第三部分 题型三 新定义问题（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

题型三 新定义问题 类型1　代数新定义问题　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 1.(2025泸州)对于任意实数a,b,定义新运算:a※b=给出下列结论: ①8※2=8; ②若x※3=6,则x=6; ③a※b=(-a)※(-b); ④若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为x>. 其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2024湖南)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若x,y均为整数,则称点P为“整点”, 特别地,当(其中xy≠0)的值为整数时,称“整点”P 为“超整点”.已知点P(2a-4,a+3)在第二象限,下列说法正确的是 (　　) A.a<-3 B.若点P 为“整点”,则点P的个数为3个 C.若点P为“超整点”,则点P 的个数为1个 D.若点P 为“超整点”,则点P 到两坐标轴的距离之和大于10 3.(2025达州)定义:在平面直角坐标系中,一个图形向右平移a个单位长度,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换.现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中(点A与点O重合,点B在x轴上),△ABC经γ(1,180°)变换后得△A1B1C1为第一次变换,△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2为第二次变换……经γ(n,180°)变换得△AnBnCn,则点C2 025的坐标是　　　　.  4.(2025重庆)我们规定:一个四位数M=,若满足a+b=c+d=10,则称这个四位数为“十全数”.例如:四位数1 928,因为1+9=2+8=10,所以1 928是“十全数”.按照这个规定,最小的“十全数”是　　　　;一个“十全数”M=,将其千位数字与个位数字调换位置,百位数字与十位数字调换位置,得到一个新的数M'=,记F(M)=,G(M)=.若与均是整数,则满足条件的M的值是 .  5.(2025青岛)【定义新运算】 对正实数a,b,定义运算“􀱋”,满足a􀱋b=. 例如:当a>0时,(2a)􀱋1==. (1)当a>0时,请计算:(2a)􀱋(2a)=　　　　　.  【探究运算律】 对正实数a,b,运算“􀱋”是否满足交换律a􀱋b=b􀱋a? ∵a􀱋b=,b􀱋a=, ∴a􀱋b=b􀱋a, ∴运算“􀱋”满足交换律a􀱋b=b􀱋a. (2)对正实数a,b,c,运算“􀱋”是否满足结合律(a􀱋b)􀱋c=a􀱋(b􀱋c)?请说明理由. 【应用新运算】 (3)如图,正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的,AF=a,BF=b,且a>b.若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16,则(2a)􀱋b􀱋(2a)的值为　　　　　.  6.(2025江西)问题背景:对于一个函数,如果存在自变量x0=m时,其对应的函数值y0=m,那么我们称该函数为“不动点函数”,点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如:在函数y=x2中,当x=1时,y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”,点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义,对一次函数和二次函数进行了相关探究. 探究1 (1)对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后,得出下列结论: ①y=x+2是“不动点函数”,且只有一个不动点; ②y=-3x+2是“不动点函数”,且不动点是(,0); ③y=x是“不动点函数”,且有无数个不动点. 以上结论中,你认为正确的是　　　　(填写正确结论的序号).  (2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是“不动点函数”,请直接写出k,b应满足的条件. 探究2 (3)对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)进行探究后,该小组设计了以下问题,请你解答. 若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点,求b,c满足的关系式. 探究3 (4)某种商品每件的进价为6元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(12-x)件,获得利润y元.请写出y关于x的函数解析式,判断该函数是否是“不动点函数”,并说明理由;若该函数是“不动点函数”,请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义. 类型2　几何新定义问题 7.(2024遂宁)如图(1),△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图(2),在△ABC中,AB=AC,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形” (　　) 图(1)　　　　　　　　　　　　图(2) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 8.(2025山西)阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务. 双关联线段 【概念理解】 　　如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°,且这两条线段相等,则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段,也称这两条线段互为双关联线段. 例如,图(1),图(2),图(3)中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°,若AB=CD,则各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段. 【问题解决】 问题1:如图(4),在矩形ABCD中,AB<AD,若对角线AC与BD互为双关联线段,则∠ACB=　　　　°.  问题2:如图(5),在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC, 图(4) CA的延长线上,且AE=CD,连接AD,BE. 求证:线段AD是线段BE的双关联线段. 证明:如图(5),延长DA交BE 于点F. ∵△ABC是等边三角形, 图(5) ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°. ∵∠BAC+∠BAE=180°,∠ACB+∠ACD=180°, ∴∠BAE=∠ACD(依据). 又∵AE=CD,∴△ABE ≌△CAD, ∴BE=AD,∠E=∠D. …… 任务: (1)问题1中的∠ACB=　　　　°,  问题2中的依据是　　　　　　　　.  (2)补全问题2的证明过程. (3)如图(6),点C在线段AB上,请在图(6)中作线段AB的双关联线段CD(要求:①尺规作图,保留作图痕迹,不写作法;②作出一条即可). 图(6) 9.(2025兰州)在平面直角坐标系xOy中,对于图W上或内部有一点N(不与原点O重合),及平面内一点P,给出如下定义:若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部,则称点P是图W的“映射点”. (1)如图(1),已知图W1:线段AB,A(-1,-1),B(1,-1).在P1(-1,0),P2(1,2)中,　　　　是图W1的“映射点”.  (2)如图(2),已知图W2:正方形ABCD,A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1).若直线l:y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”,求b的最大值. (3)如图(3),已知图W3:☉T,圆心为T(0,t),半径为1.若x轴上存在点P是图W3的“映射点”,请直接写出t的取值范围. 图(1)　　图(2)　　图(3) 10.(2025 广东)定义:把某线段一分为二的点,当整体线段长比大线段长等于大线段长比小线段长时,则称此线段被分为中外比,这个点称为中外比点. (1)如图(1),点P是线段MN的中外比点,MP>PN ,MN=2,求PN的长. (2)如图(2),用无刻度的直尺和圆规求作一点C,把线段AB分为中外比.(保留作图痕迹,不写作法) (3)如图(3),动点B在第一象限内,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB,BC相交于点D,E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时,探究点D,E,F是否分别为AB,BC,OB的中外比点,并证明. 　　　　 图(1)　　　　　 　　图(2) 图(3) 题型三新定义问题 1 B　对于①,∵8>2,∴8※2=8.故①正确.对于②,若x≥3,则x※3=x.∵x※3=6,∴x=6.若x<3,则x※3=-x.∵x※3=6,∴x=-6.故②错误.对于③,若a=b,则a※b=a,(-a)※(-b)=-a,a与-a不一定相等.故③错误.对于④,若2x-4≥2,即x≥3,则(2x-4)※2=2x-4<5x,解得x>-,∴x≥3.若2x-4<2,即x<3,则(2x-4)※2=4-2x<5x,解得x>,∴<x<3.综上所述,x>.故④正确.其中正确的结论个数是2,故选B. 2 C　∵点P(2a-4,a+3)在第二象限,∴2a-4<0,a+3>0,∴-3<a<2,故A选项中的说法错误.若点P为“整点”,则a可取-2,-1,0,1,∴存在4个点P为“整点”,故选项B中的说法错误.当a=-2时,=-;当a=-1时,=-;当a=0时,=-;当a=1时,=-2.故存在1个点P为“超整点”,故选项C中的说法正确.若点P为“超整点”,则点P的坐标为(-2,4),∴点P到两坐标轴的距离之和为2+4=6<10,故选项D中的说法错误. 3 (-,-) 【解析】如图,过点C作CD⊥x轴于点D,∵△ABC是斜边为1的等腰直角三角形,∴CD=AD=AB=,∴C(,),∴点C1是由点C(,)先向右平移1个单位,再绕原点按顺时针方向旋转180°得到的,即平移后的点再关于原点对称得到的,∴C1(--1,-),同理C2(+1-2,),C3(--1+2-3,-),C4(+1-2+3-4,),C5(--1+2-3+4-5,-),…,∴C1(--1,-),C3(--2,-),C5(--3,-),…,C2n-1(--n,-).∵2 025=2×1 013-1,∴C2 025(--1 013,-),即C2 025(-,-). 4 1 919　3 782 【解析】易知最小的“十全数”是1 919.∵一个“十全数”M=,∴a+b=c+d=10,∴b=10-a,d=10-c,∴M==1 000a+100(10-a)+10c+10-c=900a+9c+1 010,∴M'==1 000(10-c)+100c+10(10-a)+a=-9a-900c+10 100,∴F(M)===a+c-10,G(M)===81a-81c+1 010,∴===6a-6c+76+,===a+c+1-.∵与均是整数,∴与均是整数,∴7a+c-3能被13整除,8a+8c-3能被17整除.∵1≤a≤9,1≤c≤9,∴7≤7a≤63,-2≤c-3≤6,∴5≤7a+c-3≤69,∴7a+c-3的值可以为13,26,39,52,65,依次代入可得,当a=3,c=8时,=2,=5均是整数,符合题意,∴b=10-a=7,d=10-c=2,∴满足条件的M的值是3 782. 5 (1)a 解法提示:由新定义,得(2a)􀱋(2a)===a. (2)满足结合律(a􀱋b)􀱋c=a􀱋(b􀱋c). 理由:∵左边=(a􀱋b)􀱋c=􀱋c===,右边=a􀱋(b􀱋c)=a􀱋===, ∴左边=右边, ∴对正实数a,b,c,运算“􀱋”满足结合律(a􀱋b)􀱋c=a􀱋(b􀱋c). (3) 解法提示:由题意得∠AFB=90°,∴AF2+BF2=AB2. ∵AF=a,BF=b,正方形ABCD的面积为26, ∴a2+b2=26. ∵四个直角三角形全等,∴AE=BF=b. 又∵a>b, ∴EF=AF-AE=a-b. ∵正方形EFGH的面积为16, ∴(a-b)2=16,∴a2+b2-2ab=16, ∴26-2ab=16,∴ab=5, ∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=16+4×5=36, ∴a+b=6(负值已舍), ∴(2a)􀱋b􀱋(2a)=(2a)􀱋(2a)􀱋b=a􀱋b==. 6 (1)③ (2)当k=1时,b=0;当k≠1且k≠0时,b为任意实数. (3)方法一:由二次函数y=x2-2bx+c,可得顶点坐标为(b,c-b2). ∵抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点, ∴b=c-b2,即c=b2+b. 方法二:由二次函数y=x2-2bx+c,可得对称轴为直线x=b. ∵抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点, ∴顶点坐标为(b,b), ∴b2-2b·b+c=b,即c=b2+b. (4)根据题意,得y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72, 即y=-x2+18x-72. 令-x2+18x-72=x,即x2-17x+72=0, 解得x1=8,x2=9, ∴该函数是“不动点函数”. 不动点表达的实际意义为:在这段时间内,当销售单价为8元或9元时,销售总利润与销售单价相等. 7 D　∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△ABD和△ABE中,∠B=∠B,AB=AB,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,故△ABD与△ABE是“伪全等三角形”.在△ACE和△ACD中,∠C=∠C,AC=AC,AE=AD,∠CAE≠∠CAD,故△ACE与△ACD是“伪全等三角形”.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,AB=AC,AD=AD,∠BAD≠∠CAD,故△ABD与△ACD是“伪全等三角形”.在△ACE和△ABE中,∠B=∠C,AE=AE,AC=AB,∠CAE≠∠BAE,故△ACE与△ABE是“伪全等三角形”.综上所述,共有4对“伪全等三角形”.故选D. 8 (1)30 等角的补角相等 (2)∵∠AFB是△AEF的外角,∴∠AFB=∠EAF+∠E. ∵∠ACB是△ACD的外角,∴∠ACB=∠CAD+∠D. ∵∠EAF=∠CAD,∠E=∠D,∴∠AFB=∠ACB=60°, 即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°. 又∵AD=BE,∴线段AD是线段BE的双关联线段. (3)答案不唯一,例如: 作法一:　　　　　　　　　　　　作法二: 如图,线段CD即为所求. 9 (1)P1(-1,0) (2)当直线l过点D(-1,1)时(临界点1),直线y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”, 此时1=-1+b,解得b=2. 当直线l过点B(1,-1)时(临界点2),直线y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”, 此时-1=1+b,解得b=-2. ∴当直线y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”时,b的取值范围为-2≤b≤2, ∴b的最大值为2.　 (3)-2≤t≤2. 解法提示:设☉T关于直线ON的对称圆为☉T'. 若点T在y轴正半轴上, 当ON与☉T相切,且☉T'与x轴相切于点P时,如图所示, 易知此时是x轴上存在点P是图W3的“映射点”的临界点. 连接TT',OT',PT', 易得∠TON=∠T'ON,△NOT'≌△POT', ∴∠T'OP=∠T'ON=∠TON=×90°=30°. ∵TN⊥ON,TN=1,∴OT=2TN=2,∴t=2. 若点T在y轴负半轴上, 当ON与☉T相切,且☉T'与x轴相切于点P时, 同理可得此时OT=2,∴t=-2. 综上可知,当x轴上存在点P是图W3的“映射点”时,t的取值范围是-2≤t≤2. 10 (1)设PN=x,则MP=MN-PN=2-x. 根据题意,得=, ∴MP2=MN·PN,即(2-x)2=2x, 整理,得x2-6x+4=0, 解得x1=3+(不合题意,舍去),x2=3-, ∴PN=3-. (2)如图(1)或图(2)所示.(作法不唯一;符合题意的点C有两个,作出一个即可) 图(1) 图(2) (3)当△ODE是等腰直角三角形时,点D,E,F分别为AB,BC,OB的中外比点. 证明:①当∠OED=90°时,如图(3),OE=ED,∠OEC+∠DEB=90°. 图(3) ∵四边形OABC是矩形,∴∠OCE=∠EBD=90°, ∴∠COE+∠OEC=90°,∴∠COE=∠DEB, ∴△COE≌△BED(点拨:“一线三直角”全等模型), ∴CE=BD,OC=BE. 设E(m,n)(m>0,n>0),则OC=EB=n,CE=BD=m, ∴D(m+n,n-m). ∵点D,E在反比例函数y=的图象上, ∴k=mn=(m+n)(n-m)=n2-m2, 整理,得=或=. 又∵=,=,=,=, ∴=,=, ∴点E,D分别是BC,AB的中外比点. 过点F作FH⊥AO于H.设点F(t,)(t>0). ∵∠BAO=∠FHO=90°,∴AB∥FH, ∴∠ABO=∠HFO,∴△HFO∽△ABO, ∴=,即=, ∴t2=m2+mn. 又∵mn=n2-m2,∴t2=m2+n2-m2=n2,∴t=n, ∴F(n,m), ∴==,==, ∴=, ∴点F为OB的中外比点. ②当∠ODE=90°时,如图(4),OD=DE,∠ODA+∠EDB=90°. 图(4) ∵∠OAD=∠EBD=90°,∴∠ODA+∠DOA=90°, ∴∠EDB=∠DOA,∴△OAD≌△DBE(点拨:“一线三直角”全等模型). 设D(a,b)(a>0,b>0),则OA=DB=a,AD=BE=b, ∴E(a-b,a+b). ∵点D,E在反比例函数y=的图象上, ∴k=ab=(a-b)(a+b)=a2-b2, 整理,得=或=. 又∵=,=,=,=, ∴=,=, ∴点E,D分别为BC,AB的中外比点. 过点F作FG⊥AO于点G.设点F(c,)(c>0). 同上可证△GFO∽△ABO, ∴=,即=,∴c2=. ∵ab=a2-b2,∴a2=ab+b2=b(a+b), ∴c2==b2,∴c=b, ∴F(b,a), ∴==,==, ∴=,∴点F为OB的中外比点. 学科网（北京）股份有限公司 $