第2章 等式与不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第二章　等式与不等式 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若a>b,x>y,下列不等式成立的是(　　). A.a+x<b+y B.ax>by C.|a|x≥|a|y D.(a-b)x<(a-b)y 2.将式子3x2+11x+6进行因式分解,正确的结果是(　　). A.(3x+2)(x+3) B.(3x-2)(x-3) C.(3x-2)(x+3) D.(3x+1)(x+6) 3.方程x2+1=-x的解集为(　　). A.⌀ B.R C. D.{0,1} 4.已知A={x|x2-2x>0},B=,则A∪B=(　　). A.{x|1<x<2} B.{x|2<x<3} C.{x|x<0或x>1} D.{x|x<0或1<x<2} 5.若关于x的方程3x2+mx+1=0的两根分别是-,n,则m,n的值分别为(　　). A.4,-1 B.4,1 C.-4,1 D.-4,-1 6.方程组的解集为(　　). A.{(2,-3)} B.{(2,-3),(-2,-7)} C.{(2,3),(-2,7)} D.⌀ 7.若不等式组的解集非空,则实数a的取值范围是(　　). A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 8.对任意实数x,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是(　　). A.(-2,2] B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪(2,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列命题是假命题的是(　　). A.若x>y>z,则|xy|>|yz| B.若a>b,c>d,abcd≠0,则 C.若<0,则ab<b2 D.若a>b,则 10.使不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立的充分不必要条件是(　　). A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,-1]∪[20,+∞) 11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2},则(　　). A.x1x2+x1+x2<0的解集为{a|-<a<0} B.x1x2+x1+x2的最小值为- C.x1+x2+的最大值为- D.x1+x2+的最小值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知x>0,y>0,且x+2y=3,则xy的最大值为　　　　　,的最小值为　　　　　.(第一空2分,第二空3分)  13.已知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　　.  14.某商品进货价每件50元,销售价格每件x元,据市场调查,当50<x≤80时,每天售出的件数P=,则销售价格每件应定为　　　　　元时取得最大利润,最大利润是　　　　　元.(第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知一元二次方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-1,2},求关于x,y的方程组的解集. 16.(15分)已知关于x的不等式mx2-mx-1<0. (1)若当x∈R时,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对任意的1≤x≤3,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a+b>a+b. 18.(17分)某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件.要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并每件的定价提高到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 19.(17分)解关于x的不等式[(m+3)x-1](x+1)>0,其中m∈R. 第二章　等式与不等式 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.C 2.A 3.A 4.C 解析:由题意,得A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<3},则A∪B={x|x<0或x>1}. 5.A 解析:由题意,得解得 6.B 解析:由 故原方程组的解集为{(2,-3),(-2,-7)}. 7.A 解析:原不等式组等价于由题意可得1+a2<2a+4,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3,故选A. 8.A 解析:当a=2时,-4<0恒成立,符合题意; 当a≠2时,要使不等式恒成立, 则 解得-2<a<2.所以-2<a≤2. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.ABD 解析:当y=0时,A不成立;当a=1,b=-2,c=-1,d=-2时,满足a>b,c>d,但,故B不成立; ∵<0, ∴b<a<0, ∴ab<b2,故C成立; , ∵a>b, ∴a-b>0,当a(a-1)>0,即a>1或a<0时,>0,此时; 当a(a-1)<0,即0<a<1时,<0,此时,∴D不成立. 10.BD 解析:根据绝对值的几何意义知|x+3|-|x-1|的最大值为4, 则a2-3a≥4,解得a≤-1或a≥4.故选BD. 11.ABC 解析:∵x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}, ∴x1,x2为方程x2-4ax+3a2=0的两根. ∴x1+x2=4a,x1x2=3a2, ∴x1x2+x1+x2=3a2+4a. 由3a2+4a<0,解得-<a<0,故A正确; 由3a2+4a=3(a+)2-知,当a=-时,取得最小值-,故B正确; 又x1+x2+=4a+,a<0, ∴4a+=-[(-4a)+(-)]≤-2=-,故C正确; ∵a<0, ∴4a+<0,故D不正确. 故选ABC. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 解析:x>0,y>0,x+2y=3,由x+2y≥2,可得3≥2,则xy≤,当且仅当x=2y=时,等号成立,即xy的最大值为. (x+2y)()=(7+)≥(7+2)=, 当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故的最小值为. 13. 4 解析:∵a>0, ∴(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,等号成立. 由条件知a+2+1≥9,解得a≥4. 故正实数a的最小值为4. 14. 60　2 500 解析:设每天获得利润为y元,则y=(x-50)·P=,设x-50=t,则0<t≤30, 所以y==2 500, 当且仅当t=,即t=10时,等号成立,即当x=60时,ymax=2 500. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解:∵-1和2是方程x2+mx+n=0的两根, ∴ ∴ ∴解得 ∴原方程组的解集为{(-8,-13)}. 16. 解:(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立. ②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4<m<0. 综上可知,实数m的取值范围是-4<m≤0. (2)令y=mx2-mx-1, ①当m=0时,y=-1<0显然恒成立. ②当m>0时,由题意可知,只需即可, 解得m<,所以0<m<. ③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,对称轴为直线x=,根据题意并结合函数图象知只需m×12-m×1-1<0即可,解得m∈R,所以m<0符合题意. 综上所述,实数m的取值范围是m<. 17. 证明:∵(a+b)-(a+b) =(a-b)+(b-a) =()(a-b) =()2(). ∵a,b∈(0,+∞),且a≠b, ∴>0,()2>0, ∴()2()>0, ∴a+b>a+b. 18. 解:(1)设每件定价为t元, 由题意,得t≥25×8, 即t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40. 故要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为40元. (2)由题意,得当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解, 等价于当x>25时,a≥x+有解. ∵x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立), ∴a≥10.2. 当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. 19. 解:①当m=-3时,原不等式为-(x+1)>0, ∴不等式的解为x<-1. ②当m>-3时,原不等式可化为(x-)(x+1)>0, ∵>0>-1, ∴不等式的解为x<-1或x>. ③当m<-3时,原不等式可化为(x-)(x+1)<0,当=-1,即m=-4时,原不等式无解; 当-4<m<-3时,<-1,原不等式的解为<x<-1; 当m<-4时,>-1,原不等式的解为-1<x<. 综上,当m<-4时,不等式的解集为{x|-1<x<}; 当m=-4时,不等式的解集为⌀; 当-4<m<-3时,不等式的解集为{x|<x<-1}; 当m=-3时,不等式的解集为{x|x<-1}; 当m>-3时,不等式的解集为{x|x<-1或x>}. 学科网（北京）股份有限公司 $