专题19 锐角三角函数 （1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

专题19 锐角三角函数 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 含特殊三角函数的混合运算 2026 盐城卷 2026 宿迁卷 2026 扬州卷 多以解答题第一小问形式考查。命题融合零次幂、绝对值、二次根式、特殊角三角函数、整式乘法，核心考查 30°、45°、60° 三角函数值及实数混合运算，为基础送分题，每年必考。整体难度偏低，重在熟记特殊角三角函数值并注意运算符号，设问稳定，属于必拿分考点。 考点 02 解直角三角形的相关应用 2026 镇江卷 2026 宿迁卷 2026 徐州卷 2026 苏州卷 2026 连云港卷 2026 淮安卷 以解答大题为主，偶见选择。命题依托俯角仰角、坡道坡度、光的反射、车辆转弯、机械臂、回音壁等生活与跨学科情境，核心考查把实际问题剥离成直角三角形模型，结合坡度坡角、俯仰角利用参考数据近似计算。整体难度中等，设问多以模型 + 新定义形式压轴，文字量大，对从题干提取几何模型的能力要求提高。 考点 03 解直角三角形的相关计算 2026 盐城卷 2026 徐州卷 2026 苏州卷 2026 扬州卷 2026 连云港卷 2026 常州卷 选择、填空、解答均有出现。命题常结合图形平移、翻折、旋转、菱形、圆等背景，核心考查用三角函数求线段长，构造直角三角形转化边角关系；填空压轴居多，需作辅助线，常结合对称点轨迹分析。整体难度中等偏上，设问从基础计算转向几何变换中的边角转化，综合性增强。 考点 04 锐角三角函数与函数综合 2026 镇江卷 以压轴解答题形式考查。命题采用二次函数新定义题型，把三角函数与抛物线顶点、截线结合，核心考查利用 tanθ 转化边角关系、二次函数线段与角度转化，涉及含参讨论与分段分析取值范围。整体难度较大，属于代数 + 几何综合的区分度压轴题，对函数与三角函数双模型识别能力要求高。 考点 05 锐角三角函数与几何综合 2026 南通卷 2026 宿迁卷 2026 徐州卷 2026 连云港卷 以压轴解答题形式考查。命题依托平行四边形、正方形折叠、圆、费马点、几何旋转等综合背景，核心考查用三角函数转化角度、结合全等相似、最短路径与最值探究，常含证明、探究、拓展应用多小问层层递进。整体难度最大，属整卷压轴，对作图 + 证明 + 代数计算综合能力要求高，区分度明显。 考点01 含特殊三角函数的混合运算 1．（2026·江苏盐城·中考真题）计算：． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）计算：． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ；(2)． 考点02 解直角三角形的相关应用 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 3．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 4．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 5．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 6．（2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 7（2026·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． (1)请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． (3)如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． (4)如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 考点03 解直角三角形的相关计算 1．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为__________________________． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在等边中，，分别是，边上的点，．将沿翻折得到，若点恰好落在边上，则线段长度的最小值为_________． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中， ，．将线段绕点A按逆时针方向旋转至（是旋转角，且 ），连接， ，作 ，垂足为N．用等式表示线段， ，之间的数量关系为_______． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，菱形中，，，点P在边上，且，Q为边上的动点，点C关于的对称点为．若、的面积分别记为、，则的最大值为____． 6．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． (1)求证：是的切线； (2)若，．①求的长；②求的值． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，．以边上的点为圆心，长为半径的与边的另一交点为，为的切线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)若，，求的半径． 考点04 锐角三角函数与函数综合 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，我们将经过点且垂直于y轴的直线记作“直线”．如果它与二次函数（a，h，k为常数，且）的图像（顶点记为C）有两个公共点，记为A，B（点A在点B的左侧），，我们称直线为该二次函数图像的截线． 已知二次函数． (1)顶点C的坐标为__________． (2)直线（即x轴）是该二次函数图像的截线．若，求点B的坐标以及a的值． (3)直线是二次函数图像的截线． ①已知，求t的值； ②已知，用含a的代数式表示t；（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图像的截线，当时，请直接写出t的取值范围． 考点05 锐角三角函数与几何综合 1．（2026·江苏南通·中考真题）综合与探究： 如图1，在中，，，，点，分别在边，上，且．连接，交于点． (1)求线段的最小值． (2)如图2，．分别作线段，的垂直平分线，两直线交于点，连接，． ①求证：； ②分别记，的面积为，，求的值． 2．（2026·江苏南通·中考真题）主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究．【数学情境】在平面直角坐标系中，将点（）绕点逆时针旋转得到点．旋转角为（），点关于直线的对称点为．分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．设线段与交于点，连接，． 【特例感知】(1)如图1，当，时，求线段的长． 【猜想证明】(2)在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段，的大小关系，并说明理由． 【拓广探索】(3)若，求实数的取值范围． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． (1)【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)【问题解决】直接写出的度数和的值． 4．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，．点在边上，．以为圆心，为半径作圆，与边交于点．过作的切线，与边交于点，连接．    (1)求证：是等腰三角形； (2)随着长度的变化，是否存在最小值？是否存在最大值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 (1)在锐角中，求作一点P，使的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以为边向外作等边三角形，再作的外接圆，连接， 与交于点P．则点P即为求作的点． 在上取一点，使，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得 ① ，故是等边三角形．所以． 进而可证得．所以． 所以． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， 的长即为的最小值． 【方法迁移】(2)如图2，已知点A，B到直线l的距离，．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】(3)如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且，（）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 1．（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026·江苏常州·二模）如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 5．（2026·江苏连云港·二模）如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南通·一模）如图，将图1所示的正方形纸片沿对角线（图中虚线）剪开，拼成如图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 9．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 12．（2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 13．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏无锡·一模）如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 16．（2026·江苏无锡·模拟预测）菱形的三个顶点，，在双曲线上，其中，在第一象限，在的左侧，且经过原点．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市锡惠公园有一座龙光塔，具有悠久的历史底蕴．数学兴趣小组在清明假期进行社会实践，利用激光测距仪和手机（能测量长度和角度）测量塔高．如图所示，因路段原因，小组无法到达塔底进行测高，于是选择在离塔一定距离的公路上测距．如图所示，将塔简化为线段，他们在这条路上选取了两个点和，设的长为，根据下列数据，能测出塔高的有（   ） ①，，，    ②，，， ③，，，    ④，，， A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 18．（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏徐州·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为_______． 21．（2026·江苏扬州·二模）如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 22．（2026·江苏扬州·三模）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 23．（2026·江苏扬州·三模）如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 24．（2026·江苏扬州·二模）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是______m． 25．（2026·江苏宿迁·三模）如图，矩形中，，．点在线段上由向方向匀速运动，点在线段上由向方向匀速运动．点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的3倍．当点到达点时，点也停止运动．将矩形沿翻折，点、点的对应点分别为点、点，连接．在运动过程中，当最小时，的值为________． 26．（2026·江苏苏州·三模）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为__________． 27．（2026·江苏宿迁·三模）如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 28．（2026·江苏泰州·三模）如图，矩形中，，，点为上一点，且，点为直线上一个动点，以为直角边，在下方作，其中，，连接，则线段长的最小值为___________． 29．（2026·江苏淮安·二模）如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 30．（2026·江苏盐城·二模）如图，四边形是平行四边形，沿着过点的直线翻折，使得点的对应点落在延长线上，折痕与相交于点，连接，若，且，求______________． 31．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为______． 32．（2026·江苏镇江·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点．将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，，则________． 33．（2026·江苏盐城·三模）计算：． 34．（2026·江苏扬州·三模）计算或化简： (1) (2) 35．（2026·江苏南京·三模）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面尺，第二次露出水平面尺，已知两次与水平面的夹角分别是与，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离． 36．（2026·江苏南京·三模）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 37．（2026·江苏南京·三模）如图，在两面竖直的墙之间有一个底端在处的梯子，当它靠在左侧墙上时，梯子的顶端在处；当它靠在右侧墙上时，梯子的顶端在处．已知，两面墙之间的距离为．求梯子的长度（用含的式子表示）． 38．（2026·江苏盐城·模拟预测）2026年央视春晚机器人节目《武BOT》中（如图1），机器人完成了马步、空翻、队列变换等高难度动作，展现了科技与传统文化的深度融合．图2为该款机器人某次表演动作的侧面示意图，已知上半身（不含头部），大腿与小腿长度均为，手臂长度为，，且上半身垂直地面． (1)求点到直线的距离； (2)若此时点，，恰好在同一直线上，且，求点到地面的距离．（参考数据：，，，结果精确到） 39．（2026·江苏盐城·三模）根据下面的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容 等腰三角形 提出概念 如图，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)理解概念：如图，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)探究性质：如图，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)特例探究：如图，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的最长的边长． (4)解决问题：如图，有一个等腰五边形花园，，，．为了美观，工作人员计划在花园内用栅栏围一个三角形区域，在里面种植风景树，其余区域种植花卉．已知点，分别在，上，且．按照设计要求，试求当时，的长． 40．（2026·江苏苏州·二模）2026马年春晚的《武》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国机器人硬核实力．如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，点距地面的高度为．（参考数据：，，） (1)求的度数； (2)若点距地面的高度为，求小腿的长． 41．（2026·江苏泰州·三模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度（即）为，，，在处测得处的仰角为，在处测得处的仰角为． (1)的度数为______； (2)求建筑物的高度．（，结果精确到） 42．（2026·江苏盐城·二模）防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面 ，门宽． (1)如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求的长． (2)如图，当左门绕点逆时针打开时，点落在点处，求此时点到墙面的距离．(结果精确到参考数据：，，， 43．（2026·江苏南京·二模）如图，水平地面上两棵树和之间的距离为6米．当小邺站在地面上的点P处时，他隔着树只能看到树的顶端．若他沿射线方向后退至点Q处时，看树顶端的仰角为，且．求树比树高多少米．（参考数据：，，．） 44．（2026·江苏盐城·三模）海春轩塔始建于唐贞观年间，为七层八角密檐砖塔，是江苏省现存最古老的塔之一．某兴趣小组想测量塔高，方案与测量结果如下表： 测量海春轩塔的高度 测量工具 测角仪、无人机 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    步骤如下： ①先在塔底水平地面点处测得塔尖的仰角； ②后用无人机在点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． 已知，，，四点在同一个平面内，于点，于点，求海春轩塔的高度． (结果精确到米，参考数据：，，) 45．（2026·江苏南京·二模）如图，海岛位于港口的南偏西方向上，灯塔恰好位于的中点处．轮船甲从海岛出发，沿正东方向航行，轮船乙从港口出发，沿正南方向航行．当甲航行到点处时，乙航行了至点处，此时，，三点恰好在同一条直线上，灯塔位于点的北偏西方向上，求轮船甲与灯塔的距离． （参考数据：，，，结果保留根号） 46．（2026·江苏镇江·二模）如图是镇江某景区便民观光车的侧面示意图，折线段表示观光车的活动遮阳挡板，已知，，，观光车车身固定高度．如图，翻开遮阳挡板供游客通行，挡板绕点旋转至处，此时与水平面夹角． (1)求翻开遮阳挡板后，挡板最高点到水平地面的距离； (2)若游客身高为，从翻开的遮阳挡板端点正下方经过，是否有碰头的危险？请通过计算说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 47．（2026·江苏泰州·三模）某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图1所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为20米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点 F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长． （结果精确到0.1，参考数据： 48．（2026·江苏泰州·三模）如图，过外一点A作的切线，切点为点B，为的直径，点D为上一点，且，连接， ，线段交直径于点E，交于点 F，连接． (1)求证：； (2)若 求半径的长． 49．（2026·江苏南京·二模）如图1，某型号抓草机由基座、动臂和斗杆构成，图2是其侧面结构示意图，矩形为基座，折线为动臂，为斗杆．已知基座的高度为1.2米，动臂的长（与的长度和）为5.1米，动臂伸展角，斗杆与动臂的夹角，斗杆与竖直方向的夹角为，到地面的距离为4.2米． (1)的长度是 米； (2)求到的水平距离的长． （结果精确到0.1，参考数据：，，，） 50．（2026·江苏镇江·二模）著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： (1)【结论探究】从“数”的角度证明：； (2)【结论应用】若中，，．的两个顶点A、B（在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． 尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； 请用探究的结论证明所作的周长最小． 51．（2026·江苏连云港·三模）按要求解答下列问题： (1)仅用无刻度的直尺画图：如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，作出边上的点F，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：如图2，四边形的顶点都在以为直径的半圆上．． ①请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； ②在①中作图的基础上，若，，求的长． 52．（2026·江苏南京·三模）如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色．如图2，该摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点O距离地面的高度为45米，摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最低点处． (1)经过 分钟，点P首次到达最高点； (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高吗？请说明理由； (3)（i）画出点P高度关于运动时间的大致图象，并说明理由； （ii）摩天轮在旋转一周的过程中有m分钟距离地面不低于65米，写出“m”的值或“求m的思路”．（可用含t的式子表示） 53．（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 54．（2026·江苏扬州·三模）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动． 【尝试与感悟】 (1)是边长为8的等边三角形，E是边上的一点，且，小明以为边作等边，如图1．求的长； (2)是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，如图2．在点E从点A到点C的运动过程中，求点F所经过的路径长； 【拓展与延伸】 (3)如图3，四边形是菱形，，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，小明以为边作等边，连接．则的取值范围是 ． (4)如图4，是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，交边于点D，则的最大值为 ． 55．（2026·江苏宿迁·三模）【知识技能】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，，点在上，将△沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么线段的长为多少； 【数学理解】 (2)如图2，矩形中，，，点为上一点，且，将△沿翻折，得到△，连接并延长，与相交于点，则的值为　　； 【拓展探索】 (3)如图3，在矩形纸片中，，，点为射线上的一个动点，把△沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 56．（2026·江苏盐城·模拟预测）【问题初探】 (1)如图1，在平行四边形中，，相交于点，直线过点，分别交边，于点，．则平分平行四边形的周长．（填“一定”、或“不一定”） 【问题再探】 (2)如图2，在平行四边形中，直线分别交边，于点，．若直线平分平行四边形的周长，则直线一定过，的交点吗？请说明理由． 【基础应用】 (3)图3是一块，且的平行四边形铁板，现在要将它切割成周长相等的两块（要求切割线是一条线段），并焊接成如图4的护板（其中） 小明的思路如下（如图5）： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，； …… 请根据小明的思路，在图5中仅用无刻度的直尺和圆规作出线段（保留作图痕迹，不写作法．） 【拓展应用】 (4)若直线将图3中的平行四边形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作，垂足为点，连接． ①当时（如图6），求的值； ②当最大时，的长为57．（2026·江苏盐城·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，则的值为______． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接． ①的长度为______． ②求证：． (3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 58．（2026·江苏徐州·三模）一副三角板分别记作和，其中，．作于点于点N，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的绕C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P， ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段的数量关系，并证明． 59．（2026·江苏盐城·模拟预测）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，． (1)求证：； (2)【思考探究】如图2，矩形中，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 60．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，，，点是矩形对角线上一点，连接，将沿着折叠得到． (1)如图1，将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，当落在上时，的度数为_____； (2)如图2，当落在对角线上时，求的正切值； (3)若与矩形的对角线垂直，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题19锐角三角函数 1年真题1年模拟 一年真题分类园 考点01含特殊三角函数的混合运算 1. 【答案】1 2. 【答案0 3. 【答案】02-1 (2)ab 考点02解直角三角形的相关应用 1.B 2. 【答案】小亮沿垂直方向上升了51.5米 3. 【答案】画幅ABCDE的面积约为8592cm 4. 【答案】1) 证明：：∠OPA=60°， ∴.根据光的反射定律可知∠BPC=∠OPA=60°. .∠OPC=180°-∠OPA-∠BPC=60° .ABlll, 1/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠POC=∠OPA=60° .△OPC是等边三角形： (2)①解：∠OPA=60°，平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到AB位置， ∴根据光的反射定律可知∠EPB'=∠OPA'=∠OPA-7.5°=52.5°， .∠OPE=180°-∠EPB-∠OPA=75°： ②解：如图②，过点P作PF⊥OE于E, E 图② 由1)知∠OPC=60°，由①知∠0PE=75°， .∠CPE=∠OPE-∠OPC=15° 由I)知△OPC是等边三角形，又知OC=60厘米， .OP=CP=OC=60(厘米)， 又.PF⊥OE, :∠CPF=)∠PC=30°，CF-)0C=30(厘米. 2 ∴.LEPF=∠CPF+∠CPE=45°， ∴，△EPF是等腰直角三角形， ∴PF=EF, 在RACPF中，cos∠CPF=PF CP EF=PF-CP-OSLCPF-60xcs3060x30 2 (厘米)， “.CE=EF-CF=30N5-30(厘米)，即光点向下移动的距离CE的长为 05-30)厘米。 【详解】(1)解：依题意，OB⊥BD,∠CBD=30° 2/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AB0=90°-∠CBD=90°-30°=60° OA⊥AB .∠A0B=90°-∠AB0=90°-60°=30° .AB=1.5m ∴.OB=3m (2)解：由题意得OC⊥CF,OB⊥BC,OA⊥AD,OD⊥DH ∴.∠ECF+∠OCB=90°，∠COB+∠OCB=90° ∴.∠COB=∠ECF=20.6°. 在RIOCB中，tan∠COB=CB OB tan20.6°=3 B 3.3 小80B 解得：OB≈8m ∴.OA=OB-AB≈8-2=6m 在RISOAD中，tan∠AOD=D OA &tan∠A0D=3-1 62 ∴.∠A0D≈26.6 :∠AOD+∠AD0=90°，∠GDH+∠ADO=90°， ∠GDH=∠AOD≈26.6° 答：此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6°， (3)解：如图，连接O0,设OA,PO交于点M, 当0最大时，A点经过2点，此时D0=AM=1 3/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图3 依题意，∠ECF=∠COB=O. 设OA=r,则OM=r-1,MQ=AD=3 RIAOOM 002=OM2+OM2 在 中 .r2=(r-1)2+32 解得：r=5 .0B=OA+AB=5+2=7,BC=3, 在Ra0BC中，OC=VBC2+OB2=V32+7=V58 sine=sin/ECF=sinLCOB=CB 358 OC 58 当B最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点O作ON垂直于道路右侧 ∠A4LIL∠∠222222. FE M 图3 设道路宽为1，依题意，1=5 ∴.OC=ON=l+AD=5+3=8 4/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .sin0=sin/ECF sin/COB= CB 3 0C8 综上所述，8<sin0<35⑧ 58 6. 【详解】(I)解：过点A作AH⊥CH,交CB的延长线于点H, E ⊙ B C ,∠ABC=120°， .∠ABH=60 在RtABH中，AB=30cm, :BH=AB-cos∠ABH=30x)=15(cm） 2 ∴.点B与点A在水平方向上的距离为l5cm。 (2)解：过点C'作CM⊥AM,交AB的延长线于点M, E A M MH=AB-sin∠ABH=30x5-155(cm） .∠AB'C=135° ∠C'B'M=45°， .BC=B'C'=20cm. CM=CB.sim∠C8M=20x5=10N5(em） 2 5/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “点C与点C AH+C'M=15V3+10W2≈40(cm) 在竖直方向上的距离为： 7 【答案】(1) 如图所示，点O即为求作的“三音石”的位置： 图3 (2)解：根据题意，声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上， 再由回音壁反射回来经过的路程长为 65×2=65(m), 时间为65÷340= 689, (3)解：设圆心为O,设由A发出的声波为AF,连接AB,OA,OB,OF,作OE⊥AB于E,作 FG⊥OA于G, B m 图4 ·0E1AB,4B=655 4E-BE-1AB-653 m 2 4 :该圆的直径为65m, ∴OA=OF= 2m, 65V5 中，cos∠OAE=AE 4 3 OA 65 2, ∴.RtAOAE 2 6/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0AE=30°， :OA=OB, ∠0AE=L0BE=30°， ∴.∠AOB=120° ..AFB 240° 所对的圆心角为心，声波经过8次反射， ∴.∠AOF=240°÷8=30° RtAFOG中，FG=。OF=6 1 2 4m，∠0FG=90°-30°=600， .OF=0A. ∴.∠OFA=∠OAF=75° ∴.∠AFG=∠OFA-∠OFG=15° ∴RtaAFG中，cos∠AFG=cosI5o=FG AF 65 即4=6+V2 AF 4 ∴F 65(N6-V2) m 4 65(6-2)。 :声波总长为4 2x8=130(N6-2)m, :这束声波到达点B的时间 106-.1s6-g. 340 34 (4)解：设圆心为O,声波为P巴，过点P的⊙0的切线为PN,连接OP,作OM1PO于M, C0 为 的切线， 图5 .PN⊙O 7/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OP⊥PN, .∠NP0=90° ∠WP9+∠OPQ=90° 即 :Rt△OPM中，∠OPM+∠POM=90°， ∴.∠POM=∠NPQ=a cos∠POM=OM 即 sa=O 65 P OM=6 cosa 若声源P沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为以OP为半径的圆的面积减 去以OM为半径的圆的面积， o((m) 考点03解直角三角形的相关计算 6√13 【答案】65 2. 【答案】 (32,32) 3. 【答案】 45-6,6+45 4. CM+2BM=23AN 【答案】 5. 【答案】6 6. 8/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D是点A的对应点，则 ∠AED=90°， ∴.∠AEC=90° :C是点C的对应点， ·点C在线段AE上 (2)解：由旋转可知，AE=DE,∠AED=90° 在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2=42, ..AE DE=22 DE =2CE CE=√2 在RtAAEC中， 4C2=AE2+CE2=(22+V2=10 AC=√10 (负值已舍去). (3)解：如图，过点C作CF⊥AD于点F 设CE=x,则AE=DE=2x,CE=x, .AC'=x ∠AED=90°， ∠EAD=∠EDA=45°」 在Rt△C"FA中， C'F-AC'.sinLEAD- 在R△CED中，C'D=CE2+DE=5x 在RtACFD中， DF=JCD-CP32 2 v x1 ∴.tan∠B'DC'= CF 2 323. 2 9/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由旋转可知，∠BAC=∠B'DC', tan∠BAC= 3 A 6 B C" E 7. 【答案】(I)证明：~PA为⊙O的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， :BC∥OP .∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB ...OB=OC. .∠B=∠OCB」 ∴.∠AOP=∠COP ,在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP △AOP≌aCOP(SAS) ∴.∠PC0=∠PAO=90° :OC是⊙0的半径， ∴PC为⊙0的切线. (2)解：①连接AC 10/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 在Rt△APO中，OA=2,PA=4, OP=JO+P=2/5 cos∠AOP=A0-2-V5 0P255. :∠B=∠AOP, cosB=cos∠40P=5 5 AB是⊙O的直径， .AB=2OA=4,∠ACB=90° BC=AB.cosB=4× V545 5 5 ②方法-：取oc的钟点F,适接pe,则0F=cF0C=*2=1. ,△AOP≌ACOP ∴.PA=PC=4 :点D,F分别为OB,OC的中点， DF是△OBC的中位线， 11/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF∥BC, DF=号BC=2 1 5. BC∥OP, :.DFIOP, .ADEFAPEO」 2W5 .EFDF=5= OE OP 25 5 EF-1F0=1 6 6 7 ∴.CE=EF+CF= 6 tan∠PEC= PC_4_24 在 中， Rt△PCE 6 方法二：过点D作DG∥OC,交PO的延长线于点G. G- D ∴.∠ODG=∠BOC BC∥OP, ∠GOD=∠B. ∴.AODGABOC, OG DG OD 1 ·BC OC B02 0G=58c-5,DG=50C=l, 2 PG=P0+0G=25+25_125 5 5 :DG∥OC, 12/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△POE∽aPGD 2W50E ，、PO-OE,即1251· PG DG :0E5 6 CE=0C-0E=2-5_7 66 :△AOP≌ACOP ∴.PA=PC=4 PC424 tan∠PEC= .在 中， CE 77 Rt△PCE 6 6 【答案】1)解：⊙0如下图所示. E B 作法：(1)作 ,边交于点： ∠DBC=∠A BD AC D 【详解】(1)作图见答案， 证明：∠ACB=90°， :∠DBC+LBDC=90°， :EF为AD垂直平分线， ∴.OA=OD, ∠OAD=∠ODA, ∠DBC=∠A, ∴.∠ODA=∠DBC. .∠ODA+∠BDC=90°， .∠ODB=90°， ∴.OD⊥BD OD为⊙O半径，点D在圆上， 13/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD为⊙O切线。 (2)·AC=4,tan∠BAC= 2 tan∠BAC=BC-BC1 AC 42 BC=2, :∠DBC=∠A, 1 ∴.tan∠DBC=tan∠BAC= 2 DC 1 'BC 2' .DC=1, .AD=3, ·AF=DF=3 ? tan∠oAF=OF、1 AF 2, 0F=3 4 9,9 4535 ∴.OA 416=V16 4, 3w5 即⊙0半径为4. 考点04锐角三角函数与函数综合 1. 【详解】(1)解：由题意得，顶点C的坐标为-3) (2)解：直线y=0是20截线， .t=0, 对称轴=1与”=0交于 D,0),如图： 14142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O(4 由二次函数的性质可得，CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=O, :点C的坐标为-3) CD=0-（-3)=3 在RtCDB中，tanB=BD-！ CD 3 :BD=CD.t0-3x1-1-4D, 3 .AB=BD+AD=2. .B(2,0) 将B(2,0)代入y=a(--3中， 得0=a(2-12-3 解得a=3: (3)解：①作出二次函数的对称轴交直线y=1于点D,如图： 07 1 a=-。<0 3 .抛物线开口向下， 15/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :顶点为最高点，且直线y=与抛物线有两个交点， t<-3, 将y=1代入y=---3中， 得-)-3=1 x-=1+3 (x-1)=-3(t+3) x-1=V3+或-1=-3+3 解得x=V3+3)+1或=-3+3)+1， 一点B的横坐标为V3(+3)+1 :8D=V30+3) 由图可得，CD=-3-t, .tan0= BD =1 CD .'BD CD V30+3)=-3- -3(t+3)=(t+3)2 (t+3)2+3t+3)=0 (t+3)(t+6)=0 解得13 (舍去)， 52=-6 ②作出二次函数的对称轴交直线y=1于点D,如图： 16/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y D R 不或 A D B 将y=1代入y=a(--3中， 得(--3=1 a(x-1)=t+3 (x-)2=+3 a t+3 x-1=a或 +3 t+3 t+3 解得=√a+或 +1 t+3 ,+1 .点B的横坐标为Va, BD= t+3 a, CD=t+3 由图可得， t+3 .tan= BD a CDt+3· ,直线与抛物线有两个公共点， 1+3,0且+3 :.a 17/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.t+3到=V+32 t+3 t+3 a tan0= a 1 (t+3 W(t+3)2 Va(t+3) .tan0=2 1 =2 ∴.Va(t+3) 1 +34 at+到-号 解得1=4a ③作出y=-ar2+5 图象，其对称轴交直线 于点D y=t y B D' C D'B' 或 C'(0,5) 将=代入y=-ar+5 ， 得-ax2+5=t -ax2=t-5 x2=1+5 a 18142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -t+5 -t+5 解得x。 或 -t+5 ∴.点B的横坐标为Va, B'D'= -t+5 a 由图可得， C'D'=t-5 -t+5 .tan0= B'D' a 1 CD t-5 Va(5-1)' 1 tan 0 由②可得， Va(t+3), 9 0 0≤0 和都是锐角，且 tane≤tan0 1 1 ∴a5-0）yat+3 Va(5-t)≥Vat+3 a(5-t)2a(t+3)） 当a>0时，5-t≥t+3 解得t≤1， ,两个抛物线都有两个交点， 1 对于y=a--3,a+>0, .t+3>0 解得t>-3 19/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 对于y=-r2+5,a6->0, .5-t>0 解得<5， .-3<t≤1： 当a<0时，5-t≤t+3 解得t≥1， :两个抛物线都有两个交点， 1 对fy=ak--3,Va+>0, ∴.t+3<0 解得t<-3, 1 对于y=-am+5,Va5=之0， 5-t<0 解得t>5, 此时，t≥1与t<-3且t>5无交集，此情况无解. 综上所述，t的取值范围为3<t≤1. 考点05锐角三角函数与几何综合 1. 【答105 (2)①证明：如图，线段OE,BC的垂直平分线分别为PV、PM,连接PE、PO, D B 图2 20142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PB=PC,PE=PO. A03 :0A=0C=3,CF5' .AE=CF=5, BE=AB-AE=8-5=3, .BE=CO. :.△BPE≌aCPO(SSS), ∴.∠PBA=∠PCA. ②解：如图，设AB与PC交于点K,过点C作CH⊥AB, 力 D 图2 .CH=AC-sin∠BAC=6sin60°=3W5AH=ACeos∠BAC=6cos60°=3 .01BCD的画积为，=B-CH=8x3V5=245 BH=AB-AH=8-3=5, BC=√BH+CH=V52+(35=23 :∠PBA=∠PCA,∠PBA+∠BPC=∠PCA+∠BAC=∠PKA, .∠BPC=LBAC=60°. 又PB=PC, :.△PBC是等边三角形， :∠PBC=60°.PB=PC=BC=2V3 PM=PBsin ZPBC=23x3 21142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷APBC的面积S=aC-PM分2x5丽=135， S-13513 .S224V324 2. 【答案10)25 (2)解：图形如图所示： D ,理由如下： CE=DE 如图，延长DE交AC于点F, 点A、B关于OM对称， .'AE=BE, ,AC⊥x轴，BD⊥x轴， .AC∥BD,∠ACD=90° .∠CAE=∠DBE, 在△AEF和△BED中， 「∠CAE=∠DBE AE=BE ∠AEF=∠BED' 22142 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AEF≌△BED(ASA) EF=DE,即点E为DF的中点， 在RIACDF中，点E为DF的中点， ∴CE=DE: (3)解：如图，分别过点E、M作EG⊥x轴，MH⊥x轴， -H C B :点A、B关于OM对称， .AB⊥OM, 在RaA0E中，cos∠AOE=OE A' .∠AOE=a,OA=OM, ∴cosa= CE aM' :EG⊥x轴，MH⊥x轴， ∴.∠0旺=∠0HM=90°， .∠EOG=∠M0H, ∴.△QEG∽△OMH, CE OG ·0M0H' ∴.cos a= QG C' 由(2)可得，CE=DE, :EG⊥x轴， ∴CG=DG, ∴.Q℃+QD=0G-CG+0G+DG=20G, 23142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .M(m,1）,MH上x轴， ..OH =m, ..w.cosa=OC+OD. OG ..W. =206. C ∴.W=20H=2m, .m≥3， .w≥6. 3. 【答案】(I)所求图形，如图所示： B (2)解：，四边形ABCD是正方形， :.∠C=90°，BC=CD,∠CBD=∠CDB=45°， 由折叠的性质得：∠EBF=)∠CBD=25°， 2 设BC=CD=a(a>0) BD=BC2+CD=a 由折叠的性质得：BF=BC=a,∠DFE=∠BFE=∠C=90°， :DF=BD-BF=(N5-0,∠DEF=90°-∠CDB=45°， .∠DEF=∠CDB EF-DF=(-1)a 24142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·在RtABEF中， m∠Br-_5-业-5-1 a 4. 【答案】)证明：如图1，连接DO, A D 与 相切于点， 图1 DE⊙O D .∠ED0=90° ∴.∠ADE+∠CDO=90°， OD=OC. .∠CDO=∠DCO .∠ADE+∠DCO=90°， ∠B=90°， .∠A+∠DC0=90°， .∠A=∠ADE, .AE =ED, ,△ADE是等腰三角形 2)解： OE+AE 存在最小值3+5.06-柜存在最大 3-5 ,理由如下： 如图2，延长DE到点M,使EM=OE,连接OM,OD, 25142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M E Bh 0 图2 则∠M=∠EOM, ∴.∠OED=2∠M tanM= OD 2 在Rt△DMO中， DMDM· 2 ..DM= tan M, EM=OE,AE=DE, OE+AE=EM+DE=DM=2 tan M, 易知当∠M最大时，OE+AE取最小值， ∴当∠OED最大时，OE+AE取最小值， 在RtaODE中，sin∠DEO= OD 2 OEOE 易知当OE取最小值时，∠DEO最大， :点E在AB上，点O是定点， ∴.当点E与点B重合时，OE取最小值，如图3， B(E)4 图3 此时，EM=OE=OB=BC-OC=5-2=3, 在RtAODE中，DE=NOE2-OD=32-2=V5 ∴.DM=EM+DE=3+V5 26142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即OE+A 的最小值为 +V5 :在Rt0DEO中，OE2-DE2=OD2=4,DE=AE, ∴.OE2-AE2=4 即(OE+E)(OE-1B)=4 当OE+E取最小值时，0E-B取最大值，为3+53-5 4 5. 【答案】I)O∠ACD:②两点之间线段最短 (2)作法：如图1，连接AB，在AB上方作等边三角形ABD,再作△ABD的外接圆，过点D作DM⊥I, 垂足为M,DM交AB于N,交圆于点P,点P即为要作的点 :AE⊥1，BF⊥1， .AElBF, .AE =BF, ∴.四边形AEFB是平行四边形， .'AB//EF,AB=EF=6. 又DM⊥I,即∠DMF=90°， .∠DNB=∠DMF=90°， :ABIEF,DM⊥I,AE=4,AE⊥I, .MN AE=4, ,三角形ABD是等边三角形，DA=DB,∠DNB=90°， .∠ADP=∠BDP=30°，∠DAB=60°， ,∠PAB=∠BDP=30°， ∴.∠PAD=∠PAB+∠DAB=90°. :,PD为△ABD的外接圆的直径， :∠PAD=90°，∠ADP=30°， :PA=PD,同理PB-PD, 27142 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴此时PA+PB+PM= PD+PM=PD+PM ∴此时点P到点A、点B、直线I的距离之和达到最小，最小值为DM的长. :△ABD是等边三角形， ∴.∠DAB=60°，AD=AB=6 =3W5 在RtAND中， DN-AD-sin_DAB-6xsin60x 2 ∴.DM=DN+MW=3V3+4 3V3+4 ∴，点P到点A、点B、直线I的距离之和最小值为 D (3)解：如图所示，分别以边AB和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形CDN,再作 △ABM和△CDN B连接，B职，CB,DR,设MN 的外接圆.连接M,N,分别交两圆于点和点，连接， 交B于点F,交CD于点F,其中辅设路线为，8 CD AP BP CP DP PP D M E P B 由②可知，AB1MCD1,4R=职=方R.CR=DR=N,EF=AD=b AP+BP+PP+CP+DP=MP+PP+PN=MN ∴铺设的管道长度为： .此时管道长度达到最小，最小值为MN, ,三角形ABM为等边三角形，AB=a, 28142 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠MAB=60°，AM=a, :AB⊥MN, ME-AMsin60= a 2“,同理可求得NF为2“， MN=ME+NF+EF-2x3 +b=3a+b +√3a ∴.管道路线总长度的最小值为 一年摸拟练测园 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C 0 A B D B C 0 B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B B B D D 0 20.5 81v3 21.4 20 23.2 24.25 25.4 26.(25-6π)(-6m+12) 27.80V3 28,31而 29.2 29142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.v10 .() 7 32.14 33.4 34.(1)3 1 (2)x+1 35.竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺 36.(1)67cm (2)不是，桌面应下调lcm 4 37.梯子的长度为cosa+cosB 38.(1)27cm (2)72cm 39.(1)证明：四边形ABCD是菱形， AB=AD=BC=CD,∠ABC=∠ADC, .CE=CF BC-CE=CD-CF,即BE=DF, ∴五边形ABEFD是等腰五边形. (②)证明：如图所示，连接AC、AD, D 在△ABC和△AED中： AB=AE ∠ABC=∠AED BC=ED· 30142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ABC≌△AED(SAS) .AC=AD,∠ACB=∠ADE, .∠ACD=∠ADC, .∠ACD+∠ACB=∠ADC+∠ADE,即∠BCD=∠EDC. 75 3)16或5或32或6 ④FC=(5i3-s)m 40.1)127° (2)30cm 41.(1)45° (2)37.9m 42.(1)18.6cm (2)48.6cm 43.树CD比树AB高3米 44.海春轩塔的高度AB约为20.8米. 45.12√2km 46.1)2.17m (2)解：没有碰头的危险，理由如下： 作CF⊥B'E于点F,如图，则∠C'FB=90° ⊙ 在直角三角形ABE中，·∠BAE=28°， ∠AB'F=90°-28°=62°， :∠AB'C'=∠ABC=122°， 31/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠C'B'F=122°-62°=60°， 则在直角三角形CBF中， BF=B'C'.cos60°=0.6× .EF=B'E-B'F≈0.469-0.3=0.169 ∴.点C'到水平地面的距离=0.169+1.7=1.869≈1.87m, 1.8<1.87」 “游客身高为8m,从翻开的遮阳挡板端点C'正下方经过，没有碰头的危险 47.测试物体移动的距离EF的长约为17.4米。 48.(1)证明：AB是⊙O的切线，切点为点B, ∠AB0=90°， .∠AEB=90°-∠A, :BC为⊙O的直径， ∠BDC=90°， .∠ADC=90°-∠BDA. BD=BA, .∠A=∠BDA, .∠ADC=∠BEA. :∠ADC=∠FBC, ,∠FBC=∠BEA, ..EF FB. 、9 02 49.(1)4.9米 (2)D到A的水平距离DM的长为6.3米。 50.0)证明：(a-b)}'≥0 .a2-2ab+b2≥0 ∴.a2+b2≥2ab 32142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②①解：如图.作直线y=x,交反比例函数图象于4、B两点，过点B作BC1AB,使BC=方AB,连 接AC,△ABC即为所求. 证明：在 ② △ABC∠ABC=90°，tan∠ACB=2 .AB=BC.tan∠ACB=2BC, :BC=1AB 2 片4C=B+Bc=546 2 Cc=AB+BC+AC=B+B+因 AB=3+54B 2 2 1 :A、B都在反比例函数少=x的图象上， -+=20+25 当且仅当Q=。,即a=1时，4B取得最小值2， 即A、B均在直线y=x上，所作的△ABC周长最小. 51.(1)解：如图，点F即为所求。 33142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：①如图，圆心0即为所求. ②6 52.1)3 (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，理由如下： ,摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈， ∴.摩天轮每分钟旋转360°÷6=60°】 ∴第4分钟时，点P旋转了60°×4=240°；第8分钟时，点P旋转了60°×8=480°，如图所示： 地面水平线 :∠B0P=360°-240°=-120°∠P0P=480°-360°=120 34/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠POP=∠POP ∠POA=∠POA PO=PO 又. .PP⊥OA ,PB平行于地面水平线， ∴.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高. 3)(i)当t=0时，h=45-40=5m: 当t=1.5时，即点P在x轴正半轴上， .h=45m; 当t=3时，点P到达最高点， ∴.h=45+40=85m, 当t=4.5时，即点P在x轴负半轴上， .h=45m; 当t=6时，点P回到起始最低点， .h=5m: .可列出如下表格： t/min 0 1.5 3 4.5 6 h/m 5 45 85 45 5 根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象，如图所示： 90 70 60 50 40 30 20 104 0123456x ,当摩天轮开始转第二圈时，点P会重复第一圈的过程， 35142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.点P距离地面的高度会呈现周期性变化， .点P高度h/r关于运动时间t/min的大致图象会重复0≤t≤6的这个图象. ()由(i)可得：当1.5<t<3或3<t<4.5时，点P距离地面的高度才有可能是65米， 设地面水平线为MN,过点P作PD⊥y轴，PC⊥MN, 当1.5<1<3时，∠D0P=180°-60°，如图所示： 珠 Dn. M CN地面水平线 OD=cos∠DOP×OP=40×cos(180°-60t) PC=45+0D=45+40×cos(180°-60t) :45+40xc0s(180-60r°)=65 ÷cos180°-60r)= 2, 180°-60°=60°，解得：t=2; 当3<t<4.5时，∠D0P=60°-180°，如图所示： --月D M C 地面水平线 OD=cos∠DOP×OP=40×cos(60t°-180) PC=45+0D=45+40×cos(60t°-180) 36142 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45+40×cos(601°-180)=65 os(60r-10y）- .60t°-180°=60°，解得：t=4; .当2≤t≤4时，h≥65， .m=4-2=2min 53.①)y=+10(-10≤x≤10) 10 (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F理由如下： 如图，连接QF, Q E ,点P到点A的水平距离为2m, 六x=-8,=10×(8+10=3.6, :P-836) …PQ=1.6m, :0(-852) ,山高为33lm,山顶F到点A的水平距离为364m. .CE=354, :F(35431） 设直线QF为y=cx+b, -8k+b=5.2 k=0.9 ∴.354k+b=331,解得：b=12.4, 37142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.直线QF为y=0.9x+12.4 09x+124-(02+10 =0.1x2+0.9x+2.4 =0.1(x2+9x)+2.4 =0+9+035>0 ∴.人眼在点Q处能直接看到山顶F ②(a) 54.(1)2 (2)8 @33sDGs23 4)3 56.(1)一定 (2)一定，理由如下 连接BD交MN于点O, A M D B ,四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC,AB=CD ,直线MN平分平行四边形ABCD的周长， .AM +AB+BN DM+CN+DC. AM+BN=DM+CN(4D+C)-AD=C DM+CN=BC=BN+CN, 38142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DM=BN, .AD∥BC, .∠DMO=∠BNO,∠MDO=∠NBO .△DMO≌△BNO(ASA). .BO=DO 又：平行四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分，且交点是BD的中点O, .直线MN一定过AC,BD的交点： A 3) B 3 4)05:②23 57.1)4 E02v6 ②证明：如图1，过点B作BM⊥AE于点M, 由旋转可知，AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB、 F D E C M G B,AB∥CD ∴.∠ABE=∠CEB, ∴.∠CEB=∠AEB 39142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·.BE平分∠AEC. 又∠C=90°，BM⊥AE, ∴.BC=BM. 由旋转可知，AG=AD=BC, .AG=BM. ∠GAO=∠BM0=90°.∠AOG=∠MOB. .△AOG≌△MOB(AAS) :.OG=OB: ②略 @)35-4或35+4 58.(1)证明：设AC=DE=a, .∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°， .∠A=∠C=45 .AB=BC. :BM⊥AC, :8M=4M=CM=4C 20， :∠EDF=30°，EN⊥DF, :EN-IDE-1a. 1 2 2 .BM=EN: (2)解：①证明：，点C与点E重合记为C,EN⊥DF, CN⊥DF, .∠CND=90°， .∠EDF=30°. :.∠DCN=90°-30°=60°， .a=∠ACD=30° .∠ACN=∠ACD+∠DCN=90°， .BM⊥AC, 40142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠PMC=∠BMC=90° .四边形PMCN为矩形， :BM=EN,即BM=CN, 而BM=CM, ..CM=CN, .四边形PMCN是正方形： DP+MP3 ②CD 2, 证明：当30°<a<60°时，如图，连接CP, D 由①知CM=CN,∠PMC=∠PNC=90°， 在RtAPMC和RtAPNC中， CM=CN PC=PC RtAPMCS≌Rt△PNC(HL) .PM PN, .MP+DP=PN+DP=DN. ∠D=30°， ·cos2=DNDP+P=cos3oe=√3 CDCD 2, DP+MP3 .CD 2. 59.(I)证明：正方形ABCD, 41142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADB=∠ABD=∠CDB=∠CBD=45°， .∠EDF=45°， .∠EDB+∠BDF=45°」 :∠CDF+∠BDF=45°， .LEDB=∠CDF, .△DBE∽△DCF; (2)3: 3)2. 60.(1)60° e时 90 3)2或13 42142 专题19 锐角三角函数 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 含特殊三角函数的混合运算 2026 盐城卷 2026 宿迁卷 2026 扬州卷 多以解答题第一小问形式考查。命题融合零次幂、绝对值、二次根式、特殊角三角函数、整式乘法，核心考查 30°、45°、60° 三角函数值及实数混合运算，为基础送分题，每年必考。整体难度偏低，重在熟记特殊角三角函数值并注意运算符号，设问稳定，属于必拿分考点。 考点 02 解直角三角形的相关应用 2026 镇江卷 2026 宿迁卷 2026 徐州卷 2026 苏州卷 2026 连云港卷 2026 淮安卷 以解答大题为主，偶见选择。命题依托俯角仰角、坡道坡度、光的反射、车辆转弯、机械臂、回音壁等生活与跨学科情境，核心考查把实际问题剥离成直角三角形模型，结合坡度坡角、俯仰角利用参考数据近似计算。整体难度中等，设问多以模型 + 新定义形式压轴，文字量大，对从题干提取几何模型的能力要求提高。 考点 03 解直角三角形的相关计算 2026 盐城卷 2026 徐州卷 2026 苏州卷 2026 扬州卷 2026 连云港卷 2026 常州卷 选择、填空、解答均有出现。命题常结合图形平移、翻折、旋转、菱形、圆等背景，核心考查用三角函数求线段长，构造直角三角形转化边角关系；填空压轴居多，需作辅助线，常结合对称点轨迹分析。整体难度中等偏上，设问从基础计算转向几何变换中的边角转化，综合性增强。 考点 04 锐角三角函数与函数综合 2026 镇江卷 以压轴解答题形式考查。命题采用二次函数新定义题型，把三角函数与抛物线顶点、截线结合，核心考查利用 tanθ 转化边角关系、二次函数线段与角度转化，涉及含参讨论与分段分析取值范围。整体难度较大，属于代数 + 几何综合的区分度压轴题，对函数与三角函数双模型识别能力要求高。 考点 05 锐角三角函数与几何综合 2026 南通卷 2026 宿迁卷 2026 徐州卷 2026 连云港卷 以压轴解答题形式考查。命题依托平行四边形、正方形折叠、圆、费马点、几何旋转等综合背景，核心考查用三角函数转化角度、结合全等相似、最短路径与最值探究，常含证明、探究、拓展应用多小问层层递进。整体难度最大，属整卷压轴，对作图 + 证明 + 代数计算综合能力要求高，区分度明显。 考点01 含特殊三角函数的混合运算 1．（2026·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】分别计算零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再合并计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点02 解直角三角形的相关应用 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】画幅的面积约为 【分析】连接，过点A作于F，则，先证明四边形是矩形，得到，，再求得，，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得，进而可求解． 【详解】解：连接，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴画幅的面积约为． 4．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1) 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； (2)①75    ②的长为厘米 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【答案】(1)3 (2)此时左前轮的转向角的度数约为 (3) 【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：由题意得，，， ， 在中， 解得： 在中 ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为 （3）解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意，， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴，, 在中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 6．（2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 7（2026·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． (1)请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． (3)如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． (4)如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1) 如图所示，点即为求作的“三音石”的位置； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得“三音石”的位置为圆形回音壁圆心的位置．在上任取三点，连接，，分别作，的垂直平分线，，交点即为“三音石”的位置； （2）声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上，再由回音壁反射回来经过的路程长为，即可求得时间； （3）设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于，进而求得， ， ，得出 ，，根据，求得，求得声波总长为，即可求这束声波到达点的时间； （4）设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于，由 为的切线，得，根据，得，进而根据解直角三角形得，由声源沿回音壁顺时针连续运动一周，得其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积，列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上， 再由回音壁反射回来经过的路程长为， 时间为； （3）解：设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于， ， ， 该圆的直径为， ， 中，， ， ， ， ， 所对的圆心角为，声波经过8次反射， ， 中，，， ， ， ， 中，， 即， ， 声波总长为， 这束声波到达点的时间为； （4）解：设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于， 为的切线， ， ，即， 中，， ， ，即， ， 若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积， 得． 考点03 解直角三角形的相关计算 1．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则点的坐标为__________________________． 【答案】 【分析】点在轴正半轴，旋转后长度不变，旋转夹角为，构造直角三角形，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴， ∵将点绕原点顺时针旋转得到点， ∴，． 过点作轴于点， ∴， ∴在中，， ， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在等边中，，分别是，边上的点，．将沿翻折得到，若点恰好落在边上，则线段长度的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】过点D作于点H，则．设，则，，根据列出不等式，求解即可． 【详解】解：过点D作于点H，则． 设，则， 由折叠可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴，解得， ∴， ∴的最小值为． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中， ，．将线段绕点A按逆时针方向旋转至（是旋转角，且 ），连接， ，作 ，垂足为N．用等式表示线段， ，之间的数量关系为_______． 【答案】 【分析】过点A作于点H，延长交延长线于点E，可推得，则，分别在和中，利用特殊角三角函数关系，找到与关系，与之间的关系，再利用等腰三角形的性质，转化成，，之间的数量关系． 【详解】解：过点A作于点H，延长交延长线于点E， 由题意，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， 同理，在中，， ， ∴， ∴， 整理，得． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，菱形中，，，点P在边上，且，Q为边上的动点，点C关于的对称点为．若、的面积分别记为、，则的最大值为____． 【答案】6 【分析】根据得出当最小时，即最小时，最大，再根据得出，由此即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴当最小时，即最小时，最大， 由对称可知：， ∴在以为圆心为半径的圆弧上运动， ∵， ∴， ∴当在线段上时，取最小值，最小值， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值为． 【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出，将面积差最大问题转化为最小，即最小． 6．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上． （2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长． （3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则， ． 是点的对应点， 点在线段上． （2）解：由旋转可知，，． 在中，， ． ， ， 在中，， （负值已舍去）． （3）解：如图，过点作于点． 设，则，， ． ， ． 在中，． 在中，． 在中，， ． 由旋转可知，， ． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求的值． 【答案】(1)证明：为的切线， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 是的半径， 为的切线． (2)；② 【分析】（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论； （2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解； ②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解； 方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴ 是的直径， ∴，． ∴． ②方法一：取的中点，连接，则． ， ∴． ∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴在中，． 方法二：过点作，交的延长线于点． ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴． ∴在中，． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，．以边上的点为圆心，长为半径的与边的另一交点为，为的切线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)解：如下图所示． 作法：（1）作，边交于点； （2）作的垂直平分线，交于点； （3）连接，则；（4）以为半径作． (2) 【分析】（1）先作交于点，再作的垂直平分线，交于点，以为半径作即可； （2）由已知条件先求，进一步可求长度，长度，均可求，最后借助勾股定理可求半径长度． 【详解】（1）作图见答案， 证明：， ， 为垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，点在圆上， 为切线． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即半径为． 考点04 锐角三角函数与函数综合 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，我们将经过点且垂直于y轴的直线记作“直线”．如果它与二次函数（a，h，k为常数，且）的图像（顶点记为C）有两个公共点，记为A，B（点A在点B的左侧），，我们称直线为该二次函数图像的截线． 已知二次函数． (1)顶点C的坐标为__________． (2)直线（即x轴）是该二次函数图像的截线．若，求点B的坐标以及a的值． (3)直线是二次函数图像的截线． ①已知，求t的值； ②已知，用含a的代数式表示t；（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图像的截线，当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)点B的坐标为； (3)①；②；③ 【分析】（1）根据顶点式的性质即可得解； （2）由抛物线对称性可知，对称轴垂直平分弦，即且．先由得，结合算出，得；再将代入解析式即可求出． （3）①将代入抛物线解析式，解得点横坐标，进而得；顶点到直线的竖直距离．由得，列方程求解后舍去顶点值，最终得；②同理求解得出，，代入正切定义化简得，将代入，两边平方后整理等式，即可解出；③先对同理推导得，由得，分、两类解不等式，同时结合“直线与两抛物线均有两个交点”的定义域限制，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，顶点的坐标为； （2）解：∵直线是截线， ∴， 对称轴与交于点，如图： 由二次函数的性质可得，， ∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 将代入中， 得 解得； （3）解：①作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点为最高点，且直线与抛物线有两个交点， ∴， 将代入中， 得 或 解得或， ∴点B的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去），； ②作出二次函数的对称轴交直线于点D，如图： 或 将代入中， 得 或 解得或， ∴点B的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∴， ∵直线与抛物线有两个公共点， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ③作出图象，其对称轴交直线于点， 或 ∴， 将代入中， 得 解得或， ∴点的横坐标为， ∴， 由图可得，， ∴， 由②可得，， ∵和都是锐角，且， ∴， ∴ ， 当时， 解得， ∵两个抛物线都有两个交点， ∴对于，， ∴ 解得， 对于，， ∴ 解得， ∴； 当时， 解得， ∵两个抛物线都有两个交点， ∴对于，， ∴ 解得， 对于，， ∴ 解得， 此时，与且无交集，此情况无解． 综上所述，t的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数新定义题型，通用解题模型为：利用抛物线轴对称性构造直角三角形，将角度条件转化为，实现几何条件代数化．常见错误有忽略直线与抛物线相交的定义域限制、含参不等式未分类讨论的正负．避坑关键：先确定的取值边界，参数问题优先按开口方向分类讨论． 考点05 锐角三角函数与几何综合 1．（2026·江苏南通·中考真题）综合与探究： 如图1，在中，，，，点，分别在边，上，且．连接，交于点． (1)求线段的最小值． (2)如图2，．分别作线段，的垂直平分线，两直线交于点，连接，． ①求证：； ②分别记，的面积为，，求的值． 【答案】(1) (2)①证明：如图，线段，的垂直平分线分别为、，连接、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据平行四边形性质结合已知证明，可得是的中点，是定点，由此可知线段的最小值是点到的距离，过点作，可得，即可得出结论． （2）①根据已知可以计算出，，由此得出，再根据垂直平分线性质可得，，由此证明，即可得出； ②根据，结合8字型模型可以证明，得出是等边三角形，利用解三角形求出，的面积即可解题． 【详解】（1）解：∵在中， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 过点作，如图1 ∴， ∵当时，即点与点重合时，线段取最小值， ∴线段的最小值为． （2）①略， ②解：如图，设与交于点，过点作， ∵，， ∴的面积为， ， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、解三角形等知识，综合性强，属于中考压轴题． （1）解题关键：利用平行四边形性质和已知条件（）证明，得出O为对角线的中点（），从而确定为定点．线段的最小值即为定点O到直线的最短距离——过O作的垂线段，利用含的直角三角形求解． （2）①解题关键：由已知求出；利用线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）得、，再通过证明，进而得出． （2）②解题关键：结合①中结论和“8”字型模型，证明为等边三角形；再利用解三角形求，利用面积公式分别求出（面积）和（平行四边形面积），最终求解问题． 2．（2026·江苏南通·中考真题）主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究． 【数学情境】 在平面直角坐标系中，将点（）绕点逆时针旋转得到点．旋转角为（），点关于直线的对称点为．分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．设线段与交于点，连接，． 【特例感知】 (1)如图1，当，时，求线段的长． 【猜想证明】 (2)在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段，的大小关系，并说明理由． 【拓广探索】 (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)解：图形如图所示： ，理由如下： 如图，延长交于点， ∵点、关于对称， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， 在中，点为的中点， ∴； (3) 【分析】（1）由旋转与轴对称的性质可得，是腰长为的等腰直角三角形，使用勾股定理求出即可； （2）按要求作出图形，延长交于点，容易证明，则，由直角三角形的性质即可得出； （3）分别过点、作轴，轴，由余弦函数的定义可得，结合旋转的性质可得，容易证明，则．由等腰三角形的性质可得，则，结合题干条件可得，代入的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 由旋转的性质可得，，， 由轴对称的性质可得，，， ∴， 在中，； （2）略 （3）解：如图，分别过点、作轴，轴， ∵点、关于对称， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∵轴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·江苏宿迁·中考真题）综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． (1)【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)【问题解决】直接写出的度数和的值． 【答案】(1)所求图形，如图所示； (2)， 【分析】（1）先连接，再作的平分线，交于点，然后过点作的垂线，交于点即可； （2）根据折叠的性质可得，设，则可得，，的长，再求出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得：， 设， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． 4．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，．点在边上，．以为圆心，为半径作圆，与边交于点．过作的切线，与边交于点，连接．    (1)求证：是等腰三角形； (2)随着长度的变化，是否存在最小值？是否存在最大值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2)解：存在最小值，存在最大值，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，， 则， ． 在中，， ， ，， ， 易知当最大时，取最小值， 当最大时，取最小值， 在中，， 易知当取最小值时，最大， 点在上，点是定点， 当点与点重合时，取最小值，如图， 此时，， 在中，， ， 即的最小值为． 在中，，， ， 即， 当取最小值时，取最大值，为． 【分析】（1）考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定．连接，利用切线性质可以得到，推出与互余，再结合得到，又因为在中，与互余，因此可以推出，从而证明是等腰三角形； （2）延长到点，使，连接，则可转化为求的长，然后利用解直角三角形分析和中随的变化关系，确定当取最小值时，即点与点重合时，取得最小值，再在中使用勾股定理求得的长，进而求得的最小值，最后将勾股定理与平方差公式结合得到，利用两者之积为定值，从而求出的最大值． 【详解】（1）略． （2）略． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 (1)在锐角中，求作一点P，使的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以为边向外作等边三角形，再作的外接圆，连接， 与交于点P．则点P即为求作的点． 在上取一点，使，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得 ① ，故是等边三角形．所以． 进而可证得．所以． 所以． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， 的长即为的最小值． 【方法迁移】 (2)如图2，已知点A，B到直线l的距离，．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 (3)如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且，（）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)①；②两点之间线段最短 (2)作法：如图，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点． 点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为； (3)管道路线总长度最短为． 设计方案：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，其中铺设路线为，，，，． 【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解； （2）连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点．证明四边形是平行四边形，利用平行，可证，根据等边三角形的性质，可求得，证明出是外接圆的直径，接着证明此时达到最小，再解，求得、，得出答案； （3）分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆，连接M，N，分别交两圆于点和点，结合（2）可得出的长即为管道路线总长度的最小值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）作法：如图1，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又，即， ∴， ∵，，，， ∴， ∵三角形是等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为的外接圆的直径， ∵，， ∴，同理， ∴此时， ∴此时点P到点A、点B、直线l的距离之和达到最小，最小值为的长． 是等边三角形， ，． 在中，， ． ∴点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为． （3）解：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，连接，，，，设交于点，交于点，其中铺设路线为，，，，． 由（2）可知，，，，， ∴铺设的管道长度为：， ∴此时管道长度达到最小，最小值为， ∵三角形为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴，同理可求得为， ∴， ∴管道路线总长度的最小值为． 1．（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取格点M，连接，则， ∵A、B、C、D四个点均在格点上， ∴． 2．（2026·江苏常州·二模）如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坡度的定义求出垂直高度，再利用勾股定理求出斜坡长 【详解】解： ∵坡度， 即 又∵ ∴ 在中， 由勾股定理得： ． 3．（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 5．（2026·江苏连云港·二模）如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由角平分线性质定理得，根据，得，求得，再证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，， 平分，， ， 在中，，， ； 在中，由勾股定理得， ， 由尺规作图的痕迹知， ， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 6．（2026·江苏南通·一模）如图，将图1所示的正方形纸片沿对角线（图中虚线）剪开，拼成如图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交的延长线于点，由题意可得，，，设，则，求出为等腰直角三角形，得出，从而可得，最后由正切的定义即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由题意可得：，，， 设，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得到，，可知当的长最小时，的长最大，由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小，如图，过点D作 于G，证明四边形是矩形得到，然后解直角三角形求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴当的长最小时，的长最大， 由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小， 如图，过点D作 于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴长的最小值为，此时长的最大值为． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理以及 可得，然后证明，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， 则， ∵与小圆相切于点， ∴ ∴ ∵为的中点，经过圆心， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵已知， ∴当已知时，即可求解．故C符合题意． 9．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，则，求得，，进而求得的长得出，证明，进而得出垂直平分，，当时，取得最小值，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接，过点作于点，则 ∵中，，，． ∴，， 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴， 而 ∴， ∴当时，取得最小值，，即线段的最小值为 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，设与相交于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， 当的长取最小值，的长取最小值， 由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值， 此时，， 的最小值是． 11．（2026·江苏·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 结合网格可知，，，， 在中，， ∴． 12．（2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点M，根据等边三角形的性质，三角函数的定义求解即可． 【详解】解：过点A作于点M， 是等边三角形，、、是三个全等的三角形，，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 13．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 14．（2026·江苏无锡·一模）如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，，再解直角三角形得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 15．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 16．（2026·江苏无锡·模拟预测）菱形的三个顶点，，在双曲线上，其中，在第一象限，在的左侧，且经过原点．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，在上取点、，使,过点作，垂足为，过点作，垂足为,设点,表示出点、的坐标，、、、、的长，证明，表示出、、、的长，表示出点的坐标，代入得的值，最后利用平移的性质得点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，在上取点、，使, 过点作，垂足为，过点作，垂足为． 设点，由经过原点可得， 则， ∴，， ∵，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵四边形是菱形， ∴, 在和中， , ∴, ∴,， ∵， ∴,, ∴，， ∴， ∴， 代入得，， 解得， ∴,，, 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，平移的性质，解直角三角形，通过添加辅助线构造“一线三等角”全等模型是解决本题的关键． 17．（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市锡惠公园有一座龙光塔，具有悠久的历史底蕴．数学兴趣小组在清明假期进行社会实践，利用激光测距仪和手机（能测量长度和角度）测量塔高．如图所示，因路段原因，小组无法到达塔底进行测高，于是选择在离塔一定距离的公路上测距．如图所示，将塔简化为线段，他们在这条路上选取了两个点和，设的长为，根据下列数据，能测出塔高的有（   ） ①，，，    ②，，， ③，，，    ④，，， A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】三角形的三个内角和三条边称为三角形的六要素，解一个三角形需要知道其中三个要素，且至少要知道一条边长，据此逐项判断即可． 【详解】解：①在中，已知，，，可以解这个三角形得到，再利用，解直角得到的值； ②在中，已知，，无法解此三角形，在中，已知，，无法解此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，故不能计算出的值； ③在中，已知，，，可以解这个三角形得到，再利用，解直角得到的值； ④在中，， 在中，， ∴， 已知，，则的值为定值， 在中，已知，，结合的值为定值，可求出，再利用，解直角得到的值， 故能测出塔高的有①③④． 18．（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 19．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，根据正六边形的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上，再利用圆外一点到圆上的点距离最小即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，， ∵六边形是边长等于4的正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点、、分别为、、的中点， ∴是等边三角形，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为定值， ∴， ∴， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当，，共线时，的最小值． 20．（2026·江苏徐州·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为，“矢”为，则的值为_______． 【答案】 【分析】作于点，交圆弧于点，利用垂径定理和勾股定理构建方程求出，，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点，交圆弧于点， 由题意可得， 设，则， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴． 21．（2026·江苏扬州·二模）如图，边长为6的正六边形，点、分别在、上，且，点为正六边形边上一动点，则的面积最大值为_______． 【答案】 【分析】设，由图可得当在上时，点到的距离最大，即边的高的最大值为，再利用，从而得出点在上时，的面积关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：连接、，分别交于、，过点作，垂足为； ∵边长为6的正六边形， ∴，， ∴，， 同理：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则在中，， 同理可求， ∴，， ∵，， ∴， ∴点到的距离小于等于， 当在上时，点到的距离最大，最大值为，此时的面积最大， 的面积最大值， 当时，的面积最大值为． 22．（2026·江苏扬州·三模）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，设，，由，可得结合勾股定理可得，易证同理可得，结合可得由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，设， ， 如图，过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值为， 23．（2026·江苏扬州·三模）如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 【答案】2 【分析】连接交于点，由正方形的性质可知，，根据，可判定，然后利用相似三角形的性质得到，进而求得，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可． 【详解】解：如图，取格点F，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24．（2026·江苏扬州·二模）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是______m． 【答案】 【分析】先利用正弦定义求得，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意，， 在中，， 故露在水面上的鱼线的长度是． 25．（2026·江苏宿迁·三模）如图，矩形中，，．点在线段上由向方向匀速运动，点在线段上由向方向匀速运动．点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的3倍．当点到达点时，点也停止运动．将矩形沿翻折，点、点的对应点分别为点、点，连接．在运动过程中，当最小时，的值为________． 【答案】4 【分析】连接交于点，连接，，，过点作于点，如图，首先利用勾股定理求出，然后证明，得到，求出，由翻折的性质得：为定长，得到点始终在以点为圆心，以的长为半径的圆上，当点在线段上时，为最小，然后利用相似三角形的性质求出，，进而求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接，，，过点作于点，如图， ， 四边形是矩形，且，， ，，，， ∴， 点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的3倍， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是上的定点， 点，是矩形的定点，也是定点， ，为定长， 由翻折的性质得：为定长， 即点始终在以点为圆心，以的长为半径的圆上， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 当点在线段上时，为最小， 此时， ， ， △△， ， ， ，， ， ， 在运动过程中，当最小时，的值为4． 26．（2026·江苏苏州·三模）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为__________． 【答案】/ 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为． 27．（2026·江苏宿迁·三模）如图，点在平面直角坐标系的原点上，点，，…在轴上，点，，，…，点，，，…都在抛物线上，四边形，，…都是菱形．若，则菱形的周长是________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据题意求出，代入抛物线的解析式求出，同法求出，推出，进而得到菱形的边长为，即可得出结果. 【详解】解：∵四边形，，…都是菱形，点，，…在轴上， ∴轴，轴，…， 设菱形的边长为， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，，，…都在抛物线上， ∴， 解得（舍去）或； ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去） 同法可得：，， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长是. 28．（2026·江苏泰州·三模）如图，矩形中，，，点为上一点，且，点为直线上一个动点，以为直角边，在下方作，其中，，连接，则线段长的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接、连接，利用三角函数值相等可得，进而由旋转相似模型容易证明，得出点在过点，与成夹角等于的直线（矩形外部）上，再求点到直线的距离即可. 解题关键是根据瓜豆原理确定点在定直线上. 【详解】解：连接、连接，过点作， ∵矩形中， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点在过点，与成夹角等于的直线（矩形外部）上， ∵， ∴，当与点重合时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵. 29．（2026·江苏淮安·二模）如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 30．（2026·江苏盐城·二模）如图，四边形是平行四边形，沿着过点的直线翻折，使得点的对应点落在延长线上，折痕与相交于点，连接，若，且，求______________． 【答案】 【分析】作得直角，由翻折性质得角和边相等，结合平行四边形得内错角相等，等角对等边推出；再由对顶角和已证的内错角相等证，结合，设参得，接着由证，设得、；再证得，由的两种表示推出；最后联立和的勾股定理解出、，将转化为，在中求出正切值即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ∵沿翻折后得，点在折痕上， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 已知，设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， 将代入上式得， 整理得，解得， ∴， ∵，在中，， ∴． 31．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为，通过解直角三角形可求得，根据已知证明，从而可得，接着得出，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点作轴，垂足为，则， 在中，，， 即， 解得， ． 32．（2026·江苏镇江·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点．将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，，则________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，可得，．过点作于点，延长交于点，构造直角三角形和．设，，利用勾股定理建立关于，的方程组，求出点的位置．再过点作于点，在中，利用正切的定义求解即可 ． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，，，， 过点作于点，延长交于点， 则，，四边形为矩形， ∴，， 设，，则，，， 在中，由勾股定理得， 即，整理得①， 在中，由勾股定理得， 即，整理得②， 由①②可得，即， 将代入②得， 解得（舍去）， ， 即，， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 33．（2026·江苏盐城·三模）计算：． 【答案】4 【分析】先根据绝对值的性质，乘方，零次幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 【详解】解： ． 34．（2026·江苏扬州·三模）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 35．（2026·江苏南京·三模）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面尺，第二次露出水平面尺，已知两次与水平面的夹角分别是与，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离． 【答案】竹竿的长度为尺，水底固定处到水平面的距离为尺． 【分析】过点作水平面的垂线，交水面于，设竹竿的长度为尺，则尺，尺，根据正弦函数的定义可得方程，解方程可求出的值，进而求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作水平面的垂线，交水面于， 设竹竿的长度为尺，则尺，尺， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 答：竹竿的长度为尺，水底固定处到水平面的距离为尺． 36．（2026·江苏南京·三模）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 37．（2026·江苏南京·三模）如图，在两面竖直的墙之间有一个底端在处的梯子，当它靠在左侧墙上时，梯子的顶端在处；当它靠在右侧墙上时，梯子的顶端在处．已知，两面墙之间的距离为．求梯子的长度（用含的式子表示）． 【答案】梯子的长度为 【分析】设梯子的长度为，则，然后根据三角函数可得，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设梯子的长度为，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， ． 答：梯子的长度为． 38．（2026·江苏盐城·模拟预测）2026年央视春晚机器人节目《武BOT》中（如图1），机器人完成了马步、空翻、队列变换等高难度动作，展现了科技与传统文化的深度融合．图2为该款机器人某次表演动作的侧面示意图，已知上半身（不含头部），大腿与小腿长度均为，手臂长度为，，且上半身垂直地面． (1)求点到直线的距离； (2)若此时点，，恰好在同一直线上，且，求点到地面的距离．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点E作，垂足为点F，根据正弦函数求解即可； （2）连接，过点C作，垂足为点G，过点E作，垂足为点H，得出，再由余弦求解得出，确定，得出，利用矩形的判定和性质即可求解 【详解】（1）解：过点E作，垂足为点F， ∴， ∴在中，， ∴， 答：点E到直线的距离为； （2）解：连接，过点C作，垂足为点G，过点E作，垂足为点H， ∴， ∵点A，B，D恰好在同一直线上，， ∴， ∴， 又∵， ， 在中，， ∴， ∴， 在（1）中的中， ， ∴，       ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点到地面的距离为． 39．（2026·江苏盐城·三模）根据下面的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容 等腰三角形 提出概念 如图，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)理解概念：如图，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)探究性质：如图，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)特例探究：如图，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的最长的边长． (4)解决问题：如图，有一个等腰五边形花园，，，．为了美观，工作人员计划在花园内用栅栏围一个三角形区域，在里面种植风景树，其余区域种植花卉．已知点，分别在，上，且．按照设计要求，试求当时，的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， ，即， 五边形是等腰五边形． (2)证明：如图所示，连接、， 在和中： ， ， ，， ， ，即． (3)或5或或6 (4) 【分析】（1）只需证明3个条件：、、，利用菱形四边相等、对角相等，结合证明即可； （2）连接、，先证，得到、，再证明 ，即可推出 ； （3）分两大类：裁剪出的“等腰五边形”有3条边相等和有4条边相等，根据题意画出对应的示意图，讨论求解即可； （4）连接，证明是等边三角形，得到；过点A作于点T，连接，解直角三角形可得；证明四边形是矩形，得到；设交于点G，过点G作于点N，证明四边形是矩形，得到，，；可证明，解直角三角形得到，；设，则，，进而得到；将绕点D顺时针旋转120度得到，连接，过点作交的延长线于点Q，证明，得到；证明，则，，；由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时， ∴， ∴， 又∵与全等， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴五边形是“等腰五边形”； ∵， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为6； 如图所示，当， ∴， ∴， 同理可得，且五边形是“等腰五边形”， 在中，由勾股定理得， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为； 如图所示，当时， ∴，即， ∵与全等， ∴； 同理可证明五边形是“等腰五边形”， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为； 如图所示，当时， 同理可证明，且五边形是“等腰五边形”， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为5； 综上所述，裁剪掉的小三角形的最长的边长为或5或或6； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， 由（1）（2）可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图所示，过点A作于点T，连接， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； 如图所示，设交于点G，过点G作于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，； 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 设， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，将绕点D顺时针旋转120度得到，连接，过点作交的延长线于点Q， ∴，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得 解得或（舍去）， ∴， ∴． 40．（2026·江苏苏州·二模）2026马年春晚的《武》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国机器人硬核实力．如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，点距地面的高度为．（参考数据：，，） (1)求的度数； (2)若点距地面的高度为，求小腿的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据，，得出，即点到地面的高度等于，根据，得出，在中，求出，结合，得出，则，即可求解． （2）根据，得出，延长交的延长线于，得出到地面高度，则，在中，解直角三角形求出．根据题意可得，结合求解即可． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴点到地面的高度等于， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，即， ∴， 延长交的延长线于， ∵，， ∴， ∴为水平线段，点和距地面高度相等，即到地面高度， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 根据题意可得， ∴． 41．（2026·江苏泰州·三模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度（即）为，，，在处测得处的仰角为，在处测得处的仰角为． (1)的度数为______； (2)求建筑物的高度．（，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助仰角求出，再借助求出，两角相减求得； （2）过点作，作的延长线，过点作，先证明四边形为矩形，再根据坡度算出山坡竖直高度，再利用等腰直角三角形与含角的直角三角形边长特性求出，加上得到建筑物高度并近似取值． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， 根据题意可知，，， 则， ， ， ． （2）解：如图，过点作，作的延长线，过点作， ， 四边形为矩形， ，， 的坡度为， ， ， ， 设，则， ， ，， 解得， ，， ， ， ， ，， 据（1）知，， ， ， ∵， ， ． 42．（2026·江苏盐城·二模）防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面 ，门宽． (1)如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求的长． (2)如图，当左门绕点逆时针打开时，点落在点处，求此时点到墙面的距离．(结果精确到参考数据：，，， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，利用在中，求出； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为长方形，则，中利用三角函数求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，，， 则； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形为长方形，则， 由题意得， 在中，，，， 则， ， 答：点到墙面的距离约为． 43．（2026·江苏南京·二模）如图，水平地面上两棵树和之间的距离为6米．当小邺站在地面上的点P处时，他隔着树只能看到树的顶端．若他沿射线方向后退至点Q处时，看树顶端的仰角为，且．求树比树高多少米．（参考数据：，，．） 【答案】树比树高米 【分析】过点作，分别为小邺的头部位置，设直线分别交于点，设，根据得出，证明，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，分别为小邺的头部位置，设直线分别交于点 设米，依题意， ∵ ∴米 依题意，，米 ∵ ∴米 ∵， ∴， ∴ ∴ 解得：米 答：树比树高米． 44．（2026·江苏盐城·三模）海春轩塔始建于唐贞观年间，为七层八角密檐砖塔，是江苏省现存最古老的塔之一．某兴趣小组想测量塔高，方案与测量结果如下表： 测量海春轩塔的高度 测量工具 测角仪、无人机 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    步骤如下： ①先在塔底水平地面点处测得塔尖的仰角； ②后用无人机在点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． 已知，，，四点在同一个平面内，于点，于点，求海春轩塔的高度． (结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】海春轩塔的高度约为米． 【分析】过点作，垂足为，则四边形是矩形，由题意可知，，，则；设米，则米，米，在中，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，则四边形是矩形， 米． 由题意可知，，， ， 设米，则米，米． 在中， ， 解得． 米， 答：海春轩塔的高度约为米． 45．（2026·江苏南京·二模）如图，海岛位于港口的南偏西方向上，灯塔恰好位于的中点处．轮船甲从海岛出发，沿正东方向航行，轮船乙从港口出发，沿正南方向航行．当甲航行到点处时，乙航行了至点处，此时，，三点恰好在同一条直线上，灯塔位于点的北偏西方向上，求轮船甲与灯塔的距离． （参考数据：，，，结果保留根号） 【答案】 【分析】过点P作，延长交于点F，根据等腰直角三角形的性质得出，设，则，，利用正切函数得出，求解确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，，得出，结合图形及勾股定理即可求解． 【详解】解：过点P作，延长交于点F，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴即， 解得：， ∴，， 根据题意得， 同理得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵灯塔恰好位于的中点处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．（2026·江苏镇江·二模）如图是镇江某景区便民观光车的侧面示意图，折线段表示观光车的活动遮阳挡板，已知，，，观光车车身固定高度．如图，翻开遮阳挡板供游客通行，挡板绕点旋转至处，此时与水平面夹角． (1)求翻开遮阳挡板后，挡板最高点到水平地面的距离； (2)若游客身高为，从翻开的遮阳挡板端点正下方经过，是否有碰头的危险？请通过计算说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】(1) (2)解：没有碰头的危险，理由如下： 作于点F，如图，则， 在直角三角形中，∵， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中， ， ∴， ∴点到水平地面的距离m， ∵， ∴游客身高为，从翻开的遮阳挡板端点正下方经过，没有碰头的危险. 【分析】（1）作于点E，如图，解直角三角形，求出即可； （2）作于点F，先求出，再解直角三角形，求出，进而得到的长，然后求出点到水平地面的距离，再与游客的身高比较即可． 【详解】（1）解：作于点E，如图， 则在直角三角形中，， 即， ∴， ∴挡板最高点到水平地面的距离； （2）解：没有危险，理由略. 47．（2026·江苏泰州·三模）某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图1所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为20米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点 F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长． （结果精确到0.1，参考数据： 【答案】测试物体移动的距离的长约为米． 【分析】由题意可得米，米，，，通过勾股定理求出米，再求米，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：由题意可得，米，米，，， 由勾股定理得：（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：测试物体移动的距离的长约为米． 48．（2026·江苏泰州·三模）如图，过外一点A作的切线，切点为点B，为的直径，点D为上一点，且，连接， ，线段交直径于点E，交于点 F，连接． (1)求证：； (2)若 求半径的长． 【答案】(1)证明：是的切线，切点为点B， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）证明， ，结合，得到 即可得证； （2）连接， 证明，设，则；得，，证明，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 为的直径， ， 根据同弧所对的圆周角相等，得， ， ， ， ， ， ， ， 设，则； 是的切线，切点为点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得， ， 故半径的长为． 49．（2026·江苏南京·二模）如图1，某型号抓草机由基座、动臂和斗杆构成，图2是其侧面结构示意图，矩形为基座，折线为动臂，为斗杆．已知基座的高度为1.2米，动臂的长（与的长度和）为5.1米，动臂伸展角，斗杆与动臂的夹角，斗杆与竖直方向的夹角为，到地面的距离为4.2米． (1)的长度是 米； (2)求到的水平距离的长． （结果精确到0.1，参考数据：，，，） 【答案】(1)4.9米 (2)到的水平距离的长为6.3米． 【分析】（1）过P作于H，利用正切定义求解即可； （2）过B作于F，延长交于G，过B作于H， 在中，求得米，在中，设米，米，米，则米，在中， 求得米，米，，然后由列方程求得，进而求解即可． 【详解】（1）解：过P作于E，则，，米， ∴（米）； （2）解：过B作于F，延长交于G，过B作于H， 则四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中， （米）， 则中， ∴， 设米，米，则（米）， ∵米， ∴米， 在中，，， ∴米，米， ∵米，米，米， ∴，解得， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 答：到的水平距离的长为6.3米． 50．（2026·江苏镇江·二模）著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： (1)【结论探究】从“数”的角度证明：； (2)【结论应用】若中，，．的两个顶点A、B（在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． 尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； 请用探究的结论证明所作的周长最小． 【答案】(1)证明：， ， ． (2)解：如图，作直线，交反比例函数图象于A、B两点，过点B作，使，连接，即为所求． 证明：在，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A、B都在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， 当且仅当，即时，取得最小值， 即A、B均在直线上，所作的周长最小． 【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可证明； （2）根据反比例函数的对称性，点A、B关于原点对称，要使周长最小，需最小，由可知，当A点横纵坐标相等时，最小，据此作出点A、B，再根据确定点C的位置； 根据锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理可得，进而推得，设A点坐标，利用的长度公式结合第（1）问结论求出的最小值，进而证明周长最小． 【详解】（1）略 （2）作第一、三象限的角平分线，交双曲线于A、B两点，然后过点B作的垂线，再以B为圆心，为半径画弧，交垂线于点C，连接，即为所求； 略 51．（2026·江苏连云港·三模）按要求解答下列问题： (1)仅用无刻度的直尺画图：如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，作出边上的点F，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：如图2，四边形的顶点都在以为直径的半圆上．． ①请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； ②在①中作图的基础上，若，，求的长． 【答案】(1)解：如图，点F即为所求． (2)解：①如图，圆心O即为所求． ②6 【分析】（1）取格点M，连接，交网格于点N，此时，，满足，即，又有，则，即，再连接，交于点F，可得； （2）①延长至点L，以点D为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点M，交于点N，再以点C为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点P，再以点P为圆心，长度为半径，两弧相交于点Q，作射线交直径于点O，则点O即为所求．则有，则，可得，而．故，根据圆周角的性质可知点O即为圆心； ②做出辅助线，得到为的中位线，再由两个直角三角形结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②连接交于点E，如图， ∵为圆O的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， 设圆的半径为r， 则， 在中，， 在中，， 即，整理可得， 解得或（舍）， ∴， 故在①中作图的基础上，的长为6． 52．（2026·江苏南京·三模）如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色．如图2，该摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点O距离地面的高度为45米，摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最低点处． (1)经过 分钟，点P首次到达最高点； (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高吗？请说明理由； (3)（i）画出点P高度关于运动时间的大致图象，并说明理由； （ii）摩天轮在旋转一周的过程中有m分钟距离地面不低于65米，写出“m”的值或“求m的思路”．（可用含t的式子表示） 【答案】(1) (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，理由如下： ∵摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈， ∴摩天轮每分钟旋转， ∴第4分钟时，点旋转了；第8分钟时，点旋转了，如图所示： ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平行于地面水平线， ∴第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高． (3)（i）当时，； 当时，即点在轴正半轴上， ∴； 当时，点到达最高点， ∴； 当时，即点在轴负半轴上， ∴； 当时，点回到起始最低点， ∴； ∴可列出如下表格： 根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象，如图所示： ∵当摩天轮开始转第二圈时，点会重复第一圈的过程， ∴点距离地面的高度会呈现周期性变化， ∴点P高度关于运动时间的大致图象会重复的这个图象． （ii）由（i）可得：当或时，点P距离地面的高度才有可能是米， 设地面水平线为，过点作轴，， 当时，，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当时，，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； ∴当时，， ∴． 【分析】（1）点P的起始位置在最低点处，点P首次到达最高点需要转半圈，摩天轮转一圈需要6分钟，点P首次到达最高点需要3分钟； （2）根据摩天轮的旋转速度求出第4分钟和第8分钟点在摩天轮上的位置，再由垂径定理可得平行于地面水平线，即可得出结果； （3）（i）先求出当、、、、时，对应的的值，列出表格，根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象；（ii）由（i）可得：当或时，点P距离地面的高度才有可能是米，设地面水平线为，过点作轴，，求出当或时，点P距离地面的高度是米，据此即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵点P的起始位置在最低点处， ∴点P首次到达最高点需要转半圈， ∵摩天轮转一圈需要6分钟， ∴点P首次到达最高点需要3分钟． （2）略 （3）略 53．（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 54．（2026·江苏扬州·三模）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动． 【尝试与感悟】 (1)是边长为8的等边三角形，E是边上的一点，且，小明以为边作等边，如图1．求的长； (2)是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，如图2．在点E从点A到点C的运动过程中，求点F所经过的路径长； 【拓展与延伸】 (3)如图3，四边形是菱形，，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，小明以为边作等边，连接．则的取值范围是 ． (4)如图4，是边长为8的等边三角形，E是边上的一个动点，小明以为边作等边，交边于点D，则的最大值为 ． 【答案】(1)2 (2)8 (3) (4) 【分析】（1）由题意可得，则； （2）点E在点C处时，，点E在A处时，点F与点C重合．则点F运动的路径长为； （3）在上截取，连接并延长，交于点P，连接，过点作，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，则有点G在线段上运动，进而根据勾股定理及三角函数可进行求解． （4）连接，延长交的延长线于一点，由（1）可知，则有，设，则有，由可知，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连结，由（1）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点E在点C处时，， 点E在A处时，点F与点C重合． ∴点F运动的路径长为8． （3）解：在上截取，连接并延长，交于点P，连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由上可知：点G在线段上运动， ∴， ∴的取值范围是． （4）解：连接，延长交的延长线于一点，如图所示： 由（1）可知：， ∴， ∴， 设，根据等边的边长为8可知：， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵由题意可知：， ∴， ∴， ∵当时，取得最大值为16， ∴取得最小值为， ∴的最大值为． 55．（2026·江苏宿迁·三模）【知识技能】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，，点在上，将△沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么线段的长为多少； 【数学理解】 (2)如图2，矩形中，，，点为上一点，且，将△沿翻折，得到△，连接并延长，与相交于点，则的值为　　； 【拓展探索】 (3)如图3，在矩形纸片中，，，点为射线上的一个动点，把△沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）利用三角函数可得，由折叠的性质可得，，结合可得，进而得到，因此是等腰直角三角形，则，最后作差可得； （2）过点作于，由折叠的性质可得，，，从而计算出，利用三角函数可得，，则．容易证明，则，因此； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点，则，，容易证明四边形是矩形，则．分类讨论，当点在矩形内部时，由勾股定理可得，则，设，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得；当点在矩形外部时，同理可以计算出，设，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵由△沿直线翻折后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质，可知，， ∵，， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ①当点在矩形内部时，如图， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为5； ②当点在矩形外部时，如图， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为20； 综上所述，当点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 56．（2026·江苏盐城·模拟预测）【问题初探】 (1)如图1，在平行四边形中，，相交于点，直线过点，分别交边，于点，．则平分平行四边形的周长．（填“一定”、或“不一定”） 【问题再探】 (2)如图2，在平行四边形中，直线分别交边，于点，．若直线平分平行四边形的周长，则直线一定过，的交点吗？请说明理由． 【基础应用】 (3)图3是一块，且的平行四边形铁板，现在要将它切割成周长相等的两块（要求切割线是一条线段），并焊接成如图4的护板（其中） 小明的思路如下（如图5）： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，； …… 请根据小明的思路，在图5中仅用无刻度的直尺和圆规作出线段（保留作图痕迹，不写作法．） 【拓展应用】 (4)若直线将图3中的平行四边形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作，垂足为点，连接． ①当时（如图6），求的值； ②当最大时，的长为 【答案】(1)一定 (2)一定，理由如下： 连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵直线平分平行四边形的周长， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平行四边形的对角线互相平分，且交点是的中点O， ∴直线一定过，的交点； (3) (4)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，然后计算周长判断即可； （2）连接交于点O，根据平行四边形的性质确定，，，再由题意得出，确定，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）根据题意，以分别以点F、O为圆心，为半径作圆，两圆右侧交于点G，连接，得出为等边三角形，确定，然后双向延长分别交于点M，N，得出即可； （4）①连接交于点O，过点H作，垂足为点M，得出，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，得出，设，利用勾股定理及三角形函数得出，再由正切函数的定义求解即可； ②过点B作的延长线于点J，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，连接交于点O，得出点O为和的中点，再由题意确定点H在以为直径的上，当与相切时，最大，利用勾股定理得出，确定圆的半径为，过点L作 ，结合相似三角形的判定和性质得出，再由勾股定理确定，利用切线的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：一定，理由如下： ∵平行四边形中，，相交与点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴一定平分平行四边形的周长． （2）略 （3）略 （4）①连接交于点O，过点H作，垂足为点M， ∴， ∵直线平分平行四边形的周长， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴. ∴. 在中，； ②过点B作的延长线于点J， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接交于点O， ∵把平行四边形分成了周长相等的两部分， ∴点O为和的中点， ， ∴点H在以为直径的上，当与相切时，最大， ， ∴， ， ， ， 过点L作 ， ∵ ，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ∵是的切线， ， ． 57．（2026·江苏盐城·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图1，连接，，则的值为______． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接． ①的长度为______． ②求证：． (3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①； ②证明：如图1，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， 平分 又，， 由旋转可知，， ，， ， ； ②略 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得 【详解】（1）解：由旋转的性质知，，， ， ， ， 故答案为：； （2）①解：四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：； ② （3）解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， , , , 又, 为等边三角形． 如图2，令与的交点为， ，， ， ， 如图3，同理可得， 综上所述，的长为或． 58．（2026·江苏徐州·三模）一副三角板分别记作和，其中，．作于点于点N，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的绕C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P， ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)解：①证明：∵点C与点E重合记为C，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形是正方形； ②， 证明：当时，如图，连接， 由①知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质证明； （2）①根据正方形的判定定理证明； ②连接，证明，得到，结合解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 59．（2026·江苏盐城·模拟预测）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，． (1)求证：； (2)【思考探究】如图2，矩形中，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)3； (3)2． 【分析】（1）求出，，即可证明； （2）连接交于点O，先证明，再通过计算，得出，求出，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可； （3）连接交于O点，先求出，，证明，可得，求出、的长，然后根据，得出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点O， ∵，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接交于O点， ∵在菱形中，，，， ∴，， 在中，， ∴，， ∵为菱形对角线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，，，点是矩形对角线上一点，连接，将沿着折叠得到． (1)如图1，将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，当落在上时，的度数为_____； (2)如图2，当落在对角线上时，求的正切值； (3)若与矩形的对角线垂直，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）在矩形中，，，，勾股定理求出，根据折叠可得，且，，则，在中，根据，求出，即可得． （2）过点作于点，作于点，令相交于点O，根据矩形的性质得出，，由折叠得，再根据角平分线的性质定理得出，根据等面积法求出，结合，求出，则，即可得． （3）按照和进行分类讨论，由三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，结合勾股定理，即可得的长． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， ∴， ∵将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕， ∴，且， ∵将沿着折叠得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：过点作于点，作于点，令相交于点O， ∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当交于点M时， 设， ， ， ， ， ∴， ， 根据折叠可得， ， ， 解得：， 则； ②如图4，当，． ， ， 由折叠得， ， 延长交于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得：． 综上所述，的长为2或． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $