2026-2027学年人教版数学八年级上册期中复习卷4

人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交边BC于点D，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交边BC于点E．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD，AE，BE，CD的大小关系正确的是（　　） A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD 2．（3分）下列图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．12° 4．（3分）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　） A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 7．（3分）在平面直角坐标系中有点A（6，﹣1）和点O（0，0），若△ABO是等腰三角形，AO是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（3分）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝2S3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为 　　　　 ． 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为 　　　　 ． 11．（3分）如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　　　　 °． 12．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线l是它的对称轴，∠D＝123°，则∠C＝　　　　 °． 13．（3分）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　　　　 .（只写一个） 14．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠BAC＝∠DEF＝90°，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件：　　　　 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等． 15．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　　　　 ． 16．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　　　　 s． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若AB＝15，AC＝12，求BC的长． （2）若AB＝6，∠A＝30°，求AC的长． 18．（6分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E． （1）若∠A＝30°，求∠BPC的度数； （2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明； （3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于F． （1）求∠B的度数； （2）求证：CF＝2BF． 22．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 23．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，点F在BC的延长线上，且∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD∥AE； （2）若AC∥EF，∠F＝82°，∠BDC＝76°，求∠BAC的度数． 24．（8分）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　　　　 个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　　　　 个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　　　　 条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B度数． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线； （1）若AB＝BD，则∠A的度数为 　　　　 °（直接写出结果）； （2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC． （3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC． 26．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 27．（10分）如图，AB∥CD．将一块含30°角的三角板EFG如图放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，此时点E、F分别在直线CD、AB上．设∠GFB＝α（0°＜α＜90°），∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H． （1）如图1，若α＝42°，则∠FEH的度数为　　　　 ； （2）如图2，当α＝30°时，判断直线EH与FG的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，P是射线EC上一点（与E不重合），现在将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度也顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止，同时三角板EFG也停止转动．求当射线PC与三角板EFG的一边平行时∠HEG的度数． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 参考答案与解析 1．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交边BC于点D，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交边BC于点E．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD，AE，BE，CD的大小关系正确的是（　　） A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD 【答案】D 【解答】解： ∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠C＜∠B， ∴AB＜AC， ∵AB＝BD，AC＝EC， ∴BE+ED＜ED+CD， ∴BE＜CD．故选：D． （来源：2026秋•同步） 2．（3分）下列图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、CD不是△ABC的边BC上的高，不符合题意；B、AD是△ABC的边BC上的高，符合题意；C、CD不是△ABC的边BC上的高，不符合题意；D、BD不是△ABC的边BC上的高，不符合题意；故选：B． （来源：2026春•福州期末） 3．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．12° 【答案】A 【解答】解： ∵∠ACB′＝74°，∠ACB＝90°， ∴∠BCB′＝164°，由翻折的性质可知：∠DCB=∠BCB′＝82°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣82°＝8°．故选：A． （来源：2026•达州校级开学） 4．（3分）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【解答】解：如图所示，该球最后落入2号袋．故选：B． （来源：2026春•武进区校级月考） 5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线． ∴∠ADG＝∠CDG， ∵AD∥BC， ∴∠ADG＝∠CGD， ∴∠CDG＝∠CGD， ∴CG＝CD＝3， ∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故选：A． （来源：2026•七星关区校级模拟） 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　） A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 【答案】D 【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°， ∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADB（AAS）， ∴DB＝DE，AB＝AE， ∵∠AED+∠B＝180° ∴∠BAC+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D． （来源：2026•龙岗区校级模拟） 7．（3分）在平面直角坐标系中有点A（6，﹣1）和点O（0，0），若△ABO是等腰三角形，AO是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：如图，由图可知，①以O为圆心，OA长为半径的圆交x轴于B1，B3，则可与A、O构成等腰三角形；②以A为圆心，OA长为半径的圆交x轴于点B，可与A、O构成等腰三角形；③作线段OA的垂直平分线，交x轴于B2，则可与A、O构成等腰三角形，但是此时AO为底边，不符合题意；综上所述，构成以AO为腰的等腰三角形的点，共有3种可能情况， ∴符合题意的B点有3个；故选：B． （来源：2026春•白银期末） 8．（3分）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝2S3 【答案】B 【解答】解：过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC，如图所示，由条件可知OE＝OF＝OD， ∴S△ABO=AB⋅OE，S△ACO=AC⋅OD，S△BCO=BC⋅OF， ∵AB+AC＞BC， ∴S1+S2＞S3，故选：B． （来源：2026春•荥阳市校级期中） 9．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为 ． 【答案】5 【解答】解：如图，与△ABC成轴对称的格点三角形有△ACF、△ACD、△DBC，△HEG，△HBG共5个，故答案为：5． （来源：2025秋•鼓楼区月考） 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为 ． 【答案】15 【解答】解： ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB， ∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD， ∴ED＝EB，FD＝FC， ∵AB＝7，AC＝8， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝15．故答案为：15． （来源：2026秋•江都区月考） 11．（3分）如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ °． 【答案】85° 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF， ∴∠2＝∠EAC＝85°．故答案为：85°． （来源：2026春•青浦区期末） 12．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线l是它的对称轴，∠D＝123°，则∠C＝ °． 【答案】57 【解答】解： ∵四边形ABCD是轴对称图形，直线l是它的对称轴， ∴∠A＝∠D＝123°，∠B＝∠C， ∴∠B+∠C＝360°﹣246°＝114°， ∴∠C==57°．故答案为：57． （来源：2026春•宜兴市期末） 13．（3分）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 .（只写一个） 【答案】OA＝OC（答案不唯一） 【解答】解： ∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，故答案为：OA＝OC（答案不唯一）． （来源：2026•兴庆区校级一模） 14．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠BAC＝∠DEF＝90°，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件： ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等． 【答案】见解析 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△EDF中，， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）， ∴添加一个条件：AB＝ED（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等． （来源：2026春•同步） 15．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 ． 【答案】6 【解答】解： ∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG，同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，故答案为：6． （来源：2026春•南京校级月考） 16．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s． 【答案】1或4 【解答】解： ∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm， ∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案为：1或4． （来源：2025秋•东莞市期中） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若AB＝15，AC＝12，求BC的长． （2）若AB＝6，∠A＝30°，求AC的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12， ∴BC===9，即BC的长为9； （2） ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6， ∴BC=AB=3， ∴AC===3，即AC的长为3． （来源：2026春•江阳区校级期中） 18．（6分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∵AD⊥BC，D为CE的中点， ∴AD是EC的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC； （2）解： ∵AE＝AC，∠C＝70°， ∴∠AEC＝∠C＝70°， ∵BE＝AE， ∴∠B＝∠EAB=∠AEC＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°． （来源：2026春•新华区校级月考） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由（1）得A1（4，4），B1（2，0），C1（1，2）； （3）△ABC的面积为3×4-×1×2-×2×4-×3×2=4． （来源：2024秋•任城区期末） 20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E． （1）若∠A＝30°，求∠BPC的度数； （2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明； （3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵PB，PC分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）＝90°-∠A， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣1/2∠A）＝90°+∠A， ∵∠A＝30°， ∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×30°＝105°； （2）∠BPC与∠Q之间的数量关系是：∠BPC+∠Q＝180°，证明如下： ∵PB平分∠ABC，QB平分∠MBC， ∴∠PBC=∠ABC，∠QBC=∠MBC， ∴∠PBC+∠QBC=（∠ABC+∠MBC），即∠PBQ=（∠ABC+∠MBC）， ∵∠ABC+∠MBC＝180°， ∴∠PBQ＝90°，同理：∠PCQ＝90°，根据四边形的内角和等于360°得：∠PBQ+∠PCQ+∠BPC+∠Q＝360°， ∴∠BPC+∠Q＝180°； （3）由（1）可知：∠BPC＝90°+∠A，由（2）可知：∠BPC+∠Q＝180°， ∴∠Q＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°-∠A， ∵∠PBQ＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠Q＝90°﹣（90°-∠A）=∠A，在△BQE中，∠EBQ＝90°，∠E=∠A，∠Q＝90°-∠A，如果存在一个内角等于另一个内角的3倍，有以下四种情况：①当∠EBQ＝3∠E时，则90°＝3×∠A， ∴∠A＝60°；②当∠EBQ＝3∠Q时，则90°＝3×（90°-∠A）， ∴∠A＝120°；③当∠Q＝3∠E时，则90°-∠A＝3×∠A， ∴∠A＝45°；④当∠E＝3∠Q时，则∠A＝3×（90°-∠A）， ∴∠A＝135°．综上所述：∠A的度数是60°或120°或45°或135°． （来源：2026秋•单元） 21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于F． （1）求∠B的度数； （2）求证：CF＝2BF． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B==30°； （2）证明：连接AF，如图所示， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵EF为线段AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝30°， ∵∠BAF＝30°，∠BAC＝120°， ∴∠FAC＝90°， ∵∠FAC＝90°，∠ACB＝30°， ∴CF＝2AF， ∴CF＝2BF． （来源：2026春•项城市月考） 22．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC，在△ABD和△ECB中，， ∴△ABD≌△ECB（ASA）． （2）解：△ABD≌△ECB， ∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6， ∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9， ∴DE的长度是9． （来源：2026•洞头区校级模拟） 23．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，点F在BC的延长线上，且∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD∥AE； （2）若AC∥EF，∠F＝82°，∠BDC＝76°，求∠BAC的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵在△ABC中，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACD＝∠CAE， ∴CD∥AE． （2）解： ∵点F在BC的延长线上，AC∥EF，∠F＝82°， ∴∠ACB＝∠F＝82°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD=∠ACB=×82°＝41°， ∵∠BDC＝∠BAC+∠ACD，且∠BDC＝76°， ∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ACD＝76°﹣41°＝35°， ∴∠BAC的度数是35°． （来源：2026•临潼区开学） 24．（8分）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个．想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 条．算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】4 【解答】解： （1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个．故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点；故这样的等腰三角形能画2个，故答案为：2；想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，故答案为：5；算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°，如图5，当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝10°，综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． （来源：2025秋•永康市期中） 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线； （1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）； （2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC． （3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC． 【答案】72 【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝α． ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝2α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝x， ∵AB＝BD， ∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴2α+2α+α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠A＝2α＝72°，故答案为：72． （2）证明：如图1中， ∵∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD，设∠C＝α，则∠ABD＝∠CBD＝α， ∴∠A＝180°﹣3α， ∵∠A＝∠DEC， ∴∠DEC＝180°﹣3α， ∴∠ADB＝∠EDC＝2α， ∵∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（ASA）， ∴AB＝EC． （3）证明： ∵∠A＝∠DEC＝180°﹣3α， ∴∠BDC＝∠ADB＝2α，在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（ASA）， ∴AB＝EC． （来源：2025秋•南昌期末） 26．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP＝2， ∵∠C＝90°， ∴PB==（cm）， ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+=（7+）cm． （2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD===1.8（cm）， ∴BP＝2PD＝3.6cm， ∴P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t﹣3＝3， ∴t＝2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣4+2t﹣8＝6， ∴t＝6， ∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． （来源：2025秋•衡阳县期末） 27．（10分）如图，AB∥CD．将一块含30°角的三角板EFG如图放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，此时点E、F分别在直线CD、AB上．设∠GFB＝α（0°＜α＜90°），∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H． （1）如图1，若α＝42°，则∠FEH的度数为 ； （2）如图2，当α＝30°时，判断直线EH与FG的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，P是射线EC上一点（与E不重合），现在将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度也顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止，同时三角板EFG也停止转动．求当射线PC与三角板EFG的一边平行时∠HEG的度数． 【答案】36° 【解答】解： （1） ∵∠EFG＝30°，∠GFB＝α＝42°， ∴∠EFB＝72°， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFB＝72°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠CEH=∠CEF=36°，故答案为：36°； （2）EH∥FG，理由： ∵∠EFG＝30°，∠GFB＝α＝30°， ∴∠EFB＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFB＝60°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=30°=∠EFG， ∴EH∥FG； （3） ∵∠G＝90°，∠EFG＝30°， ∴∠FEG＝60°，设转动时间为ts，①当PC′∥EG时，延长GE至点Q， ∵PC′∥EG， ∴∠CPC′＝∠CEQ， ∵∠CEQ＝∠DEG， ∴∠CPC′＝∠DEG，由题意知，∠CPC′＝（4t）°，由①得∠DEG＝90°﹣α+t°＝90°﹣30°+t°＝60°+t°， ∴（4t）°＝60°+t°，解得：t＝20， ∴∠CEF＝60°﹣20°＝40°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=20°， ∴∠HEG＝∠HEF+∠FEG＝80°；②当PC′∥EF时， ∴∠CPC′＝∠DEF，由题意知∠DEF＝∠DEG+∠FEG＝120°+t°， ∴（4t）°＝120°+t°，解得t＝40， ∴∠CEF＝60°﹣40°＝20°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=10°， ∴∠HEG＝∠HEF+∠FEG＝70°；③如图，当PC′∥FG时，延长GF交CE于点T，过点G作GV∥CD， ∴∠VGE＝∠DEG＝60°+t°， ∵∠FGE＝90°， ∴∠VGT＝t°﹣30°， ∴∠ETG＝∠VGT＝t°﹣30°， ∵PC′∥FG， ∴∠DPC′＝∠ETG＝t°﹣30°， ∵∠DPC′＝（4t）°﹣180°， ∴（4t）°﹣180°＝t°﹣30°，解得：t＝50， ∴∠CEF＝60°﹣50°＝10°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=5°， ∴∠HEG＝∠HEF+∠FEG＝65°；④如图，当PC′∥EG（第二次）时，∠CEF的角平分线为EM则∠CPC′＝∠CEG， ∴360°﹣（4t）°＝180°﹣（60°+t°），解得：t＝80， ∴∠CEF＝80°﹣60°＝20°， ∵EM是∠CEF的角平分线， ∴∠FEM=∠CEF=10°， ∴∠MEG＝∠FEG﹣∠MEF＝50°， ∴∠HEG＝180°﹣∠MEG＝130°．综上，当CP与△EFG的一边平行时，∠HEG的度数为80°或70°或65°或130°． （来源：2026春•道县期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 参考答案与解析 1．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交边BC于点D，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交边BC于点E．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD，AE，BE，CD的大小关系正确的是（　　） A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD 【答案】D 【解答】解： ∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠C＜∠B， ∴AB＜AC， ∵AB＝BD，AC＝EC， ∴BE+ED＜ED+CD， ∴BE＜CD．故选：D． （来源：2026秋•同步） 2．（3分）下列图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、CD不是△ABC的边BC上的高，不符合题意；B、AD是△ABC的边BC上的高，符合题意；C、CD不是△ABC的边BC上的高，不符合题意；D、BD不是△ABC的边BC上的高，不符合题意；故选：B． （来源：2026春•福州期末） 3．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．12° 【答案】A 【解答】解： ∵∠ACB′＝74°，∠ACB＝90°， ∴∠BCB′＝164°，由翻折的性质可知：∠DCB=∠BCB′＝82°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣82°＝8°．故选：A． （来源：2026•达州校级开学） 4．（3分）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【解答】解：如图所示，该球最后落入2号袋．故选：B． （来源：2026春•武进区校级月考） 5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线． ∴∠ADG＝∠CDG， ∵AD∥BC， ∴∠ADG＝∠CGD， ∴∠CDG＝∠CGD， ∴CG＝CD＝3， ∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故选：A． （来源：2026•七星关区校级模拟） 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　） A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 【答案】D 【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°， ∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADB（AAS）， ∴DB＝DE，AB＝AE， ∵∠AED+∠B＝180° ∴∠BAC+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D． （来源：2026•龙岗区校级模拟） 7．（3分）在平面直角坐标系中有点A（6，﹣1）和点O（0，0），若△ABO是等腰三角形，AO是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：如图，由图可知，①以O为圆心，OA长为半径的圆交x轴于B1，B3，则可与A、O构成等腰三角形；②以A为圆心，OA长为半径的圆交x轴于点B，可与A、O构成等腰三角形；③作线段OA的垂直平分线，交x轴于B2，则可与A、O构成等腰三角形，但是此时AO为底边，不符合题意；综上所述，构成以AO为腰的等腰三角形的点，共有3种可能情况， ∴符合题意的B点有3个；故选：B． （来源：2026春•白银期末） 8．（3分）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝2S3 【答案】B 【解答】解：过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC，如图所示，由条件可知OE＝OF＝OD， ∴S△ABO=AB⋅OE，S△ACO=AC⋅OD，S△BCO=BC⋅OF， ∵AB+AC＞BC， ∴S1+S2＞S3，故选：B． （来源：2026春•荥阳市校级期中） 9．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为 ． 【答案】5 【解答】解：如图，与△ABC成轴对称的格点三角形有△ACF、△ACD、△DBC，△HEG，△HBG共5个，故答案为：5． （来源：2025秋•鼓楼区月考） 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为 ． 【答案】15 【解答】解： ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB， ∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD， ∴ED＝EB，FD＝FC， ∵AB＝7，AC＝8， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝15．故答案为：15． （来源：2026秋•江都区月考） 11．（3分）如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ °． 【答案】85° 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF， ∴∠2＝∠EAC＝85°．故答案为：85°． （来源：2026春•青浦区期末） 12．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线l是它的对称轴，∠D＝123°，则∠C＝ °． 【答案】57 【解答】解： ∵四边形ABCD是轴对称图形，直线l是它的对称轴， ∴∠A＝∠D＝123°，∠B＝∠C， ∴∠B+∠C＝360°﹣246°＝114°， ∴∠C==57°．故答案为：57． （来源：2026春•宜兴市期末） 13．（3分）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 .（只写一个） 【答案】OA＝OC（答案不唯一） 【解答】解： ∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，故答案为：OA＝OC（答案不唯一）． （来源：2026•兴庆区校级一模） 14．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠BAC＝∠DEF＝90°，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件： ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等． 【答案】见解析 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△EDF中，， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）， ∴添加一个条件：AB＝ED（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等． （来源：2026春•同步） 15．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 ． 【答案】6 【解答】解： ∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG，同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，故答案为：6． （来源：2026春•南京校级月考） 16．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s． 【答案】1或4 【解答】解： ∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm， ∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案为：1或4． （来源：2025秋•东莞市期中） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若AB＝15，AC＝12，求BC的长． （2）若AB＝6，∠A＝30°，求AC的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12， ∴BC===9，即BC的长为9； （2） ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6， ∴BC=AB=3， ∴AC===3，即AC的长为3． （来源：2026春•江阳区校级期中） 18．（6分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∵AD⊥BC，D为CE的中点， ∴AD是EC的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC； （2）解： ∵AE＝AC，∠C＝70°， ∴∠AEC＝∠C＝70°， ∵BE＝AE， ∴∠B＝∠EAB=∠AEC＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°． （来源：2026春•新华区校级月考） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由（1）得A1（4，4），B1（2，0），C1（1，2）； （3）△ABC的面积为3×4-×1×2-×2×4-×3×2=4． （来源：2024秋•任城区期末） 20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E． （1）若∠A＝30°，求∠BPC的度数； （2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明； （3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵PB，PC分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）＝90°-∠A， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣1/2∠A）＝90°+∠A， ∵∠A＝30°， ∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×30°＝105°； （2）∠BPC与∠Q之间的数量关系是：∠BPC+∠Q＝180°，证明如下： ∵PB平分∠ABC，QB平分∠MBC， ∴∠PBC=∠ABC，∠QBC=∠MBC， ∴∠PBC+∠QBC=（∠ABC+∠MBC），即∠PBQ=（∠ABC+∠MBC）， ∵∠ABC+∠MBC＝180°， ∴∠PBQ＝90°，同理：∠PCQ＝90°，根据四边形的内角和等于360°得：∠PBQ+∠PCQ+∠BPC+∠Q＝360°， ∴∠BPC+∠Q＝180°； （3）由（1）可知：∠BPC＝90°+∠A，由（2）可知：∠BPC+∠Q＝180°， ∴∠Q＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°-∠A， ∵∠PBQ＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠Q＝90°﹣（90°-∠A）=∠A，在△BQE中，∠EBQ＝90°，∠E=∠A，∠Q＝90°-∠A，如果存在一个内角等于另一个内角的3倍，有以下四种情况：①当∠EBQ＝3∠E时，则90°＝3×∠A， ∴∠A＝60°；②当∠EBQ＝3∠Q时，则90°＝3×（90°-∠A）， ∴∠A＝120°；③当∠Q＝3∠E时，则90°-∠A＝3×∠A， ∴∠A＝45°；④当∠E＝3∠Q时，则∠A＝3×（90°-∠A）， ∴∠A＝135°．综上所述：∠A的度数是60°或120°或45°或135°． （来源：2026秋•单元） 21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于F． （1）求∠B的度数； （2）求证：CF＝2BF． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B==30°； （2）证明：连接AF，如图所示， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵EF为线段AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝30°， ∵∠BAF＝30°，∠BAC＝120°， ∴∠FAC＝90°， ∵∠FAC＝90°，∠ACB＝30°， ∴CF＝2AF， ∴CF＝2BF． （来源：2026春•项城市月考） 22．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC，在△ABD和△ECB中，， ∴△ABD≌△ECB（ASA）． （2）解：△ABD≌△ECB， ∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6， ∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9， ∴DE的长度是9． （来源：2026•洞头区校级模拟） 23．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，点F在BC的延长线上，且∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD∥AE； （2）若AC∥EF，∠F＝82°，∠BDC＝76°，求∠BAC的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵在△ABC中，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACD＝∠CAE， ∴CD∥AE． （2）解： ∵点F在BC的延长线上，AC∥EF，∠F＝82°， ∴∠ACB＝∠F＝82°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD=∠ACB=×82°＝41°， ∵∠BDC＝∠BAC+∠ACD，且∠BDC＝76°， ∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ACD＝76°﹣41°＝35°， ∴∠BAC的度数是35°． （来源：2026•临潼区开学） 24．（8分）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 个．想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画 条．算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】4 【解答】解： （1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个．故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点；故这样的等腰三角形能画2个，故答案为：2；想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，故答案为：5；算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°，如图5，当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝10°，综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． （来源：2025秋•永康市期中） 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线； （1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）； （2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC． （3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC． 【答案】72 【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝α． ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝2α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝x， ∵AB＝BD， ∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴2α+2α+α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠A＝2α＝72°，故答案为：72． （2）证明：如图1中， ∵∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD，设∠C＝α，则∠ABD＝∠CBD＝α， ∴∠A＝180°﹣3α， ∵∠A＝∠DEC， ∴∠DEC＝180°﹣3α， ∴∠ADB＝∠EDC＝2α， ∵∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（ASA）， ∴AB＝EC． （3）证明： ∵∠A＝∠DEC＝180°﹣3α， ∴∠BDC＝∠ADB＝2α，在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（ASA）， ∴AB＝EC． （来源：2025秋•南昌期末） 26．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP＝2， ∵∠C＝90°， ∴PB==（cm）， ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+=（7+）cm． （2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD===1.8（cm）， ∴BP＝2PD＝3.6cm， ∴P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t﹣3＝3， ∴t＝2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣4+2t﹣8＝6， ∴t＝6， ∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． （来源：2025秋•衡阳县期末） 27．（10分）如图，AB∥CD．将一块含30°角的三角板EFG如图放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，此时点E、F分别在直线CD、AB上．设∠GFB＝α（0°＜α＜90°），∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H． （1）如图1，若α＝42°，则∠FEH的度数为 ； （2）如图2，当α＝30°时，判断直线EH与FG的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，P是射线EC上一点（与E不重合），现在将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度也顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止，同时三角板EFG也停止转动．求当射线PC与三角板EFG的一边平行时∠HEG的度数． 【答案】36° 【解答】解： （1） ∵∠EFG＝30°，∠GFB＝α＝42°， ∴∠EFB＝72°， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFB＝72°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠CEH=∠CEF=36°，故答案为：36°； （2）EH∥FG，理由： ∵∠EFG＝30°，∠GFB＝α＝30°， ∴∠EFB＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFB＝60°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=30°=∠EFG， ∴EH∥FG； （3） ∵∠G＝90°，∠EFG＝30°， ∴∠FEG＝60°，设转动时间为ts，①当PC′∥EG时，延长GE至点Q， ∵PC′∥EG， ∴∠CPC′＝∠CEQ， ∵∠CEQ＝∠DEG， ∴∠CPC′＝∠DEG，由题意知，∠CPC′＝（4t）°，由①得∠DEG＝90°﹣α+t°＝90°﹣30°+t°＝60°+t°， ∴（4t）°＝60°+t°，解得：t＝20， ∴∠CEF＝60°﹣20°＝40°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=20°， ∴∠HEG＝∠HEF+∠FEG＝80°；②当PC′∥EF时， ∴∠CPC′＝∠DEF，由题意知∠DEF＝∠DEG+∠FEG＝120°+t°， ∴（4t）°＝120°+t°，解得t＝40， ∴∠CEF＝60°﹣40°＝20°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=10°， ∴∠HEG＝∠HEF+∠FEG＝70°；③如图，当PC′∥FG时，延长GF交CE于点T，过点G作GV∥CD， ∴∠VGE＝∠DEG＝60°+t°， ∵∠FGE＝90°， ∴∠VGT＝t°﹣30°， ∴∠ETG＝∠VGT＝t°﹣30°， ∵PC′∥FG， ∴∠DPC′＝∠ETG＝t°﹣30°， ∵∠DPC′＝（4t）°﹣180°， ∴（4t）°﹣180°＝t°﹣30°，解得：t＝50， ∴∠CEF＝60°﹣50°＝10°， ∵EH是∠CEF的角平分线， ∴∠FEH=∠CEF=5°， ∴∠HEG＝∠HEF+∠FEG＝65°；④如图，当PC′∥EG（第二次）时，∠CEF的角平分线为EM则∠CPC′＝∠CEG， ∴360°﹣（4t）°＝180°﹣（60°+t°），解得：t＝80， ∴∠CEF＝80°﹣60°＝20°， ∵EM是∠CEF的角平分线， ∴∠FEM=∠CEF=10°， ∴∠MEG＝∠FEG﹣∠MEF＝50°， ∴∠HEG＝180°﹣∠MEG＝130°．综上，当CP与△EFG的一边平行时，∠HEG的度数为80°或70°或65°或130°． （来源：2026春•道县期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 人教版2026-2027学年数学八上_期中复习卷4 考查范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交边BC于点D，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交边BC于点E．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD，AE，BE，CD的大小关系正确的是（　　） A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD 2．（3分）下列图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB'＝74°，则∠ACD的度数为（　　） A．8° B．9° C．10° D．12° 4．（3分）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　） A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 7．（3分）在平面直角坐标系中有点A（6，﹣1）和点O（0，0），若△ABO是等腰三角形，AO是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（3分）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝2S3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为 　　　　 ． 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为 　　　　 ． 11．（3分）如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　　　　 °． 12．（3分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线l是它的对称轴，∠D＝123°，则∠C＝　　　　 °． 13．（3分）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　　　　 .（只写一个） 14．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠BAC＝∠DEF＝90°，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件：　　　　 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等． 15．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　　　　 ． 16．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　　　　 s． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）若AB＝15，AC＝12，求BC的长． （2）若AB＝6，∠A＝30°，求AC的长． 18．（6分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E． （1）若∠A＝30°，求∠BPC的度数； （2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明； （3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于F． （1）求∠B的度数； （2）求证：CF＝2BF． 22．（6分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 23．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，点F在BC的延长线上，且∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD∥AE； （2）若AC∥EF，∠F＝82°，∠BDC＝76°，求∠BAC的度数． 24．（8分）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　　　　 个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　　　　 个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　　　　 条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B度数． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线； （1）若AB＝BD，则∠A的度数为 　　　　 °（直接写出结果）； （2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC． （3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC． 26．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 27．（10分）如图，AB∥CD．将一块含30°角的三角板EFG如图放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，此时点E、F分别在直线CD、AB上．设∠GFB＝α（0°＜α＜90°），∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H． （1）如图1，若α＝42°，则∠FEH的度数为　　　　 ； （2）如图2，当α＝30°时，判断直线EH与FG的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，P是射线EC上一点（与E不重合），现在将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度也顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止，同时三角板EFG也停止转动．求当射线PC与三角板EFG的一边平行时∠HEG的度数． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $