专题03 旋转（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦旋转专题，整合天津多区期中真题，覆盖图形旋转、中心对称等4大考点，以风力发电机、轨道交通标志等真实情境设题，基础与综合题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约25题|图形旋转性质、中心对称图形识别|结合生活场景（如风力发电机叶片旋转角计算）| |填空|约15题|旋转坐标变换、中心对称点坐标|考查空间观念（如正方形旋转后公共部分面积）| |解答|约20题|旋转综合证明、动态几何问题|注重逻辑推理（如旋转与等腰直角三角形结合证明）|

专题03 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．C 17．B 18．D 19．D 20．D 21．D 22．C 23．D 24．C 25．A 26．A 27．C 28．【答案】（1）旋转中心是，旋转角是     （2）     （3）      【分析】 （1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． (1) 小问详解： 解：旋转中心是，旋转角是； (2) 小问详解： 延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． (3) 小问详解： ， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 29．【答案】20 【分析】 由旋转的性质得到∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】 解：由旋转的性质得：∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°， ∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣60°）＝20°， ∵∠B＝∠D，∠AGF＝∠DFB+∠D＝∠BAD+∠B， ∴∠DFB＝∠BAD＝20°． 故答案为：20． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质. 30．【答案】60 【分析】 本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到， ∴． ∵点恰好落在的延长线上， ∴． 故答案为：60． 31．【答案】3 【分析】 本题主要考查的是旋转的性质，含有30°角直角三角形的性质和三角形三边关系，能够综合调动所学知识，得出P、C、M的关系即可就得答案． 【详解】 解：如下图，连接． 在中， ∵ ∴ 根据旋转不变性可知， ∵P是的中点 ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴， 又∵ 即， ∴的最大值为3，(此时P、C、M共线)． 故答案为：3． 32．【答案】（1）点A，90°；（2）等腰直角；（3） 【分析】 （1）根据图形和已知即可得出答案． （2）根据旋转得出全等，根据全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF，AE=AF，求出∠EAF=∠BAD，即可得出答案． （3）求出AE，求出AF，根据勾股定理求出EF即可． 【详解】 解：（1）从图形和已知可知：旋转中心是点A，旋转角的度数等于∠BAD的度数，是90°， 故答案为：点A，90；        （2）等腰直角三角形， 理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合， ∴△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF， ∴∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． （3）由旋转可知∠EAF=90°，△ABE≌△ADF， ∴AE=AF，△EAF是等腰直角三角形 在Rt△ABE中，∵AB=12，BE=5 ∴ ∴ 【点睛】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等． 33．【答案】（1）     （2） 如图，即为所求， ，，，      【分析】 本题主要考查了坐标与旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由图可知，顶点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，轴对称最短路径问题，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转方式找到B、C对应点的位置， 再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，据此可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P， 由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点， ∴由图可知，点P的坐标为． 35．【答案】（1） 如图所示，矩形即为所求， 点D的坐标为，     （2）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． (1) 小问详解： ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 36．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再利用四边形内角和即可求解． （2）连接AD，交于点O，易得，进而可利用等面积求解． (1) 小问详解： 解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 37．【答案】①     ② 或 【分析】 （I）利用勾股定理求解即可； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． 【详解】 解：（I）， 故答案为：； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系， 当点A和C，点B和D为对应点时， 如图点O为旋转中心，坐标为， 当点A和D，B和C为对应点时， 如图点为旋转中心，坐标为，    综上：旋转中心的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形的变化-旋转，点坐标间的距离，解题的关键是理解题意，运用分类讨论来解决问题，属于中考常考题型． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，设交于H，连接，可证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】 解：如图所示，设交于H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，弄清角之间的关系成为解题的关键； （1）先根据旋转的性质得、，然后根据三角形外角的性质即可解答． （2）由旋转可得为等边三角形，即可得出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出结论 【详解】 （1）解： ∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴、， ∵ ∴， 故答案为：60． （2）∵将绕点顺时针旋转得到， ∴、， ∴为等边三角形 ∴, ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 40．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握及运用以上性质是解题的关键． （1）证明即可得线段的长； （2）根据旋转的性质可得为等边三角形，进一步得，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，求出，即可求出四边形的面积． 【详解】 （1）解：由旋转得，，， 为等边三角形， ，， ， ． ． ． 故答案为：． （2）解：如图， 连接，过点作于点， 由旋转得，，， 为等边三角形． ， ， ， ， ． 由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， ， ． 故答案为：． 41．【答案】（1）B,90 (2) 【分析】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，进而构建特殊三角形求解． （1）根据旋转的定义，对应点连线的交点为旋转中心，对应边的夹角为旋转角，结合正方形的内角特征确定答案； （2）利用旋转性质得出对应边相等和对应角相等，证明为等腰直角三角形，再通过勾股定理计算的长． (1) 小问详解： 解：∵顺时针旋转得到，对应点分别为，公共对应点为B， ∴旋转中心是点B； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵旋转后与重合， ∴旋转角为， 故答案为：B； (2) 小问详解： 解：∵旋转得到， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得， 答：的长为． 42．【答案】（1） 如图，为所作图形；      （2） 如图，为所作图形；     （3）      【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出，并顺次连接；再说明为等腰直角三角形即可进行解答． （2）根据关于原点对称的点的坐标标出，然后顺次连接即可． （3）利用（2）中对应点坐标之间的关系可判断点的坐标． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意得：点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了中心对称图形和旋转的作图，准确作图是解题的关键．也考查了勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质和判定． 43．【答案】 【分析】 连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】 解：如图所示，连接，    由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 44．【答案】（1） 解：结论：是等腰直角三角形； 理由：∵把顺时针旋转到的位置， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等腰直角三角形．     （2）      【分析】 （1）结论：是等腰直三角形，由旋转的性质可得，结合正方形的性质即可推出，即可证明； （2）根据旋转可得，在中，根据勾股定理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ， 根据旋转可得， ∴，， ∴在中，． 【点睛】 本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型． 45．【答案】（1）2，（2）−1 【分析】 （1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，由直角三角形的性质得出AC＝2， （2）由旋转的性质得出AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，求出CE＝AC−AE＝2−2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝−1，PC＝PE＝3−，即可得出结果． 【详解】 解：（1）连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OB＝AB＝1， ∴OA＝OB＝， ∴AC＝2， （2）由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AC−AE＝2−2， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP＋∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PE＝CE＝−1，PC＝PE＝3−， ∴DP＝CD−PC＝2−（3−）＝−1． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 46．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，斜边中线的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据旋转的性质求得，，利用中点坐标公式求得和，再利用两点之间的距离公式求解即可； （2）过点N作交的延长线于点P，利用斜边中线的性质求得和的长，，在和中，根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵把绕点O逆时针旋转，得， ∴，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵点N是的中点，且，， ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图，过点N作交的延长线于点P． 由已知可得，，点N是的中点， ∴，， 同理，，，， ． ∵绕点O逆时针旋转，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 47．【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】 解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 48．【答案】（1） 证明：由旋转可得：，， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 （1）由旋转的性质得到，，求得，判定全等即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴由（1）可知， 在中， 由勾股定理，得， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理，得． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键． 49．【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到，，根据旋转的性质得到，，，由全等三角形的性质得到，利用勾股定理求出，，的长即可得到答案． 【详解】 解：如图，过作于， 、都是等腰直角三角形，，，，， ，，， 将绕点逆时针方向旋转后得， ，，，， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：；；． 50．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，则；     （2） 解：如图所示，即为所求，则． 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，熟知中心对称和旋转的坐标变化特点是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定点的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点可确定点的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．【答案】 【详解】解：∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，∴△ADC≌△AEF， ∴∠EAF=∠DAC，AF=AC，∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，∴∠FAC=∠BAD， 又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠FAC=90°， 又∵在Rt△ADC中，AC==5， ∴在Rt△FAC中，CF==5． 52．【答案】（1） 证明：∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∵于点H， ∴， ∴垂直平分．     （2）      【分析】 此题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转得，因为于点H，所以，则垂直平分； （2）连接，由四边形是正方形，，，得，，由旋转得，，则点F在的延长线上，由，求得，进而利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴点F在的延长线上， ∵，且，， ∴， 解得， ∴． 即的长是． 53．【答案】①     ② 【分析】 （1）由旋转的性质可知，，再结合正方形的性质，可以证出，则．等量替换后得，，结合角平分线的条件，可得的度数； （2）在（1）的基础上，进一步证明，所以．可以设，则，，直角三边满足勾股定理，列方程后解出x即可． 【详解】 解：（1）∵由旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： ． （2）在和中， ∴， ∴， 设， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵正方形边长为4， ∴，， 在直角中，， 代入得，， 解得，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，角平分线的定义，正方形的性质，全等三角形和勾股定理，利用旋转的性质构造全等是解题关键． 54．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； (2) 小问详解： 过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； (3) 小问详解： 连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 55．【答案】（1）；     （2），     （3）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，确定，然后结合图形即可得出，过点A作，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可确定点的坐标； （2）过点A作，根据旋转及平行线的性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出，得出四边形是平行四边形，即可得出的长，再由勾股定理求解即可确定点的坐标； （3）根据题意得出点B在点右侧，确定，，利用勾股定理得出，再由等腰三角形的性质及勾股定理得出，结合图形求面积即可． (1) 小问详解： 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴， 过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； (3) 小问详解： 由（1）得， ∴， ∵， ∴点B在点右侧， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ， ∴． 56．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及圆的性质，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形，确定点的运动轨迹． （1）通过旋转性质和正方形性质证明三角形全等，进而得出角的度数； （2）确定点的运动轨迹，利用圆的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】 解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， , 四边形是正方形， ，则， ，即; 在和中， ; ; ; （2）由（1）知， 点在以为直径的圆上运动（直角所对的弦是直径）, 如图：设的中点为，则为圆心，， 点是的中点，正方形边长为4， ，且， 是等腰直角三角形． 根据勾股定理，， 当、、三点共线时，取得最小值， ， 的最小值为． 故答案为：（1）90（2）． 57．【答案】（1），；     （2）     （3）点，的距离为，点的坐标为．      【分析】 本题考查了勾股定理解三角形，解含有的直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到点M的运动轨迹，以及得到点，，三点共线时距离最大． （1）根据点B的坐标以及，可求解的长度，由此可求解点A的坐标；再根据旋转角度可求解点C与点D的坐标，根据点M为的中点即可求解； （2）作辅助线，根据旋转角度可得，再根据含有的直角三角形的特征以及中点，可得，以及，再根据平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”可得轴，由此可得，从而可计算点M的横纵坐标； （3）先得到点M的运动轨迹，根据点，，三点共线可求解点，的距离；再根据三点共线可得，由此可得，构造等腰三角形，设未知数，利用勾股定理求解x的值，即可求解点C的坐标． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴点的坐标为； 当时，则绕点逆时针旋转得到， ∴可得点的坐标为，点的坐标为； ∴点的坐标为； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：记与x轴的交点为点E，连接，如图， ∵，则绕点逆时针旋转得到， ∴，且， ∴， ∵，， ∴在中，， 又∵点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴可得点M的纵坐标为，点M的横坐标为， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：根据题意可知，点M的轨迹是半径为1的圆，即， 当点，，三点共线时，点，的距离取到最大值， ∵点的坐标， ∴， ∴点，的距离， 过点C作轴交y轴于点H，在取点，使，如图， 由点的坐标可知，， 当点，，三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， 即， ∴， 又∵， 在中，， 即， 即， 整理可得，， 可得， ∴解得， ∴， 即， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 58．【答案】①     ②     ③ 【分析】 （1）过点B作于点G，过点M作于点N，可得，由即可求解函数关系式，再求出点M落在上时的值，即可求出取值范围； （2）由，分别表示，代入化简，得到关于t的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】 （1）解：过点B作于点G，过点M作于点N，如图， 是等腰直角三角形， , 点， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 则， 由旋转得，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ， 而， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ∴， 故答案为：； （2）解：① 当时，如图， ， ． 由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ，． 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 用含t的式子表示， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值是， 故答案为：， 【点睛】 本题主要考查了二次函数求最值，等腰直角三角形的性质，点的坐标的意义，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键． 59．【答案】（1），     （2）     （3）最小值，最大值      【分析】 本题考查坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： 解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为；              (3) 小问详解： ∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 60．【答案】 【分析】 过点F作，交的延长线于点G，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，然后证明，则，得到，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图，过点F作，交的延长线于点G，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴（舍负）， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 61．【答案】（1）△ADF；△EDB；90； （2）过点D作DF∥AC交AB于点F，如下图： 则∠DFB＝∠CAB， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， 由旋转变换的性质可知，∠ADF＝∠EDB， 在△ADF和△EDB中， ， ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴∠DBE＝∠AFD， ∴∠ABE＝∠C＝α； （3）． 【分析】 证明：根据全等三角形的判定方法、三角形外角的性质，即可求解； 探究：过点D作DF∥AC交AB于点F，证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质解答； 应用：根据全等三角形的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠AFD＝∠FDB+∠FBD＝135°， ∴ 由旋转的性质可得：， ∴ ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴∠DBE＝∠AFD＝135°， ∴∠ABE＝135°﹣45°＝90°， 故答案为：△ADF；△EDB；90； （2）略 （3）∵α＝60°，CA＝CB， ∴△ABC是等边三角形， ∴BA＝AC＝3， ∵∠ABE＝∠C＝60°，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝90°， ∴BE＝AB＝ ∴， ∴△ABE的面积＝． 【点睛】 此题考查了旋转的性质，涉及了全等三角形的判定及性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 62．【答案】①     ② 【分析】 （1）取的中点，连接，先证明四边形是矩形，得到，然后根据，得到当三点共线时，最小，此时，为点E到距离，从而求得答案； （2）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，先证明，得到，然后根据勾股定理，求得，然后利用，求得答案． 【详解】 解：（1）取的中点，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是的中点，是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时，为点E到距离， 点E到距离的最小值为； 故答案为：； （2）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， ，， ， ， 正方形中，，是边的中点， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当共线时，等号成立， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 63．【答案】（1），     （2），      （3）或      【分析】 （1）先根据，．得，结合旋转的性质，得，运用勾股定理得，，即可得出，； （2）结合旋转的性质，正方形的性质，得，根据30度的直角三角形的性质得，结合勾股定理得出，解得，即点的坐标为，再把数值代入进行计算，得，即可得； （3）当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点，先证明，故，推出，进而得到，利用三角形外角的性质，三角形内角和性质以及对顶角相等即可解答，当点在点右侧时，则，同理解答即可． (1) 小问详解： 解：如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，． ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且， ∴， 由旋转性质得， ∴， 在中，， 在中，， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴， 则， ∴点的坐标为， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点右侧时，则，如图， 同理得， ∴； 综上，或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，30度的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 64．【答案】①     ② 【分析】 （1）过点作交的延长线于点，先证，进而根据勾股定理求解即可； （2）过点作，交于点，与的延长线交于点，先证，再用勾股定理求出即可求解． 【详解】 （1）过点作交的延长线于点， 由题意得，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 又∵， ， ； 故答案为：； （2）过点作，交于点，与的延长线交于点， 则，， 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∵， 又∵， ∴四边形是正方形， ，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和余角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 65．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 66．【答案】（1），     （2） 解：（1）中结论仍成立，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，且， ； 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：是等边三角形， ， 当B、C、D三点共线，且D在的延长线上时，最大，此时， 当B、C、D三点共线，且D在线段上时，最小，此时； ∴． 67．【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）过点C作，垂足为H．解直角三角形求出，可得结论； （2）解直角三角形求出，可得结论； （3）连接．利用三角形中位线定理证明，再求出的取值范围，可得结论． (1) 小问详解： 解：过点C作于点H， 则， ∵点，点， ∴， ∵在中，， ， ∵， ∴， ， ∴，， 又点C在第一象限， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，以点B为中心，顺时针旋转，得到，且， ∴， ∴． ∵在中，，， ， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，； 当点E在延长线上时，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形旋转，熟练掌握旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，添加辅助线，构造三角形中位线，是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1）如图，即为所求；      （2） 如图 ，即为所求， ．      【分析】 本题考查作图，旋转变换，平移变换，解题关键在于熟练掌握基本知识． （1）根据平移的性质分别画出点A、B、C沿x轴向右平移4个单位的对应点、、，再依次连接，即可求解； （2）根据中心对称的性质分别画出点A、B、C关于坐标原点成中心对称的对应点、、，再依次连接，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 中心对称图形 1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．A 11．C 12．B 13．D 14．B 15．D 16．D 17．B 18．【答案】（1） 如图所示：      （2）点，点，点；     （3）.      【分析】 本题主要考查了作图——旋转变换、关于原点对称的点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握关于原点对称的点的坐标规律和割补法求面积是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，确定、、三点关于原点对称的点、、的位置，再连接成三角形． （2）根据平面直角坐标系，直接读取、、的坐标． （3）利用三角形的面积公式来计算三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）作图可知点，点，点． (3) 小问详解： 解：的面积为：， 故答案为：． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．B 2．D 3．【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 4．【答案】 【分析】 根据题意直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而分析得出答案． 【详解】 解：点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标为（5，-4）． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键． 5．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系下点关于原点对称的特征，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的特征． 根据直角坐标系下点关于原点对称的特征“横坐标和纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为： ． 9．【答案】 【分析】 将点绕坐标原点旋转，即点关于原点对称，则点坐标与对应点坐标的横纵坐标互为相反数，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意得，点坐标与对应点坐标的横纵坐标变为相反数， ∴， 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查求绕原点旋转一定角度的点的坐标，理解点关于原点对称的特点是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】 解： 点与点关于原点对称， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是平面直角坐标系内关于原点对称的两个点的坐标关系，中心对称，掌握以上知识是解题的关键． 11．【答案】 【分析】 平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，根据关于原点对称的性质即可得解． 【详解】 解：点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣7）． 故答案为（4，﹣7）． 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单． 12．【答案】6 【分析】 本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 13．【答案】 【分析】 根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】 解：关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的坐标的特征，求代数式的值，利用关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数，求出和的值，再计算即可，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】 解：因为点关于原点的对称点是， 所以，， 解得，， 则， 故答案为：． 16．【答案】（1） 解：如图，即为所求， 由图可得，，，；     （2） 解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 【分析】 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案，由图可得点的坐标． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案，由图可得点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求      （3）      【分析】 (1) 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可． (2) 根据旋转的全等性作图即可． (3) 利用分割法计算面积即可． 本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐标特点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，，，． ∴， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据题意，得 ． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是旋转的性质，根据按顺时针方向旋转后的图形进行判断即可． 【详解】 解：选项A，B，D中的图形将其按顺时针方向旋转后，图形都发生变化， 把选项C中的图形将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变， 故选：C． 2．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【分析】 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】 解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 3．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， 是由绕点旋转得到的， 为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 4．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（     ） A. 顺时针， B. 逆时针，105° C. 顺时针， D. 逆时针，75° 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，图形旋转的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和求出等腰三角形的底角是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，，由此可求解底角，再根据旋转的性质，即旋转前后角度不变求解即可． 【详解】 解：将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针， 在等腰，，， ∴， ∵将绕点旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针，旋转角可能为． 故选：A ． 5．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据勾股定理得出，再根据旋转的性质得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 则， 故选：B． 6．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查坐标与图形的变化—旋转，作出旋转后的图形，由图可知，的横坐标为的值，的纵坐标为的值，即可得到的坐标．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∵点的坐标是，在第二象限，且绕点顺时针旋转， ∴点在第一象限，，， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】 解：根据旋转的性质，可得：，， ∴． 故选：B． 8．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，已知△ABC和△ADE，∠C=∠ADE=90°D为AB的中点，∠B=60°，将△ADE绕点D顺时针旋转，旋转后DE的对应边DE1恰好经过点C，则旋转角∠ADA1等于（       ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】C 【详解】试题解析：    由旋转的性质得 点D为AB的中点， 故选C. 9．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】 解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转60°得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转60°得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 10．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连接AD，当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（        ） A. ∠ABC=∠DCE B. CB=CD C. DE+DC=BC D. AC⊥CD 【答案】D 【分析】 根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可． 【详解】 解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC， ∴∠ABC=∠DEC， 在△DEC中，∠DEC不一定等于∠DCE， ∴∠ABC=∠DCE不一定正确；选项A不符合题意； 由旋转知CB=CE， 在△DEC中，CE＞DE+CD， ∴CB=CE＞CD，选项B不符合题意； ∴BC＞DE+DC，选项C不符合题意； ∵∠EDC=∠BAC=135°，且A、D、E三点在同一直线上， ∴∠ADC=45°， 由旋转的性质知CA=CD， ∴∠CAD=∠ADC=45°， ∴△ADC中，∠ACD=180°-45°-45°=90°， ∴AC⊥CD，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查旋转的性质，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题关键． 11．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正六边形的性质与坐标旋转变换，解题的关键是先确定点的位置，再利用旋转求对应点坐标． 先根据正六边形的边长和角度性质找出点的位置，再依据绕原点顺时针旋转的坐标，计算出点旋转后的对应点坐标． 【详解】 解：由、可知， 正六边形的中心在原点，边长为4，即 正六边形的中心角为，点在第一象限，    旋转到，如图所示， 此时，， 在中，，， 在第四象限， 旋转后对应点坐标为． 故选D． 12．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】 解：∵将顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：B． 13．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 由旋转证明即可得到，即可判断A，而B、C、D不能证明，即可求解． 【详解】 解：由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，符合题意； 而BCD选项均不能证明，故不符合题意， 故选：A． 14．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】 解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 15．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】C 【分析】 根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】 解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 16．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】 解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 17．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用旋转性质得到边与角的等量关系，结合平行线性质找到角的联系，最后依据三角形内角和定理求解的度数．本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、平行线的性质（内错角相等）及三角形内角和定理，熟练运用这些知识，通过角的等量代换与方程思想求解是关键 ． 【详解】 解：设 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ． 在中，，即 ． 化简得，解得， ∴ ． 故选： ． 18．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】 由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 19．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（     ） A. 4 B. 5 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题关键．连接，令与的交点为，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接，令与的交点为， 点恰好落在直线上， 、、三点共线， ， 由旋转的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， 又， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 20．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A.  B. 平分 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析判断即可求解． 【详解】 解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到， ， ，，，， ，， ，故A正确； ， ， ， ， 平分，故B正确； ， ， 由上可知，， ，故C正确； 选项D无法判断； 故选：D． 21．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】 解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 【详解】 22．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，根据平行线的判定可对① 进行判断；由绕点B逆时针旋转得到，那么，，根据等边三角形的判定方法得到为等边三角形，可对③ 进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，可对② 进行判断；最后利用，和三角形周长定义,可对④ 进行判断． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴，① 正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形，③ 正确， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，② 错误； ∵，， ∴的周长，④ 正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握并运用旋转的性质是关键． 23．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 【详解】 解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 24．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，在等腰直角中，，点为斜边AB上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 是等腰直角三角形 C.  D.  【答案】C 【分析】 由，，可得，由旋转的性质可知，，，可判定A正确，B正确；根据，可得，即可得，判断C错误；由且对顶角相等，可判断D正确． 【详解】 解：，， ． 由旋转的性质可知，，， 故A正确，不符合题意； 是等腰直角三角形， 故B正确，不符合题意； ，， ， ， ， ， 故C错误，符合题意 ∵，且对顶角相等， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】 解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 26．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】 解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 27．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．根据旋转的性质逐一分析选项即可得到结论． 【详解】 解：A.由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项A不符合题意； B. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项B不符合题意； C. 由旋转的性质可知，，，，，由“8字模型”可得，，又，，故选项C符合题意； D. 由旋转的性质可知，，，仅根据这些条件，无法得出，故选项D不符合题意． 故选：C． 28．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    （1）指出旋转中心及旋转角的度数； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】（1）旋转中心是，旋转角是     （2）     （3）      【分析】 （1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． (1) 小问详解： 解：旋转中心是，旋转角是； (2) 小问详解： 延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． (3) 小问详解： ， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 29．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE．已知∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，BC、AD相交于点G，则∠DFB的度数为　　　　　　度． 【答案】20 【分析】 由旋转的性质得到∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】 解：由旋转的性质得：∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°， ∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣60°）＝20°， ∵∠B＝∠D，∠AGF＝∠DFB+∠D＝∠BAD+∠B， ∴∠DFB＝∠BAD＝20°． 故答案为：20． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质. 30．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则　　　　　　　° 【答案】60 【分析】 本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到， ∴． ∵点恰好落在的延长线上， ∴． 故答案为：60． 31．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】3 【分析】 本题主要考查的是旋转的性质，含有30°角直角三角形的性质和三角形三边关系，能够综合调动所学知识，得出P、C、M的关系即可就得答案． 【详解】 解：如下图，连接． 在中， ∵ ∴ 根据旋转不变性可知， ∵P是的中点 ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴， 又∵ 即， ∴的最大值为3，(此时P、C、M共线)． 故答案为：3． 32．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB=12，BE=5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合． （1）旋转中心是               ，旋转角为               度； （2）△AEF是                            三角形； （3）求EF的长． 【答案】（1）点A，90°；（2）等腰直角；（3） 【分析】 （1）根据图形和已知即可得出答案． （2）根据旋转得出全等，根据全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF，AE=AF，求出∠EAF=∠BAD，即可得出答案． （3）求出AE，求出AF，根据勾股定理求出EF即可． 【详解】 解：（1）从图形和已知可知：旋转中心是点A，旋转角的度数等于∠BAD的度数，是90°， 故答案为：点A，90；        （2）等腰直角三角形， 理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合， ∴△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF， ∴∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． （3）由旋转可知∠EAF=90°，△ABE≌△ADF， ∴AE=AF，△EAF是等腰直角三角形 在Rt△ABE中，∵AB=12，BE=5 ∴ ∴ 【点睛】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等． 33．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，． （1）填空：顶点的坐标为________； （2）将绕点逆时针旋转得，点，，，的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所求， ，，，      【分析】 本题主要考查了坐标与旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由图可知，顶点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点O的对称图形． （3）P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，轴对称最短路径问题，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转方式找到B、C对应点的位置， 再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，据此可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P， 由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点， ∴由图可知，点P的坐标为． 35．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； （2）若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 【答案】（1） 如图所示，矩形即为所求， 点D的坐标为，     （2）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． (1) 小问详解： ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再利用四边形内角和即可求解． （2）连接AD，交于点O，易得，进而可利用等面积求解． (1) 小问详解： 解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 37．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （I）　　　　　　． （II）写出旋转中心的坐标是　　　　　　． 【答案】①     ② 或 【分析】 （I）利用勾股定理求解即可； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． 【详解】 解：（I）， 故答案为：； （II）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系， 当点A和C，点B和D为对应点时， 如图点O为旋转中心，坐标为， 当点A和D，B和C为对应点时， 如图点为旋转中心，坐标为，    综上：旋转中心的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形的变化-旋转，点坐标间的距离，解题的关键是理解题意，运用分类讨论来解决问题，属于中考常考题型． 38．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，设交于H，连接，可证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】 解：如图所示，设交于H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点分别为，延长与相交于点，连接． （1）　　　　　　　　　　　（度）； （2）若的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，弄清角之间的关系成为解题的关键； （1）先根据旋转的性质得、，然后根据三角形外角的性质即可解答． （2）由旋转可得为等边三角形，即可得出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出结论 【详解】 （1）解： ∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴、， ∵ ∴， 故答案为：60． （2）∵将绕点顺时针旋转得到， ∴、， ∴为等边三角形 ∴, ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 40．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为　　　　　　　　　　； （2）四边形的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握及运用以上性质是解题的关键． （1）证明即可得线段的长； （2）根据旋转的性质可得为等边三角形，进一步得，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，求出，即可求出四边形的面积． 【详解】 （1）解：由旋转得，，， 为等边三角形， ，， ， ． ． ． 故答案为：． （2）解：如图， 连接，过点作于点， 由旋转得，，， 为等边三角形． ， ， ， ， ． 由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， ， ． 故答案为：． 41．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，点P在是正方形内一点，将顺时针旋转得到，连接． （1）旋转中心是点_________，旋转角的大小为_________（度）； （2）若，求的长． 【答案】（1）B,90 (2) 【分析】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，进而构建特殊三角形求解． （1）根据旋转的定义，对应点连线的交点为旋转中心，对应边的夹角为旋转角，结合正方形的内角特征确定答案； （2）利用旋转性质得出对应边相等和对应角相等，证明为等腰直角三角形，再通过勾股定理计算的长． (1) 小问详解： 解：∵顺时针旋转得到，对应点分别为，公共对应点为B， ∴旋转中心是点B； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵旋转后与重合， ∴旋转角为， 故答案为：B； (2) 小问详解： 解：∵旋转得到， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得， 答：的长为． 42．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，，， （1）以点A为旋转中心，将顺时针转动，得到，画出，则_______； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若上有一点，则上对应点的坐标_______． 【答案】（1） 如图，为所作图形；      （2） 如图，为所作图形；     （3）      【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出，并顺次连接；再说明为等腰直角三角形即可进行解答． （2）根据关于原点对称的点的坐标标出，然后顺次连接即可． （3）利用（2）中对应点坐标之间的关系可判断点的坐标． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意得：点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了中心对称图形和旋转的作图，准确作图是解题的关键．也考查了勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质和判定． 43．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】 解：如图所示，连接，    由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 44．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1） 解：结论：是等腰直角三角形； 理由：∵把顺时针旋转到的位置， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等腰直角三角形．     （2）      【分析】 （1）结论：是等腰直三角形，由旋转的性质可得，结合正方形的性质即可推出，即可证明； （2）根据旋转可得，在中，根据勾股定理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ， 根据旋转可得， ∴，， ∴在中，． 【点睛】 本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型． 45．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P． （1）求线段AC的长； （2）求线段DP的长． 【答案】（1）2，（2）−1 【分析】 （1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质求出OB＝AB＝1，由直角三角形的性质得出AC＝2， （2）由旋转的性质得出AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，求出CE＝AC−AE＝2−2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝−1，PC＝PE＝3−，即可得出结果． 【详解】 解：（1）连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OB＝AB＝1， ∴OA＝OB＝， ∴AC＝2， （2）由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AC−AE＝2−2， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP＋∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PE＝CE＝−1，PC＝PE＝3−， ∴DP＝CD−PC＝2−（3−）＝−1． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 46．（25-26学年九上·天津部分·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，，，，连接，，点，分别是和的中点，连接，把绕点逆时针旋转，得．点，，旋转后的对应点分别为点，，，连接，旋转角记为． （1）如图①，若，则点的坐标为______，的长为______； （2）如图②，若，连接，求的长； 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，斜边中线的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据旋转的性质求得，，利用中点坐标公式求得和，再利用两点之间的距离公式求解即可； （2）过点N作交的延长线于点P，利用斜边中线的性质求得和的长，，在和中，根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵把绕点O逆时针旋转，得， ∴，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵点N是的中点，且，， ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图，过点N作交的延长线于点P． 由已知可得，，点N是的中点， ∴，， 同理，，，， ． ∵绕点O逆时针旋转，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 47．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转90°得线段，点的对应点为，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】 解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 48．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可得：，， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 （1）由旋转的性质得到，，求得，判定全等即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴由（1）可知， 在中， 由勾股定理，得， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理，得． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键． 49．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，，都是等腰直角三角形，，，．如图所示，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，的度数为　　　　　　　　　　，的长度为　　　　　　　　　　，的长度为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到，，根据旋转的性质得到，，，由全等三角形的性质得到，利用勾股定理求出，，的长即可得到答案． 【详解】 解：如图，过作于， 、都是等腰直角三角形，，，，， ，，， 将绕点逆时针方向旋转后得， ，，，， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：；；． 50．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． （1）以点O为中心作出的中心对称图形，并写出点的坐标                 ； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，画出旋转后的，并写出点的坐标                 ． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求，则；     （2） 解：如图所示，即为所求，则． 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，熟知中心对称和旋转的坐标变化特点是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定点的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点可确定点的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF =　　　　　. 【答案】 【详解】解：∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，∴△ADC≌△AEF， ∴∠EAF=∠DAC，AF=AC，∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，∴∠FAC=∠BAD， 又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠FAC=90°， 又∵在Rt△ADC中，AC==5， ∴在Rt△FAC中，CF==5． 52．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∵于点H， ∴， ∴垂直平分．     （2）      【分析】 此题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转得，因为于点H，所以，则垂直平分； （2）连接，由四边形是正方形，，，得，，由旋转得，，则点F在的延长线上，由，求得，进而利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴点F在的延长线上， ∵，且，， ∴， 解得， ∴． 即的长是． 53．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为　　　　　　　． （Ⅱ）若，则的长度为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）由旋转的性质可知，，再结合正方形的性质，可以证出，则．等量替换后得，，结合角平分线的条件，可得的度数； （2）在（1）的基础上，进一步证明，所以．可以设，则，，直角三边满足勾股定理，列方程后解出x即可． 【详解】 解：（1）∵由旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： ． （2）在和中， ∴， ∴， 设， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵正方形边长为4， ∴，， 在直角中，， 代入得，， 解得，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，角平分线的定义，正方形的性质，全等三角形和勾股定理，利用旋转的性质构造全等是解题关键． 54．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； (2) 小问详解： 过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； (3) 小问详解： 连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 55．（25-26学年九上·天津南开·期中）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． （1）如图1，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图2，当时，连接，求的长和点的坐标； （3）若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）． 【答案】（1）；     （2），     （3）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，确定，然后结合图形即可得出，过点A作，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可确定点的坐标； （2）过点A作，根据旋转及平行线的性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出，得出四边形是平行四边形，即可得出的长，再由勾股定理求解即可确定点的坐标； （3）根据题意得出点B在点右侧，确定，，利用勾股定理得出，再由等腰三角形的性质及勾股定理得出，结合图形求面积即可． (1) 小问详解： 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴， 过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； (3) 小问详解： 由（1）得， ∴， ∵， ∴点B在点右侧， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ， ∴． 56．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）的大小为　　　　　　　　（度）； （2）点是的中点，连接，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及圆的性质，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形，确定点的运动轨迹． （1）通过旋转性质和正方形性质证明三角形全等，进而得出角的度数； （2）确定点的运动轨迹，利用圆的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】 解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， , 四边形是正方形， ，则， ，即; 在和中， ; ; ; （2）由（1）知， 点在以为直径的圆上运动（直角所对的弦是直径）, 如图：设的中点为，则为圆心，， 点是的中点，正方形边长为4， ，且， 是等腰直角三角形． 根据勾股定理，， 当、、三点共线时，取得最小值， ， 的最小值为． 故答案为：（1）90（2）． 57．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． （1）如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； （2）如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； （3）在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】（1），；     （2）     （3）点，的距离为，点的坐标为．      【分析】 本题考查了勾股定理解三角形，解含有的直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到点M的运动轨迹，以及得到点，，三点共线时距离最大． （1）根据点B的坐标以及，可求解的长度，由此可求解点A的坐标；再根据旋转角度可求解点C与点D的坐标，根据点M为的中点即可求解； （2）作辅助线，根据旋转角度可得，再根据含有的直角三角形的特征以及中点，可得，以及，再根据平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”可得轴，由此可得，从而可计算点M的横纵坐标； （3）先得到点M的运动轨迹，根据点，，三点共线可求解点，的距离；再根据三点共线可得，由此可得，构造等腰三角形，设未知数，利用勾股定理求解x的值，即可求解点C的坐标． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴点的坐标为； 当时，则绕点逆时针旋转得到， ∴可得点的坐标为，点的坐标为； ∴点的坐标为； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：记与x轴的交点为点E，连接，如图， ∵，则绕点逆时针旋转得到， ∴，且， ∴， ∵，， ∴在中，， 又∵点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴可得点M的纵坐标为，点M的横坐标为， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：根据题意可知，点M的轨迹是半径为1的圆，即， 当点，，三点共线时，点，的距离取到最大值， ∵点的坐标， ∴， ∴点，的距离， 过点C作轴交y轴于点H，在取点，使，如图， 由点的坐标可知，， 当点，，三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， 即， ∴， 又∵， 在中，， 即， 即， 整理可得，， 可得， ∴解得， ∴， 即， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 58．（25-26学年九上·天津部分·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点A，点B在第一象限，点Q在边OB（点Q不与点O，B重合），过点Q作，交于点P，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段，点P的对应点为M，连接．设与重合部分面积为S，． （1）如图①，若重合部分为，试用含t的式子表示S，　　　　　　； （2）如图②，若重合部分为四边形，与边交于点E，F，试用含t的式子表示S，　　　　　　，此时S的最大值是　　　　　　． 【答案】①     ②     ③ 【分析】 （1）过点B作于点G，过点M作于点N，可得，由即可求解函数关系式，再求出点M落在上时的值，即可求出取值范围； （2）由，分别表示，代入化简，得到关于t的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】 （1）解：过点B作于点G，过点M作于点N，如图， 是等腰直角三角形， , 点， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 则， 由旋转得，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ， 而， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ∴， 故答案为：； （2）解：① 当时，如图， ， ． 由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ，． 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 用含t的式子表示， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值是， 故答案为：， 【点睛】 本题主要考查了二次函数求最值，等腰直角三角形的性质，点的坐标的意义，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键． 59．（25-26学年九上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； （2）如图②，若，求点的坐标； （3）记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】（1），     （2）     （3）最小值，最大值      【分析】 本题考查坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可. (1) 小问详解： 解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为；              (3) 小问详解： ∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 60．（25-26学年九上·天津河东·期中）如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点F作，交的延长线于点G，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，然后证明，则，得到，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图，过点F作，交的延长线于点G，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴（舍负）， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 61．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）（多选）解答下列各题． （1）[发现证明]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F、可知______≌______，则∠ABE的大小为______度． （2）[类比探究]如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°），AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α． （3）[实践应用]设图②中α＝60°，AC＝3，连接AE，当∠BAE＝30°时，求△ABE的面积． 【答案】（1）△ADF；△EDB；90； （2）过点D作DF∥AC交AB于点F，如下图： 则∠DFB＝∠CAB， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， 由旋转变换的性质可知，∠ADF＝∠EDB， 在△ADF和△EDB中， ， ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴∠DBE＝∠AFD， ∴∠ABE＝∠C＝α； （3）． 【分析】 证明：根据全等三角形的判定方法、三角形外角的性质，即可求解； 探究：过点D作DF∥AC交AB于点F，证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质解答； 应用：根据全等三角形的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠AFD＝∠FDB+∠FBD＝135°， ∴ 由旋转的性质可得：， ∴ ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴∠DBE＝∠AFD＝135°， ∴∠ABE＝135°﹣45°＝90°， 故答案为：△ADF；△EDB；90； （2）略 （3）∵α＝60°，CA＝CB， ∴△ABC是等边三角形， ∴BA＝AC＝3， ∵∠ABE＝∠C＝60°，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝90°， ∴BE＝AB＝ ∴， ∴△ABE的面积＝． 【点睛】 此题考查了旋转的性质，涉及了全等三角形的判定及性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 62．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为　　　　　． （2）线段长的最小值为　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）取的中点，连接，先证明四边形是矩形，得到，然后根据，得到当三点共线时，最小，此时，为点E到距离，从而求得答案； （2）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，先证明，得到，然后根据勾股定理，求得，然后利用，求得答案． 【详解】 解：（1）取的中点，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是的中点，是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时，为点E到距离， 点E到距离的最小值为； 故答案为：； （2）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， ，， ， ， 正方形中，，是边的中点， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当共线时，等号成立， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 63．（25-26学年九上·天津红桥·期中）在平面直角坐标系中，点，，．将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且． （1）如图①，当时，求点和点的坐标； （2）如图②，当时，分别与轴，相交于点，，求点和点的坐标； （3）若直线与相交于点F，求的大小（直接写出结果即可）． 【答案】（1），     （2），      （3）或      【分析】 （1）先根据，．得，结合旋转的性质，得，运用勾股定理得，，即可得出，； （2）结合旋转的性质，正方形的性质，得，根据30度的直角三角形的性质得，结合勾股定理得出，解得，即点的坐标为，再把数值代入进行计算，得，即可得； （3）当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点，先证明，故，推出，进而得到，利用三角形外角的性质，三角形内角和性质以及对顶角相等即可解答，当点在点右侧时，则，同理解答即可． (1) 小问详解： 解：如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，． ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且， ∴， 由旋转性质得， ∴， 在中，， 在中，， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴， 则， ∴点的坐标为， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点右侧时，则，如图， 同理得， ∴； 综上，或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，30度的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 64．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，正方形的边长为5，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）的长为　　　　　； （2）若为的中点，连接，则的长为　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）过点作交的延长线于点，先证，进而根据勾股定理求解即可； （2）过点作，交于点，与的延长线交于点，先证，再用勾股定理求出即可求解． 【详解】 （1）过点作交的延长线于点， 由题意得，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 又∵， ， ； 故答案为：； （2）过点作，交于点，与的延长线交于点， 则，， 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∵， 又∵， ∴四边形是正方形， ，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和余角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 65．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 66．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． （1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为________，线段与的数量关系为________． （2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】（1），     （2） 解：（1）中结论仍成立，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，且， ； 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：是等边三角形， ， 当B、C、D三点共线，且D在的延长线上时，最大，此时， 当B、C、D三点共线，且D在线段上时，最小，此时； ∴． 67．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E． （1）如图①，求点的坐标为___________； （2）如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标； （3）点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）过点C作，垂足为H．解直角三角形求出，可得结论； （2）解直角三角形求出，可得结论； （3）连接．利用三角形中位线定理证明，再求出的取值范围，可得结论． (1) 小问详解： 解：过点C作于点H， 则， ∵点，点， ∴， ∵在中，， ， ∵， ∴， ， ∴，， 又点C在第一象限， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，以点B为中心，顺时针旋转，得到，且， ∴， ∴． ∵在中，，， ， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，； 当点E在延长线上时，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形旋转，熟练掌握旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，添加辅助线，构造三角形中位线，是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的 ，并写出的坐标． （2）作关于坐标原点成中心对称的，并分别写出的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求；      （2） 如图 ，即为所求， ．      【分析】 本题考查作图，旋转变换，平移变换，解题关键在于熟练掌握基本知识． （1）根据平移的性质分别画出点A、B、C沿x轴向右平移4个单位的对应点、、，再依次连接，即可求解； （2）根据中心对称的性质分别画出点A、B、C关于坐标原点成中心对称的对应点、、，再依次连接，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）下列图案中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年九上·河北·期中）第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】 本题考查的是中心对称图形，熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 4．（25-26学年九上·天津部分·期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】 解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 5．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 6．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】 解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）下列图案是中心对称图形的是（     ） A.  中国探火 B.  中国火箭 C.  中国行星探测 D.  航天神舟 【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解． 【详解】 解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】 本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是求解关键． 9．（25-26学年九上·天津河西·期中）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为（     ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查中心对称，正确理解中心对称图形的定义是解题关键． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】 对于第一个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第二个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第三个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第四个图案，中间的扇子部分旋转后并不能重合，因此它不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年九上·天津北辰·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】 解：A．选项图形是中心对称图形，符合题意； B．选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 11．（25-26学年九上·天津南开·期中）硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； B选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； C选项即是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确； D选项不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项错误； 故选C． 12．（25-26学年九上·天津河东·期中）下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查中心对称图形，根据一个图形绕一点旋转180度后，与自身能够完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B 13．（25-26学年九上·天津红桥·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 14．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.    B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）十二时辰是中国传统计时法，以地支命名12个固定时段（各2小时），子时起于．源于天文观测，用于规范作息和历法计算．下列图片中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的知识．把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解．熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】 解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 16．（25-26学年九上·天津部分·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 17．（25-26学年九上·天津和平·期中）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】 解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 18．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）在方格纸中作出与关于原点对称的； （2）写出点，点，点的坐标． （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图所示：      （2）点，点，点；     （3）.      【分析】 本题主要考查了作图——旋转变换、关于原点对称的点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握关于原点对称的点的坐标规律和割补法求面积是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，确定、、三点关于原点对称的点、、的位置，再连接成三角形． （2）根据平面直角坐标系，直接读取、、的坐标． （3）利用三角形的面积公式来计算三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）作图可知点，点，点． (3) 小问详解： 解：的面积为：， 故答案为：． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·天津和平·期中）点与点关于原点对称，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查关于原点对称的点坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的两点的坐标，横坐标和纵坐标都互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故选：B． 2．（25-26学年九上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 3．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 4．（25-26学年九上·天津北辰·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而分析得出答案． 【详解】 解：点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标为（5，-4）． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）点与点关于原点对称，则点的坐标是　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·河北·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查点关于原点对称点的性质，熟练并正确掌握关于原点对称点的性质是解题的关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·天津部分·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系下点关于原点对称的特征，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的特征． 根据直角坐标系下点关于原点对称的特征“横坐标和纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为： ． 9．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）将点绕坐标原点旋转，则点的对应点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 将点绕坐标原点旋转，即点关于原点对称，则点坐标与对应点坐标的横纵坐标互为相反数，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意得，点坐标与对应点坐标的横纵坐标变为相反数， ∴， 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查求绕原点旋转一定角度的点的坐标，理解点关于原点对称的特点是解题的关键． 10．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知点与点关于原点对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】 解： 点与点关于原点对称， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是平面直角坐标系内关于原点对称的两个点的坐标关系，中心对称，掌握以上知识是解题的关键． 11．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，根据关于原点对称的性质即可得解． 【详解】 解：点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣7）． 故答案为（4，﹣7）． 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单． 12．（25-26学年九上·天津部分·期中）若点与关于原点对称，则　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 13．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】 解：关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键． 14．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知点与点关于原点对称，则的值等于　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）若点关于原点的对称点是，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的坐标的特征，求代数式的值，利用关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数，求出和的值，再计算即可，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】 解：因为点关于原点的对称点是， 所以，， 解得，， 则， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出，并写出、、三点的坐标． （2）画出关于点的中心对称图形，并写出、、三点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， 由图可得，，，；     （2） 解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 【分析】 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案，由图可得点的坐标． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案，由图可得点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求      （3）      【分析】 (1) 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可． (2) 根据旋转的全等性作图即可． (3) 利用分割法计算面积即可． 本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐标特点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，，，． ∴， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据题意，得 ． 18．（25-26学年九上·天津南开·期中）点关于原点对称的点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 3．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（     ） A. 顺时针， B. 逆时针，105° C. 顺时针， D. 逆时针，75° 5．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，已知△ABC和△ADE，∠C=∠ADE=90°D为AB的中点，∠B=60°，将△ADE绕点D顺时针旋转，旋转后DE的对应边DE1恰好经过点C，则旋转角∠ADA1等于（       ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 9．（25-26学年·天津经济技术开发区第一中学）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连接AD，当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（        ） A. ∠ABC=∠DCE B. CB=CD C. DE+DC=BC D. AC⊥CD 11．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·天津津南区十校·期中）如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C. 平分 D.  16．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为，且旋转角为锐角，连接．当点恰好落在直线上时，线段的长为（     ） A. 4 B. 5 C.  D.  20．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A.  B. 平分 C.  D.  21．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）如图，在等腰直角中，，点为斜边AB上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 是等腰直角三角形 C.  D.  25．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，线段，相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    （1）指出旋转中心及旋转角的度数； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 29．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）如图，△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE．已知∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，BC、AD相交于点G，则∠DFB的度数为　　　　　　度． 30．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则　　　　　　　° 31．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　 32．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB=12，BE=5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合． （1）旋转中心是               ，旋转角为               度； （2）△AEF是                            三角形； （3）求EF的长． 33．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，． （1）填空：顶点的坐标为________； （2）将绕点逆时针旋转得，点，，，的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 34．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点O的对称图形． （3）P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________． 35．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； （2）若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 36．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 37．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕将某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （I）　　　　　　． （II）写出旋转中心的坐标是　　　　　　． 38．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为　　　　　　　　　　　　　　　 39．（25-26学年九上·天津和平·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点分别为，延长与相交于点，连接． （1）　　　　　　　　　　　（度）； （2）若的长为　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为　　　　　　　　　　； （2）四边形的面积为　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，点P在是正方形内一点，将顺时针旋转得到，连接． （1）旋转中心是点_________，旋转角的大小为_________（度）； （2）若，求的长． 42．（25-26学年九上·天津部分·期中）如图，在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，，， （1）以点A为旋转中心，将顺时针转动，得到，画出，则_______； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若上有一点，则上对应点的坐标_______． 43．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为　　　　　　． 44．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 45．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P． （1）求线段AC的长； （2）求线段DP的长． 46．（25-26学年九上·天津部分·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，，，，连接，，点，分别是和的中点，连接，把绕点逆时针旋转，得．点，，旋转后的对应点分别为点，，，连接，旋转角记为． （1）如图①，若，则点的坐标为______，的长为______； （2）如图②，若，连接，求的长； 47．（25-26学年九上·天津红桥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转90°得线段，点的对应点为，则点的坐标为　　　　　　． 48．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，求的长． 49．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）如图，，都是等腰直角三角形，，，．如图所示，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，的度数为　　　　　　　　　　，的长度为　　　　　　　　　　，的长度为　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是． （1）以点O为中心作出的中心对称图形，并写出点的坐标                 ； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，画出旋转后的，并写出点的坐标                 ． 51．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF =　　　　　. 52．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 53．（25-26学年九上·天津河西·期中）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为　　　　　　　． （Ⅱ）若，则的长度为　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 55．（25-26学年九上·天津南开·期中）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． （1）如图1，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图2，当时，连接，求的长和点的坐标； （3）若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）． 56．（25-26学年九上·天津南开·期中）如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）的大小为　　　　　　　　（度）； （2）点是的中点，连接，则的最小值为　　　　　　　． 57．（25-26学年九上·河北·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． （1）如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； （2）如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； （3）在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 58．（25-26学年九上·天津部分·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点A，点B在第一象限，点Q在边OB（点Q不与点O，B重合），过点Q作，交于点P，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段，点P的对应点为M，连接．设与重合部分面积为S，． （1）如图①，若重合部分为，试用含t的式子表示S，　　　　　　； （2）如图②，若重合部分为四边形，与边交于点E，F，试用含t的式子表示S，　　　　　　，此时S的最大值是　　　　　　． 59．（25-26学年九上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； （2）如图②，若，求点的坐标； （3）记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 60．（25-26学年九上·天津河东·期中）如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为　　　　　　　　　　． 61．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）（多选）解答下列各题． （1）[发现证明]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F、可知______≌______，则∠ABE的大小为______度． （2）[类比探究]如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°），AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α． （3）[实践应用]设图②中α＝60°，AC＝3，连接AE，当∠BAE＝30°时，求△ABE的面积． 62．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为　　　　　． （2）线段长的最小值为　　　　　． 63．（25-26学年九上·天津红桥·期中）在平面直角坐标系中，点，，．将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且． （1）如图①，当时，求点和点的坐标； （2）如图②，当时，分别与轴，相交于点，，求点和点的坐标； （3）若直线与相交于点F，求的大小（直接写出结果即可）． 64．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）如图，正方形的边长为5，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）的长为　　　　　； （2）若为的中点，连接，则的长为　　　　　． 65．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 66．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． （1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为________，线段与的数量关系为________． （2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 67．（25-26学年九上·天津泰达实验学校·期中）将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E． （1）如图①，求点的坐标为___________； （2）如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标； （3）点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的 ，并写出的坐标． （2）作关于坐标原点成中心对称的，并分别写出的坐标． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）下列图案中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河北·期中）第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      4．（25-26学年九上·天津部分·期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      6．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）下列图案是中心对称图形的是（     ） A.  中国探火 B.  中国火箭 C.  中国行星探测 D.  航天神舟 8．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      9．（25-26学年九上·天津河西·期中）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为（     ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（25-26学年九上·天津北辰·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·天津南开·期中）硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·天津河东·期中）下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·天津红桥·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      14．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.    B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）十二时辰是中国传统计时法，以地支命名12个固定时段（各2小时），子时起于．源于天文观测，用于规范作息和历法计算．下列图片中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·天津部分·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·天津和平·期中）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）在方格纸中作出与关于原点对称的； （2）写出点，点，点的坐标． （3）的面积是______． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·天津和平·期中）点与点关于原点对称，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·天津北辰·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·天津东丽区鉴开）点与点关于原点对称，则点的坐标是　　　　． 6．（25-26学年九上·河北·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　． 7．（25-26学年九上·天津部分·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·天津滨海新·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　 9．（25-26学年九上·天津滨海新区大港第六中学·期中）将点绕坐标原点旋转，则点的对应点坐标为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·天津华新共同体·期中）已知点与点关于原点对称，则　　　　　　． 11．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·天津部分·期中）若点与关于原点对称，则　　　　　　　． 13．（25-26学年·天津滨海新区大港第十中学·期中）点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·天津塘沽第一中学·期中）已知点与点关于原点对称，则的值等于　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·天津经济技术开发区国际学校·期中）若点关于原点的对称点是，则的值是　　　　　　． 16．（25-26学年九上·天津北辰·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出，并写出、、三点的坐标． （2）画出关于点的中心对称图形，并写出、、三点的坐标． 17．（25-26学年九上·天津东丽区东丽中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 18．（25-26学年九上·天津南开·期中）点关于原点对称的点的坐标为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $