2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级上学期期中自编模拟数学试题二（山东泰安适用）

初四数学期中自编模拟试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．在反比例函数y中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（　　） A．y＜1 B．1＜y＜2 C．﹣1＜y D．﹣2＜y＜﹣1 2．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度AB＝34cm．已知篮球的直径EF与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是49°，则该篮球的直径可表示为（　　） A．34sin49°cm B．34cos49°cm C． D． 3．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 4．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60° 5．已知点A（x1，y1）在函数y的图象上，点B（x2，y2）在函数y＝x2的图象上，点C（x3，y3）在函数y＝x的图象上，x1，x2，x3均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当y1＝y2＝y3时，下列大小关系不可能的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＝x2＝x3 C．x3＜x2＜x1 D．x3＜x1＜x2 6．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长OA＝6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB＝1尺．当踏板从A处绕点O运动到C处时，踏板离地面的高度CD＝4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 8．如图，直线y＝kx+b与坐标轴交于点A和B（0，﹣2），与反比例函数y的图象交于点C和D，连接OC、OD，若，则△COD的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形； ②△APQ的最大面积为cm2； ③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比，当体积为4时，压强为1.5，当体积为3时，压强为_____ ． 12．如图，一辆高AB为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为15°的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离BC为_______ ．（注：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 13．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ． 14．抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为________ ． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为_______ ． 16．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 _____ 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 三．解答题（共8小题，共86分） 17．（6分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 18．（8分）某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记A，B两点，使得AB与河岸垂直，且点A，B与台底C在同一条直线上，已知台高CD＝15米，∠ADC＝70°，∠BDC＝30°，求河宽AB（结果保留小数点后一位）． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73） 19．（12分）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1． （1）如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在经过5s恰好上升75m的情形？请说明理由． 20．（12分）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度AB＝30cm，前臂长度BC＝20cm．“小智”在工作前，∠ABC＝120°，BC与地面平行；工作时，∠AB′C′＝135°，AB′与地面平行． （1）点B与点A在水平方向上的距离为_______ cm． （2）求点C与点C′在竖直方向上的距离．（结果精确到1cm，参考数据：1.73，1.41） 21．（12分）已知抛物线G：y＝ax2+（3a+m）x﹣（m+2）． （1）当a＝1，m＝1时，求抛物线G的对称轴； （2）若对于任意实数m，抛物线G总经过定点P（t，﹣6）． ①求t和a的值； ②点A（m﹣3，y1），B（m，y2）在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点．记△PAB的面积为S，求S的取值范围． 22．（12分）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m，拱高CD为6m． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离． 23．（12分）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】如表是测试所得的数据： 行车速度v（km/h） 40 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 89 73 57 50 40 【直观呈现】 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 24．（12分）已知二次函数ymx+n的图象关于y轴对称，且经过点． （1）求m，n的值； （2）如图，A，B，C为抛物线上三个不同的点，其横坐标分别为a，b，c，且∠ABC＝90°．将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，B的对应点为B′． ①当c＝7时，点B′恰好落在该抛物线上，且横坐标为1，求点A的坐标； ②若b+c＝4，b＜﹣2，是否存在实数b使得四边形ABCB′的周长为36？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在反比例函数y中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（　　） A．y＜1 B．1＜y＜2 C．﹣1＜y D．﹣2＜y＜﹣1 【分析】依据题意，由反比例函数为y，其中k＝2＞0，则该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，从而当1＜x＜2时，1＜y＜2，从而可以得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y，其中k＝2＞0， ∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小， ∴当1＜x＜2时，1＜y＜2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 2．如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度AB＝34cm．已知篮球的直径EF与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是49°，则该篮球的直径可表示为（　　） A．34sin49°cm B．34cos49°cm C． D． 【分析】如图：过点A作AC⊥BF，垂足为C，解直角三角形求出AC可得结论． 【解答】解：如图：过点A作AC⊥BF，垂足为C， 由题意得：EF⊥BF，AC＝EF， 在Rt△ACB中，∠ABC＝49°，AB＝34cm， ∴AC＝AB•sin49°＝34•sin49°（cm）． ∴AC＝EF＝34•sin49°（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 4．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60° 【分析】根据正方形网格中小正方形的边长为1得AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，在Rt△ADF和Rt△BHE中，由正切函数定义得tan∠DAC＝tan∠EBA，然后再根据∠DAC和∠EBA都是锐角得∠DAC＝∠EBA≠30°，由此即可得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵正方形网格中小正方形的边长为1， ∴AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°， 在Rt△ADF中，tan∠DAC， 在Rt△BHE中，tan∠EBA， ∴tan∠DAC＝tan∠EBA， 又∵∠DAC和∠EBA都是锐角， ∴∠DAC＝∠EBA≠30°， ∴∠DAC+∠EBA≠60°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特征和三角函数的定义是解决问题的关键． 5．已知点A（x1，y1）在函数y的图象上，点B（x2，y2）在函数y＝x2的图象上，点C（x3，y3）在函数y＝x的图象上，x1，x2，x3均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当y1＝y2＝y3时，下列大小关系不可能的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＝x2＝x3 C．x3＜x2＜x1 D．x3＜x1＜x2 【分析】根据题意，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵点A，B，C分别在反比例函数、二次函数和一次函数的图象上且y1＝y2＝y3， ∴x1，x2，x3的大小关系为：x1＜x2＜x3或x1＝x2＝x3或x3＜x2＜x1， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 6．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长OA＝6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，OA与地面BD垂直，踏板离地面的高度AB＝1尺．当踏板从A处绕点O运动到C处时，踏板离地面的高度CD＝4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】先作CE⊥OA，然后计算出OA的长，再根据锐角三角函数即可计算出∠AOC的值． 【解答】解：作CE⊥OA于点E，如图所示， ∵OA＝6尺，AB＝1尺， ∴OB＝7尺， ∵CD＝4尺，BE＝CD， ∴BE＝4尺， ∴OE＝OB﹣BE＝7﹣4＝3（尺）， ∵OC＝OA＝6尺，CE⊥OA， ∴∠OEC＝90°， ∴cos∠AOC， ∴∠AOC＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 7．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【分析】依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2x﹣3，可得其图象与y轴交于（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，进而可得新函数图象与y轴的交点为（0，3），再结合函数的图象逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3． ∴其图象与y轴交于（0，﹣3）． 又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方， ∴新函数图象与y轴的交点为（0，3），故A错误． ∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值， ∴B选项错误． 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或x＝﹣1， ∴函数图象与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）． ∴图象与x轴两个交点之间的距离为：3﹣（﹣1）＝4，故C正确． 由题意，∵原函数为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴新函数为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）． ∴函数的对称轴是直线x＝1． ∴结合函数图象可得，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．如图，直线y＝kx+b与坐标轴交于点A和B（0，﹣2），与反比例函数y的图象交于点C和D，连接OC、OD，若，则△COD的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】利用相似三角形性质求出点 C 坐标，联立方程求出点 D 坐标，利用面积和差法求解． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵直线y＝kx+b与坐标轴交于点A和B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∵CE⊥x 轴，BO⊥x 轴，， ∴CE∥BO， ∴△ACE∽△ABO， ∴， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的纵坐标为 1， 把y＝1代入，得x＝﹣6， ∴C（﹣6，1）， 把C（﹣6，1），B（0，﹣2）代入y＝kx+b， ， 解得， ∴直线解析式为， ， 解得，， ∴D（2，﹣3）， ∴S△COD＝S△COB+S△BOD ＝6+2 ＝8． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用﹣3≤c≤﹣2和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有交点可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 又∵抛物线的对称轴为直线x1，即b＝﹣2a＜0， ∴3a+b＝3a﹣2a＝a＞0，故①错误； ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点）， ∴﹣3≤c≤﹣2， ∵抛物线过（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴﹣3≤﹣3a≤﹣2， ∴a≤1，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x＝1时，二次函数值有最小值n， ∴a+b+c≤am2+bm+c， ∴a+b≤am2+bm，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n），且抛物线开口向上， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1没有实数根，故④错误． 综上，正确的有②③，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 10．矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形； ②△APQ的最大面积为cm2； ③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】依据题意，由AB＝5cm，AD＝7cm，从而结合题意可分下面三种情形分析：当0＜t≤5时，St2；当5＜t≤7时，St；当7＜t＜12时，S＝35t2+6t，接着对各个选项逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm， ∴可分下面三种情形分析： 当0＜t≤5时，St2； 当5＜t≤7时，St； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t． ①当t＝6s时，如图所示， ∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ， 又∵AP∥CQ， ∴四边形APCQ是平行四边形，故①正确； ②当0＜t≤5时，St2，则S最大值为； 当5＜t≤7时，St，则S最大值为； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t（t﹣6）2+18，此时最大值小于， 综上，△APQ的最大面积为cm2，故②正确； ③当0＜t≤5时，St2， 令S＝10，则t＝2s，负值舍去； 当5＜t≤7时，St， 令S＝10，则t＝4＜5，不合题意； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t， 令S＝10，则t2+6t＝10， ∴t＝2或10， ∵7＜t＜12， ∴t＝10． 综上，t＝2s或t＝10s，故③正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值、平行四边形的判定与性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 二．填空题（共6小题） 11．已知一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比，当体积为4时，压强为1.5，当体积为3时，压强为　2　 ． 【分析】先求出二氧化碳的体积和压强的函数解析式，再把V＝3代入解析式求出压强P即可． 【解答】解：∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴设二氧化碳的体积和压强的函数解析式为V， ∵当体积为4时，压强为1.5， ∴k＝VP＝4×1.5＝6， ∴V， 当V＝3时，P2， ∴当体积为3时，压强为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．如图，一辆高AB为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为15°的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离BC为　2米　 ．（注：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝15°，AB＝0.54米， ∴BC2（米）， 答：智能车无法采样的距离BC为2米， 故答案为：2米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 13．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 14．抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为　1或3　 ． 【分析】利用二次函数与x轴的交点坐标关系，当y＝0时，利用根与系数的关系解答． 【解答】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0， ∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2． ∵AB， ∴|x1﹣x2|． ∴m2﹣4m+3＝0， ∴m＝1或3． 故答案为：1或3． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法，要注意选择适宜的解题方法． 15．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为　﹣4　 ． 【分析】依据题意，连接OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到2|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴2|k|＝3． ∴k＝±4． ∵k＜0， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 16．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 　能　 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【分析】根据题意求出当x＝2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之不能，据此求解即可． 【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68）， ∴6﹣4＝2， 在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中， 当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12， ∵2.12＞1.8， ∴货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出范围是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【分析】（1）将x＝1代入之中得y＝3，由此得点A（1，3），再将点A的坐标代入y＝kx之中即可得出k＝3； （2）解方程组：，得或，则点B（﹣1，﹣3），然后根据函数的图象可得不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞1． 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为1，点A在反比例函数的图象上， ∴当x＝1时，y＝3， ∴点A的坐标（1，3）， 又∵点A在正比例函数y＝kx的图象上， ∴3＝k×1， ∴k＝3； （2）由（1）可知：正比例函数的表达式为：y＝3x， 解方程组：，得或， ∴点B（﹣1，﹣3）， 根据函数的图象得：不等式的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式是解决问题的关键． 18．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记A，B两点，使得AB与河岸垂直，且点A，B与台底C在同一条直线上，已知台高CD＝15米，∠ADC＝70°，∠BDC＝30°，求河宽AB（结果保留小数点后一位）． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73） 【分析】由锐角的正切定义求出AC和BC的长，即可得到AB的长． 【解答】解：∵DC⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∵， ∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan70°≈15×2.75＝41.25（米）． ∵， ∴（米）． ∴AB＝AC﹣BC＝41.25﹣8.65＝32.6（米）． 答：河宽AB为32.6米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是掌握锐角的正切定义． 19．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1． （1）如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在经过5s恰好上升75m的情形？请说明理由． 【分析】（1）将二次函数表达式化为顶点式即可得到降落伞打开时的飞行时间； （2）从第ms到第（m+5）s，火箭高度增加了75m，据此列方程求解即可． 【解答】解：（1）h＝﹣t2+26t+1＝﹣（t﹣13）2+170． ∵﹣1＜0， ∴当t＝13时，火箭升空到最高点，此时打开降落伞． 答：火箭点火后13s降落伞将打开． （2）存在．理由如下： 当t＝m时，； 当t＝m+5时，． ∵0＜m＜13，0＜m+5＜13， ∴0＜m＜8． 令h2﹣h1＝﹣10m+105＝75，解得m＝3． ∴火箭上升过程中，从第3s到第8s，火箭恰好上升75m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并应用． 20．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度AB＝30cm，前臂长度BC＝20cm．“小智”在工作前，∠ABC＝120°，BC与地面平行；工作时，∠AB′C′＝135°，AB′与地面平行． （1）点B与点A在水平方向上的距离为　15　 cm． （2）求点C与点C′在竖直方向上的距离．（结果精确到1cm，参考数据：1.73，1.41） 【分析】（1）过点A作AD⊥地面于点D，延长CB交AD于点E，则BE的长即为点B与点A在水平方向上的距离．在Rt△AEB中解直角三角形即可求得BE的长； （2）过点C′作C′F⊥BC交BC的延长线于点F，交AB′的延长线于点G，则C′F的长即为点C与点C′在竖直方向上的距离，分别在Rt△AEB和Rt△B′GC′中解直角三角形即可求得AE和C′G的长，从而求得C′F的长． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥地面于点D，延长CB交AD于点E． ∵∠ABC＝120°，BC与地面平行， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°，CE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴． 故答案为：15． （2）如图，过点C′作C′F⊥BC交BC的延长线于点F，交AB′的延长线于点G，则四边形AEFG是矩形，∠B′GC′＝90°，∴GF＝AE． 在Rt△AEB中，． 在Rt△B′GC′中，∠C′B′G＝180°﹣∠AB′C′＝45°， ∴． ∴． 答：点C与点C′在竖直方向上的距离约为40cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．已知抛物线G：y＝ax2+（3a+m）x﹣（m+2）． （1）当a＝1，m＝1时，求抛物线G的对称轴； （2）若对于任意实数m，抛物线G总经过定点P（t，﹣6）． ①求t和a的值； ②点A（m﹣3，y1），B（m，y2）在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点．记△PAB的面积为S，求S的取值范围． 【分析】（1）把a＝1，m＝1代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为y＝ax2+3ax+m（x﹣1）﹣2，再根据对于任意实数m，抛物线G总经过定点P（t，﹣6），即可求解； ②点A（m﹣3，y1），B（m，y2）在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线AB的解析式，过点P作PQ⊥x轴交AB的延长线于点Q，则点Q（1，m2﹣5m﹣2），根据S＝S△PAQ﹣S△PBQ，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【解答】解：（1）当a＝1，m＝1时， y＝x2+（3+1）x﹣（1+2）＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7， 所以抛物线Gy＝ax2+（3a+m）x﹣（m+2）的对称轴为直线x＝﹣2； （2）①y＝ax2+（3a+m）x﹣（m+2）＝ax2+3ax+m（x﹣1）﹣2， 当x＝1时，y＝a+3a﹣2＝4a﹣2， ∵对于任意实数m，抛物线G总经过定点P（t，﹣6）， ∴t＝1，4a﹣2＝﹣6， ∴a＝﹣1； ②由①得：t＝1，a＝﹣1，P（1，﹣6）， ∴y＝﹣x2+（﹣3+m）x﹣（m+2）， ∵点A（m﹣3，y1），B（m，y2）在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点， ∴y1•y2≤0， 把点A（m﹣3，y1），B（m，y2）代入y＝﹣x2+（﹣3+m）x﹣（m+2）得： ， ， ∴（﹣m﹣2）（﹣4m﹣2）≤0，点A（m﹣3，﹣m﹣2），B（m，﹣4m﹣2）， 解得：， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把点A（m﹣3，﹣m﹣2），B（m，﹣4m﹣2）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣mx+m2﹣4m﹣2， 如图，过点P作PQ⊥x轴交AB的延长线于点Q，则点Q（1，m2﹣5m﹣2）， ∴PQ＝m2﹣5m﹣2﹣（﹣6）＝m2﹣5m+4， ∴S＝S△PAQ﹣S△PBQ ， ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， 当m＝﹣2时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， ∴S的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m，拱高CD为6m． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离． 【分析】（1）以拱顶C为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点在原点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2，将点B的坐标代入即可求得a的值； （2）水面宽为28m时，水面与抛物线的交点的横坐标为±14，将x＝14代入即可求得交点的纵坐标，从而可求得此时拱顶C到水面的距离． 【解答】解：（1）如图， 以C为原点，CD所在直线为y轴，过点C垂直于CD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则拱顶C（0，0），A（﹣15，﹣6），B（15，﹣6）． 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2（a＜0）． 将点B（15，﹣6）的坐标代入，得﹣6＝a•152， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）当水面宽为28m时，水面与抛物线的交点的横坐标为±14． 当x＝14时，， ∴拱顶C到水面的距离为． 答：此时拱顶C到水面的距离为． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用——拱桥问题，正确得出二次函数图象上点的坐标是解题关键． 23．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】如表是测试所得的数据： 行车速度v（km/h） 40 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 89 73 57 50 40 【直观呈现】 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值4000，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【解答】解：（1）如图， （2）观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）由题意，要求视野角度不小于80度，即f≥80，代入函数表达式得：， 因为行车速度v＞0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变： 4000≥80v， 解得v≤50， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 24．已知二次函数ymx+n的图象关于y轴对称，且经过点． （1）求m，n的值； （2）如图，A，B，C为抛物线上三个不同的点，其横坐标分别为a，b，c，且∠ABC＝90°．将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，B的对应点为B′． ①当c＝7时，点B′恰好落在该抛物线上，且横坐标为1，求点A的坐标； ②若b+c＝4，b＜﹣2，是否存在实数b使得四边形ABCB′的周长为36？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由抛物线的轴对称性得到m＝0，将代入二次函数解析式求解即可； （2）①过点B'作DE∥x轴，分别过点A，C作AD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可； ②过点B作MN∥y轴，分别过点A，C作AN⊥MN于点N，CM⊥MN于点M，先证明，可得∠BCM＝∠CBM＝45°，进一步证明AN＝BN，可求得a+b＝﹣4，再根据四边形ABCB'的周长为36列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象关于y轴对称，且经过点， ∴， 解得； （2）①过点B'作DE∥x轴，分别过点A，C作AD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E， 由（1）知，， 根据题意知，， 令x＝1，则， 令x＝7，则， ∴，C（7，）， ∴AD，B'D＝1﹣a，B'E＝7﹣1＝6，CE12， ∵△ABC沿AC翻折得到△AB′C，∠ABC＝90°， ∴∠AB'C＝∠ABC＝90°， ∴∠AB'D+∠CB'E＝90°， ∵AD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB'＝∠B'EC＝90°， ∴∠AB'D+∠B'AD＝90°， ∴∠B'AD＝∠CB'E， ∴△B'AD∽△CB'E， ∴， ∴， 解得a1＝﹣3，a2＝1（不合题意，舍去）， 当a＝﹣3时，， ∴A（﹣3，）； ②存在，.理由如下： 过点B作MN∥y轴，分别过点A，C作AN⊥MN于点N，CM⊥MN于点M， 由题意知，，，， ∴， B， ∵b+c＝4，b＜﹣2， ∴， ∵CM⊥MN， ∴， ∴∠BCM＝∠CBM＝45°， ∴∠ABN＝180°﹣∠ABC﹣∠CBM＝45°， ∵AN⊥MN， ∴∠BAN＝∠ABN＝45°， ∴AN＝BN， 则， 即， ∵a≠b， ∴， 解得b+a＝﹣4， ∴a＝﹣b﹣4， ∴AB＝|a﹣b|（﹣b﹣4﹣b）（﹣2b﹣4）， ∵四边形ABCB'的周长为36， ∴2（AB+BC）＝36， ∴， ∴， 解得，符合b＜﹣2，满足题意． 【点评】本题主要考查了二次函数解析式、翻折问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/22 17:17:56；用户：禹颜明；邮箱：ta6950@xyh.com；学号：22395136 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $