第三部分 题型二 填空多解题、多空题（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

题型二 填空多解题、多空题 类型1　多解题　 　　　　　　　 　　　　　　　 1.(2024雅安)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数是　　　　.  (第1题)　　　(第3题) 2.(2025上海)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点,且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边,那么这个角的大小是　　　　.  3.(2025武汉)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=2,点D在边AC上,CD=3.若点E在边AB上,满足CE=BD,则AE的长是 . 4.新考法定义“反直角三角形”　(2025河南)定义:有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点,若△APC为“反直角三角形”,则BP的长为　　　　　　.  (第4题)　　　(第5题) 5.(2025江西)如图,在矩形纸片ABCD中,沿着过点A的直线折叠纸片并展开,AB的对应边为AB',折痕与边BC交于点P.当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15°时,∠APB的度数可以是 . 6.(2025齐齐哈尔)等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,将纸片沿直线l折叠,使点A与点B重合,直线l交AB于点D,交直线AC于点E,连接BE,若AE=5,tan∠AED=,则△BEC的面积为　　　　.  7.(2025龙东地区)如图,在矩形ABCD中,AD=6,∠CAD=60°,点E是边CD的中点,点F是对角线AC上一动点,作点C关于直线EF的对称点P,若PE⊥AC,则CF的长为　　　　.  8.(2025绥化)在边长为7的等边三角形ABC中,点D在AB上,BD=2.点M是直线BC上的一个动点,连接MD,以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND,连接BN.当△BND为直角三角形时,CM的长是　　　　.  类型2　多空题 9.(2025天津)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E在边BC上,且EC=2BE. (1)线段AE的长为　　　　;  (2)F为CD的中点,M为AF的中点, N为EF上一点,若∠FMN=75°,则线段MN的长为　　　　.  (第9题)　(第10题)　(第11题) 10.(2025成都)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,AD=3,CD=2,∠CBD=45°,则tan∠ACB的值为　　　　;点E在BC的延长线上,连接DE,若∠CED=∠ABD,则CE的长为 .  11.(2025重庆)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接AC.以AC为边作菱形ACDE,CD交☉O于点F,AB⊥CD,垂足为G.连接AD,交☉O于点H,连接EH.若AG=12,GF=5,则DF的长度为　　　　,EH的长度为　　　　.  12.(2024成都)在平面直角坐标系xOy中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是二次函数y=-x2+4x-1图象上三点.若 0<x1<1,x2>4,则y1　　　　y2(填“>”或“<”);若对于m<x1<m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在y1<y3<y2,则m的取值范围是　　　　.  13.(2024河北)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点. (1)△AC1D1的面积为　　　　;  (2)△B1C4D3的面积为　　　　.  14.(2025湖北)如图(1),在△ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AB=n cm.动点P,Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发,点P沿折线C→B→A向点A运动,点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动到点A时,两点都停止运动.△PCQ的面积S(单位:cm2)与运动时间t(单位:s)的关系如图(2)所示.(1)m=　　　　;(2)n=　　　　.  图(1)　　　　　　　图(2) 15.(2024安徽)如图,现有正方形纸片ABCD,点E,F分别在边AB,BC上.沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN,点B,C分别落在正方形所在平面内的点B',C'处,然后还原. (1)若点N在边CD上,且∠BEF=α,则∠C'NM=　　　　(用含α的式子表示).  (2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH,点G,H分别在边CD,AD上,点D落在正方形所在平面内的点D'处,然后还原.若点D'在线段B'C'上,且四边形EFGH是正方形,AE=4,EB=8,MN与GH的交点为P,则PH的长为　　　　.  题型二填空多解题、多空题 1 30°或150° 2 108°或36° 【解析】分两种情况讨论.①当角(∠ABC)的顶点在圆上时,如图,此时☉O交∠ABC的两边,截得的两条弦为AB,BC,根据题意可得∠ABC是正五边形ABCDE的一个内角,∴∠ABC==108°.②当角(∠AFC)的顶点在圆外时,☉O交∠AFC的两边,截得的两条弦为AE,CD,根据题意可得∠FED=∠FDE==72°,∴∠F=180°-72°-72°=36°.综上所述,这个角的大小是108°或36°. 3 7或9 【解析】如图,在AB上取点E1,使BE1=CD=3.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又BC=CB,∴△CBE1≌△BCD,∴CE1=BD,满足题意,此时AE1=7.过点C作CF⊥AB于点F,设BF=x,则AF=10-x.易知CF2=BC2-BF2=AC2-AF2,∴(2)2-x2=102-(10-x)2,解得x=2,∴BF=2,∴E1F=1.在AB上取点E2,使E2F=E1F=1,则CE2=CE1=BD,满足题意,此时AE2=9.综上,若点E在边AB上,且满足CE=BD,则AE的长是7或9. 4 或 【解析】如图(1),过点A作AH⊥BC于点H.∵AB=AC=5,BC=8,∴∠B=∠C,BH=HC=4,∴AH=3. 　　　　图(1) 当∠CAP为钝角时,如图(2),过点A作AG⊥AC,交BC于点G.若△APC是“反直角三角形”,则∠PAC=90°+∠C或∠PAC=90°+∠APC,∴∠PAG=∠C或∠PAG=∠APC,易知这两种情况均不成立. 图(2) 当∠APC为钝角时,若△APC是“反直角三角形”,则∠APC=90°+∠C或∠APC=90°+∠PAC.故分两种情况讨论. 当∠APC=90°+∠C时 当∠APC=90°+∠PAC时 图(3) 如图(3),∵∠APC=∠BAP+∠B,∠B=∠C,∴∠BAP=90°.∵cos B==,∴=,∴BP=. 图(4) 如图(4),∵∠APC=90°+∠2,∴∠1=∠2.过点P作PD⊥AC于点D,则PD=PH(提示:角平分线的性质).又AP=AP,∴Rt△AHP≌Rt△ADP,∴AD=AH=3,∴CD=AC-AD=5-3=2.∵cos C==,∴=,∴CP=,∴BP=8-=. 综上可知,BP的长为或. 5 82.5°,52.5°或37.5° 【解析】分三种情况讨论.①当∠BAB'=15°时,如图(1)所示,则∠BAP=×15°=7.5°,∴∠APB=90°-7.5°=82.5°.②当∠DAB'=15°,且点B'在AD下方时,如图(2)所示,则∠BAB'=90°-15°=75°,∴∠BAP=×75°=37.5°,∴∠APB=90°-37.5°=52.5°.③当∠DAB'=15°,且点B'在AD上方时,如图(3)所示,则∠BAB'=90°+15°=105°,∴∠BAP=×105°=52.5°,∴∠APB=90°-52.5°=37.5°.综上可知,∠APB的度数为82.5°,52.5°或37.5°. 图(1)　　　　　　　　　　　图(2) 图(3) 6 或 【解析】如图(1),当∠BAC为锐角时,易知∠ADE=90°.∵tan∠AED==,∴设AD=3x,DE=4x,∴AE=5x=5,∴x=1,∴AD=3,DE=4.由折叠的性质知AD=BD,∴AB=2AD=6,∴AC=6.过点C作CF⊥AB于点F,则CF∥DE,∴△ADE∽△AFC,∴=,即=,∴CF=,∴S△BEC=S△ABC-S△ABE=AB·(CF-DE)=.如图(2),当∠BAC为钝角时,过点B作BG⊥CE于点G.同理可得DE=4,AC=AB=6.∵AE=5,∴CE=AC+AE=11.∵∠BAG=∠EAD,∠AGB=∠ADE,∴△BAG∽△EAD,∴=,即=,∴BG=,∴S△BEC=CE·BG=×11×=.综上,△BEC的面积为或. 　　　 图(1)　　　　　　　　　　　　图(2) 7 3或9 【解析】连接PC,设PC交直线EF于点G,直线PE交AC于点H.分两种情况讨论.①当点P在AC上方时,如图(1).易知CD=AD=6.∵E是边CD的中点,∴CE=CD=3.由对称的性质得PE=CE,∠EGC=∠EGP=90°.易知∠CEH=∠CAD=60°,∴∠PEC=120°,∴∠PCE=(180°-∠PEC)=30°.又∠FGC=90°,∠ECF=30°,∴∠EFC=30°,∴∠EFC=∠ECF,∴EF=EC,∴CH=FH=CF.在Rt△CEH中,CE=3,∠HCE=30°,∴CH=CE·cos∠HCE=3×=,∴CF=2CH=9.②当点P在AC下方时,如图(2),∵PE⊥AC,∠ACD=30°,∴∠CEP=60°,CH=CE·cos∠ACD=3×=.由对称的性质得PE=CE,∴△CEP是等边三角形,∴∠P=60°,PE=PC=CE=3,∴∠HEF=30°,EH=PH=PE=,∴HF=EH·tan∠HEF=×=,∴CF=CH-HF=3.综上,CF的长为3或9. 　　　　　 图(1)　　　　　　　　　　图(2) 8 6,8或9 【解析】过点D作DE∥AC交BC于点E.当A,B,C三点顺时针排序时,易知∠BND<∠DNM=60°,故分两种情况讨论.当∠DBN=90°时,如图(1),连接EN.易知BE=BD=2,∠DEB=∠DBE=60°.易证△DEN≌△DBM(SAS),∴∠DEN=∠DBM=180°-60°=120°,BM=EN,∴∠BEN=∠DEN-∠DEB=60°.又∠EBN=∠DBN-∠DBE=30°,∴∠BNE=90°,∴EN=BE=1,∴BM=1,∴MC=BC+BM=7+1=8.当∠BDN=90°时,如图(2),∵∠MBD=60°,∠BDM=∠BDN-∠MDN=90°-60°=30°,∴∠DMB=90°,∴BM=BDcos 60°=2×=1,∴CM=BC-BM=6.当A,B,C三点逆时针排序时,易证△DBN≌△DEM,∴∠DBN=∠DEM=60°.故分两种情况讨论.当∠BND=90°时,如图(3),则∠DME=∠BND=90°,∴∠DMB=90°,∴BM=BDcos 60°=2×=1,∴CM=BC-BM=6.当∠BDN=90°时,如图(4),易得DE=BE=BD=2,∠DEM=60°,∠MDE=∠NDB=90°,∴CE=BC-BE=5,ME===4,∴CM=ME+CE=9.综上可知,CM的长为6,8或9. 图(1)　　图(2) 图(3)　　图(4) 9 (1)　(2) 【解析】(1)由BC=3,EC=2BE可知,BE=1,EC=2,∴AE===.(2)∵F为CD的中点,CD=AB=2,∴CF=DF=CD=1,∴AF===,EF===.∵()2+()2=()2,即AE2+EF2=AF2,∴∠AEF=90°(依据:勾股定理的逆定理).又∵AE=EF,∴∠EFA=∠EAF=45°.如图,过点M作MH∥AE交EF于点H,则∠MHF=∠AEF=90°,∴∠FMH=45°,∴∠NMH=∠FMN-∠FMH=30°.易知MH为△AEF的中位线,∴MH=AE=(依据:三角形中位线定理),∴MN===. 10 4　 【解析】如图,延长CA至点F,使AF=AC=5,连接BF.又∵AB=AC,∴点B在以CF为直径的圆上,∴∠FBC=90°.又∵∠CBD=45°,∴BD平分∠CBF,∴tan∠ACB====4(点拨:利用132页小栏目“与角平分线相关的重要结论”).设BC=x,则BF=4x,∴CF=x=10,解得x=,即BC=.过点D作DG∥BC交AB于点G,则∠BGD+∠ABC=180°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB+∠ACE=180°,∴∠BGD=∠ACE.又∵∠CED=∠ABD,∴△CED∽△GBD,∴=(点拨:后续可据此列出关于CE的方程).易得BG=CD=2.∵DG∥BC,∴△AGD∽△ABC,∴==,∴DG=BC=×=,∴=,解得CE=. 11 3　 【解析】∵AB⊥CD,GF=5,∴CG=GF=5(依据:垂径定理).又AG=12,∴AC==13.∵四边形ACDE是菱形,∴CD=AC=13,∴DG=CD-CG=8,∴AD==4.如图,连接BC,BH.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠AHB=90°=∠AGC=∠AGD(依据:直径所对的圆周角是直角).又∵∠CAB=∠GAC,∴△AGC∽△ACB,∴=,即=(点拨:利用相似得到线段比例关系,进而求长),∴AB=.同理可证△AHB∽△AGD,∴=,即=,∴AH=.∵CD∥AE,∴∠DAE=∠CDA.过点H作HM⊥AE于点M,则∠HMA=90°=∠AGD,∴△HAM∽△ADG,∴==,即===,∴HM=,AM=,∴EM=AE-AM=,∴EH==. 12 >　-<m<1 【解析】第一个空:画出二次函数的大致图象如图(1)所示,易知当x=0或4时,y=-1,结合图(1)上标注可知,y1>y2. 图(1) 第二个空:图(2)是第一种极限位置,其中点A'略低于点C',即点B'在对称轴左侧,∴m+1<2,∴m<1.图(3)是第二种极限位置,其中,点B'略高于点C',即对称轴在直线x=的左侧,∴>2,解得m>-,综上可知,m的取值范围为-<m<1. 图(2)　　　　图(3) 13 (1)1　(2)7 【解析】(1)∵△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,∴S△ACD=S△ABC=1.由题意知AD=AD1,AC=AC1.又∵∠CAD=∠C1AD1,∴△ACD≌△AC1D1(SAS),∴=S△ACD=1.(2)如图,连接B1D1,同上易证△AB1D1≌△ABD,∴=S△ABD=1,∠B1D1A=∠BDA.又∵∠BDA+∠CDA=180°,∠CDA=∠C1D1A,∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,∴C1,D1,B1三点共线,∴=1+1=2.∵AC4=4AC1,∴=4=8.连接D1C4,则=4=4,∴=3=12.易得=3=3,∴=+-=12+3-8=7. 14 (1)8　(2)12 名师教解题 将得到的信息标注如图(1)所示: 图(1) 当t=4时,CP=4=BC,CQ=4,故点P与点B重合,如图(2).易知m=×4×4=8.当t=10时,点P在AB上,如图(3).CQ=10,CB+BP=10,∴BP=6.过点P作CQ的垂线,垂足为D,则×PD×10=10,∴PD=2.∵∠ADP=∠ACB=90°,∴PD∥BC,∴△APD∽△ABC,∴==,∴AP=BP=6,∴AB=12,即n=12. 图(2)　　　　　　　　　图(3) 15 (1)90°-α　 (2)3 【解析】(1)由题意可知EF⊥MN,则∠AMN=90°-∠BEF=90°-α.又AB∥CD,∴∠CNM=∠AMN=90°-α.由折叠的性质可知∠C'NM=∠CNM=90°-α.(2)如图,设C'N与GH交于点Q.由四边形ABCD和EFGH都是正方形,易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(全等模型——一线三直角:),∴DG=BE=8,CG=AE=4.由折叠性质可知CN=C'N,∠MNC'=∠MNC.又GH⊥MN,∴∠NQG=∠NGQ,∴NQ=GN,∴CN-GN=C'N-NQ,∴C'Q=CG=4(关键点).由折叠可知D'G=DG=8.∵∠HC'Q=∠HD'G=90°,∴C'Q∥D'G,∴△HC'Q∽△HD'G,∴===,即点Q是GH中点.在△GNQ中,NQ=GN,PN⊥GQ,则PQ=PG(依据:等腰三角形“三线合一”),∴PH=GH=×=×4=3. 学科网（北京）股份有限公司 $