4.4.2 对数函数的图象和性质第1课时 同步练习题 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2 对数函数的图象和性质 （第1课时：对数函数的图象与性质的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【例2】已知函数（其中，均为常数，且）的图象经过点与点. (1)求，的值； (2)解不等式. 【例3】已知函数（且，为常数）的图象经过点，. (1)求的值； (2)设函数，求在上的值域. 【例4】已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 【基础夯实】 一、单选题 1．函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值可以是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 11．若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 12．已知函数，其中，若当时，取得最小值，则____________________． 四、解答题 13．已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 14．已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)若函数图象过点，求的值； (3)若时，函数的最大值为6，求值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.2 对数函数的图象和性质 （第1课时：对数函数的图象与性质的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可； （2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可； （3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可. 【详解】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象， 如下： （2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下： （3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象， 再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得， 如下： 【例2】已知函数（其中，均为常数，且）的图象经过点与点. (1)求，的值； (2)解不等式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解析式得到关于，的方程组，解得即可； （2）由（1）知，即可表示，则不等式可化为，根据对数函数、指数函数的单调性解得即可. 【详解】（1）由题意知，即，解得， 所以，； （2）由（1）知，则， 不等式，即， 即， 所以，即，即，解得， 所以不等式的解集为. 【例3】已知函数（且，为常数）的图象经过点，. (1)求的值； (2)设函数，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解. 【详解】（1）因为的图象经过点，， 所以，两式相减得， 又且，解得或（舍去），则. （2）由（1）得， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， ， 故在上的值域为. 【例4】已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程，解得即可； （2）根据函数在各段单调递增且断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）当时在上单调递增， 则，即，解得或（舍去）； 当时在上单调递减， 则，即，解得或（舍去）； 综上可得或； （2）因为且在上是增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【基础夯实】 一、单选题 1．函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 2．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的图像和性质求出，，，利用作商法，结合换底公式和基本不等式得到，从而得到结论. 【详解】，， ， ， ，， ， ， 即，即，即， 即. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，又，则． 5．已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数的单调性进行求解． 【详解】由题意可知，，解得. 故实数的取值范围是. 6．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 二、多选题 7．已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】使用特值法求解. 【详解】取，，，，满足，且，选项A正确； 若，则， 若，则， 若，则，，， 若，则，，， 均不符合题意，选项B错误. 取，，，，满足，且，选项C正确； 取，，，，满足，且，选项D正确. 8．已知函数 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】结合对数函数图像，分类讨论即可得到答案. 【详解】当，为增函数，令得，由对数函数图像变化规律可知， 当时，对任意 ，恒有 成立.而当时，对，不恒成立. 当时，为减函数，对任意 ，恒有 . 综上，只需满足即可，故C和D正确. 故选：CD. 9．已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，， 因为函数在的值域为，则，即， 由，得，则有或， 当时，，有， 当时，，有， 令方程的两个根为，如图， 因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，， 于是，解得或，而的最小值为， 则有或，解得或， 所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足. 故选：BC 三、填空题 10．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 【答案】或 【分析】由是单调函数可确定最值取在区间端点，列绝对值方程求解. 【详解】因为是单调函数，所以是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点处， 所以，即， 所以或，解得或， 故答案为：或 11．若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可. 【详解】当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减， 所以，因此当时，值域为； 当时，开口向上，对称轴为，所以； 因此当时，值域为； 要使函数的值域为，则，解得. 12．已知函数，其中，若当时，取得最小值，则____________________． 【答案】2 【分析】令，判断其单调性，由此可判断的大小关系，即可得的解析式，结合其单调性，即可求得答案. 【详解】令， 由于在上均单调递减，故在上单调递减， 又，故当时，，即， 当时，，即， 故， 则时，为减函数，此时， 时，增函数，此时， 由此可得时，取得最小值，则. 四、解答题 13．已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的定义域为. (2)为偶函数， 由（1）知，的定义域关于原点对称，，， 所以为偶函数； (3) 【分析】（1）先根据计算出，再使对数的真数大于0，即可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以要使函数有意义，则需，解得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为，所以. 因在定义域内单调递增，所以等价于， 解得， 所以的取值范围为. 14．已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)若函数图象过点，求的值； (3)若时，函数的最大值为6，求值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的真数大于0，可求函数的定义域. （2）根据已知条件列方程可求的值. （3）利用函数的单调性分类讨论求解. 【详解】（1）由， 所以函数的定义域为：. （2）由. （3）若，则函数在上单调递增， 所以； 若，则函数在上单调递减， 所以.但，故舍去. 综上： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $