2026--2027学年苏科版八年级数学上册10月 月考试卷

苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 3．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 4．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 7．（3分）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　） A．2 B．8 C．20 D．2 8．（3分）通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，BC=，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，BD=，则边AC的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）1-的相反数是　 　 ． 10．（3分）1-的绝对值是　　　　 ． 11．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是　　　　 ． 12．（3分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　　　　 S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 13．（3分）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　　　　 ．（只需填上一个即可） 14．（3分）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 　　　　 cm． 15．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 　　　　 ． 16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 18．（6分）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6． （1）求a的值； （2）求这个数m． 19．（6分）把下列各数分别填入相应的横线上．﹣5、|-|、0、﹣3.14、、﹣12、-、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：　　　　 ． （2）分数：　　　　 ． （3）无理数：　　　　 ． 20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 21．（6分）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合，边OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O′D′E′F′与OABC重叠部分的面积记为S． （1）如图1，求出数轴上点F表示的数． （2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数． （3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由． 22．（6分）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 23．（8分）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足n2＜T＜（n+1）2（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1），同理规定无理数-的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2）．-的“青一区间”为（﹣2，﹣1）． （1）的“青一区间“为　　　　 ，-的“青一区间”为　　　　 ； （2）实数xy满足关系式+|2025+(y-4)2|=2025，求的“青一区间”． 24．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，将△AED沿AE翻折得到△AEF，连接BF并延长交CD于点G． （1）如图1，若AF＝BF，求证：FG＝EG； （2）如图2，若F为BG的中点，求的值； （3）如图3，连接CF，若CF⊥BG，AB＝6，直接写出DE的长． 25．（10分）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝　　　　 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决： （2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 26．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC． 【问题引入】（1）请你在图1中证明EF＝EC； 【探索发现】（2）在图2中的图形上继续探索：图2中EF＝EC显然仍然成立（看作已知条件），延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你求出线段DE的长． 27．（10分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． 【问题背景】（1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述思路，写出求解AD的取值范围的完整过程． 【变式思考】（2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD． 【探究延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 参考答案与解析 1．（3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；故选：D． （来源：2025春•南昌期末） 2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】B 【解答】解：A、 ∵42+52≠62， ∴不能构成直角三角形，故A错误；B、 ∵12+12=2， ∴能构成直角三角形，故B正确；C、 ∵62+82≠112， ∴不能构成直角三角形，故C错误；D、 ∵52+122≠232， ∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B． （来源：2024秋•绥化期末） 3．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB===10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D． （来源：2026春•东西湖区期末） 4．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+(b-a)2=a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．B、梯形的面积为：⋅(a+b)(a+b)=(a2+b2)+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2=ab+c2， ∴ab+c2=(a2+b2)+ab， ∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2=2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴D选项不能证明勾股定理．故选：D． （来源：2024春•泗水县期末） 5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADB=AB×DE=×5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4，故选：C． （来源：2026•余江区期末） 6．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 【答案】C 【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C． （来源：2026春•鹿邑县月考） 7．（3分）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　） A．2 B．8 C．20 D．2 【答案】B 【解答】解：已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6， ∴AF+BF＝14﹣6＝8，AF2+BF2＝62＝36， ∴2AF•BF＝（AF+BF）2﹣（AF2+BF2）＝82﹣36＝28， ∴（AF﹣BF）2＝AF2+BF2﹣2AF•BF＝36﹣28＝8， ∵AF＝BG，EF＝FG， ∴AE＝BF， ∴EF2＝（AF﹣AE）2＝8， ∴正方形EFGH的面积为8，故选：B． （来源：2025•红河县期末） 8．（3分）通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，BC=，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，BD=，则边AC的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 【答案】B 【解答】解：以AD、CD为边作矩形ADCE，连接BE、DE，如图所示：则AC＝DE，由题意得：BD2+BE2＝BA2+BC2，即（）2+BE2＝42+（）2，解得：BE＝3．当B、D、E三点共线时，DE最小， ∴AC的最小值＝DE的最小值＝BE﹣BD＝3-=2．故选：B． （来源：2026•西湖区校级一模） 9．（3分）1-的相反数是　 　 ． 【答案】-1 【解答】解：1-的相反数为﹣（1-）＝﹣1+，故答案为：-1． （来源：2026春•津南区期末） 10．（3分）1-的绝对值是 ． 【答案】 【解答】解：-的绝对值是．故答案为：． （来源：2020•江都区一模） 11．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是 ． 【答案】见解析 【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故应填：三角形的稳定性． （来源：2022秋•香洲区期末） 12．（3分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＝ 【解答】解： ∵S△ABC=×2×4＝4，S△ABD＝2×5-×5×1-×1×3-×2×2＝4， ∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝． （来源：2020•北京） 13．（3分）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 【答案】∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC 【解答】解：增加一个适当的条件为∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC，故答案为：∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC． （来源：2022秋•嵊州市期末） 14．（3分）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 cm． 【答案】 【解答】解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D， ∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵S△ACB=AC×BC=AB×CD， ∴AC×BC＝AB×CD15×20＝25CD， ∴CD＝12（cm）；故答案为：12． （来源：2024春•潮安区期末） 15．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 ． 【答案】-13 【解答】解： ∵OB===，OC＝OB，又 ∵O为圆心，点C表示的数小于零， ∴点C表示的数是-．故答案为：-． （来源：2026春•西城区校级期中） 16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 ． 【答案】2 【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB， ∴∠KCE＝∠A， ∵CK＝CA，CE＝AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长，在Rt△BCG中， ∵∠G＝90°，BC＝8， ∴CG=BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK===2．故答案为2． （来源：2025春•市中区校级期中） 17．（6分）求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据题意得x2=， ∴x＝±； （2）根据题意得（x+1）3＝8， ∴x+1＝2， ∴x＝1． （来源：2023秋•泗洪县期末） 18．（6分）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6． （1）求a的值； （2）求这个数m． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6， ∴（a+2）+（3a﹣6）＝0， ∴4a＝4，解得a＝1； （2） ∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3， ∴m＝（±3）2＝9， ∴m的值是9． （来源：2021秋•莱芜区期末） 19．（6分）把下列各数分别填入相应的横线上．﹣5、|-|、0、﹣3.14、、﹣12、-、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数： ． （2）分数： ． （3）无理数： ． 【答案】见解析 【解答】解： （1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）． （2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：|-|、﹣3.14、、+1.99． （3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：-、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．答案为： （1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）， （2）|-|、﹣3.14、、+1.99， （3）-、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． （来源：2021春•肥西县期末） 20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）他的说法正确．理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，DC′===15(m)． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），即风筝垂直下降的高度为9m，答：风筝垂直下降的高度为9m． （来源：2026春•秀屿区校级期末） 21．（6分）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合，边OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O′D′E′F′与OABC重叠部分的面积记为S． （1）如图1，求出数轴上点F表示的数． （2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数． （3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵长方形OABC的面积为12，OA边长为3， ∴OC＝12÷3＝4， ∵长方形OABC与ODEF的面积都为12， ∴OF＝OC＝4，DE＝OA＝3， ∴数轴上点F表示的数为﹣4， （2） ∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半， ∴S＝6，①当点O′在OA上时，O′O＝6÷3＝2， ∴O′表示的数为2，②当点O′在点A右侧时，如图， ∴AF′＝6÷3＝2， ∴OF′＝3﹣2＝1， ∴OO′＝O′F′+OF′＝5，综上，O′表示的数为2或5． （3）能，理由如下：设OO′＝x，分两种情况：①当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，点F′所表示的数为﹣4﹣x， ∵点P是O′A的中点， ∴点P所表示的数为：-x； ∴-x+（﹣4﹣x）＝0， ∴x=-；②当原长方形ODEF向右移动时，点O′所表示的数为x，点F′所表示的数为﹣4+x； ∵点P是O′A的中点， ∴点P所表示的数为：+x， ∴+x+（﹣4+x）＝0， ∴x=． ∴点O移动的距离为：． （来源：2026•衡阳校级开学） 22．（6分）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】见解析 【解答】解： （1）结论：AB∥CD．理由：如图1中， ∵EM平分∠AEF交CD于点M， ∴∠AEM＝∠MEF， ∵∠FEM＝∠FME． ∴∠AEM＝∠FME， ∴AB∥CD． （2）①如图2中， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°， ∴∠AEG＝120°， ∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG， ∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF=∠AEG＝60°， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．②猜想：α=β或α＝90°-β理由：①当点G在F的右侧时， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGH＝β， ∴∠AEG＝180°﹣β， ∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG， ∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF=∠AEG＝90°-β， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN=β．②当点G在F的左侧在线段FM上时，同法可得α＝90°-β，综上所述，α=β或α＝90°-β． （来源：2023春•醴陵市期末） 23．（8分）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足n2＜T＜（n+1）2（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1），同理规定无理数-的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2）．-的“青一区间”为（﹣2，﹣1）． （1）的“青一区间“为 ，-的“青一区间”为 ； （2）实数xy满足关系式+|2025+(y-4)2|=2025，求的“青一区间”． 【答案】见解析 【解答】解： （1）易知：42＜17＜52， ∴的“青一区间”为（4，5）； ∵42＜23＜52， ∴-的“青一区间”为（﹣5，﹣4）； （2） ∵+|2025+(y-4)2|=2025， ∴+2025+(y-4)2=2025，即+(y-4)2=0， ∴x＝3，y＝4， ∴=． ∵32＜12＜42， ∴的“青一区间”为（3，4）． （来源：2025春•路北区校级月考） 24．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，将△AED沿AE翻折得到△AEF，连接BF并延长交CD于点G． （1）如图1，若AF＝BF，求证：FG＝EG； （2）如图2，若F为BG的中点，求的值； （3）如图3，连接CF，若CF⊥BG，AB＝6，直接写出DE的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠D＝90°，由翻折的性质可得AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，又 ∵AF＝BF， ∴AB＝AF＝BF，即△ABF是等边三角形， ∴∠ABF＝∠AFB＝60°， ∴∠EFG＝180°﹣∠AFE﹣∠AFB＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠BGC＝∠ABF＝60°，∠EGF＝180°﹣∠ABF＝120°， ∴∠GEF＝∠BGC﹣∠EFG＝30°， ∴∠GEF＝∠EFG， ∴FG＝EG； （2）解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠BAD＝∠D＝90°，由翻折的性质可得AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∠DAE＝∠FAE， ∴AB＝AF， ∵F为BG的中点， ∴BF＝FG，延长EF交AB延长线于点M， ∵AB∥CD， ∴∠M＝∠FEG，在△BFM和△GFE中，， ∴△BFM≌△GFE（AAS）， ∴MF＝EF，又 ∵∠AFE＝90°，即AF⊥ME， ∴AF垂直平分ME， ∴AM＝AE， ∴∠MAF＝∠FAE， ∴∠MAF＝∠FAE＝∠DAE=×90°＝30°， ∴=sin∠EAF＝sin30°=， ∴=； （3）解：如图，延长EF交BC于点N，连接AN交BG于点M， ∵正方形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，由翻折的性质可得AD＝AF＝6，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF＝6，∠AFN＝180°﹣∠AFE＝90°， ∴∠ABN＝∠AFN＝90°， ∴Rt△ABN≌Rt△AFN（HL）， ∴BN＝FN， ∴AN是BF的垂直平分线， ∴BN＝FN，AN⊥BF，BM＝FM， ∵CF⊥BG， ∴MN∥CF， ∴BN＝CN=BC＝3， ∴FN＝BN＝CN＝3， ∴EN＝FN+EF＝3+DE，CE＝CD﹣DE＝6﹣DE，根据勾股定理得，EN2＝CN2+CE2， ∴（3+DE）2＝32+（6﹣DE）2， ∴DE＝2，即DE的长为2． （来源：2026春•新抚区期末） 25．（10分）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决： （2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】72 【解答】解： （1）当AP＝CP=时，△ABP与△CBP是偏等积三角形，理由如下：设点B到AC的距离为h，则S△ABP=AP•h，S△CBP=CP•h， ∴S△ABP＝S△CBP， ∵AB＝10，BC＝7， ∴AB≠BC， ∵AP＝CP、PB＝PB， ∴△ABP与△CBP不全等， ∴△ABP与△CBP是偏等积三角形，故答案为：； （2）①△ACD与△BCE是偏等积三角形，理由如下：过A作AM⊥DC于M，过B作BN⊥CE于N，如图所示，则∠AMC＝∠BNC＝90°， ∵△ACB、△DCE是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠BCN+∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠ACM+∠ACD＝180°， ∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，∠AMC＝∠BNC，∠ACM＝∠BCN，AC＝BC ∴△ACM≌△BCN（AAS）， ∴AM＝BN， ∵S△ACD=CD•AM，S△BCE=CE•BN， ∴S△ACD＝S△BCE， ∵∠BCE+∠ACD＝180°，0°＜∠BCE＜90°， ∴∠ACD≠∠BCE， ∵CD＝CE，AC＝BC， ∴△ACD与△BCE不全等， ∴△ACD与△BCE是偏等积三角形；②如图，过点A作AN∥CD，交CG的延长线于N，则∠N＝∠GCD， ∵G点为AD的中点， ∴AG＝GD，在△AGN和△DGC中，∠N＝∠GCD，∠AGN＝∠DGC，AG＝DG， ∴△AGN≌△DGC（AAS）， ∴AN＝CD， ∵CD＝CE， ∴AN＝CE， ∵AN∥CD， ∴∠CAN+∠ACD＝180°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠BCE＝∠CAN，在△ACN和△CBE中，AN＝CE，∠CAN＝∠BCE，AC＝CB， ∴△ACN≌△CBE（SAS）， ∴∠ACN＝∠CBE， ∵∠ACN+∠BCF＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CF⊥BE．由①得：△ACD与△BCE是偏等积三角形， ∴S△BCE=BE•CF，S△BCE＝S△ACD＝2100， ∴CF===70（m）， ∴修建小路CF的总造价为：600×70＝42000（元）． （来源：2021秋•思明区校级期末） 26．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．【问题引入】 （1）请你在图1中证明EF＝EC；【探索发现】 （2）在图2中的图形上继续探索：图2中EF＝EC显然仍然成立（看作已知条件），延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；【拓展应用】 （3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你求出线段DE的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°， ∵BE＝BE， ∴△BEA≌△BEC（SAS）， ∴EA＝EC，由旋转得：EA＝EF， ∴EF＝EC； （2）解：补全图形如图2所示，猜想DM＝BF，理由如下：过点F作FH⊥BC交DB的延长线于点H，则∠HFB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠HFB＝∠BCD， ∴FH∥CD， ∴∠H＝∠EDM， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵∠EFC+∠FMC＝90°，∠ECF+∠ECM＝90°， ∴∠FMC＝∠ECM， ∴EC＝EM， ∴EF＝EM， ∵∠HEF＝∠DEM， ∴△HEF≌△DEM（AAS）， ∴FH＝DM， ∵∠DBC＝45°， ∴∠FBH＝45°， ∴∠H＝45°， ∴BF＝FH， ∴DM＝BF，即线段DM和线段BF的数量关系DM＝BF； （3）解：如图3，取AD的中点G，连接EG， ∵NE＝AE， ∴点E是AN的中点， ∴EG=DN， ∵△ADN的周长＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG）， ∴当△ADN的周长最小时，AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝3， ∵点G是AD的中点， ∴DG=AD=，=， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△BEC， ∴==， ∴BE＝2DE， ∵BE+DE＝BD＝3， ∴2DE+DE＝3， ∴3DE＝3， ∴DE=． （来源：2026•海伦市模拟） 27．（10分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．【问题背景】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述思路，写出求解AD的取值范围的完整过程．【变式思考】 （2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD．【探究延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝5， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，AC＝5， ∴8﹣5＜AE＜8+5， ∴3＜AE＜13， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∴3＜2AD＜13， ∴＜AD＜，故AD的取值范围为＜AD＜； （2）证明：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，则AG＝2AD， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∵∠ADC＝∠GDB， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴∠C＝∠GBD，AC＝BG， ∴AC∥BG， ∴∠ABG+∠BAC＝180°， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠ABG＝∠EAF，在△EAF和△ABG中， ∴△EAF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝EF， ∴EF＝2AD； （3）解：如图，延长EF到G，使EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使AH＝AD，连接BH， ∵F是BC的中点， ∴CF＝BF， ∵∠EFB＝∠CFG， ∴△BEF≌△CGF（SAS）， ∴BE＝CG，∠G＝∠BEF， ∴CG∥BE， ∴∠BEH＝∠GCE， ∵∠BAC+∠BAH＝180°，∠BAC+∠BAD﹣180°米 ∴∠BAH＝∠BAD，在△BAH和△BAD中， ∴△BAH≌△BAD（SAS）， ∴BH＝BD，∠H＝∠ADB， ∵∠ADB＝∠CEF， ∴∠H＝∠CEF， ∴△HBE≌△EGC（AAS）， ∴EG＝BH＝BD＝2EF＝2×6＝12，即BD＝12． （来源：2026春•福田区校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 参考答案与解析 1．（3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；故选：D． （来源：2025春•南昌期末） 2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】B 【解答】解：A、 ∵42+52≠62， ∴不能构成直角三角形，故A错误；B、 ∵12+12=2， ∴能构成直角三角形，故B正确；C、 ∵62+82≠112， ∴不能构成直角三角形，故C错误；D、 ∵52+122≠232， ∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B． （来源：2024秋•绥化期末） 3．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB===10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D． （来源：2026春•东西湖区期末） 4．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+(b-a)2=a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．B、梯形的面积为：⋅(a+b)(a+b)=(a2+b2)+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2=ab+c2， ∴ab+c2=(a2+b2)+ab， ∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2=2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴D选项不能证明勾股定理．故选：D． （来源：2024春•泗水县期末） 5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADB=AB×DE=×5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4，故选：C． （来源：2026•余江区期末） 6．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 【答案】C 【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C． （来源：2026春•鹿邑县月考） 7．（3分）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　） A．2 B．8 C．20 D．2 【答案】B 【解答】解：已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6， ∴AF+BF＝14﹣6＝8，AF2+BF2＝62＝36， ∴2AF•BF＝（AF+BF）2﹣（AF2+BF2）＝82﹣36＝28， ∴（AF﹣BF）2＝AF2+BF2﹣2AF•BF＝36﹣28＝8， ∵AF＝BG，EF＝FG， ∴AE＝BF， ∴EF2＝（AF﹣AE）2＝8， ∴正方形EFGH的面积为8，故选：B． （来源：2025•红河县期末） 8．（3分）通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，BC=，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，BD=，则边AC的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 【答案】B 【解答】解：以AD、CD为边作矩形ADCE，连接BE、DE，如图所示：则AC＝DE，由题意得：BD2+BE2＝BA2+BC2，即（）2+BE2＝42+（）2，解得：BE＝3．当B、D、E三点共线时，DE最小， ∴AC的最小值＝DE的最小值＝BE﹣BD＝3-=2．故选：B． （来源：2026•西湖区校级一模） 9．（3分）1-的相反数是　 　 ． 【答案】-1 【解答】解：1-的相反数为﹣（1-）＝﹣1+，故答案为：-1． （来源：2026春•津南区期末） 10．（3分）1-的绝对值是 ． 【答案】 【解答】解：-的绝对值是．故答案为：． （来源：2020•江都区一模） 11．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是 ． 【答案】见解析 【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故应填：三角形的稳定性． （来源：2022秋•香洲区期末） 12．（3分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＝ 【解答】解： ∵S△ABC=×2×4＝4，S△ABD＝2×5-×5×1-×1×3-×2×2＝4， ∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝． （来源：2020•北京） 13．（3分）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 【答案】∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC 【解答】解：增加一个适当的条件为∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC，故答案为：∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC． （来源：2022秋•嵊州市期末） 14．（3分）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 cm． 【答案】 【解答】解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D， ∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵S△ACB=AC×BC=AB×CD， ∴AC×BC＝AB×CD15×20＝25CD， ∴CD＝12（cm）；故答案为：12． （来源：2024春•潮安区期末） 15．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 ． 【答案】-13 【解答】解： ∵OB===，OC＝OB，又 ∵O为圆心，点C表示的数小于零， ∴点C表示的数是-．故答案为：-． （来源：2026春•西城区校级期中） 16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 ． 【答案】2 【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB， ∴∠KCE＝∠A， ∵CK＝CA，CE＝AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长，在Rt△BCG中， ∵∠G＝90°，BC＝8， ∴CG=BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK===2．故答案为2． （来源：2025春•市中区校级期中） 17．（6分）求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据题意得x2=， ∴x＝±； （2）根据题意得（x+1）3＝8， ∴x+1＝2， ∴x＝1． （来源：2023秋•泗洪县期末） 18．（6分）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6． （1）求a的值； （2）求这个数m． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6， ∴（a+2）+（3a﹣6）＝0， ∴4a＝4，解得a＝1； （2） ∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3， ∴m＝（±3）2＝9， ∴m的值是9． （来源：2021秋•莱芜区期末） 19．（6分）把下列各数分别填入相应的横线上．﹣5、|-|、0、﹣3.14、、﹣12、-、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数： ． （2）分数： ． （3）无理数： ． 【答案】见解析 【解答】解： （1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）． （2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：|-|、﹣3.14、、+1.99． （3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：-、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．答案为： （1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）， （2）|-|、﹣3.14、、+1.99， （3）-、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． （来源：2021春•肥西县期末） 20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 【答案】见解析 【解答】解： （1）他的说法正确．理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，DC′===15(m)． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），即风筝垂直下降的高度为9m，答：风筝垂直下降的高度为9m． （来源：2026春•秀屿区校级期末） 21．（6分）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合，边OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O′D′E′F′与OABC重叠部分的面积记为S． （1）如图1，求出数轴上点F表示的数． （2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数． （3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵长方形OABC的面积为12，OA边长为3， ∴OC＝12÷3＝4， ∵长方形OABC与ODEF的面积都为12， ∴OF＝OC＝4，DE＝OA＝3， ∴数轴上点F表示的数为﹣4， （2） ∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半， ∴S＝6，①当点O′在OA上时，O′O＝6÷3＝2， ∴O′表示的数为2，②当点O′在点A右侧时，如图， ∴AF′＝6÷3＝2， ∴OF′＝3﹣2＝1， ∴OO′＝O′F′+OF′＝5，综上，O′表示的数为2或5． （3）能，理由如下：设OO′＝x，分两种情况：①当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，点F′所表示的数为﹣4﹣x， ∵点P是O′A的中点， ∴点P所表示的数为：-x； ∴-x+（﹣4﹣x）＝0， ∴x=-；②当原长方形ODEF向右移动时，点O′所表示的数为x，点F′所表示的数为﹣4+x； ∵点P是O′A的中点， ∴点P所表示的数为：+x， ∴+x+（﹣4+x）＝0， ∴x=． ∴点O移动的距离为：． （来源：2026•衡阳校级开学） 22．（6分）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】见解析 【解答】解： （1）结论：AB∥CD．理由：如图1中， ∵EM平分∠AEF交CD于点M， ∴∠AEM＝∠MEF， ∵∠FEM＝∠FME． ∴∠AEM＝∠FME， ∴AB∥CD． （2）①如图2中， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°， ∴∠AEG＝120°， ∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG， ∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF=∠AEG＝60°， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．②猜想：α=β或α＝90°-β理由：①当点G在F的右侧时， ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGH＝β， ∴∠AEG＝180°﹣β， ∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG， ∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF=∠AEG＝90°-β， ∵HN⊥EM， ∴∠HNE＝90°， ∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN=β．②当点G在F的左侧在线段FM上时，同法可得α＝90°-β，综上所述，α=β或α＝90°-β． （来源：2023春•醴陵市期末） 23．（8分）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足n2＜T＜（n+1）2（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1），同理规定无理数-的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2）．-的“青一区间”为（﹣2，﹣1）． （1）的“青一区间“为 ，-的“青一区间”为 ； （2）实数xy满足关系式+|2025+(y-4)2|=2025，求的“青一区间”． 【答案】见解析 【解答】解： （1）易知：42＜17＜52， ∴的“青一区间”为（4，5）； ∵42＜23＜52， ∴-的“青一区间”为（﹣5，﹣4）； （2） ∵+|2025+(y-4)2|=2025， ∴+2025+(y-4)2=2025，即+(y-4)2=0， ∴x＝3，y＝4， ∴=． ∵32＜12＜42， ∴的“青一区间”为（3，4）． （来源：2025春•路北区校级月考） 24．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，将△AED沿AE翻折得到△AEF，连接BF并延长交CD于点G． （1）如图1，若AF＝BF，求证：FG＝EG； （2）如图2，若F为BG的中点，求的值； （3）如图3，连接CF，若CF⊥BG，AB＝6，直接写出DE的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠D＝90°，由翻折的性质可得AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，又 ∵AF＝BF， ∴AB＝AF＝BF，即△ABF是等边三角形， ∴∠ABF＝∠AFB＝60°， ∴∠EFG＝180°﹣∠AFE﹣∠AFB＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠BGC＝∠ABF＝60°，∠EGF＝180°﹣∠ABF＝120°， ∴∠GEF＝∠BGC﹣∠EFG＝30°， ∴∠GEF＝∠EFG， ∴FG＝EG； （2）解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠BAD＝∠D＝90°，由翻折的性质可得AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∠DAE＝∠FAE， ∴AB＝AF， ∵F为BG的中点， ∴BF＝FG，延长EF交AB延长线于点M， ∵AB∥CD， ∴∠M＝∠FEG，在△BFM和△GFE中，， ∴△BFM≌△GFE（AAS）， ∴MF＝EF，又 ∵∠AFE＝90°，即AF⊥ME， ∴AF垂直平分ME， ∴AM＝AE， ∴∠MAF＝∠FAE， ∴∠MAF＝∠FAE＝∠DAE=×90°＝30°， ∴=sin∠EAF＝sin30°=， ∴=； （3）解：如图，延长EF交BC于点N，连接AN交BG于点M， ∵正方形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，由翻折的性质可得AD＝AF＝6，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF＝6，∠AFN＝180°﹣∠AFE＝90°， ∴∠ABN＝∠AFN＝90°， ∴Rt△ABN≌Rt△AFN（HL）， ∴BN＝FN， ∴AN是BF的垂直平分线， ∴BN＝FN，AN⊥BF，BM＝FM， ∵CF⊥BG， ∴MN∥CF， ∴BN＝CN=BC＝3， ∴FN＝BN＝CN＝3， ∴EN＝FN+EF＝3+DE，CE＝CD﹣DE＝6﹣DE，根据勾股定理得，EN2＝CN2+CE2， ∴（3+DE）2＝32+（6﹣DE）2， ∴DE＝2，即DE的长为2． （来源：2026春•新抚区期末） 25．（10分）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝ 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决： （2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】72 【解答】解： （1）当AP＝CP=时，△ABP与△CBP是偏等积三角形，理由如下：设点B到AC的距离为h，则S△ABP=AP•h，S△CBP=CP•h， ∴S△ABP＝S△CBP， ∵AB＝10，BC＝7， ∴AB≠BC， ∵AP＝CP、PB＝PB， ∴△ABP与△CBP不全等， ∴△ABP与△CBP是偏等积三角形，故答案为：； （2）①△ACD与△BCE是偏等积三角形，理由如下：过A作AM⊥DC于M，过B作BN⊥CE于N，如图所示，则∠AMC＝∠BNC＝90°， ∵△ACB、△DCE是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠BCN+∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠ACM+∠ACD＝180°， ∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，∠AMC＝∠BNC，∠ACM＝∠BCN，AC＝BC ∴△ACM≌△BCN（AAS）， ∴AM＝BN， ∵S△ACD=CD•AM，S△BCE=CE•BN， ∴S△ACD＝S△BCE， ∵∠BCE+∠ACD＝180°，0°＜∠BCE＜90°， ∴∠ACD≠∠BCE， ∵CD＝CE，AC＝BC， ∴△ACD与△BCE不全等， ∴△ACD与△BCE是偏等积三角形；②如图，过点A作AN∥CD，交CG的延长线于N，则∠N＝∠GCD， ∵G点为AD的中点， ∴AG＝GD，在△AGN和△DGC中，∠N＝∠GCD，∠AGN＝∠DGC，AG＝DG， ∴△AGN≌△DGC（AAS）， ∴AN＝CD， ∵CD＝CE， ∴AN＝CE， ∵AN∥CD， ∴∠CAN+∠ACD＝180°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠BCE＝∠CAN，在△ACN和△CBE中，AN＝CE，∠CAN＝∠BCE，AC＝CB， ∴△ACN≌△CBE（SAS）， ∴∠ACN＝∠CBE， ∵∠ACN+∠BCF＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CF⊥BE．由①得：△ACD与△BCE是偏等积三角形， ∴S△BCE=BE•CF，S△BCE＝S△ACD＝2100， ∴CF===70（m）， ∴修建小路CF的总造价为：600×70＝42000（元）． （来源：2021秋•思明区校级期末） 26．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．【问题引入】 （1）请你在图1中证明EF＝EC；【探索发现】 （2）在图2中的图形上继续探索：图2中EF＝EC显然仍然成立（看作已知条件），延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；【拓展应用】 （3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你求出线段DE的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°， ∵BE＝BE， ∴△BEA≌△BEC（SAS）， ∴EA＝EC，由旋转得：EA＝EF， ∴EF＝EC； （2）解：补全图形如图2所示，猜想DM＝BF，理由如下：过点F作FH⊥BC交DB的延长线于点H，则∠HFB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠HFB＝∠BCD， ∴FH∥CD， ∴∠H＝∠EDM， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵∠EFC+∠FMC＝90°，∠ECF+∠ECM＝90°， ∴∠FMC＝∠ECM， ∴EC＝EM， ∴EF＝EM， ∵∠HEF＝∠DEM， ∴△HEF≌△DEM（AAS）， ∴FH＝DM， ∵∠DBC＝45°， ∴∠FBH＝45°， ∴∠H＝45°， ∴BF＝FH， ∴DM＝BF，即线段DM和线段BF的数量关系DM＝BF； （3）解：如图3，取AD的中点G，连接EG， ∵NE＝AE， ∴点E是AN的中点， ∴EG=DN， ∵△ADN的周长＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG）， ∴当△ADN的周长最小时，AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝3， ∵点G是AD的中点， ∴DG=AD=，=， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△BEC， ∴==， ∴BE＝2DE， ∵BE+DE＝BD＝3， ∴2DE+DE＝3， ∴3DE＝3， ∴DE=． （来源：2026•海伦市模拟） 27．（10分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．【问题背景】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述思路，写出求解AD的取值范围的完整过程．【变式思考】 （2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD．【探究延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝5， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，AC＝5， ∴8﹣5＜AE＜8+5， ∴3＜AE＜13， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∴3＜2AD＜13， ∴＜AD＜，故AD的取值范围为＜AD＜； （2）证明：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，则AG＝2AD， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∵∠ADC＝∠GDB， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴∠C＝∠GBD，AC＝BG， ∴AC∥BG， ∴∠ABG+∠BAC＝180°， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠ABG＝∠EAF，在△EAF和△ABG中， ∴△EAF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝EF， ∴EF＝2AD； （3）解：如图，延长EF到G，使EF＝FG，连接CG，延长CA到H，使AH＝AD，连接BH， ∵F是BC的中点， ∴CF＝BF， ∵∠EFB＝∠CFG， ∴△BEF≌△CGF（SAS）， ∴BE＝CG，∠G＝∠BEF， ∴CG∥BE， ∴∠BEH＝∠GCE， ∵∠BAC+∠BAH＝180°，∠BAC+∠BAD﹣180°米 ∴∠BAH＝∠BAD，在△BAH和△BAD中， ∴△BAH≌△BAD（SAS）， ∴BH＝BD，∠H＝∠ADB， ∵∠ADB＝∠CEF， ∴∠H＝∠CEF， ∴△HBE≌△EGC（AAS）， ∴EG＝BH＝BD＝2EF＝2×6＝12，即BD＝12． （来源：2026春•福田区校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 苏科版2026-2027学年数学八上_10月 月考 考查范围：第1章 三角形、第2章 实数的初步认识、第3章 勾股定理 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 3．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 4．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 7．（3分）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　） A．2 B．8 C．20 D．2 8．（3分）通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，BC=，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，BD=，则边AC的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）1-的相反数是　 　 ． 10．（3分）1-的绝对值是　　　　 ． 11．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是　　　　 ． 12．（3分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　　　　 S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）． 13．（3分）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　　　　 ．（只需填上一个即可） 14．（3分）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是 　　　　 cm． 15．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是 　　　　 ． 16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 18．（6分）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6． （1）求a的值； （2）求这个数m． 19．（6分）把下列各数分别填入相应的横线上．﹣5、|-|、0、﹣3.14、、﹣12、-、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：　　　　 ． （2）分数：　　　　 ． （3）无理数：　　　　 ． 20．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 21．（6分）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合，边OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O′D′E′F′与OABC重叠部分的面积记为S． （1）如图1，求出数轴上点F表示的数． （2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数． （3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由． 22．（6分）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 23．（8分）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足n2＜T＜（n+1）2（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1），同理规定无理数-的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2）．-的“青一区间”为（﹣2，﹣1）． （1）的“青一区间“为　　　　 ，-的“青一区间”为　　　　 ； （2）实数xy满足关系式+|2025+(y-4)2|=2025，求的“青一区间”． 24．（8分）在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，将△AED沿AE翻折得到△AEF，连接BF并延长交CD于点G． （1）如图1，若AF＝BF，求证：FG＝EG； （2）如图2，若F为BG的中点，求的值； （3）如图3，连接CF，若CF⊥BG，AB＝6，直接写出DE的长． 25．（10分）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝　　　　 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决： （2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 26．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC． 【问题引入】（1）请你在图1中证明EF＝EC； 【探索发现】（2）在图2中的图形上继续探索：图2中EF＝EC显然仍然成立（看作已知条件），延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你求出线段DE的长． 27．（10分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． 【问题背景】（1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝5，求AD的取值范围．我们可以延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，所以BE＝AC．接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围．请按照上述思路，写出求解AD的取值范围的完整过程． 【变式思考】（2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD． 【探究延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $