精品解析：宁夏固原市第六中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026―2027九年级上第一次月考检测 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需从二次项系数非零、整式方程、未知数最高次数为三个要点判断选项． 【详解】解：A、当时，不是二次方程， ∴ A错误； B、是分式方程， ∴ B错误； C、将展开得，移项合并得，是一元二次方程， ∴ C正确； D、的未知数最高次数为， ∴ D错误． 2. 保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子”列出一元二次方程即可． 【详解】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为， 依题意得， 故选：D． 3. 长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的解析式，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键．由长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米，可得另一边长为厘米，再利用长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米， 长方形的另一边长为厘米， 长方形的面积， y与x的关系式为． 故选：C． 4. 如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A. B. C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 5. 若的值为12，则的值为（ ） A. 44 B. 34 C. 24 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意可得=12，然后对所求的式子变形，使其中出现，再把的值整体代入计算即可. 【详解】∵的值为12， ∴=12， ∴=3（）-2=3×12-2=34. 故选B. 【点睛】本题考查了代数式求值、整体代入的思想. 6. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律解答即可． 【详解】解：抛物线可由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位平移得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 7. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k≥﹣2 B. k﹥ ﹣2 C. k﹥﹣2 且k≠﹣1 D. .k﹤ ﹣1 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：根据题意得k+1≠0且△=4-4（k+1）×（-1）＞0，解得k﹥-2， 所以k的范围为k﹥-2且k≠-1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）＝21 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21． 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 10. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8) 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，) ∴的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8) 【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 11. 抛物线与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上所有点的横坐标为，将代入抛物线解析式求出交点的纵坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上点的横坐标都为， ∴将代入，得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标为． 12. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 【答案】 【解析】 【分析】可将三个点的横坐标代入解析式求出对应函数值再比较大小，也可利用二次函数的性质比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∴， ∴． 13. 如果二次函数的图象经过原点，那么的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将原点坐标代入函数解析式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴，则， 故答案为：1． 14. 二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小值公式是解题的关键； 根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：二次函数有最小值， ， 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：． 16. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 三、解答题（需要写出必要过程）（本题共10小题，合计72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴； 【小问3详解】 解： ∴． 18. 已知二次函数，先用配方法转化成，再写出函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】 转化后的顶点式为；函数开口方向向下；顶点坐标为；对称轴为直线 【解析】 【分析】先提取二次项系数，对含的项配方，将一般式转化为顶点式，再根据二次项系数的符号判断开口方向，从顶点式直接得到顶点坐标与对称轴． 【详解】解： ， ∵， ∴ 函数开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 19. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得． 第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即． 第三步 由此，可得． 第四步 所以， 第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是__________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）小明同学解题过程中，从第__________步开始出现错误； （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）“降次”；“完全平方公式” （2）三 （3）解：． 二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得，即， 由此，可得， 所以，． 【解析】 【分析】（1）根据配方法的定义及一元二次方程的解法思想进行分析即可； （2）根据配方法的具体步骤逐一验证小明的解题过程即可； （3）根据配方法解一元二次方程的步骤写出正确的解题过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在抛物线上． 理由是： 将代入得，， 点不在抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质． （1）设抛物线顶点式，将代入解析式求解． （2）将代入得，，由此判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线顶点为， 设， 将代入得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 21. 形如称为矩阵，规定＝ad﹣bc． （1）求矩阵的值； （2）求满足＝26的x的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干运算规则运算即可； （2）根据题干运算规则得，解方程即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 即， 变形得， 解得： 【点睛】本题主要考查新定义运算及一元二次方程的求解，理解题干新定义，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 22. 如图，抛物线经过点，对称轴为． 请解答下列问题： （1）直接写出抛物线与轴的另一个交点的坐标； （2）抛物线的顶点为点，计算的面积. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，然后令，求出对应的值即可； （2）先求出顶点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，对称轴为， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点的坐标为， ∴的面积为. 23. 已知关于的方程 （1）求证：无论实数取何值，方程总有实数根； （2）若方程两根的平方和等于4，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵无论取何实数，，即， ∴无论实数取何值，方程总有实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒大于等于0即可得证． （2）利用根与系数的关系，将两根平方和转化为关于的方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，． ∵，， ∴， 整理得， 解得，． 24. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件，假设在一定范围内，售价每降低1元，销售量平均增加2件．如果用x表示商品售价． （1）当售价为每件50元，销量为________件： （2）用含x的代数式表示商品的销量为________件； （3）如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？ 【答案】（1）60 （2） （3）60元或50元 【解析】 【分析】本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题： （1）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解； （2）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解； （3）根据题意得出，(售价成本)(原来的销量降低的价格)，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：当售价为每件50元，销量为件； 故答案为：60 【小问2详解】 解：根据题意得：商品的销量为件； 故答案为： 【小问3详解】 解：设每件商品应降价y元时，根据题意，得 整理得：， 解这个方程得：， 答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元． 25. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 【答案】（1） （2）的长为 （3）当的长是米时，围成的花圃的面积最大是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是正确列出函数解析式． （1）根据矩形的面积即可写出函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出的长； （3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ， ． 答：S与x的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，当时，， 整理，得， 解得， 当时，不成立， 当时，成立． 答：的长为； 【小问3详解】 ，对称轴是直线，开口向下， 当时，花圃的面积最大，最大面积是． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大是． 26. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026―2027九年级上第一次月考检测 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A. B. C. D. 4. 如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A. B. C. 1 D. 或1 5. 若的值为12，则的值为（ ） A. 44 B. 34 C. 24 D. 14 6. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 7. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k≥﹣2 B. k﹥ ﹣2 C. k﹥﹣2 且k≠﹣1 D. .k﹤ ﹣1 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，可列方程为_____． 10. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 11. 抛物线与轴的交点坐标为_________． 12. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 13. 如果二次函数的图象经过原点，那么的值为______． 14. 二次函数的最小值是______． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则_________． 16. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 三、解答题（需要写出必要过程）（本题共10小题，合计72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） 18. 已知二次函数，先用配方法转化成，再写出函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 19. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得． 第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即． 第三步 由此，可得． 第四步 所以， 第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是__________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）小明同学解题过程中，从第__________步开始出现错误； （3）请写出正确的解题过程． 20. 已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 21. 形如称为矩阵，规定＝ad﹣bc． （1）求矩阵的值； （2）求满足＝26的x的值． 22. 如图，抛物线经过点，对称轴为． 请解答下列问题： （1）直接写出抛物线与轴的另一个交点的坐标； （2）抛物线的顶点为点，计算的面积. 23. 已知关于的方程 （1）求证：无论实数取何值，方程总有实数根； （2）若方程两根的平方和等于4，求的值． 24. 某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件，假设在一定范围内，售价每降低1元，销售量平均增加2件．如果用x表示商品售价． （1）当售价为每件50元，销量为________件： （2）用含x的代数式表示商品的销量为________件； （3）如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？ 25. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 26. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $