（1）根据题中的新定义得：； （2）由数轴得：， ， ． 4.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【答案】 解： ． 题型7：同类项综合，利用同类项概念求参数 1.（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中a，b的取值使得与是同类项． 【答案】， 【分析】把所给多项式先去括号，然后合并同类项化简，再由同类项的定义求出a、b的值，最后代入求值即可． 解： ， ∵与是同类项， ∴， ∴， ∴原式． 2.（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 3.（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【答案】 【分析】先由题意得到，继而确定与是同类项，再由同类项的定义求出的值，即可求解． 解：∵， ，且 ∴， ∴， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 4.（25-26七年级上·四川宜宾·期末）已知，． （1）求B（用含a、b的代数式表示）： （2）若与为同类项，求的值． 【答案】（1）；（2）54 【分析】本题主要考查整式的加减运算，同类项定义，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）把A代入进行求解即可； （2）由题意可计算，再根据同类项定义求出，，然后代入求值即可． （1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）可得： ， ∵与为同类项， ∴，， ∴，， 把，代入得： 原式． 题型8：整式化简求值 1.（26-27七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先按照去括号、合并同类项化简原式，然后把a，b的值代入求值即可． 解： ； 当，时，原式． 2.（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知，，则多项式的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先计算整式的加减，再将的值代入计算即可得． 解： ， 将，代入得：原式， 故选：A． 3.（26-27七年级上·全国·单元测试）已知，，当，时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，先将化简，再将，代入求解即可． 解：，， ， 当，时，． 4.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），；（2），2 （1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式． 题型9：整体代入思想求代数式的值 1.（25-26七年级上·北京海淀·期末）小聪同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．” 由题目中的已知条件不能求出和的值．小聪同学对进行如下变形： ． 小聪同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的加减，以及整体代入法求代数式的值． （1）整理多项式可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值； （2）整理多项式可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值． （1）解：∵， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 2.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴． 3.（2026九年级·河南·专题练习）若，则代数式的值为________． 【答案】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 4.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）27． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，，把化为，整体代入计算； （3）根据，，把化成，整体代入计算． 解：（1）当时， ； 故答案为：2； （2）当，时， ； 故答案为：； （3）当，时， ． 题型10：整式“与字母无关”“多项式不含某一项”求参数 1.（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 2.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 3.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，．当的值与x无关时，_________． 【答案】2 【分析】先化简，令含x的项的系数为0，得到a，b的值，代入计算即可． 本题考查了整式的加减中无关问题，化简求值，熟练掌握化简是解题的关键． 解：， ∴ ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得； ∴． 故答案为： 2． 4.（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． （1）化简：； （2）若，求的值； （3）若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． （1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 题型11：列代数式结合整式加减解决简单实际问题 1.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． （结果保留） （1）用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积． （2）当米，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少？ （3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相等），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？ 【答案】（1）平方米；（2）平方米；（3）平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可得窗户能射进阳光的面积； （2）把的值代入（1）得出的式子即可求出； （3）用长方形的面积减去一个半圆和两个等腰直角三角形面积列代数式表示此时窗户能射进阳光的面积，再用作差法和（1）比较大小即可． （1）解：平方米， ∴图1窗户能射进阳光的面积为平方米； （2）解：当米，米时，， ∴图1窗户能射进阳光的面积是平方米； （3）解：由题意得，图2窗户能射进阳光的面积为平方米， ， ∵， ∴， ∴此时窗户能射进阳光的面积更大，大平方米． 2.（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 3.（26-27七年级上·全国·单元复习）甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． （1）乙三角形第三条边的长为________； （2）甲、乙两个三角形的周长比较大的是________． 【答案】 / 甲三角形 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）先求出乙三角形的周长，再用甲三角形的周长减去乙三角形的周长，即可求解． （1）解：根据题意得：乙三角形第三条边的长为 ； （2）解：根据题意得：乙三角形的周长为 ， ， ∴甲、乙两个三角形的周长比较大的是甲三角形的周长． 4.（26-27七年级上·江西·阶段检测）南昌市在八一广场举行建军节升旗仪式，吸引了大量游客拍照打卡．在8月1日至8月7日这7天内，八一广场每日游客的人数变化如下表（正数表示比前一天增加的人数，负数表示比前一天减少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 （1）这七天内游客人数最多的是________日，最少的是_______日； （2）若7月31日的游客人数为万人，这7天的游客总人数是多少万人？ 【答案】（1）；；（2）游客总人数为万人 【分析】（1）设7月31日的游客人数为万人，分别表示出这七天内每天的游客人数，对比后得出结论； （2）将（1）中计算出的七天游客人数求和，再代入即可． （1）解：设7月31日的游客人数为万人， 由表格可知，8月1日的游客人数为万人； 8月2日的游客人数为万人； 8月3日的游客人数为万人； 8月4日的游客人数为万人； 8月5日的游客人数为万人； 8月6日的游客人数为万人； 8月7日的游客人数为万人； ∴这七天内游客人数最多的是日，最少的是日； （2）解：由（1）可知，这7天的游客总人数是万人， 当时，（万人）． 答：这7天的游客总人数是万人． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与应用 （人教版七年级上册：期中核心基础考点） 目录 一、专题定位 1 二、 核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型5：有理数实际应用题（水位变化、盈亏） 2 题型4：数轴综合：读数、两点距离、点移动 4 题型1：有理数混合运算（含乘方、多层括号） 5 题型2：利用运算律简便运算 6 题型3：绝对值非负性，若干绝对值之和为0求字母值 7 题型6：多层括号整式的加减化简 8 题型7：同类项综合，利用同类项概念求参数 9 题型8：整式化简求值（负数代入） 10 题型9：整体代入思想求代数式的值 10 题型10：整式“与字母无关”“多项式不含某一项”求参数 11 题型11：列代数式结合整式加减解决简单实际问题 12 一、专题定位 本专题整合第1~4章核心中档重难点，聚焦有理数综合运算、代数式运算、整式加减综合、简单代数推理四大核心能力。区别于基础概念识记，本专题侧重法则综合运用、符号易错点训练、简单参数求值，针对性解决学生有理数混合运算符号出错、去括号漏变号、代入负数计算失误、同类项参数不会求等高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、课后拔高训练、中档题型组卷测评，全面覆盖期中选择、填空、解答高频中档考题。 2、 核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 有理数混合运算（含乘方、括号）；利用运算律简便运算；绝对值与有理数综合计算；根据数轴上点的位置判断代数式符号；科学记数法与近似数的实际应用；有理数实际应用题（水位变化、盈亏、行程问题）。 有理数的运算 绝对值的非负性：|a|≥0，几个非负数之和为0求字母值；数轴上两点间距离公式的简单计算；数轴上点移动后的列式计算。 代数式 将负数、分数代入代数式求值；简单整体代入求值思想；根据实际问题列代数式。 整式的加减 多层括号整式化简；同类项定义求参数；整式化简求值（负数代入）；整式的值与字母无关、多项式不含某一项求参数；整式加减简单实际应用。 三、必考、常考题型 题型1：有理数实际应用题（水位变化、盈亏） 1.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆； （2）本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ （3）请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答） 2.（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）“湘超”火热进行，某校七年级也组织14支队伍进行足球友谊赛．其中三支球队两两比赛的结果是：1队胜2队，比分为；2队胜3队，比分为；3队负1队，比分为．如果进球数为正，失球数为负，那么三队的净胜球数各为（    ）（注意：净胜球球队的进球数失球数，所以净胜球数也可能是负数） A．4，， B．2，1， C．8，4，3 D．4，1，3 3.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 4.（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）我国大陆海岸线总长度达千米，建立强大的海防是国家安全的重要保障．海军某部一核潜艇在海下训练时而上升，时而下降，该核潜艇的初始位置在海平面以下米，下面是该核潜艇在某段时间内的运动情况（把上升记为“”，下降记为“”，单位：米）：，，，，，，． （1）现在核潜艇处在什么位置？ （2）假如核潜艇每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量，那么在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 题型2：数轴综合：读数、两点距离、点移动 1.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，4，y． （1）在数轴上面出原点O和表示有理数的点E； （2）若点B和点D之间的距离为5，求代数式的值． 2.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·河南安阳·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点、、，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点、、所对应的数的和是．若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，则_____． 4.（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． （1）点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； （2）点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； （3）点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 题型3：有理数混合运算（含乘方、多层括号） 1.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算： （1）； （2）． 2.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3.（25-26七年级上·全国·期中）计算：___________． 4.（25-26七年级上·河南周口·期中）计算： （1） （2） 题型4：利用运算律简便运算 1.（24-25六年级上·山东威海·期中）计算： （1）（请用两种方法进行运算）； （2）（简便运算）； （3）． 2.（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·江西南昌·阶段检测）__________． 4.（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列两组等式： ① ② （1）根据你的观察，先写出猜想： ①_____________ ②_____________ （2）然后，用简便方法计算下列各题： ① ②若有理数满足，试求： 的值 题型5：绝对值非负性，若干绝对值之和为0求字母值 1.（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． （1）若，，请你分别求出m、n的值； （2）试计算的值． 2.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 3.（2025七年级上·全国·专题练习）已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________． 4.（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． （1）数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； （2）点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 题型6：多层括号整式的加减化简 1.（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： （1） （2） （3） 2.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 3.（26-27七年级上·天津·开学考试）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 4.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 题型7：同类项综合，利用同类项概念求参数 1.（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中a，b的取值使得与是同类项． 2.（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 3.（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 4.（25-26七年级上·四川宜宾·期末）已知，． （1）求B（用含a、b的代数式表示）： （2）若与为同类项，求的值． 题型8：整式化简求值 1.（26-27七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 2.（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知，，则多项式的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 3.（26-27七年级上·全国·单元测试）已知，，当，时，代数式的值为________． 4.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 题型9：整体代入思想求代数式的值 1.（25-26七年级上·北京海淀·期末）小聪同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．” 由题目中的已知条件不能求出和的值．小聪同学对进行如下变形： ． 小聪同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 2.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（2026九年级·河南·专题练习）若，则代数式的值为________． 4.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 题型10：整式“与字母无关”“多项式不含某一项”求参数 1.（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 2.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 3.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，．当的值与x无关时，_________． 4.（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． （1）化简：； （2）若，求的值； （3）若的值与y的取值无关，求x的值． 题型11：列代数式结合整式加减解决简单实际问题 1.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． （结果保留） （1）用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积． （2）当米，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少？ （3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相等），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？ 2.（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3.（26-27七年级上·全国·单元复习）甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． （1）乙三角形第三条边的长为________； （2）甲、乙两个三角形的周长比较大的是________． 4.（26-27七年级上·江西·阶段检测）南昌市在八一广场举行建军节升旗仪式，吸引了大量游客拍照打卡．在8月1日至8月7日这7天内，八一广场每日游客的人数变化如下表（正数表示比前一天增加的人数，负数表示比前一天减少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 （1）这七天内游客人数最多的是________日，最少的是_______日； （2）若7月31日的游客人数为万人，这7天的游客总人数是多少万人？ 学科网（北京）股份有限公司 $