专题02 二次函数和反比例函数（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数核心内容，精选天津多校期中真题，覆盖6大高频考点，从基础图象性质到综合实际应用，梯度设计适配九年级期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约60题|二次函数三种形式图象性质、平移、顶点坐标、反比例函数k值|多校期中真题汇编，基础题占比60%，注重概念辨析| |解答题|约30题|二次函数与方程综合、实际问题（利润/拱桥/运动轨迹）、几何图形结合|突出实际应用，如商品利润最大化、抛物线型运动轨迹分析，体现数学建模思想|

专题02 二次函数和反比例函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点06 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．【答案】3 【分析】 根据二次函数的定义和性质进行求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴ ， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】 本题综合考查了二次函数的性质及定义，要注意二次项系数的取值范围． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．B 11．C 12．B 13．D 14．A 15．B 16．A 17．D 18．D 19．C 20．C 21．B 22．B 23．A 24．A 25．C 26．B 27．A 28．B 29．C 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了根据二次函数的顶点式求顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点式的性质． 根据二次函数的顶点式解析式进行求解即可． 【详解】 解：根据二次函数的顶点式解析式得， 该二次函数的顶点坐标为：， 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式性质，直接写出顶点坐标． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为∶ ． 33．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】 解：函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为，即为． 故答案为：． 35．【答案】2 【分析】 本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线解析式，然后展开为一般式，与给定解析式对比系数，得到b和c的值，最后计算即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 与对比，得，． 则， 故答案为：2． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析式可得开口方向向上和对称轴，则离对称轴越远函数值越大，据此求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数图像平移的规律是左加右减，上加下减． 根据图像向左平移加，向上平移加，可得答案． 【详解】 解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式是，即为： 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 根据抛物线顶点式的性质直接求解即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， 的顶点坐标是：， 故答案为：； 【点睛】 本题考查抛物线顶点式的顶点是． 39．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．B 10．A 11．C 12．B 13．D 14．A 15．D 16．A 17．D 18．A 19．D 20．C 21．C 22．C 23．C 24．A 25．B 26．D 27．D 28．C 29．C 30．D 31．B 32．D 33．B 34．B 35．C 36．A 37．【答案】-4 【分析】 根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答． 【详解】 ∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 38．【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为     （2）      （3）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性． （1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围． (1) 小问详解： 解： ， 根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线． 所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：求与轴交点：令，即，变形为，因式分解得， 解得， 所以与轴交点为和． 求与轴交点：令，则， 所以与轴交点为． 找顶点：由（1）知顶点为． 再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点， 所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点， 然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象． (3) 小问详解： 解：由图可知，的取值范围是． 39．【答案】2 【分析】 本题考查二次函数在给定范围内的最值问题． 由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标在给定范围内，故最大值在顶点处取得． 【详解】 解：二次函数的顶点横坐标为， 由于，且， 故当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：2． 40．【答案】直线 【分析】 本题考查了抛物线的图象与性质，根据抛物线经过轴上的两点关于抛物线的对称轴对称，即可求解． 【详解】 解：点和是抛物线与轴的交点， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为直线． 41．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点坐标公式．根据二次函数的性质和轴上点的坐标特征计算即可． 【详解】 解：抛物线的顶点在轴上， 顶点的纵坐标是， 即， 解得， 故答案为：． 42．【答案】直线 【分析】 本题考查了二次函数的性质和图象，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】 解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故答案为：直线． 43．【答案】y=（x+3）2﹣7 【分析】 直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案． 【详解】 y=x2+3x-=（x2+6x）-=（x+3）2--=（x+3）2-7． 故答案为y=（x+3）2-7． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 设出解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：设二次函数的解析式为（）． 因为函数图象经过，，三点， 将这三点代入解析式得： ，即 解得 ， 所以，这个二次函数的解析式为． 45．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 46．【答案】（0，﹣4）(答案不唯一） 【分析】把（0，﹣4）点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，即可解答． 【详解】将（0，﹣4）代入， 得到 ， 故（0，﹣4）在抛物线上， 故答案为（0，﹣4）. 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点代入解析式. 47．【答案】（1）     （2）， 如图：      （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，画二次函数图象，求顶点坐标以及二次函数图象的平移问题． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先配方成顶点式，再写出顶点坐标，然后列表、描点、连线即可作图； （3）利用“左加右减，上加下减”求出平移后的顶点式，再化为一般式即可． (1) 小问详解： 解：由表格得， ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为， 列表为： 描点，连线作图： x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … (3) 小问详解： 解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到，即， ∴一般式为 48．【答案】（1）     （2）①树的高度为2；②树的高度的最大值为      【分析】 本考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，难度适中利用数形结合是解题的关键． （1）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）①过点作轴的垂线，点在直线，求出直线的解析式，进而求B、的纵坐标，据此求解即可； ②设B点坐标为，则C的坐标为，，配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解 (1) 小问详解： 由点在抛物线上，得，解得． 由，得该抛物线的顶点坐标为 (2) 小问详解： ①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为, 直线的解析式为, 点的横坐标为1， 点的横坐标为1. 将代入, 的坐标为点的坐标为 答：这棵树的高度是2． ②点B在直线上，且直线的解析式为 设B点坐标为，则C的坐标为 ∴， 当时，树的高度的最大值为． 49．【答案】（1）     （2）与y轴的交点坐标为，顶点坐标为     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）将点，代入即可求解； （2）将代入解析式即可求出与y轴的交点坐标，然后将二次函数的解析式华为顶点式即可求出顶点坐标； （3首先画出图象，直接由图象可得出y的取值范围． (1) 小问详解： 解：把点，代入得 ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：当时， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； ∵ ∴顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：如图所示， 当时，；当时，． ∴根据图象，当时，y的取值范围是． 50．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）先求出，再利用三角形面积公式得到，则，据此求解即可； （3）如图所示．连接，由抛物线的对称性可知，则当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，求出直线的解析式为，抛物线对称轴为直线，在中，当时，，由此即可得到答案． (1) 小问详解： 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或； 在中，当时，此时方程无解； ∴点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：如图所示．连接， 由抛物线的对称性可知， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 51．【答案】（1）y=-10x+1200；（2）该海产品的售价是50元或90元．（3）22750. 【分析】（1），设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将图形上已知的两点代入解方程组，即可求出k与b的值，进而确定y与x之间的函数关系式； （2）根据题目信息可得(-10x+1200)(x-20)=21000，接下来解方程即可使问题得解； (3) 设所获利润为W，根据题目信息可得W=(-10x+1200)(x-20)，然后对其进行配方，结合x的取值范围与二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b， 将（25，950），（40，800）代入得： ， 解得： ， 故y与x的函数关系式为：y=-10x+1200； （2）由（1）得：（-10x+1200）（x-20）=21000， 解得：x1=50，x2=90， 答：该海产品的售价是50元或90元． (3) 设所获利润为W，则根据题目信息可得 W=(-10x+1200)(x-20) =-10(x-70)2+25000. ∵-10x+1200≥650， ∴x≤55. 当x=55时，W有最大值. 故W的最大值为：-10(55-70)2+25000=22750. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 52．【答案】（1）；；     （2） 如图： ．     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像； （3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图像与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图像顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点，连线 (3) 小问详解： 解：由图像可知，当时，． 53．【答案】5或 【分析】 本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到2的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到． 【详解】 解：分三种情况： 当，即时，二次函数在上为增函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：； 当，即时，二次函数在上为减函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去； 当，即时，此时抛物线的顶点为最低点， 所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去． 综上，的值为5或． 故答案为：5或 54．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象，由顶点在轴上可知抛物线的对称轴为轴，即直线，据此即可求解，掌握二次函数的图象是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线的对称轴为轴，即直线， ∴， 故答案为：． 55．【答案】（1），，顶点坐标为     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． (2) 小问详解： 由函数图象可得当时，． (3) 小问详解： 、， ． 设，则， ， ． ① 当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ② 当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 56．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵二次函数的二次项系数，一次项系数， ∴对称轴为， ，抛物线开口向下， ∴函数值在对称轴两侧随距离增大而减小， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴距离越大，函数值越小， ∴． 故答案为：． 57．【答案】（1）     （2），对称轴为直线     （3）      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． (3) 小问详解： ∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 58．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，又因为，则，再化为顶点式，即可作答． （2）先分别找出点的坐标，和点的坐标，根据进行列式计算，即可作答． （3）过点作轴于点，根据旋转的性质证明，再整理得点的坐标为．因为点在抛物线上，得．即，最后解出方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：点在抛物线上， ． 即． 当时，， ∴， 该抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 则． 令，则 点的坐标为， 则抛物线的对称轴为直线． ， ． 点， ， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 则 ∴点的坐标为． ． 在中，得． ， ． 解得，（舍去）． 所求的值为． (3) 小问详解： 解：如图所示： 过点作轴于点． ． ∴． ∵旋转， ∴，，则． 得． 又， ∴． ，． 由，得． 点的坐标为． 点在抛物线上， ． 即． 解得，， ∵点在第四象限， ∴， 的值为． 59．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． (2) 小问详解： 解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ， 当时，， 点的坐标为．， 又， 设直线的解析式为， ， 解得 ， 可得直线的解析式为， 轴， 点的坐标为， 点在直线的上方， ， 则， ∵， 当时，的最大值，最大值为． 60．【答案】（1）     （2），     （3） 作图如下．      （4）     （5）      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）利用配方法化简即可； （2）令，然后求解即可； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意，由， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意，令， ∴或． ∴该抛物线与x轴的交点为，． 故答案为：，． (3) 小问详解： 解：由题意，由抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线． 令，则， ∴抛物线与y轴交于点． 又该抛物线与x轴的交点为，， (4) 小问详解： 解：由题意，由结合（3）的图象， ∴图象在x轴下方部分对应的自变量即为所求． ∴． 故答案为：． (5) 小问详解： 解：由题意，当时， ∵当时，， 当时，． 当时，y取最小值为， 又结合（3）所作图象， ∴当时，． 故答案为：． 61．【答案】 【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为-＜0、0≤-＜2、-≥2时，得出当0＜x≤2时所对应的函数的最小值为非负数即可． 【详解】解：对称轴为：x=-=-，y==1-， 当时，即-0即m≥0时，当0＜x≤2时，x=0时y最小，所以若使0＜x≤2时的函数值总是非负数，x=0时y=1≥0符合题意，此时m≥0. 当0＜-≤2时，0＜-≤2，即-4≤m＜0，当0＜x≤2时的最小值为1-，当1-≥0时，即-2≤m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；此时-2≤m<0. 当-2时，-2，即m＜-4，x=2时y取得最小值，要满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则4+2m+1≥0即m≥-； 综上所述， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据其自变量的取值确定字母系数的取值范围，解决此类问题：首先要计算出顶点坐标，再根据对称轴的位置并与图象相结合得出取值． 62．【答案】(1) 顶点坐标为（2，-2）；（2）4. 【详解】试题分析：可以把一般式用配方法配成顶点式，从而求得函数图象的顶点坐标. 令求二次函数与轴的交点坐标.即可求出面积. 试题解析：     ∴顶点坐标为    解得：        顶点及抛物线与x轴的两个交点形成的三角形的面积.：    63．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的解析式求解、抛物线的对称性及三角形面积计算；解题的关键是利用抛物线对称轴求出点A坐标，选择合适的解析式形式代入已知点求解，再结合顶点坐标计算三角形面积． （1）根据抛物线对称轴和点，利用对称性求出点A坐标；设抛物线的两点式解析式，代入点求出系数，进而得到解析式． （2）将对称轴代入解析式求出顶点C的纵坐标，确定C点坐标；计算线段AB的长度，以AB为底、C点纵坐标的绝对值为高，用三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：∵ 抛物线对称轴为，与x轴交于、， ∴ 点与关于对称，的横坐标为，即 设抛物线解析式为， ∵ 抛物线过， ∴ 代入得， 即，解得． ∴ 抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：∵ 顶点在对称轴上， ∴ 代入解析式得，即． ∵ ，， ∴ ，的高为点纵坐标的绝对值， ∴ ． 64．【答案】（1）     （2），小，     （3）     （4）     （5）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解函数的解析式； （2）根据抛物线开口以及对称轴即可求出答案； （3）根据抛物线图象的性质即可求出答案； （4）先找到函数值等于0时x的值，然后通过函数图象进行判断即可； （5）根据对称轴距离的远近，结合开口方向，取值范围解答即可． (1) 小问详解： 解：把点, , 代入得 ，解得 ， ∴该二次函数解析式为：， (2) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为：， ∴， 故，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为：， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：，小，． (3) 小问详解： 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在的范围内，y随x的增大而减小， ∴该二次函数图象上有两点和，满足若，则； 故答案为：． (4) 小问详解： 解：∵当时，x的取值为：或1， 又∵抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围是， 即当时，的取值范围是， 故答案为：． (5) 小问详解： 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，，， ∴当时，在时，y取到最小值， 又∵时，；时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 65．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意将代入求出函数解析式即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点坐标，得到，从而得到答案． (1) 小问详解： 解： 将代入求出函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：过点分别作轴的垂线，垂足分别是点， ， ， ， 点B的横坐标为1，则, ， ， ， ， ， ， ,则点横坐标为， 将代入中， ， 点的坐标为， ， ． 答：这棵树的高度为． 66．【答案】（1）     （2）开口向上，顶点坐标，对称轴     （3）27      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴， (3) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，, ∴的面积． 67．【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】 解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 68．【答案】（1）①；② 点M的坐标为，点G的坐标为；     （2）点和点；      【分析】 （1）① 将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；② 先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； (1) 小问详解： ① ∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ② 当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有 解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． (2) 小问详解： 由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】 本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 69．【答案】（1）相等． 当时，点在边上， 此时，，， 则；     （2）．     （3）．      【分析】 本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； (3) 小问详解： 当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 70．【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【分析】 （1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】 （1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得 ，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣ ）2+ ， ∴S△APC= PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣ ）2+ ]×3=﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴当m= 时，S△APC最大= ，y=﹣m2+2m+3= ， ∴P（ ， ）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得： ， 解得：k=﹣ ，b= ． ∴直线DN′的解析式为y=﹣ x+ ． 当x=3时，n=+=． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 71．【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 （1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 (1) 小问详解： 解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得： ，解得 ， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E，    设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； (3) 小问详解： 解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时， ， 即 ， 解得 ， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时， ， 即 ， 解得 ， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时， ， 即 ， 解得 ， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 72．【答案】（1）① 4，16；②     （2） 患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为， ∴血药总浓度为， 整理得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，存在中毒风险．      【分析】 （1）①由对称性可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为；②由①得第一次服药后与的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由“两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和”得此时患者血药浓度为，求出的最大值与进行比较即可； 本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：①由表格可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为； 故答案为：4，16； ②由①知与的函数关系式为， 将点代入得， 解得， 则第一次服药后与的函数解析式为； (2) 小问详解： 略 73．【答案】（1）     （2）     （3）点M的坐标为或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把点，代入得， ， 解得 ， ∴二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴ ， 解得： ， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴ ，解得： ， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得： ，解得： ， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得： ，解得： ， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 74．【答案】（1）；，，     （2） 图象如图所示：      （3）①；②；③ 点M的坐标为；线段的长为      【分析】 （1）先将点代入抛物线解析式求出，再令求解即可． （2）利用函数解析式以及描点法画出图像即可求解． （3）① 比较两个点到抛物线的对称轴的距离即可求解； ② 利用抛物线的图像与性质即可求解； ③ 利用两直线平行，那么一次项的系数相同求出直线l的解析式后，与抛物线的解析式联立，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入解析式得：， ∴， ∴； ∴， 当时， ∴，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 若抛物线上有两点和，则； 理由：∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴点离对称轴更远， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点纵坐标越小， ∴． ② 当时，则y的取值范围是； 理由：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值最小，此时； 当时，y的值最大，此时； ∴当时，则y的取值范围是． ③ ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵直线， ∴设直线l的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线l的解析式为：， 与抛物线解析式联立得： ， 解得： 或 ； ∴点M的坐标为 ∴． 【点睛】 本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式，抛物线的图像与性质的运用等知识，解题关键是牢记函数图像的性质，并能准确计算． 75．【答案】（1），     （2），最大面积为     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用点和得出，然后代入得解析式，再求点B． （2）先求出直接的解析式，过点P作交于点E，则，然后根据二次函数的性质即可得出答案． （3）分两种情况，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上， ∴，即， 将代入， 得：， 解得 ∴ 抛物线解析式为． 令，得， 解得， ∴ (2) 小问详解： 解：设的解析式为：， 则 ，解得 ， 则的解析式为：， 如下图：过点P作交与点E， 则，， ∴， ∴， 当时，S取得最大值为1， ∴． (3) 小问详解： 解：当点P在上方时，如下图， 设直线解析式为， ∵ 则 ， 解得 则直线解析式为， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， ∴， 则直线解析式为， 联立解析式得 ， 解得： ，或 （舍去） 点P坐标为； 当点P在下方时，如图中点，设、与y轴分别交于点E、F，如图， 则点， ∵［公式］ 又∵，［公式］， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， 则 ，解得 ∴直线解析式为 联立解析式得 ， 解得 或 （舍去） ∴ 综上所述：当点P坐标为或． 76．【答案】（1），点的坐标为     （2）①；②      【分析】 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式，再将抛物线解析式改写成顶点式，即可得出顶点坐标； （2）① 令，求出点C坐标，设点E坐标为，则点P坐标为，利用列出方程，求出x即可解决问题；② 在x轴上取点H，使，连接，，，证明，可得，求出的最小值为的长，然后根据两点间距离公式计算即可． (1) 小问详解： 解：将点，代入得 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； (2) 小问详解： ① 令， 解得：或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴点C的坐标为， ∵点E在抛物线上，设点E坐标为，则点P坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴点E的坐标为； ② 如图，在x轴上取点H，使，连接，，，    又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在上时，取最小值，最小值为的长， ∵，， ∴的最小值为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，作出合适的辅助线，找出取最小值时的情况是解题的关键． 77．【答案】（1）①，点的坐标为；② 点的坐标为     （2）点的坐标为      【分析】 （1）① 将以及，代入抛物线，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再令，即可求得点的坐标； ② 由题意可知为等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，，因轴交直线于，则，轴，得，，为等腰直角三角形，则，，可知，当的周长最大时，有最大值，再根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，，则，如图，过点作，且，可知，可证，得，由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，此时可证得，得，则，，即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：① 将以及，代入抛物线，得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即：点的坐标为； ② ∵，，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为，将，，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 设点，，因轴交直线于，则，轴， ∴，， 同理可知，， ∴为等腰直角三角形，则，， ∴的周长为， 当的周长最大时，有最大值， 而， 即：当时，取得最大值，此时的周长最大，点的坐标为； (2) 小问详解： ∵，， ∴，，则， 如图，过点作，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，如下图， 又∵，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】 本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，画出图形利用数形结合的思想是解决问题的关键． 78．【答案】（1）     （2）最大值为     （3）Q的坐标为或或      【分析】 （1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． (1) 小问详解： 解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； (3) 小问详解： 解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得： （此时M，N与C重合，舍去）或 ， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得： （舍去）或 或 ， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 79．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是： （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：① 当时；当时；③ 当时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∵函数，， ∴抛物线开口向上 ∴当时，有最小值为； ∵当时，；当 时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为； （2）① 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； ② 当时， ∵抛物线开口向上，当时，有最小值， ∴当时，有最大值为，或当时，有最大值为， 又， ∴，或 解得或； ③ 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 80．【答案】② ④ ⑤ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 由二次函数图象与x轴的一个交点坐标为和对称轴，可求得另一个交点坐标为，从而得到函数表达式为．由可得，进而求得．再逐个结论判断． 【详解】 ∴另一个交点坐标为， ∴二次函数可表示为． 当时，， ∵， ∴， 即． 由对称轴，得， ∴． ∵， ∴． ①： ∵，，， ∴， 故① 错误． ②： 当时，， 代入， 得， ∵， ∴，即， 故② 正确． ③： ∵， ∴， 故③ 错误． ④ 方程的两个实数根为，且，则： 方程的根为函数与的交点横坐标． ∵抛物线开口向下()，与x轴交于和，顶点横坐标，顶点纵坐标， ∴， ∵， ∴， ∴与抛物线有两个交点，且在x轴与交点之间， 即， 故④ 正确． ⑤： ∵抛物线开口向下，，， ∴顶点纵坐标为， ∴，故⑤ 正确． 故答案为② ④ ⑤ ． 81．【答案】（1）① 抛物线的解析式为；② 存在点，使的面积最大，最大面积为8     （2）      【分析】 （1）① 根据抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线，列出方程求出，即可求出抛物线的解析式． ② 先求出点和点的坐标，如图，连接，过点作轴，交于点，求出直线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，得出，再根据二次函数的性质求解即可． （2）先求出，根据点在拋物线上，得出，则抛物线的解析式为，根据，得出，根据将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为，得出，过点作轴于的点H，证明，则，，得出，根据点在抛物线上，将代入抛物线得出，解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：① ∵抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线， ∴ ， 解得：， 则抛物线的解析式为． ② ∵抛物线的解析式为，则点的坐标为， 令，解得：或， 则， ②的面积存在最大值． 如图，连接，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得：， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴存在点使得有最大值，最大值为8 ． (2) 小问详解： 解：点为拋物线与轴交点， ， ∵点在拋物线上， ， ， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为， ∴， 过点作轴于的点H， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线可得， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，三角形的面积、方程思想等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 82．【答案】① <度    ② 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，根据等边三角形的性质可得，，，则由平角的定义可得的度数；可证明，设，则，，可求出，则，据此利用二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 设， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为 ∴的值最小为． 故答案为：；． 83．【答案】（1），，     （2），最大值为     （3）不存在这样的点P，使得点E为中点      【分析】 （1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． (2) 小问详解： 解：过点P作轴，交直线于点M， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． (3) 小问详解： 解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 84．【答案】（1），     （2），     （3）存在满足条件的点的坐标有．      【分析】 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的性质，根据平行四边形对角线中点坐标相同求点的坐标是解题的关键． ()根据待定系数法，即可求得抛物线的解析式； ()先求出直线解析式，设点的坐标为，点的坐标为，且轴，得的解析式，即可求解； ()分类讨论：当为对角线，当为对角线，当为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将点和点的坐标分别代入抛物线， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； (2) 小问详解： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和的坐标代入， 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上且在线段上方，点在线段上，且轴， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， 此时，点的坐标为； (3) 小问详解： ∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线，设， ① 如图，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ② 当且时，可得： ， ∴或， 在中， 当时，，当时，， ∴或； 综上所述，存在满足条件的点的坐标有． 85．【答案】（1）     （2）最大值为     （3）点P的坐标为．      【分析】 本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数求最值． （1）利用待定系数法求得本题答案； （2）根据题意设D点坐标为，再利用分割法表示出四边形面积，再利用二次函数求最值即可得到本题答案； （3）延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q，先求得直线的解析式，求得，证明，求得点G的坐标为，再求得直线解析式，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：点和点代入抛物线解析式， ∴ ，得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设D点坐标为， ∵平行于y轴， ∴C点横坐标为t． ∵平行于x轴，且A到对称轴的距离是点C到对称轴距离的两倍， 对称轴为直线， ∴，即． 代入解析式得A的纵坐标， ∵，得， ∴D在第四象限的抛物线上． ∴四边形面积， ∴四边形面积， ∵时，S随着t的增大而增大， 故当时，面积S最大值； (3) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为，顶点E的坐标为， 如图，延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q， 设直线的解析式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴即， ， ∴， 即， 在与中， ，，， ∴， ∴， 点G的坐标为； 当时，， ∴ 同理，直线解析式为， 将与联立方程， 得， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， 点P的坐标为． 86．【答案】（1），顶点坐标为；     （2）当时，求点的坐标；     （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或      【分析】 （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，将，代入中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； (3) 小问详解： 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ② 当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③ 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 87．【答案】（1）     （2）     （3）存在点Q使，此时点Q的坐标为或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图像经过三点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； (3) 小问详解： 解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 88．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）① 由题意可得，，，代入抛物线，求解即可； ② 根据可得，，可得，则为等腰直角三角形，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据可得，得到，根据，得到，再将、、代入抛物线，求解即可； （2）由可得抛物线为，取点，连接，，根据题意可得，，得到，即在线段上运动，设；由，点为第一象限的动点可得点是在以为直径的半圆上运动，取，连接，，可得当取得最小值时，取得最小值，，由二次函数的性质可得当时，最小，此时点，代入抛物线，求解即可． (1) 小问详解： 解：① 由题意可得，，， ∵， ∴，， 将，，代入抛物线可得 ，解得 ， 即抛物线为， 即顶点坐标为； ② 由① 得，，则，即为等腰直角三角形， 分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如下图： 则为等腰直角三角形，设， 由可得，，解得（负值舍去）， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即 将、、代入抛物线可得， ，解得 ， 即抛物线为； (2) 小问详解： 解：由可得抛物线为， 取点，连接，， 由题意可得，，，， ∴， ∴，即在线段上运动， 设直线为，将，代入可得， ，解得 ，即， 故设， 由，点为第一象限的动点，可得点是在以为直径的半圆上运动， 取，连接，，如下图： 则， 由三角形三边关系可得，，当、、共线时，取得等号， 则当取得最小值时，取得最小值，， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，即取得最小值，此时点， 将、代入抛物线可得， ，解得 ， 即． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握性质的应用． 89．【答案】（1）①，；②最大值为，     （2）①②      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）① 待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标；② 求出的解析式，进而表示出点的坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）① 根据对称性得到，进行求解即可；② 两点式写出解析式为，根据对称性得到，进而得到① ，作点关于轴的对称点，连接，根据等边对等角，三角形的外角推出，进而得到② ，求解即可. (1) 小问详解： 解：① 当，时，， 把代入，得：，解得， ∴， 当时，解得， ∴； ② ∵， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； (2) 小问详解： ① ∵，，， ∴， ∴当时，，即， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴，解得， ∴或（不合题意，舍去）； ② ∵抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ∴点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴① ； 作点关于轴的对称点，连接， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴② ， 由① 可知，，代入② ，得， 解得或（舍去）， ∴，解得（负值舍去）； ∴. 90．【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，) 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0）， ∴ 解得a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6． ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）． （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°． ∵PD平行于x轴，PE平行于y轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值． 设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d， 把A（6，0），C（0，6）代入得 解得k＝－1，d＝6， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋6． 设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF． ∵点F在线段MN的垂直平分线AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x轴． 由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6， 当x＝时，y＝， ∴F（，）， ∴点N的纵坐标为． ∵点N在抛物线上， ∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝， ∴点N的坐标为（，）或（，）． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．【答案】6 【分析】 本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】 解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 11．【答案】（1）顶点坐标，最大值4     （2）和     （3）      【分析】 本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数图像的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式可得顶点坐标，再根据函数开口向下可知顶点的纵坐标即为该函数的最大值； （2）求出函数值为0时的自变量的值； （3）开口向下，且顶点在x轴上方的二次函数在与x轴两个交点之间的函数值满足大于0，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的顶点坐标为，且函数开口向下， ∴函数的最大值为4； (2) 小问详解： 解：在中，当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和； (3) 小问详解： 解：∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴上方， ∵二次函数开口向下，且与x轴的交点坐标为和， ∴当时，． 12．【答案】或 【分析】 本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】 解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 13．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出． 【详解】 解：∵二次函数中，图象的开口向上， 又∵二次函数的图象都在x轴的上方， ∴抛物线的图象与轴没有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】2 【分析】 根据抛物线与x轴只有一个交点得到的判别式等于0直接求解即可得到答案； 【详解】 解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴的判别式等于0， 即：， 解得：， 故答案为：2； 【点睛】 本题考查抛物线与一元二次方程关系，抛物线与x轴交点只有一个，两个，无交点． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 16．【答案】 【分析】 题目主要考查二次函数图象的平移，与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将抛物线向上平移2个单位，新抛物线方程为 ，再令求解与x轴的交点坐标即可． 【详解】 解：将抛物线 向上平移2个单位长度，新抛物线的方程为 ， 令 ，得 ，即 ， 解得， ∴平移后的新抛物线与x轴交点的坐标为 ， 故答案为：． 17．【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的解的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为的根求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴方程的根是，， 故答案为：，． 18．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点个数由决定，当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点． 【详解】 解：二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 解得：， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键． 不等式的解集即为抛物线在直线上方时所对应的交点横坐标的范围，据此即可根据图象求解． 【详解】 解：∵抛物线与直线相交于点，． ∴的解集是， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】 解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则 ， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 21．【答案】（1），顶点坐标为     （2）A，B     （3）减少     （4）      【分析】 （1）利用抛物线对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）根据（1）所求的函数解析式，求出当时，x的值，即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再描点，连线画出对应的函数图像即可； （3）（4）利用图像法求解即可. (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴；                            ∴抛物线解析式为． ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线解析式为． 令，则； 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，，      函数图像如图所示； (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； (4) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，对于二次函数，其对称轴为直线，对于二次函数，其顶点坐标为；二次函数与x轴交点的横坐标即为方程的解；画二次函数图像一般利用列表，描点，连线的方法；二次函数的增减性与二次项系数有关，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．【答案】（1）减小     （2），3     （3）     （4）      【分析】 （1）结合二次函数图象即可作答； （2）根据图象可知抛物线交x轴于点、点，则问题即可得解； （3）结合二次函数图象即可作答； （4）将方程变形为：，根据图象可知，若，则原方程没有实数根，问题得解． (1) 小问详解： 解：根据二次函数图象可知：时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； (2) 小问详解： 解：根据图象可知：抛物线交x轴于点、点， 则的根为：、， 故答案为：，3； (3) 小问详解： 解：根据图象可知：时，y＜0，最小值为， 即y的取值范围为：； (4) 小问详解： 解：将方程变形为：， 根据二次函数图象可知： 若，则原方程没有实数根， 即此时， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想，是解答本题的关键． 23．【答案】（1）开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为      （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解； （2）根据二次函数的开口方向和增减性可进行求解． (1) 小问详解： 解：把二次函数配成顶点式得：， ∴，即开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 小问详解： 令时，则有， 解得：， 由（1）可知：开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，则x的取值范围是． 24．【答案】（1），，     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入可求出b的值，再分别令和，即可求解； （2）先求出点，再求出直线的解析式，可得点，从而得到，根据题意可得点，从而得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，，即点， ∴， ∵， ∴， ∵点M在直线下方，其横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∴， 解得：或． 25．【答案】（1）或     （2）     （3）3     （4）     （5）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 由图象可知，当时，的取值范围为或； (2) 小问详解： 由（1）可知，图象经过，， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； (4) 小问详解： 由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 当时，函数有最小值为； ∴； (5) 小问详解： ∵， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 26．【答案】 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点，由抛物线与x轴只有一个交点，可知判别式为零，从而求出m的值，再代入抛物线方程得到顶点坐标，即为交点坐标． 【详解】 解：抛物线与x轴只有一个交点， ∴． 解得． 代入得． 当时，， 解得． ∴点A的坐标为． 故答案为：． 27．【答案】（1）；，     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，包括函数解析式确定、与坐标轴交点、一元二次方程的解、函数值取值范围及函数与直线的交点问题；解题的关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合二次函数的顶点特征、开口方向分析对应问题． （1）将点代入函数解析式求出的值；令解一元二次方程，所得根即为方程的解，也是点、的横坐标． （2）令求出对应的值，根据二次函数开口向上的性质，确定时的取值范围． （3）将二次函数化为顶点式，求出顶点纵坐标（函数最小值），结合开口方向确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵ 函数过点， ∴ 代入得，解得，函数解析式为， 令，则， 因式分解得，解得，． ∴ 点坐标为，方程的解为，． 故答案为：；，． (2) 小问详解： 令，则 化简得，解得， ∵ 函数开口向上， ∴ 当或时，． 故答案为：或； (3) 小问详解： ∵ 开口向上，顶点纵坐标为（函数最小值） ∴ 当时，直线与抛物线有两个交点 故答案为：． 28．【答案】或 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数与不等式的关系，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】 解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 29．【答案】（1）     （2）     （3），．      【分析】 （1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； (2) 小问详解： 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； (3) 小问详解： 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点05 实际问题与二次函数 1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．C 10．B 11．C 12．B 13．C 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．D 20．【答案】150 【分析】 本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴当时，有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 21．【答案】9 【分析】 根据题意，把代入函数解析式，即可解答． 【详解】 解：水面宽为12米， 点的横坐标为6， 把把代入函数解析式，可得： ， 故水面离桥顶的高度为米， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，结合图形是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2）13元/千克     （3）定价20元/千克时，利润最大，最大利润为1000元      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，二次函数的图象性质，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读取表中的数据，再运用待定系数法进行列方程，再解得， （2）理解题意，得每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克，根据水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元进行列式，得出，（舍去），即可作答． （3）理解题意，得，根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，设与之间的函数解析式为， 根据题意，得 ， 解得 ， ， ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元． ∴． 即； (2) 小问详解： 解：依题意，每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克， 根据题意，得． 解得，（舍去）． 当销售单价定为每千克13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄可获得的利润为510元． (3) 小问详解： 解：根据题意，得 ∵， ∴开口向下， 当销售单价为每千克20元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润为1000元． 23．【答案】（1）；     （2）当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握“每每降价问题”的解题方法是解题的关键． （1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式，再利用每件商品利润不少于20元，得出x的取值范围； （2）设商店每天销售利润为w元，由题意得每件商品的利润为元，列出w的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，， ∵每件商品利润不少于20元， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 设商店每天销售利润为w元， 依题意得：， ∵，， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 24．【答案】（1）2000     （2）①；② 该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解答关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用． （1）根据“总利润每件的利润每天的销量”可得； （2）① 根据“总利润每件的利润每天的销量”列出函数表达式即可求解； ② 运用二次函数性质即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意可得：商场经营该商品原来一天可获利润（元） 故答案为：2000． (2) 小问详解： ① 依题意得： ∴y与x之间的函数关系式为 ② ∵，且 ∴当时，商店所获利润最大为2250元． 即：该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润． 25．【答案】（1）2000     （2）①2元或8元；②，      【分析】 （1）根据题意，可以写出商场经营该商品原来一天可获利润的算式，然后计算即可； （2）① 根据题意，根据获利润2160元列出方程，解出方程即可；② 根据题意，可以写出与的函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到当取何值时，商场获利润最大． (1) 小问详解： 解：由题意可得， （元， 答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元； (2) 小问详解： 解：① 依题意得： 即 解得：， 经检验：，都是方程的解，且符合题意． 答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． ② 依题意得： ∴ ∵ ∴y有最大值             ∴当时，商店所获利润最大． 【点睛】 本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式和方程． 26．【答案】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得：    所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】 考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 27．【答案】（1）     （2）售价应定为元     （3）售价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元      【分析】 本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握一次函数的数量关系式，一元二次方程实际应用，二次函数顶点式求最值是解此题的关键． （1）根据“当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元，    ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意可得，， 整理可得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元． (3) 小问详解： 解：设商场每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元． 28．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出的长，利用矩形面积计算公式可列出对应的函数关系式，再求出x的取值范围即可； （2）根据（1）所求建立对应的方程求解即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∵ ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 解得（舍去）或， 答：的长是； (3) 小问详解： 解： ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为48， 答：所围成的花圃的最大面积为． 29．【答案】（1）     （2）①；②水管要降低      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得顶点N的坐标和点B的坐标，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，并求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）① 根据题意可得点E的纵坐标为，根据（1）所求解析式求出点E的横坐标即可得到答案；②设降低后的解析式，利用待定系数法求出降低后的解析式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 设经过A、N、B三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 答：水管的高度为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 答：景观射灯与水管的水平距离为； ② 设下降后的抛物线解析式为， ∵下降后的抛物线经过， ∴， ∴， ∵， ∴水管要降低， 答：水管要降低． 30．【答案】（1），自变量的取值范围为     （2）为24元/千克     （3）当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元      【分析】 本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得 ， ∴， 自变量的取值范围为； (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； (3) 小问详解： 解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 31．【答案】（1）①；②；     （2）     （3）60或80     （4）当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元．      【分析】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）① 根据题意列代数式即可；② 根据题意列出不等式求解即可； （2）根据题意可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）根据销售利润达到8000元，列出方程求解即可； （4）根据（2）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． (1) 小问详解： 解：① 根据题意得：每月的销售量是千克，即千克， 故答案为：； ② ∵月销售量为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为： (2) 小问详解： 由题意可得，， 即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是； (3) 小问详解： 根据题意得：令， 解得， ∴的值为60或80 ， 故答案为：60或80； (4) 小问详解： ∵， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 32．【答案】（1）     （2）W最大值（元）     （3）销售单价为110元      【分析】 本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． (1) 小问详解： 解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入， 得 ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 依题意，， ， 时，W有最大值， W最大值元； (3) 小问详解： 依题意，当时，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 33．【答案】（1）件     （2）元     （3）元      【分析】 （）根据题意列出算式计算即可求解； （）设每件应降价元，根据题意列出方程即可求解； （）设每天盈利为元，每件应降价元，根据题意求出与之间的函数关系，再根据函数的性质解答即可求解； 本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确列出方程和二次函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 答：每天销售件； (2) 小问详解： 解：设每件应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：每件应降价元； (3) 小问详解： 解：设每天盈利为元，每件应降价元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：每天销售这款秋装盈利的最大值是元． 34．【答案】（1）     （2）10元     （3）每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）根据售价每降低1元，平均一周可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设每个电子产品降价元，由题意，每周可销售个； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，， 解得，， 尽量减少库存， ． 答：每个电子产品降价10元． (3) 小问详解： 根据题意得：， ， 当时，取得最大值，最大值为5290． 答：每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元． 35．【答案】（1）；     （2）降价元时，商家每星期获得利润5280元     （3）降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：降价元时，商家每星期获得利润5280元． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 36．【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元     （2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元      【分析】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； (2) 小问详解： 解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 37．【答案】（1）（，且x为整数）     （2）     （3）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元      【分析】 （1）根据商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，列出关系式求解即可； （2）根据（1）所列关系式把代入求解即可； （3）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解： （，且x为整数） (2) 小问详解： 解： ，， 解得或， ∵， ∴， ∴当时，y的值为1920； (3) 小问详解： 解：由（1）知，． ∵， ∴开口向下 ∴当时，y取最大值，元： ∴每件商品的售价为34元， 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意求出y与x的函数关系式． 38．【答案】（1）     （2）当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米．      【分析】 本题考查了列代数式及二次函数的实际应用（最值问题）；解题的关键是根据木栏总长、门的宽度列出的表达式，结合墙的长度确定自变量取值范围，再利用二次函数性质求面积最大值． （1）根据木栏总长米、两处门共2米宽，以及垂直于墙的木栏共3段及中间分隔栏），列出等式推导的表达式； （2）根据矩形面积公式列出二次函数，结合墙的最大长度确定x的取值范围，利用二次函数开口方向和对称轴求最大面积． (1) 小问详解： 解：∵ 长为x米，中间用垂直于墙的木栏隔开，故垂直于墙的木栏共3段，每段长x米； 两处门各1米宽，木栏总长米， ∴ 木栏总长满足， 解得 即． (2) 小问详解： 解：∵ 墙最大可用长度为12米，且， ∴ ， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴ 的取值范围为． 矩形面积， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， 对称轴为． ∵ 对称轴在取值范围的左侧， ∴ 函数在上单调递减， ∴ 当时，面积最大， 最大面积（平方米）． 答：当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 39．【答案】（1）     （2）     （3）零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：； (2) 小问详解： 解：由题意可得：； (3) 小问详解： 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 40．【答案】（1）     （2）3元     （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. (3) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 41．【答案】（1）     （2）,      【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是解题的关键． (1) 设.则，根据题意列式即可； (2) 设，所围矩形猪舍的面积为，列出二次函数解析式，根据二次函数性质和猪舍的边的取值范围即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设，则， 由题意得：， 解得：， 又∵墙长， ∴， ∴， ∴． 答：为时，猪舍的面积为； (2) 小问详解： 设，所围矩形猪舍的面积为，则， ∵， ∴， ∵ ∴图象开口向下， ∴在对称轴的右侧随增大而减小， ∵为整数， 即当时，． 答：为时，面积最大，最大面积是． 考点06 反比例函数的图象和性质 1．B 2．C 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数和反比例函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点06 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）若二次函数的图象开口向上，则的值为　　　　　　　　． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津和平·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河北·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（     ） A. 向右平移2个单位，向上平移3个单位 B. 向左平移2个单位，向下平移3个单位 C. 向右平移2个单位，向下平移3个单位 D. 向左平移2个单位，向上平移3个单位 4．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）把抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为(        ) A. y＝－ (x＋1)2＋2 B. y＝－ (x＋1)2－2 C. y＝－ (x－1)2＋2 D. y＝－ (x－1)2－2 5．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）对于的图象，下列叙述正确的是（   ） A. 当时，随的增大而增大 B. 顶点坐标 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴为 8．（25-26学年九上·天津北辰·期中）抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 9．（25-26学年九上·天津北辰·期中）关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　   　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 10．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津西青·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津西青·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·天津部分·期中）将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·天津南开·期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A. 图象的对称轴为直线 B. 图象顶点的坐标为 C. 图象与轴有两个交点 D. 图象与轴交点坐标为 17．（25-26学年九上·天津部分·期中）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·天津部分·期中）抛物线的顶点坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·天津部分·期中）若点在抛物线上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·天津河东·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·天津河东·期中）对于二次函数，下列说法错误的是（       ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 22．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 23．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（     ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 24．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：(     ) A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（　　） A. 向左平移个，再向下平移个单位 B. 向右平移个，再向下平移个单位 C. 向左平移个，再向上平移个单位 D. 向右平移个，再向上平移个单位 28．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 29．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）二次函数的顶点坐标为　　　　　　　　． 33．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 34．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为　　　　　　（写成顶点式）． 35．（25-26学年九上·天津红桥·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是　　　　（用“”、“”或“”填空） 37．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是　　　　　． 38．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　． 39．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知抛物线经过点，，则该抛物线的对称轴为（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知二次函数，当随的增大而减小时，的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津河西·期中）函数的最小值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 4．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津北辰·期中）设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(     ) A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）抛物线的顶点坐标是（        ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 9．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）若二次函数的图象经过原点，则为（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  10．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河北·期中）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津河东·期中）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知二次函数，则下列说法正确的是（       ） A. 函数的最小值是3 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象开口向下 D. 图象与x轴有两个交点 17．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 18．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点(﹣3，y1)，(1，y2)，(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(     ) A. ＜＜ B. ＜＝ C. ＜＜ D. ＜＜ 19．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·天津河西·期中）二次函数的图象过点，和点，则（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 23．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线（          ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 24．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·天津和平·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 27．（25-26学年九上·天津部分·期中）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下 B. 当x=-1,时，y有最大值是2 C. 对称轴是x=-1 D. 顶点坐标是（1,2） 28．（25-26学年九上·天津南开·期中）抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 29．（25-26学年九上·天津河东·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·天津红桥·期中）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 32．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4 C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2 33．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 34．（25-26学年九上·天津北辰·期中）二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤． 其中正确的结论有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 35．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两个根分别是，，且，则有．其中，正确结论的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 36．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 37．（25-26学年九上·天津河东·期中）二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为　　　　　． 38．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 39．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）当时，二次函数的最大值为　　　　　　． 40．（25-26学年九上·天津部分·期中）抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·天津部分·期中）若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·天津部分·期中）二次函数的图象的对称轴是　　　　　　． 43．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）将二次函数y＝x2+3x﹣化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是　　　　　． 44．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 45．（25-26学年九上·天津河西·期中）已知函数，当时的取值范围是　　　　　　． 46．（25-26学年九上·天津河西·期中）写出在抛物线上的一个点　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·天津河西·期中）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 4 … y … 0 4 0 … （1）求该二次函数的表达式（写成一般式）； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图； （3）若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为__________（写成一般式，直接写出答案即可）． x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … 48．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 49．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； （3）根据图象，当时，y的取值范围是_______． 50．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，抛物线经过三点． （1）求b，c的值； （2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 51．（25-26学年九上·天津部分·期中）某商场经营一种海产品，进价是20元/kg，根据市场调查发现，每日的销售量y（kg）与售价x（元/kg）是一次函数关系，如图所示. （1）求y与x的函数关系式.（不求自变量的取值范围） （2）某日该商场销售这种海产品获得了21000元的利润，问：该海产品的售价是多少？ （3）若某日该商场销售这种海产品的销量不少于650kg，问：该商场销售这种海产品获得的最大利润是多少？ 52．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知二次函数． （1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是             、             ，顶点坐标是             ； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） （3）当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围             ． 53．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）二次函数在上有最小值，则的值为　　　　　　． 54．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为　　　　　． 55．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 56．（25-26学年九上·河北·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　．(用“”连接) 57．（25-26学年九上·河北·期中）如图，已知抛物线与 交于两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 58．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知抛物线（，为常数，）与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求的值； （3）将线段绕点顺时针旋转90°，得线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 59．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 60．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）已知二次函数． （1）图象的顶点坐标为：_____； （2）抛物线与轴交点坐标为_____； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，的取值范围是_____； （5）当时，的取值范围是_____． 61．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）对于二次函数，当0＜x≤2的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为　　　　　　　. 62．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）已知二次函数y=x2-2x. （Ⅰ）求此函数图象的顶点坐标； （Ⅱ）求顶点及抛物线与x轴的两个交点形成的三角形的面积. 63．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）抛物线的顶点为C，求． 64．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）二次函数为常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 0 0 5 … （1）该二次函数解析式为____________； （2）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． （3）若该二次函数图象上有两点和，满足若，则___________（从符号“>”、“＝”、“＜”中选择一个填空） （4）当时，的取值范围是___________； （5）当时，的取值范围是___________． 65．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线．的一部分． （1）求抛物线的解析式 （2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 66．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）计算的面积． 67．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）当时，二次函数的最大值为8，则　　　　　　　　　． 68．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． （1）若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； （2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 69．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 70．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 71．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．    （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 72．（25-26学年九上·天津和平·期中）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度与时间满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系（为常数，），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 0 7 12 15 16 15 … 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填空：该患者第一次服用该药后___________的血药浓度最高为___________； ②求该患者第一次服用该药后的血药浓度关于时间的函数解析式； （2）两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过时，该药会引起中毒．该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 73．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 74．（25-26学年九上·天津南开·期中）抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D． （1）求二次函数解析式，并直接写出顶点D，点A和点B的坐标； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出抛物线； （3）根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和，则____（从符号，，，，中选择一个填空）； ②当时，则y的取值范围是________； ③连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为______，线段的长为______． 75．（25-26学年九上·河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标； （2）若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 76．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．    （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点P是线段上的动点． ①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标； ②若点Q是射线上的动点，且始终满足，连接，，请求出的最小值． 77．（25-26学年九上·天津河东·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与y轴相交于点C． （1）若， ①求该抛物线的解析式和点C的坐标； ②P为直线上方抛物线上一点（点P不与点A，C重合），过点P分别作x轴、y轴的垂线，与直线相交于点D，E，当的周长最大时，求点P的坐标； （2）若，F，G分别是线段，上的动点，且，当取得最小值时，求点G的坐标． 78．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 79．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是　　　　　　； （2）若恒成立，则的取值范围是　　　　　　． 80．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）已知二次函数（，，为常数，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论： ①；②；③； ④方程的两个实数根为，，且，则； ⑤若为任意实数，则．其中正确的结论是　　　　　．（填序号） 81．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）与轴交于点和点，与轴交于点． （1）当抛物线的对称轴是直线时， ①求抛物线的解析式； ②若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），向是否存在一点，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积与点的坐标；若不存在，试说明理由； （2）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 82．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，C是线段上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是，的中点，的度数为　　　　　　　　　　，若，则线段的最小值为　　　　　　　　　　． 83．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 84．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式和点的坐标． （2）连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 85．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点B，点E为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于点H，且，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，点A的横坐标满足．求四边形的面积S的最大值； （3）若点P为抛物线上的一动点，且位于直线的下方，当时，求点P的坐标． 86．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 87．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； （3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 88．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段． （1）当时， ①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式； （2）当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值． 89．（25-26学年九上·天津南开·期中）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴的交点，点的坐标为． （1）当，时． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线对称轴上． ①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式； ②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 90．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 2．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  3．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C.  D.  4．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）抛物线的部分图像如图所示，则当时，x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 或 5．（25-26学年九上·天津河西·期中）下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 6．（25-26学年九上·河北·期中）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知函数与x轴有交点，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D.  8．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（       ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 9．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知二次函数（，，是常数，）的图象与轴的一个交点的坐标为，其对称轴为直线．有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大，则的最大值为； ③若是方程的两个根，则且． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知二次函数，求： （1）函数图像的顶点坐标及最大值； （2）函数图像与x轴的交点坐标； （3）当时，x的取值范围． 12．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·天津南开·期中）将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·天津部分·期中）如果二次函数的图象与x轴交于点，那么方程的根是　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·天津河东·期中）若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，抛物线与直线相交于点，．则关于的不等式的解集是　　　　　． 20．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知抛物线的对称轴为直线，请你解答下列问题：    （1）求m的值及顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图像； （3）当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）； （4）当时，x的取值范围是______________． 22．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 23．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知二次函数的解析式为． （1）写出该二次函数图象的开口方向，并通过计算说出它的对称轴和顶点坐标； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围． 24．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知抛物线（b为常数）与x轴相交于A，两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求b的值及点A，C的坐标； （2）抛物线上一点M在直线下方，其横坐标为m，过点M作轴，与线段相交于点N，过抛物线的顶点P作y轴的平行线，与线段相交于点Q，若，求m的值． 25．（25-26学年九上·天津河东·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围__________； （2）此二次函数的解析式是__________ （3）当时，的最大值是__________； （4）当时，的取值范围是__________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 26．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）若抛物线（m是常数）与x轴只有一个交点A，则点A的坐标为　　　　　　　　． 27．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，根据图象回答下列问题： （1）点A坐标为______，方程的解是______； （2）当x取何值时，？______； （3）若二次函数的图像与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 28．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是　　　　　　． 29．（25-26学年九上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3．（25-26学年九上·天津西青·期中）一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·天津部分·期中）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（       ）． A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津和平·期中）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9．（25-26学年九上·天津部分·期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 13．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A. y＝（x﹣40）（500﹣10x） B. y＝（x﹣40）（10x﹣500） C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 14．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 17．（25-26学年九上·天津西青·期中）某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A. 这种商品的销售利润可表示为 B. 这种商品的销售利润随x的增大而增大 C. 每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D. 若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 18．（25-26学年九上·天津和平·期中）正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 19．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（     ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 20．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行　　　　　　才能停下来． 21．（25-26学年九上·河北·期中）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是　　　　　　　　米． 22．（25-26学年九上·天津红桥·期中）阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 23．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于20元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）求每件商品降价x元时与该商品每天的销售量y之间的关系式； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 24．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元； （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 25．（25-26学年九上·天津北辰·期中）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润            元． （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？ 26．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　　　　　　m. 27．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 28．（25-26学年九上·天津西青·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），其他边利用篱笆围成一个矩形花圃，其中间有一道与平行的篱笆，设花圃的一边长为，面积为． （1）求S与x的函数解析式； （2）若要围成面积为的花圃，求的长是多少米？ （3）求所围成的花圃的最大面积． 29．（25-26学年九上·天津西青·期中）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求水管的高度； （2）若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 30．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 31．（25-26学年九上·天津南开·期中）某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． （1）填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； （2）求与之间的函数关系式； （3）填空：若，则的值为______； （4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 32．（25-26学年九上·河北·期中）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； （3）电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 33．（25-26学年九上·天津部分·期中）一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为元，从销售中记录发现，当每件售价为元时，每天可售出件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价元，则每天就可多售出件． （1）若活动期间每件秋装的售价为元，这款秋装每天销售多少件？ （2）要想每天销售这款秋装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）每天销售这款秋装盈利的最大值是多少元？ 34．（25-26学年九上·天津河东·期中）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个． （1）设每个电子产品降价元，则每周可销售__________个； （2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？ （3）设商户每周盈利元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 35．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？ （3）降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 36．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 37．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上在x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时y的值为1920？ （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 38．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． （1）用含x的代数式表示矩形的另一边的长． （2）当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 39．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． （1）写出y与x之间的函数关系式： （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 40．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 41．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的边为多少时，猪舍面积为？ （2）所围矩形猪舍的边为多少时（为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？ 考点06 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，点B是反比例函数（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（　　） A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6 2．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数和反比例函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点06 反比例函数的图象和性质 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）若二次函数的图象开口向上，则的值为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据二次函数的定义和性质进行求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴ ， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】 本题综合考查了二次函数的性质及定义，要注意二次项系数的取值范围． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津和平·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 2．（25-26学年九上·河北·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：C． 3．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（     ） A. 向右平移2个单位，向上平移3个单位 B. 向左平移2个单位，向下平移3个单位 C. 向右平移2个单位，向下平移3个单位 D. 向左平移2个单位，向上平移3个单位 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可 【详解】 解：将抛物线平移得到抛物线，其平移方式是向左平移2个单位，向上平移3个单位． 故选：D． 4．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）把抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为(        ) A. y＝－ (x＋1)2＋2 B. y＝－ (x＋1)2－2 C. y＝－ (x－1)2＋2 D. y＝－ (x－1)2－2 【答案】B 【分析】先得到抛物线y＝－x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式． 【详解】抛物线y＝－x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到对应点的坐标为（-1，-2），所以平移后抛物线解析式为y＝－ (x＋1)2－2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】 解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 7．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）对于的图象，下列叙述正确的是（   ） A. 当时，随的增大而增大 B. 顶点坐标 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴为 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据，得二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线，再结合各个选项进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线， A、当时，随的增大而增大，此选项符合题意； B、顶点坐标，此选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，此选项不符合题意； D、对称轴是直线，此选项不符合题意； 故选：A． 8．（25-26学年九上·天津北辰·期中）抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】C 【分析】 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，即可求得答案 【详解】 解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1， 故选C 【点睛】 本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁． 9．（25-26学年九上·天津北辰·期中）关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　   　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】 开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】 关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 10．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】 解：将抛物线向上、向左各平移1个单位长度， 则平移后抛物线的解析式是：， 即． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 11．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据顶点式解析式特点即可解答． 【详解】 由抛物线顶点式可知，顶点为， ∵顶点为， ∴抛物线为， ∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同， ∴， 即抛物线解析式为， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】 此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键． 12．（25-26学年九上·天津西青·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】 解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：B． 13．（25-26学年九上·天津西青·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键．根据平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】 ∵ 原抛物线为 ， 向右平移2个单位，得 ， 再向上平移3个单位，得 ， ∴ 得到的抛物线解析式为 ． 故选：D． 14．（25-26学年九上·天津部分·期中）将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是关键． 依据题意，由函数的图象向右平移3个单位，从而根据“左加右减”的平移规律即可判断得解 【详解】 解∶由题意，函数的图象向右平移3个单位， ∴根据“左加右减”的平移规律可得，平移后二次函数解析式是． 故选∶ A． 15．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】 解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， 点A到对称轴的距离为， 点B到对称轴的距离为， 点C到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大． 16．（25-26学年九上·天津南开·期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A. 图象的对称轴为直线 B. 图象顶点的坐标为 C. 图象与轴有两个交点 D. 图象与轴交点坐标为 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，可直接读出对称轴和顶点坐标，并通过计算判断与坐标轴的交点情况即可． 【详解】 解：根据题意得，二次函数是顶点式， 则对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴为，说法正确； 选项B：顶点坐标应为，而非，说法错误； 选项C：令，则，即， ∴，无实数根，故与轴无交点，说法错误； 选项D：令，则，则与轴交点为，而非，说法错误； 故选：A． 17．（25-26学年九上·天津部分·期中）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查函数图像的平移，准确判断平移方向对变量的影响关系是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解． 【详解】 解：∵抛物线先向左平移4个单位长度， ∴用代替，得， 再向上平移2个单位长度， 得. ∴所得抛物线为， 故选D． 18．（25-26学年九上·天津部分·期中）抛物线的顶点坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，解题关键是掌握抛物线顶点解析式的意义． 已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】 解：∵是抛物线解析式的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：D． 19．（25-26学年九上·天津部分·期中）若点在抛物线上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小． 先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线（y轴）， ∴点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， ∵， ∴函数开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故选：C． 20．（25-26学年九上·天津河东·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据左加上加的原则计算即可． 【详解】 因为抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 所以所得抛物线解析式为即， 故选C． 【点睛】 本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加上加的原则是解题的关键． 21．（25-26学年九上·天津河东·期中）对于二次函数，下列说法错误的是（       ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：A、∵， ∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 22．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】 解：A、抛物线的开口向下，则A错误，故不符合题意； B、对称轴是直线，则B正确，故符合题意； C、当时，随的增大而增大，则C错误，不符合题意； D、顶点坐标为，则D错误，故不符合题意； 故选B． 23．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（     ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】 解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 24．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】 解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 25．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由二次函数的顶点式即可得出结果． 【详解】 解：∵抛物线的顶点式为， ∴顶点坐标为：， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式． 26．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】 解：由题意得， 平移后的抛物线为， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查抛物线的平移规律，熟练掌握规律，即可解题． 27．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（　　） A. 向左平移个，再向下平移个单位 B. 向右平移个，再向下平移个单位 C. 向左平移个，再向上平移个单位 D. 向右平移个，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】 本题考查了抛物线的平移规律，由抛物线，得到顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标的变化寻找平移方法，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为；抛物线，的顶点坐标， 顶点坐标的平移规则是：先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移的方法是向左平移个单位，再向下平移个单位， 故选：． 28．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象与性质，二次函数平移，最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，即可解答，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：、图象的顶点为，原选项错误，不符合题意； 、图象可由抛物线向下平移个单位长度得到，原选项正确，符合题意； 、图象的对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、当自变量取时，函数有最小值，原选项错误，不符合题意； 故选：． 29．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据到对称轴的距离越远，函数值越小即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 30．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 31．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据二次函数的顶点式求顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点式的性质． 根据二次函数的顶点式解析式进行求解即可． 【详解】 解：根据二次函数的顶点式解析式得， 该二次函数的顶点坐标为：， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）二次函数的顶点坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式性质，直接写出顶点坐标． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为∶ ． 33．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 34．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为　　　　　　（写成顶点式）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】 解：函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为，即为． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·天津红桥·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线解析式，然后展开为一般式，与给定解析式对比系数，得到b和c的值，最后计算即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 与对比，得，． 则， 故答案为：2． 36．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是　　　　（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析式可得开口方向向上和对称轴，则离对称轴越远函数值越大，据此求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 37．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数图像平移的规律是左加右减，上加下减． 根据图像向左平移加，向上平移加，可得答案． 【详解】 解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式是，即为： 故答案为：． 38．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线顶点式的性质直接求解即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， 的顶点坐标是：， 故答案为：； 【点睛】 本题考查抛物线顶点式的顶点是． 39．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知抛物线经过点，，则该抛物线的对称轴为（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 根据A、B两点的纵坐标相同可知A、B两点关于对称轴对称，因此对称轴为两点中点的横坐标． 【详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线． 故选：D． 2．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知二次函数，当随的增大而减小时，的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，由于二次函数的图象开口向上，在对称轴左边满足随的增大而减小，求出此时的范围即可． 【详解】 二次函数的对称轴为， 函数图象开口向上， 时，随的增大而减小． 故选：D． 3．（25-26学年九上·天津河西·期中）函数的最小值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的最值．该函数为二次函数，由于二次项系数为正，函数图像开口向上，故有最小值，且最小值在顶点处取得，即可作答． 【详解】 解：∵函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∴顶点横坐标， 当时，， ∴ 函数的最小值为1． 故选：B． 4．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小， 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年九上·天津北辰·期中）设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为A，B，C，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系． 【详解】 解： ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴到对称轴的距离从小到大为A，B，C， ∵抛物线开口向上， ∴到对称轴的距离越小，对应的y值越小， ∴、、的大小关系为 故选：C． 6．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】 解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 7．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】 解：二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴是直线， 在对称轴右侧随的增大而增大， 时取得最小值， 点关于直线的对称点为，且， ， 故选：B． 8．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）抛物线的顶点坐标是（        ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 【答案】A 【分析】 题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标． 【详解】 解：可转化为， 与抛物线的顶点式对比， 可以得出，顶点坐标为 故选A． 【点睛】 本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化． 9．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）若二次函数的图象经过原点，则为（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，再根据二次项系数不能为零对m进行取舍． 【详解】 解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得， 解得， ∵该函数为二次函数， ∴， ∴， ∴． 故选：B 10．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】 解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 11．（25-26学年九上·河北·期中）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数及一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】 解：选项A、B中，由二次函数的图象知，，， ∴，则一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选项A、B都不符合题意； 选项C、D中，由二次函数的图象知，，， ∴，则一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选项C符合题意；选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，由二次函数的图象判断出，或，是解题的关键． 12．（25-26学年九上·天津河东·期中）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可得出抛物线解析式，进而逐项判断即可． 【详解】 ① 由题可知，，则① 错误； ② 对称轴为y轴，交y轴于点，设函数解析式为，将点代入解析式得，解得， 池底所在抛物线解析式为，则② 正确； ③ 将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面的距离为，则③ 错误； ④ 设原宽度为时最深处到水面的距离为，宽度减少为原来的一半时距离为，故④ 正确， 所以① 、③ 错误，② 、④ 正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法出解析式． 13．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴以及函数的单调性． 先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的单调性以及点到对称轴的距离来比较函数值的大小． 【详解】 解：抛物线，其对称轴为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 距离对称轴越远，函数值越大，因为，所以． 故选：D． 14．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】 解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 15．（25-26学年九上·天津红桥·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比较二次函数函数值的大小，把点，，分别代入二次函数解析式，即可比较，，的大小关系． 【详解】 解： 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ， ∴． 故选：D． 16．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）已知二次函数，则下列说法正确的是（       ） A. 函数的最小值是3 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象开口向下 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】 解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 17．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的对称轴，掌握公式 即可快速求解．利用二次函数对称轴公式 直接计算． 【详解】 解：∵ 二次函数 中，， ， ∴ 对称轴为直线． 故选：D． 18．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点(﹣3，y1)，(1，y2)，(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(     ) A. ＜＜ B. ＜＝ C. ＜＜ D. ＜＜ 【答案】A 【分析】由已知确定函数的对称轴为x＝2，三点到对称轴的距离分别为5，1，2，即可求解. 【详解】解：y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2， (﹣3，y1)，(1，y2)，(4，y3)三点到对称轴的距离分别为5，1，2， ∴y1＞y3＞y2， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，理解开口向上的函数，点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大是解题的关键. 19．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先判断出抛物线的开口，求出抛物线的对称轴，然后根据各点到对称轴的远近即可判断的大小． 【详解】 解：∵，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 又∵离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴故选：D． 20．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标． 【详解】 解：， 把代入得：， ∴顶点坐标是， 故选：C． 【点睛】 本题题主要考查了顶点坐标公式，熟记公式是关键． 21．（25-26学年九上·天津河西·期中）二次函数的图象过点，和点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求得对称轴，然后根据对称轴和增减性即可判断． 【详解】 解：二次函数的图象过点，点和点， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， ， ， 故选：C． 22．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，菱形的判定和面积求法，关键是掌握二次函数的性质， 先判断出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式，二次函数的性质进行判断求解． 【详解】 解：因为四边形的对角线互相垂直，所以当对角线与互相平分时，四边形是菱形，故① 正确； 因为，所以当的长度为或时，四边形的面积均为 ，故② 正确； 设，则，所以，因为，所以当时，四边形的面积有最大值，最大值为，故③ 错误. 综上所述，正确的个数为2. 故选：C. 23．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线（          ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【分析】因为点A和B的纵坐标都为0，所以可判定A，B是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可． 【详解】∵抛物线与x轴的交点为(−1,0),(3,0)， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线x===1. 故答案选C. 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的性质. 24．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】 解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 25．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题． 令解方程求出t的值，即可判断① ，分别求出和时的值是，即可判断② ，令，即可判断③ ． 【详解】 解：∵落地时高度， ∴ 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间为，故① 正确． 当时， ； 当时， ， ∵，故② 正确． 根据题意得， ， ∴， ∴ ， ∴方程无实数解， ∴高度不可能达到，故③ 错误． 综上，正确结论为① ② ， 故选：B． 26．（25-26学年九上·天津和平·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】 解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 27．（25-26学年九上·天津部分·期中）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下 B. 当x=-1,时，y有最大值是2 C. 对称轴是x=-1 D. 顶点坐标是（1,2） 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断. 【详解】A、由二次函数的解析式y＝（x＋1）2＋2，可知系数＞1，故函数图像开口向上.故A项错误；B、将x＝﹣1代入解析式，得到y＝6，故B项错误；C、由二次函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知对称轴为x＝1，故C项错误；D、函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知该函数的顶点坐标是（1,2），故D项正确.故选D. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，理解二次函数的顶点式是解答此题的关键. 28．（25-26学年九上·天津南开·期中）抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，然后利用二次函数的性质依次判断即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】 解：由图象得：抛物线开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故① 错误； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴时，， ， 即，故② 正确； 当时，，故③ 正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根，故④ 正确； 综上，② ③ ④ 正确． 故选：C． 29．（25-26学年九上·天津河东·期中）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】 解：二次函数， 则，开口向下，对称轴为， 则函数图像上的点，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离分别为：1、0、， ∵ ∴， 故选：C 30．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】 解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 31．（25-26学年九上·天津红桥·期中）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（     ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】 解：将、代入得： ， 解得： ， 二次函数的解析式为， 该函数图象的对称轴为直线，故甲正确； 又，函数图象的对称轴为直线， 二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确； 当时，，即，故丙正确； 故选：B． 32．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4 C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2 【答案】D 【详解】 本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2． 故选：D． 33．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断① ，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断② ，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③ ，由时取最大值可判断④ ． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴ ， 解得：，， ∵， ∴， ， 故① 错误； ， 抛物线开口向下． 又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ， 故② 错误； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴另一个交点坐标为， 方程可以看成与的交点，函数大致图象如下： ∴由图可得， 故③ 正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下． ∴抛物线最大值为， 若为任意实数，则， ， 故④ 正确． 综上，正确的有③ ④ ． 故选：B． 34．（25-26学年九上·天津北辰·期中）二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤． 其中正确的结论有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据二次函数的对称轴和点在图象上，对称轴为直线，可推导出a、b、c的符号和关系，进而判断各结论的正误． 【详解】 解：∵ 对称轴为直线， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∵ 点 在图象上， ∴， ∴ 结论③正确； ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ 结论①正确； ∵ ， ∴ ，不满足， ∴ 结论②错误； ∵ 对称轴 ，且一根为 ， ∴ 另一根为 ， ∴ 方程的两根为和， ∴ 结论④正确； ∵ 函数在处取得最小值， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即， 当时取等号， ∴ 不恒成立， ∴ 结论⑤错误． 综上，正确结论为①、③、④，一共3个． 故选：B． 35．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两个根分别是，，且，则有．其中，正确结论的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据对称轴和点可得抛物线经过点，并推导出．结合可得，再逐项分析判断即可． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为， ∴即， ∵抛物线过点， ∴， 将代入，得 ， ∴．    ∵， ∴，即，故③正确． ∵， ∴， ∵， ∴，由此① 是错误的， ，故②错误．    ∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点(2，0)，其对称轴是直线， ∴抛物线过点和，且，开口向下，顶点在处，．方程即， ∵在和时，，顶点， ∴方程有两个根，，且时，有，故④正确．    ∴正确结论有③和④，共2个． 故选C． 36．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③ ，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断① 正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断② 正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③ 正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④ 错误． 【详解】 解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论① 正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入： ，解得 ， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论② 正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立 得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③ 正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④ 错误； 综上，正确的是① ② ③ ， 故选：A． 37．（25-26学年九上·天津河东·期中）二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为　　　　　． 【答案】-4 【分析】 根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答． 【详解】 ∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 38．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为     （2）      （3）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性． （1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围． (1) 小问详解： 解： ， 根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线． 所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：求与轴交点：令，即，变形为，因式分解得， 解得， 所以与轴交点为和． 求与轴交点：令，则， 所以与轴交点为． 找顶点：由（1）知顶点为． 再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点， 所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点， 然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象． (3) 小问详解： 解：由图可知，的取值范围是． 39．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）当时，二次函数的最大值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查二次函数在给定范围内的最值问题． 由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标在给定范围内，故最大值在顶点处取得． 【详解】 解：二次函数的顶点横坐标为， 由于，且， 故当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：2． 40．（25-26学年九上·天津部分·期中）抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　． 【答案】直线 【分析】 本题考查了抛物线的图象与性质，根据抛物线经过轴上的两点关于抛物线的对称轴对称，即可求解． 【详解】 解：点和是抛物线与轴的交点， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为直线． 41．（25-26学年九上·天津部分·期中）若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点坐标公式．根据二次函数的性质和轴上点的坐标特征计算即可． 【详解】 解：抛物线的顶点在轴上， 顶点的纵坐标是， 即， 解得， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·天津部分·期中）二次函数的图象的对称轴是　　　　　　． 【答案】直线 【分析】 本题考查了二次函数的性质和图象，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】 解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故答案为：直线． 43．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）将二次函数y＝x2+3x﹣化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是　　　　　． 【答案】y=（x+3）2﹣7 【分析】 直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案． 【详解】 y=x2+3x-=（x2+6x）-=（x+3）2--=（x+3）2-7． 故答案为y=（x+3）2-7． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键． 44．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 设出解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：设二次函数的解析式为（）． 因为函数图象经过，，三点， 将这三点代入解析式得： ，即 解得 ， 所以，这个二次函数的解析式为． 45．（25-26学年九上·天津河西·期中）已知函数，当时的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 46．（25-26学年九上·天津河西·期中）写出在抛物线上的一个点　　　　　　　　． 【答案】（0，﹣4）(答案不唯一） 【分析】把（0，﹣4）点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，即可解答． 【详解】将（0，﹣4）代入， 得到 ， 故（0，﹣4）在抛物线上， 故答案为（0，﹣4）. 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点代入解析式. 47．（25-26学年九上·天津河西·期中）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 4 … y … 0 4 0 … （1）求该二次函数的表达式（写成一般式）； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图； （3）若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为__________（写成一般式，直接写出答案即可）． 【答案】（1）     （2）， 如图：      （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，画二次函数图象，求顶点坐标以及二次函数图象的平移问题． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先配方成顶点式，再写出顶点坐标，然后列表、描点、连线即可作图； （3）利用“左加右减，上加下减”求出平移后的顶点式，再化为一般式即可． (1) 小问详解： 解：由表格得， ， 解得 ， ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：， ∴顶点坐标为， 列表为： 描点，连线作图： x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … (3) 小问详解： 解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到，即， ∴一般式为 48．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 【答案】（1）     （2）①树的高度为2；②树的高度的最大值为      【分析】 本考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，难度适中利用数形结合是解题的关键． （1）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）①过点作轴的垂线，点在直线，求出直线的解析式，进而求B、的纵坐标，据此求解即可； ②设B点坐标为，则C的坐标为，，配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解 (1) 小问详解： 由点在抛物线上，得，解得． 由，得该抛物线的顶点坐标为 (2) 小问详解： ①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为, 直线的解析式为, 点的横坐标为1， 点的横坐标为1. 将代入, 的坐标为点的坐标为 答：这棵树的高度是2． ②点B在直线上，且直线的解析式为 设B点坐标为，则C的坐标为 ∴， 当时，树的高度的最大值为． 49．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； （3）根据图象，当时，y的取值范围是_______． 【答案】（1）     （2）与y轴的交点坐标为，顶点坐标为     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）将点，代入即可求解； （2）将代入解析式即可求出与y轴的交点坐标，然后将二次函数的解析式华为顶点式即可求出顶点坐标； （3首先画出图象，直接由图象可得出y的取值范围． (1) 小问详解： 解：把点，代入得 ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：当时， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； ∵ ∴顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：如图所示， 当时，；当时，． ∴根据图象，当时，y的取值范围是． 50．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，抛物线经过三点． （1）求b，c的值； （2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）先求出，再利用三角形面积公式得到，则，据此求解即可； （3）如图所示．连接，由抛物线的对称性可知，则当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，求出直线的解析式为，抛物线对称轴为直线，在中，当时，，由此即可得到答案． (1) 小问详解： 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或； 在中，当时，此时方程无解； ∴点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：如图所示．连接， 由抛物线的对称性可知， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 51．（25-26学年九上·天津部分·期中）某商场经营一种海产品，进价是20元/kg，根据市场调查发现，每日的销售量y（kg）与售价x（元/kg）是一次函数关系，如图所示. （1）求y与x的函数关系式.（不求自变量的取值范围） （2）某日该商场销售这种海产品获得了21000元的利润，问：该海产品的售价是多少？ （3）若某日该商场销售这种海产品的销量不少于650kg，问：该商场销售这种海产品获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-10x+1200；（2）该海产品的售价是50元或90元．（3）22750. 【分析】（1），设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将图形上已知的两点代入解方程组，即可求出k与b的值，进而确定y与x之间的函数关系式； （2）根据题目信息可得(-10x+1200)(x-20)=21000，接下来解方程即可使问题得解； (3) 设所获利润为W，根据题目信息可得W=(-10x+1200)(x-20)，然后对其进行配方，结合x的取值范围与二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b， 将（25，950），（40，800）代入得： ， 解得： ， 故y与x的函数关系式为：y=-10x+1200； （2）由（1）得：（-10x+1200）（x-20）=21000， 解得：x1=50，x2=90， 答：该海产品的售价是50元或90元． (3) 设所获利润为W，则根据题目信息可得 W=(-10x+1200)(x-20) =-10(x-70)2+25000. ∵-10x+1200≥650， ∴x≤55. 当x=55时，W有最大值. 故W的最大值为：-10(55-70)2+25000=22750. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 52．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知二次函数． （1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是             、             ，顶点坐标是             ； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） （3）当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围             ． 【答案】（1）；；     （2） 如图： ．     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像； （3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图像与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图像顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：列表： 描点，连线 (3) 小问详解： 解：由图像可知，当时，． 53．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）二次函数在上有最小值，则的值为　　　　　　． 【答案】5或 【分析】 本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到2的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到． 【详解】 解：分三种情况： 当，即时，二次函数在上为增函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：； 当，即时，二次函数在上为减函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去； 当，即时，此时抛物线的顶点为最低点， 所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去． 综上，的值为5或． 故答案为：5或 54．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象，由顶点在轴上可知抛物线的对称轴为轴，即直线，据此即可求解，掌握二次函数的图象是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线的对称轴为轴，即直线， ∴， 故答案为：． 55．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），，顶点坐标为     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． (2) 小问详解： 由函数图象可得当时，． (3) 小问详解： 、， ． 设，则， ， ． ① 当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ② 当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 56．（25-26学年九上·河北·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　．(用“”连接) 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵二次函数的二次项系数，一次项系数， ∴对称轴为， ，抛物线开口向下， ∴函数值在对称轴两侧随距离增大而减小， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴距离越大，函数值越小， ∴． 故答案为：． 57．（25-26学年九上·河北·期中）如图，已知抛物线与 交于两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】（1）     （2），对称轴为直线     （3）      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． (3) 小问详解： ∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 58．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知抛物线（，为常数，）与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求的值； （3）将线段绕点顺时针旋转90°，得线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，又因为，则，再化为顶点式，即可作答． （2）先分别找出点的坐标，和点的坐标，根据进行列式计算，即可作答． （3）过点作轴于点，根据旋转的性质证明，再整理得点的坐标为．因为点在抛物线上，得．即，最后解出方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：点在抛物线上， ． 即． 当时，， ∴， 该抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 则． 令，则 点的坐标为， 则抛物线的对称轴为直线． ， ． 点， ， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 则 ∴点的坐标为． ． 在中，得． ， ． 解得，（舍去）． 所求的值为． (3) 小问详解： 解：如图所示： 过点作轴于点． ． ∴． ∵旋转， ∴，，则． 得． 又， ∴． ，． 由，得． 点的坐标为． 点在抛物线上， ． 即． 解得，， ∵点在第四象限， ∴， 的值为． 59．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． (2) 小问详解： 解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ， 当时，， 点的坐标为．， 又， 设直线的解析式为， ， 解得 ， 可得直线的解析式为， 轴， 点的坐标为， 点在直线的上方， ， 则， ∵， 当时，的最大值，最大值为． 60．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）已知二次函数． （1）图象的顶点坐标为：_____； （2）抛物线与轴交点坐标为_____； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，的取值范围是_____； （5）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）     （2），     （3） 作图如下．      （4）     （5）      【分析】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）利用配方法化简即可； （2）令，然后求解即可； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意，由， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意，令， ∴或． ∴该抛物线与x轴的交点为，． 故答案为：，． (3) 小问详解： 解：由题意，由抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线． 令，则， ∴抛物线与y轴交于点． 又该抛物线与x轴的交点为，， (4) 小问详解： 解：由题意，由结合（3）的图象， ∴图象在x轴下方部分对应的自变量即为所求． ∴． 故答案为：． (5) 小问详解： 解：由题意，当时， ∵当时，， 当时，． 当时，y取最小值为， 又结合（3）所作图象， ∴当时，． 故答案为：． 61．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）对于二次函数，当0＜x≤2的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为-＜0、0≤-＜2、-≥2时，得出当0＜x≤2时所对应的函数的最小值为非负数即可． 【详解】解：对称轴为：x=-=-，y==1-， 当时，即-0即m≥0时，当0＜x≤2时，x=0时y最小，所以若使0＜x≤2时的函数值总是非负数，x=0时y=1≥0符合题意，此时m≥0. 当0＜-≤2时，0＜-≤2，即-4≤m＜0，当0＜x≤2时的最小值为1-，当1-≥0时，即-2≤m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；此时-2≤m<0. 当-2时，-2，即m＜-4，x=2时y取得最小值，要满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则4+2m+1≥0即m≥-； 综上所述， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据其自变量的取值确定字母系数的取值范围，解决此类问题：首先要计算出顶点坐标，再根据对称轴的位置并与图象相结合得出取值． 62．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）已知二次函数y=x2-2x. （Ⅰ）求此函数图象的顶点坐标； （Ⅱ）求顶点及抛物线与x轴的两个交点形成的三角形的面积. 【答案】(1) 顶点坐标为（2，-2）；（2）4. 【详解】试题分析：可以把一般式用配方法配成顶点式，从而求得函数图象的顶点坐标. 令求二次函数与轴的交点坐标.即可求出面积. 试题解析：     ∴顶点坐标为    解得：        顶点及抛物线与x轴的两个交点形成的三角形的面积.：    63．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）抛物线的顶点为C，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的解析式求解、抛物线的对称性及三角形面积计算；解题的关键是利用抛物线对称轴求出点A坐标，选择合适的解析式形式代入已知点求解，再结合顶点坐标计算三角形面积． （1）根据抛物线对称轴和点，利用对称性求出点A坐标；设抛物线的两点式解析式，代入点求出系数，进而得到解析式． （2）将对称轴代入解析式求出顶点C的纵坐标，确定C点坐标；计算线段AB的长度，以AB为底、C点纵坐标的绝对值为高，用三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：∵ 抛物线对称轴为，与x轴交于、， ∴ 点与关于对称，的横坐标为，即 设抛物线解析式为， ∵ 抛物线过， ∴ 代入得， 即，解得． ∴ 抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：∵ 顶点在对称轴上， ∴ 代入解析式得，即． ∵ ，， ∴ ，的高为点纵坐标的绝对值， ∴ ． 64．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）二次函数为常数，的自变量x与函数值y的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 0 0 5 … （1）该二次函数解析式为____________； （2）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． （3）若该二次函数图象上有两点和，满足若，则___________（从符号“>”、“＝”、“＜”中选择一个填空） （4）当时，的取值范围是___________； （5）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）     （2），小，     （3）     （4）     （5）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解函数的解析式； （2）根据抛物线开口以及对称轴即可求出答案； （3）根据抛物线图象的性质即可求出答案； （4）先找到函数值等于0时x的值，然后通过函数图象进行判断即可； （5）根据对称轴距离的远近，结合开口方向，取值范围解答即可． (1) 小问详解： 解：把点, , 代入得 ，解得 ， ∴该二次函数解析式为：， (2) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为：， ∴， 故，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为：， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：，小，． (3) 小问详解： 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在的范围内，y随x的增大而减小， ∴该二次函数图象上有两点和，满足若，则； 故答案为：． (4) 小问详解： 解：∵当时，x的取值为：或1， 又∵抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围是， 即当时，的取值范围是， 故答案为：． (5) 小问详解： 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，，， ∴当时，在时，y取到最小值， 又∵时，；时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 65．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线．的一部分． （1）求抛物线的解析式 （2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意将代入求出函数解析式即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点坐标，得到，从而得到答案． (1) 小问详解： 解： 将代入求出函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：过点分别作轴的垂线，垂足分别是点， ， ， ， 点B的横坐标为1，则, ， ， ， ， ， ， ,则点横坐标为， 将代入中， ， 点的坐标为， ， ． 答：这棵树的高度为． 66．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）计算的面积． 【答案】（1）     （2）开口向上，顶点坐标，对称轴     （3）27      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴， (3) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，, ∴的面积． 67．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）当时，二次函数的最大值为8，则　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】 解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 68．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． （1）若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； （2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】（1）①；② 点M的坐标为，点G的坐标为；     （2）点和点；      【分析】 （1）① 将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；② 先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； (1) 小问详解： ① ∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ② 当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有 解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． (2) 小问详解： 由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】 本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 69．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）相等． 当时，点在边上， 此时，，， 则；     （2）．     （3）．      【分析】 本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； (3) 小问详解： 当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 70．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【分析】 （1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】 （1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得 ，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣ ）2+ ， ∴S△APC= PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣ ）2+ ]×3=﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴当m= 时，S△APC最大= ，y=﹣m2+2m+3= ， ∴P（ ， ）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得： ， 解得：k=﹣ ，b= ． ∴直线DN′的解析式为y=﹣ x+ ． 当x=3时，n=+=． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 71．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．    （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 （1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 (1) 小问详解： 解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得： ，解得 ， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E，    设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； (3) 小问详解： 解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时， ， 即 ， 解得 ， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时， ， 即 ， 解得 ， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时， ， 即 ， 解得 ， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 72．（25-26学年九上·天津和平·期中）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度与时间满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系（为常数，），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 0 7 12 15 16 15 … 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填空：该患者第一次服用该药后___________的血药浓度最高为___________； ②求该患者第一次服用该药后的血药浓度关于时间的函数解析式； （2）两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过时，该药会引起中毒．该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 【答案】（1）① 4，16；②     （2） 患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为， ∴血药总浓度为， 整理得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，存在中毒风险．      【分析】 （1）①由对称性可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为；②由①得第一次服药后与的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由“两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和”得此时患者血药浓度为，求出的最大值与进行比较即可； 本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：①由表格可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为； 故答案为：4，16； ②由①知与的函数关系式为， 将点代入得， 解得， 则第一次服药后与的函数解析式为； (2) 小问详解： 略 73．（25-26学年九上·天津部分·期中）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）点M的坐标为或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把点，代入得， ， 解得 ， ∴二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴ ， 解得： ， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴ ，解得： ， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得： ，解得： ， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得： ，解得： ， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 74．（25-26学年九上·天津南开·期中）抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D． （1）求二次函数解析式，并直接写出顶点D，点A和点B的坐标； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出抛物线； （3）根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和，则____（从符号，，，，中选择一个填空）； ②当时，则y的取值范围是________； ③连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为______，线段的长为______． 【答案】（1）；，，     （2） 图象如图所示：      （3）①；②；③ 点M的坐标为；线段的长为      【分析】 （1）先将点代入抛物线解析式求出，再令求解即可． （2）利用函数解析式以及描点法画出图像即可求解． （3）① 比较两个点到抛物线的对称轴的距离即可求解； ② 利用抛物线的图像与性质即可求解； ③ 利用两直线平行，那么一次项的系数相同求出直线l的解析式后，与抛物线的解析式联立，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入解析式得：， ∴， ∴； ∴， 当时， ∴，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 若抛物线上有两点和，则； 理由：∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴点离对称轴更远， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点纵坐标越小， ∴． ② 当时，则y的取值范围是； 理由：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值最小，此时； 当时，y的值最大，此时； ∴当时，则y的取值范围是． ③ ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵直线， ∴设直线l的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线l的解析式为：， 与抛物线解析式联立得： ， 解得： 或 ； ∴点M的坐标为 ∴． 【点睛】 本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式，抛物线的图像与性质的运用等知识，解题关键是牢记函数图像的性质，并能准确计算． 75．（25-26学年九上·河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标； （2）若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 【答案】（1），     （2），最大面积为     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用点和得出，然后代入得解析式，再求点B． （2）先求出直接的解析式，过点P作交于点E，则，然后根据二次函数的性质即可得出答案． （3）分两种情况，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上， ∴，即， 将代入， 得：， 解得 ∴ 抛物线解析式为． 令，得， 解得， ∴ (2) 小问详解： 解：设的解析式为：， 则 ，解得 ， 则的解析式为：， 如下图：过点P作交与点E， 则，， ∴， ∴， 当时，S取得最大值为1， ∴． (3) 小问详解： 解：当点P在上方时，如下图， 设直线解析式为， ∵ 则 ， 解得 则直线解析式为， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， ∴， 则直线解析式为， 联立解析式得 ， 解得： ，或 （舍去） 点P坐标为； 当点P在下方时，如图中点，设、与y轴分别交于点E、F，如图， 则点， ∵［公式］ 又∵，［公式］， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， 则 ，解得 ∴直线解析式为 联立解析式得 ， 解得 或 （舍去） ∴ 综上所述：当点P坐标为或． 76．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．    （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点P是线段上的动点． ①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标； ②若点Q是射线上的动点，且始终满足，连接，，请求出的最小值． 【答案】（1），点的坐标为     （2）①；②      【分析】 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式，再将抛物线解析式改写成顶点式，即可得出顶点坐标； （2）① 令，求出点C坐标，设点E坐标为，则点P坐标为，利用列出方程，求出x即可解决问题；② 在x轴上取点H，使，连接，，，证明，可得，求出的最小值为的长，然后根据两点间距离公式计算即可． (1) 小问详解： 解：将点，代入得 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； (2) 小问详解： ① 令， 解得：或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴点C的坐标为， ∵点E在抛物线上，设点E坐标为，则点P坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴点E的坐标为； ② 如图，在x轴上取点H，使，连接，，，    又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在上时，取最小值，最小值为的长， ∵，， ∴的最小值为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，作出合适的辅助线，找出取最小值时的情况是解题的关键． 77．（25-26学年九上·天津河东·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与y轴相交于点C． （1）若， ①求该抛物线的解析式和点C的坐标； ②P为直线上方抛物线上一点（点P不与点A，C重合），过点P分别作x轴、y轴的垂线，与直线相交于点D，E，当的周长最大时，求点P的坐标； （2）若，F，G分别是线段，上的动点，且，当取得最小值时，求点G的坐标． 【答案】（1）①，点的坐标为；② 点的坐标为     （2）点的坐标为      【分析】 （1）① 将以及，代入抛物线，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再令，即可求得点的坐标； ② 由题意可知为等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，，因轴交直线于，则，轴，得，，为等腰直角三角形，则，，可知，当的周长最大时，有最大值，再根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，，则，如图，过点作，且，可知，可证，得，由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，此时可证得，得，则，，即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：① 将以及，代入抛物线，得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即：点的坐标为； ② ∵，，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为，将，，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 设点，，因轴交直线于，则，轴， ∴，， 同理可知，， ∴为等腰直角三角形，则，， ∴的周长为， 当的周长最大时，有最大值， 而， 即：当时，取得最大值，此时的周长最大，点的坐标为； (2) 小问详解： ∵，， ∴，，则， 如图，过点作，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，如下图， 又∵，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】 本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，画出图形利用数形结合的思想是解决问题的关键． 78．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）最大值为     （3）Q的坐标为或或      【分析】 （1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． (1) 小问详解： 解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； (3) 小问详解： 解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得： （此时M，N与C重合，舍去）或 ， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得： （舍去）或 或 ， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 79．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是　　　　　　； （2）若恒成立，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是： （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：① 当时；当时；③ 当时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∵函数，， ∴抛物线开口向上 ∴当时，有最小值为； ∵当时，；当 时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为； （2）① 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； ② 当时， ∵抛物线开口向上，当时，有最小值， ∴当时，有最大值为，或当时，有最大值为， 又， ∴，或 解得或； ③ 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 80．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）已知二次函数（，，为常数，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论： ①；②；③； ④方程的两个实数根为，，且，则； ⑤若为任意实数，则．其中正确的结论是　　　　　．（填序号） 【答案】② ④ ⑤ 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 由二次函数图象与x轴的一个交点坐标为和对称轴，可求得另一个交点坐标为，从而得到函数表达式为．由可得，进而求得．再逐个结论判断． 【详解】 ∴另一个交点坐标为， ∴二次函数可表示为． 当时，， ∵， ∴， 即． 由对称轴，得， ∴． ∵， ∴． ①： ∵，，， ∴， 故① 错误． ②： 当时，， 代入， 得， ∵， ∴，即， 故② 正确． ③： ∵， ∴， 故③ 错误． ④ 方程的两个实数根为，且，则： 方程的根为函数与的交点横坐标． ∵抛物线开口向下()，与x轴交于和，顶点横坐标，顶点纵坐标， ∴， ∵， ∴， ∴与抛物线有两个交点，且在x轴与交点之间， 即， 故④ 正确． ⑤： ∵抛物线开口向下，，， ∴顶点纵坐标为， ∴，故⑤ 正确． 故答案为② ④ ⑤ ． 81．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）与轴交于点和点，与轴交于点． （1）当抛物线的对称轴是直线时， ①求抛物线的解析式； ②若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），向是否存在一点，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积与点的坐标；若不存在，试说明理由； （2）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为，若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）① 抛物线的解析式为；② 存在点，使的面积最大，最大面积为8     （2）      【分析】 （1）① 根据抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线，列出方程求出，即可求出抛物线的解析式． ② 先求出点和点的坐标，如图，连接，过点作轴，交于点，求出直线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，得出，再根据二次函数的性质求解即可． （2）先求出，根据点在拋物线上，得出，则抛物线的解析式为，根据，得出，根据将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为，得出，过点作轴于的点H，证明，则，，得出，根据点在抛物线上，将代入抛物线得出，解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：① ∵抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线， ∴ ， 解得：， 则抛物线的解析式为． ② ∵抛物线的解析式为，则点的坐标为， 令，解得：或， 则， ②的面积存在最大值． 如图，连接，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得：， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴存在点使得有最大值，最大值为8 ． (2) 小问详解： 解：点为拋物线与轴交点， ， ∵点在拋物线上， ， ， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点的对应点为， ∴， 过点作轴于的点H， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线可得， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，三角形的面积、方程思想等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 82．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，C是线段上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是，的中点，的度数为　　　　　　　　　　，若，则线段的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】① <度    ② 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，根据等边三角形的性质可得，，，则由平角的定义可得的度数；可证明，设，则，，可求出，则，据此利用二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 设， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为 ∴的值最小为． 故答案为：；． 83．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． （1）求抛物线的解析式及点A，C的坐标； （2）设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； （3）是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1），，     （2），最大值为     （3）不存在这样的点P，使得点E为中点      【分析】 （1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． (2) 小问详解： 解：过点P作轴，交直线于点M， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． (3) 小问详解： 解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 84．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式和点的坐标． （2）连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2），     （3）存在满足条件的点的坐标有．      【分析】 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的性质，根据平行四边形对角线中点坐标相同求点的坐标是解题的关键． ()根据待定系数法，即可求得抛物线的解析式； ()先求出直线解析式，设点的坐标为，点的坐标为，且轴，得的解析式，即可求解； ()分类讨论：当为对角线，当为对角线，当为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将点和点的坐标分别代入抛物线， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； (2) 小问详解： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和的坐标代入， 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上且在线段上方，点在线段上，且轴， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， 此时，点的坐标为； (3) 小问详解： ∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线，设， ① 如图，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ② 当且时，可得： ， ∴或， 在中， 当时，，当时，， ∴或； 综上所述，存在满足条件的点的坐标有． 85．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点B，点E为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若过抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于点H，且，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，点A的横坐标满足．求四边形的面积S的最大值； （3）若点P为抛物线上的一动点，且位于直线的下方，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）最大值为     （3）点P的坐标为．      【分析】 本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数求最值． （1）利用待定系数法求得本题答案； （2）根据题意设D点坐标为，再利用分割法表示出四边形面积，再利用二次函数求最值即可得到本题答案； （3）延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q，先求得直线的解析式，求得，证明，求得点G的坐标为，再求得直线解析式，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：点和点代入抛物线解析式， ∴ ，得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设D点坐标为， ∵平行于y轴， ∴C点横坐标为t． ∵平行于x轴，且A到对称轴的距离是点C到对称轴距离的两倍， 对称轴为直线， ∴，即． 代入解析式得A的纵坐标， ∵，得， ∴D在第四象限的抛物线上． ∴四边形面积， ∴四边形面积， ∵时，S随着t的增大而增大， 故当时，面积S最大值； (3) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为，顶点E的坐标为， 如图，延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q， 设直线的解析式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴即， ， ∴， 即， 在与中， ，，， ∴， ∴， 点G的坐标为； 当时，， ∴ 同理，直线解析式为， 将与联立方程， 得， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， 点P的坐标为． 86．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为；     （2）当时，求点的坐标；     （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或      【分析】 （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，将，代入中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； (3) 小问详解： 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ② 当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③ 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 87．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； （3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在点Q使，此时点Q的坐标为或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图像经过三点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； (3) 小问详解： 解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 88．（25-26学年九上·天津和平·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段． （1）当时， ①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式； （2）当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值． 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）① 由题意可得，，，代入抛物线，求解即可； ② 根据可得，，可得，则为等腰直角三角形，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据可得，得到，根据，得到，再将、、代入抛物线，求解即可； （2）由可得抛物线为，取点，连接，，根据题意可得，，得到，即在线段上运动，设；由，点为第一象限的动点可得点是在以为直径的半圆上运动，取，连接，，可得当取得最小值时，取得最小值，，由二次函数的性质可得当时，最小，此时点，代入抛物线，求解即可． (1) 小问详解： 解：① 由题意可得，，， ∵， ∴，， 将，，代入抛物线可得 ，解得 ， 即抛物线为， 即顶点坐标为； ② 由① 得，，则，即为等腰直角三角形， 分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如下图： 则为等腰直角三角形，设， 由可得，，解得（负值舍去）， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即 将、、代入抛物线可得， ，解得 ， 即抛物线为； (2) 小问详解： 解：由可得抛物线为， 取点，连接，， 由题意可得，，，， ∴， ∴，即在线段上运动， 设直线为，将，代入可得， ，解得 ，即， 故设， 由，点为第一象限的动点，可得点是在以为直径的半圆上运动， 取，连接，，如下图： 则， 由三角形三边关系可得，，当、、共线时，取得等号， 则当取得最小值时，取得最小值，， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，即取得最小值，此时点， 将、代入抛物线可得， ，解得 ， 即． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握性质的应用． 89．（25-26学年九上·天津南开·期中）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴的交点，点的坐标为． （1）当，时． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线对称轴上． ①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式； ②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 【答案】（1）①，；②最大值为，     （2）①②      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）① 待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标；② 求出的解析式，进而表示出点的坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）① 根据对称性得到，进行求解即可；② 两点式写出解析式为，根据对称性得到，进而得到① ，作点关于轴的对称点，连接，根据等边对等角，三角形的外角推出，进而得到② ，求解即可. (1) 小问详解： 解：① 当，时，， 把代入，得：，解得， ∴， 当时，解得， ∴； ② ∵， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； (2) 小问详解： ① ∵，，， ∴， ∴当时，，即， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴，解得， ∴或（不合题意，舍去）； ② ∵抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ∴点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴① ； 作点关于轴的对称点，连接， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴② ， 由① 可知，，代入② ，得， 解得或（舍去）， ∴，解得（负值舍去）； ∴. 90．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，) 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【详解】 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0）， ∴ 解得a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6． ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）． （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°． ∵PD平行于x轴，PE平行于y轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值． 设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d， 把A（6，0），C（0，6）代入得 解得k＝－1，d＝6， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋6． 设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF． ∵点F在线段MN的垂直平分线AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x轴． 由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6， 当x＝时，y＝， ∴F（，）， ∴点N的纵坐标为． ∵点N在抛物线上， ∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝， ∴点N的坐标为（，）或（，）． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 【答案】C 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 2．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 3．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】 解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 4．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）抛物线的部分图像如图所示，则当时，x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 由抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，再观察图象即可确定时自变量的取值范围，从而确定答案． 【详解】 因为抛物线过点，对称轴是，根据抛物线的对称性可知,抛物线必过另一点， 因为抛物线开口向下，时，图象在x轴的上方， 此时，． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是本题最大的特点． 5．（25-26学年九上·天津河西·期中）下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将代入，得，令，解得，，可知该函数图象过点，，；该函数图象的对称轴是直线；该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为；根据，可知该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位． 【详解】 解：将代入， 得， 该函数图象过点． 令， 解得，， 该函数图象过点，． 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象的对称轴是直线， 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象过点，， 该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为， 故选项正确，符合题意； ， 该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位， 故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26学年九上·河北·期中）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论： ①； ②； ③若关于的方程有实数根，则； ④若抛物线过点，则． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，判别式及方程根的存在性条件，解题时要熟练掌握二次函数的性质与代数变形技巧是关键，结合条件解参数范围时要注意分母符号． ① 根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判断出；② 根据抛物线（，，是常数）过和两点，且，由对称轴与根的关系即可求得；③ 抛物线（，，是常数且）与直线有交点，可知抛物线的顶点纵坐标大于等于，列出不等式化简即可；④ 根据题意代入已知点构建方程，可得出，则，根据，即可得出关于的不等式，解不等式即可。 【详解】 解：抛物线（，，是常数）过和两点，且， ，即， 故② 正确； 对称轴在轴右侧， ， ， 故① 正确； 若关于的方程有实数根， 抛物线（，，是常数且）与直线有交点， ， 抛物线开口向下， 抛物线的顶点纵坐标大于等于， ， ， 故③ 错误； 抛物线（，，是常数且））过和， ，解得 ， 抛物线（，，是常数且）过和两点， ， ， ， ， ， ， ， 故④ 正确， 故正确的结论有：① ② ④ ， 故答案选：C． 7．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知函数与x轴有交点，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 分函数为一次函数和二次函数时分类讨论即可. 【详解】 解：当函数为一次函数时，，即， 此时一次函数与x轴必有交点； 当函数为二次函数时，根据题意得，且， 解得且； 综上所述，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了函数图象与系数的关系，对于二次函数，抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 8．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（       ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 【答案】C 【分析】 根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图像的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的图像与性质解答． 9．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知二次函数（，，是常数，）的图象与轴的一个交点的坐标为，其对称轴为直线．有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大，则的最大值为； ③若是方程的两个根，则且． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴交点问题等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 由对称轴直线可得，由交点可得，结论①代入计算；结论②利用开口向下时递增范围为，结合条件求；结论③将方程转化为函数与水平线的交点，结合函数图像分析根的位置． 【详解】 解：∵ 对称轴直线 ， ∴ ，即 ， ∵ 点在函数上图象， ∴ ， 代入得，即 ， ∴ ； 结论①： ， ∵ ， ∴ ，故①正确； 结论②： ∵ ，函数开口向下，在 时随增大而增大。 若当 时随增大而增大， 则，即 ， ∴ 的最大值为，故②正确； 结论③： 方程 即， 函数开口向下，与轴交于和， ∴顶点为， ∵，， ∴ 方程有两个根，分别位于 和， 即且，故③正确； 综上，正确结论个数为3， 故选：D． 10．（25-26学年九上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】 解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 11．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知二次函数，求： （1）函数图像的顶点坐标及最大值； （2）函数图像与x轴的交点坐标； （3）当时，x的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标，最大值4     （2）和     （3）      【分析】 本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数图像的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式可得顶点坐标，再根据函数开口向下可知顶点的纵坐标即为该函数的最大值； （2）求出函数值为0时的自变量的值； （3）开口向下，且顶点在x轴上方的二次函数在与x轴两个交点之间的函数值满足大于0，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的顶点坐标为，且函数开口向下， ∴函数的最大值为4； (2) 小问详解： 解：在中，当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和； (3) 小问详解： 解：∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴上方， ∵二次函数开口向下，且与x轴的交点坐标为和， ∴当时，． 12．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】 解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 13．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出． 【详解】 解：∵二次函数中，图象的开口向上， 又∵二次函数的图象都在x轴的上方， ∴抛物线的图象与轴没有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据抛物线与x轴只有一个交点得到的判别式等于0直接求解即可得到答案； 【详解】 解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴的判别式等于0， 即：， 解得：， 故答案为：2； 【点睛】 本题考查抛物线与一元二次方程关系，抛物线与x轴交点只有一个，两个，无交点． 15．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 16．（25-26学年九上·天津南开·期中）将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 题目主要考查二次函数图象的平移，与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将抛物线向上平移2个单位，新抛物线方程为 ，再令求解与x轴的交点坐标即可． 【详解】 解：将抛物线 向上平移2个单位长度，新抛物线的方程为 ， 令 ，得 ，即 ， 解得， ∴平移后的新抛物线与x轴交点的坐标为 ， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·天津部分·期中）如果二次函数的图象与x轴交于点，那么方程的根是　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的解的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为的根求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴方程的根是，， 故答案为：，． 18．（25-26学年九上·天津河东·期中）若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点个数由决定，当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点． 【详解】 解：二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 解得：， 故答案为：． 19．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，抛物线与直线相交于点，．则关于的不等式的解集是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键． 不等式的解集即为抛物线在直线上方时所对应的交点横坐标的范围，据此即可根据图象求解． 【详解】 解：∵抛物线与直线相交于点，． ∴的解集是， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】 解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则 ， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 21．（25-26学年九上·天津北辰·期中）已知抛物线的对称轴为直线，请你解答下列问题：    （1）求m的值及顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图像； （3）当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）； （4）当时，x的取值范围是______________． 【答案】（1），顶点坐标为     （2）A，B     （3）减少     （4）      【分析】 （1）利用抛物线对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）根据（1）所求的函数解析式，求出当时，x的值，即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再描点，连线画出对应的函数图像即可； （3）（4）利用图像法求解即可. (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴；                            ∴抛物线解析式为． ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线解析式为． 令，则； 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，，      函数图像如图所示； (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； (4) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，对于二次函数，其对称轴为直线，对于二次函数，其顶点坐标为；二次函数与x轴交点的横坐标即为方程的解；画二次函数图像一般利用列表，描点，连线的方法；二次函数的增减性与二次项系数有关，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 【答案】（1）减小     （2），3     （3）     （4）      【分析】 （1）结合二次函数图象即可作答； （2）根据图象可知抛物线交x轴于点、点，则问题即可得解； （3）结合二次函数图象即可作答； （4）将方程变形为：，根据图象可知，若，则原方程没有实数根，问题得解． (1) 小问详解： 解：根据二次函数图象可知：时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； (2) 小问详解： 解：根据图象可知：抛物线交x轴于点、点， 则的根为：、， 故答案为：，3； (3) 小问详解： 解：根据图象可知：时，y＜0，最小值为， 即y的取值范围为：； (4) 小问详解： 解：将方程变形为：， 根据二次函数图象可知： 若，则原方程没有实数根， 即此时， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想，是解答本题的关键． 23．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知二次函数的解析式为． （1）写出该二次函数图象的开口方向，并通过计算说出它的对称轴和顶点坐标； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为      （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解； （2）根据二次函数的开口方向和增减性可进行求解． (1) 小问详解： 解：把二次函数配成顶点式得：， ∴，即开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 小问详解： 令时，则有， 解得：， 由（1）可知：开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，则x的取值范围是． 24．（25-26学年九上·天津西青·期中）已知抛物线（b为常数）与x轴相交于A，两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求b的值及点A，C的坐标； （2）抛物线上一点M在直线下方，其横坐标为m，过点M作轴，与线段相交于点N，过抛物线的顶点P作y轴的平行线，与线段相交于点Q，若，求m的值． 【答案】（1），，     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入可求出b的值，再分别令和，即可求解； （2）先求出点，再求出直线的解析式，可得点，从而得到，根据题意可得点，从而得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，，即点， ∴， ∵， ∴， ∵点M在直线下方，其横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∴， 解得：或． 25．（25-26学年九上·天津河东·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围__________； （2）此二次函数的解析式是__________ （3）当时，的最大值是__________； （4）当时，的取值范围是__________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 【答案】（1）或     （2）     （3）3     （4）     （5）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 由图象可知，当时，的取值范围为或； (2) 小问详解： 由（1）可知，图象经过，， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； (4) 小问详解： 由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 当时，函数有最小值为； ∴； (5) 小问详解： ∵， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 26．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）若抛物线（m是常数）与x轴只有一个交点A，则点A的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点，由抛物线与x轴只有一个交点，可知判别式为零，从而求出m的值，再代入抛物线方程得到顶点坐标，即为交点坐标． 【详解】 解：抛物线与x轴只有一个交点， ∴． 解得． 代入得． 当时，， 解得． ∴点A的坐标为． 故答案为：． 27．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，根据图象回答下列问题： （1）点A坐标为______，方程的解是______； （2）当x取何值时，？______； （3）若二次函数的图像与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】（1）；，     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，包括函数解析式确定、与坐标轴交点、一元二次方程的解、函数值取值范围及函数与直线的交点问题；解题的关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合二次函数的顶点特征、开口方向分析对应问题． （1）将点代入函数解析式求出的值；令解一元二次方程，所得根即为方程的解，也是点、的横坐标． （2）令求出对应的值，根据二次函数开口向上的性质，确定时的取值范围． （3）将二次函数化为顶点式，求出顶点纵坐标（函数最小值），结合开口方向确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵ 函数过点， ∴ 代入得，解得，函数解析式为， 令，则， 因式分解得，解得，． ∴ 点坐标为，方程的解为，． 故答案为：；，． (2) 小问详解： 令，则 化简得，解得， ∵ 函数开口向上， ∴ 当或时，． 故答案为：或； (3) 小问详解： ∵ 开口向上，顶点纵坐标为（函数最小值） ∴ 当时，直线与抛物线有两个交点 故答案为：． 28．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数与不等式的关系，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】 解：由图象可得抛物线对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与与轴另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 29．（25-26学年九上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3），．      【分析】 （1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； (2) 小问详解： 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； (3) 小问详解： 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】 解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 2．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】 设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③ 菜园面积的最大值为，原说法正确； ② 当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 3．（25-26学年九上·天津西青·期中）一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的应用，握手问题，正确列出二次函数表达式是解题的关键． 每个人与其他人握手次，但每次握手被计算两次，因此总次数为，即可解答． 【详解】 解：∵ 每个人握手次， ∴ 初步计算总次数为， 但每次握手被两个人各计算一次， ∴ 实际握手次数， 即 ， 故选C． 4．（25-26学年九上·天津部分·期中）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】 解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 5．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】 解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 6．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件求出二次函数的表达式，并结合实际情况判断各结论即可． 【详解】 解：根据函数图象，设抛物线的表达式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为，故① 错误； ∵拱桥的跨度为， ∴抛物线中的取值范围为：， 当水面宽度为时，即，不在抛物线中的取值范围内，且当水面宽度为时，大于拱桥的跨度，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故② 错误； 当水面下降时，即， 把代入得：， 解得，此时水面宽度为， ∵大于拱桥的跨度，且不在抛物线中的取值范围内， ∴当水面下降时，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故③ 错误． 综上，正确结论共个． 7．（25-26学年九上·天津和平·期中）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次函数的实际应用、一元二次方程的解法．铅球落地时高度，解二次方程求x的正根即可． 【详解】 解：当时， 令，得方程， ， 解得（水平距离为正，舍去负根）， 综上，推出铅球的水平距离为， 故选：B． 8．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】 解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴ ， 解得，故① 错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故② 错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③ 正确， 故选：B． 9．（25-26学年九上·天津部分·期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】 解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是① ③ ，共2个， 故选：C． 10．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断① ； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故① 错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故② 错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③ 正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 11．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】 解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， ∴种花的面积的最大值为；故②正确 当，即， ∴， ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，则， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足种花的面积为，故③错误； 综上分析可知：正确的结论有2个． 故选：C． 12．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； ∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故① 正确； 当时，，解得：或； ∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故② 正确； ∵， ∴当时，有最大值为：；故③ 错误； 故选B． 13．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A. y＝（x﹣40）（500﹣10x） B. y＝（x﹣40）（10x﹣500） C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 【答案】C 【分析】 设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式. 【详解】 解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为，每千克赚的钱为 则. 故选C. 【点睛】 此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键. 14．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断① ；根据总利润单件利润销量可判断② ；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③ ． 【详解】 解：① 售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故① 正确； ② 若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故② 正确； ③ 设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③ 正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 15．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定① ；求出抛物线的顶点坐标可判定② ；求出喷头的坐标可判定③ ，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故① 正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故② 正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③ 错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 16．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，有下列结论： （1）垂直于墙的一边长可以为15； （2）矩形苗圃园的最小面积是，最大面积是； （3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为． 其中正确的个数有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函数的性质． 设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为，根据平行于墙的一边长不小于，得出x的取值范围为，从而判断（1）正确；令苗圃的面积为y，根据矩形的面积长乘以宽列出函数解析式，由函数的性质求出最值可以判断（2）；令，解方程求出x，再根据x的取值范围可以判断（3）． 【详解】 解：设垂直于墙一边的长度为，则平行于墙的一边长度为， 由题意知， 解得， ∴垂直于墙的一边长可以为15，故（1）正确，符合题意； 令苗圃的面积为y， 则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为， 当时，y取得最小值，最小值为，故（2）错误，不符合题意； 当苗圃的面积为128时，， 解得， ∵， ∴， ∴垂直于墙的一边长为时，满足矩形苗圃园面积为，故（3）错误，不符合题意； 故选：B． 17．（25-26学年九上·天津西青·期中）某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A. 这种商品的销售利润可表示为 B. 这种商品的销售利润随x的增大而增大 C. 每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D. 若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程与二次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 利润为售价减进价后乘以销量，即利润．该二次函数开口向下，有最大值，通过求顶点或代入值验证选项即可． 【详解】 解：∵这种商品的销售利润可表示为 ， ∴选项A错误， ∵这种商品的销售利润为 ，二次项系数为负， ∴函数开口向下，利润随x增大先增后减，选项B错误． 当0时，利润为； 当时，利润为； ∵， ∴选项C错误． ∵二次函数顶点横坐标， ∴当时，利润最大，选项D正确． 故选D． 18．（25-26学年九上·天津和平·期中）正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据时，点的位置即可判断① ；当时，根据点的位置表示出的面积，即可判断② ；分别令时和时的面积为，根据方程解的个数即可判断③ ． 【详解】 解：① ∵四边形是正方形，， ∴； 由题意知，当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴，故此序号正确； ② 由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为； 当时，点的位置如图所示： 此时，，， 过点作交于点，则有为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误； ③ 由② 知，当时，令， 解得：； 当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴， 令， 化简得：， 解得：（负值舍去）； 综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误； ∴正确的结论有一个．   故选：B． 19．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（     ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】 由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 20．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行　　　　　　才能停下来． 【答案】150 【分析】 本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴当时，有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·河北·期中）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是　　　　　　　　米． 【答案】9 【分析】 根据题意，把代入函数解析式，即可解答． 【详解】 解：水面宽为12米， 点的横坐标为6， 把把代入函数解析式，可得： ， 故水面离桥顶的高度为米， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，读懂题意，结合图形是解题的关键． 22．（25-26学年九上·天津红桥·期中）阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）13元/千克     （3）定价20元/千克时，利润最大，最大利润为1000元      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用，二次函数的图象性质，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读取表中的数据，再运用待定系数法进行列方程，再解得， （2）理解题意，得每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克，根据水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元进行列式，得出，（舍去），即可作答． （3）理解题意，得，根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，设与之间的函数解析式为， 根据题意，得 ， 解得 ， ， ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元． ∴． 即； (2) 小问详解： 解：依题意，每千克阳光玫瑰葡萄获得的利润为元/千克， 根据题意，得． 解得，（舍去）． 当销售单价定为每千克13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄可获得的利润为510元． (3) 小问详解： 解：根据题意，得 ∵， ∴开口向下， 当销售单价为每千克20元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润为1000元． 23．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于20元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）求每件商品降价x元时与该商品每天的销售量y之间的关系式； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 【答案】（1）；     （2）当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握“每每降价问题”的解题方法是解题的关键． （1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式，再利用每件商品利润不少于20元，得出x的取值范围； （2）设商店每天销售利润为w元，由题意得每件商品的利润为元，列出w的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，， ∵每件商品利润不少于20元， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 设商店每天销售利润为w元， 依题意得：， ∵，， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 24．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元； （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】（1）2000     （2）①；② 该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解答关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用． （1）根据“总利润每件的利润每天的销量”可得； （2）① 根据“总利润每件的利润每天的销量”列出函数表达式即可求解； ② 运用二次函数性质即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意可得：商场经营该商品原来一天可获利润（元） 故答案为：2000． (2) 小问详解： ① 依题意得： ∴y与x之间的函数关系式为 ② ∵，且 ∴当时，商店所获利润最大为2250元． 即：该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润． 25．（25-26学年九上·天津北辰·期中）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润            元． （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？ 【答案】（1）2000     （2）①2元或8元；②，      【分析】 （1）根据题意，可以写出商场经营该商品原来一天可获利润的算式，然后计算即可； （2）① 根据题意，根据获利润2160元列出方程，解出方程即可；② 根据题意，可以写出与的函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到当取何值时，商场获利润最大． (1) 小问详解： 解：由题意可得， （元， 答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元； (2) 小问详解： 解：① 依题意得： 即 解得：， 经检验：，都是方程的解，且符合题意． 答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． ② 依题意得： ∴ ∵ ∴y有最大值             ∴当时，商店所获利润最大． 【点睛】 本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式和方程． 26．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　　　　　　m. 【答案】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得：    所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】 考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 27．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）售价应定为元     （3）售价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元      【分析】 本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握一次函数的数量关系式，一元二次方程实际应用，二次函数顶点式求最值是解此题的关键． （1）根据“当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元，    ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意可得，， 整理可得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元． (3) 小问详解： 解：设商场每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元． 28．（25-26学年九上·天津西青·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），其他边利用篱笆围成一个矩形花圃，其中间有一道与平行的篱笆，设花圃的一边长为，面积为． （1）求S与x的函数解析式； （2）若要围成面积为的花圃，求的长是多少米？ （3）求所围成的花圃的最大面积． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出的长，利用矩形面积计算公式可列出对应的函数关系式，再求出x的取值范围即可； （2）根据（1）所求建立对应的方程求解即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∵ ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 解得（舍去）或， 答：的长是； (3) 小问详解： 解： ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为48， 答：所围成的花圃的最大面积为． 29．（25-26学年九上·天津西青·期中）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求水管的高度； （2）若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 【答案】（1）     （2）①；②水管要降低      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得顶点N的坐标和点B的坐标，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，并求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）① 根据题意可得点E的纵坐标为，根据（1）所求解析式求出点E的横坐标即可得到答案；②设降低后的解析式，利用待定系数法求出降低后的解析式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 设经过A、N、B三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 答：水管的高度为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 答：景观射灯与水管的水平距离为； ② 设下降后的抛物线解析式为， ∵下降后的抛物线经过， ∴， ∴， ∵， ∴水管要降低， 答：水管要降低． 30．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】（1），自变量的取值范围为     （2）为24元/千克     （3）当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元      【分析】 本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得 ， ∴， 自变量的取值范围为； (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； (3) 小问详解： 解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 31．（25-26学年九上·天津南开·期中）某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． （1）填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； （2）求与之间的函数关系式； （3）填空：若，则的值为______； （4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 【答案】（1）①；②；     （2）     （3）60或80     （4）当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元．      【分析】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）① 根据题意列代数式即可；② 根据题意列出不等式求解即可； （2）根据题意可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）根据销售利润达到8000元，列出方程求解即可； （4）根据（2）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． (1) 小问详解： 解：① 根据题意得：每月的销售量是千克，即千克， 故答案为：； ② ∵月销售量为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为： (2) 小问详解： 由题意可得，， 即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是； (3) 小问详解： 根据题意得：令， 解得， ∴的值为60或80 ， 故答案为：60或80； (4) 小问详解： ∵， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 32．（25-26学年九上·河北·期中）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； （3）电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）W最大值（元）     （3）销售单价为110元      【分析】 本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． (1) 小问详解： 解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入， 得 ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 依题意，， ， 时，W有最大值， W最大值元； (3) 小问详解： 依题意，当时，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 33．（25-26学年九上·天津部分·期中）一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为元，从销售中记录发现，当每件售价为元时，每天可售出件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价元，则每天就可多售出件． （1）若活动期间每件秋装的售价为元，这款秋装每天销售多少件？ （2）要想每天销售这款秋装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）每天销售这款秋装盈利的最大值是多少元？ 【答案】（1）件     （2）元     （3）元      【分析】 （）根据题意列出算式计算即可求解； （）设每件应降价元，根据题意列出方程即可求解； （）设每天盈利为元，每件应降价元，根据题意求出与之间的函数关系，再根据函数的性质解答即可求解； 本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确列出方程和二次函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 答：每天销售件； (2) 小问详解： 解：设每件应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：每件应降价元； (3) 小问详解： 解：设每天盈利为元，每件应降价元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：每天销售这款秋装盈利的最大值是元． 34．（25-26学年九上·天津河东·期中）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个． （1）设每个电子产品降价元，则每周可销售__________个； （2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？ （3）设商户每周盈利元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）10元     （3）每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）根据售价每降低1元，平均一周可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设每个电子产品降价元，由题意，每周可销售个； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，， 解得，， 尽量减少库存， ． 答：每个电子产品降价10元． (3) 小问详解： 根据题意得：， ， 当时，取得最大值，最大值为5290． 答：每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元． 35．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？ （3）降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 【答案】（1）；     （2）降价元时，商家每星期获得利润5280元     （3）降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元      【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）① 根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；② 根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． (1) 小问详解： ① 每件商品的利润为元， 故答案为：； ② 每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：降价元时，商家每星期获得利润5280元． (3) 小问详解： 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 36．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元     （2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元      【分析】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； (2) 小问详解： 解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 37．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上在x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时y的值为1920？ （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x为整数）     （2）     （3）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元      【分析】 （1）根据商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，列出关系式求解即可； （2）根据（1）所列关系式把代入求解即可； （3）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解： （，且x为整数） (2) 小问详解： 解： ，， 解得或， ∵， ∴， ∴当时，y的值为1920； (3) 小问详解： 解：由（1）知，． ∵， ∴开口向下 ∴当时，y取最大值，元： ∴每件商品的售价为34元， 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意求出y与x的函数关系式． 38．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． （1）用含x的代数式表示矩形的另一边的长． （2）当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】（1）     （2）当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米．      【分析】 本题考查了列代数式及二次函数的实际应用（最值问题）；解题的关键是根据木栏总长、门的宽度列出的表达式，结合墙的长度确定自变量取值范围，再利用二次函数性质求面积最大值． （1）根据木栏总长米、两处门共2米宽，以及垂直于墙的木栏共3段及中间分隔栏），列出等式推导的表达式； （2）根据矩形面积公式列出二次函数，结合墙的最大长度确定x的取值范围，利用二次函数开口方向和对称轴求最大面积． (1) 小问详解： 解：∵ 长为x米，中间用垂直于墙的木栏隔开，故垂直于墙的木栏共3段，每段长x米； 两处门各1米宽，木栏总长米， ∴ 木栏总长满足， 解得 即． (2) 小问详解： 解：∵ 墙最大可用长度为12米，且， ∴ ， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴ 的取值范围为． 矩形面积， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， 对称轴为． ∵ 对称轴在取值范围的左侧， ∴ 函数在上单调递减， ∴ 当时，面积最大， 最大面积（平方米）． 答：当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 39．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． （1）写出y与x之间的函数关系式： （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）     （3）零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：； (2) 小问详解： 解：由题意可得：； (3) 小问详解： 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 40．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）3元     （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. (3) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 41．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的边为多少时，猪舍面积为？ （2）所围矩形猪舍的边为多少时（为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）     （2）,      【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是解题的关键． (1) 设.则，根据题意列式即可； (2) 设，所围矩形猪舍的面积为，列出二次函数解析式，根据二次函数性质和猪舍的边的取值范围即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设，则， 由题意得：， 解得：， 又∵墙长， ∴， ∴， ∴． 答：为时，猪舍的面积为； (2) 小问详解： 设，所围矩形猪舍的面积为，则， ∵， ∴， ∵ ∴图象开口向下， ∴在对称轴的右侧随增大而减小， ∵为整数， 即当时，． 答：为时，面积最大，最大面积是． 考点06 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，点B是反比例函数（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（　　） A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6 【答案】B 【详解】 解：∵矩形AOCB的面积为6， ∴OA·AB=6， ∵点B是反比例函数（k≠0）在第一象限内图象上的一点， ∴k的值为6． 故选：B． 2．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】 将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】 本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $