学易金卷：九年级数学期中模拟卷（山东统考专用，新教材人教版九上第25～27章：一元二次方程+二次函数+反比例函数）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B D A A C D C B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．2010 12． 13．（答案不唯一） 14． 15．18 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分） 答案：解:（1）移项，得x2﹣4x=-1 配方，得x2﹣4x+4=3 整理，得（x﹣2）2=3 两边开平方，得x﹣2=± ∴x=2± ∴x1=2+，x2=2﹣ ………………………………………………………………… (4分) （2）移项，得4（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0 ∴（x﹣1）（4x﹣4﹣x）=0 即x﹣1=0或3x﹣4=0 所以x1=1，x2= ………………………………………………………………… (4分) 17．（8分） 【答案】（1）解：设与满足反比例函数关系为， 当时，， ∴， ∴， ∴电流关于电阻的函数关系式为；…………………………………………… (4分) （2）当时，， 当时，， ∴若时，电阻的变化范围为．…………………………… (4分) 18．（8分） 【答案】(1)（1）解：∵， ∴ ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴（）； ………………………………………………………………… (3分) (2)如图所示， 答案不唯一，写出任意一条即可． 函数图像是过原点的抛物线；抛物线开口向下；函数有最大值；抛物线的对称轴是；当时，函数值都大于0； ………………………………………………………………… (6分) （3）观察图像可知当时，． 故答案为：． ………………………………………………………………… (8分) 19．（8分） 【答案】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； ………………………………………………………… (2分) （2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． ………………………………………………………………… (5分) （3）解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． ………………………………………………………………… (8分) 20．（9分） 【答案】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， ∴抛物线关于直线对称， ∵抛物线的开口向下： ∴当时，最大，为， 当时，， 时，； 故答案为：5，30； ………………………………………………………………… (3分) （2）抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， ．…………………………………………… (6分) （3）解：守门员不能成功防守，理由如下： 当时，， ∴守门员不能成功防守． …………………………………………… (9分) 21．（10分） 【答案】（1）解：将点的坐标分别代入、得： ，解得 ， ∴一次函数和反比例函数的解析式分别为和； …………………………………………… (3分) 解：观察函数图象知，不等式的解集为或； …………………………………………… (6分) （3）解：设点，点 ， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样点P（或点Q）向右平移个单位向下平移个单位得到点Q（或点P）， ∴ 或 ，解得 或 ， 故点的坐标为 或 …………………………………………… (10分) 22．（12分） 【答案】（1）解：由题意得， 整理得， 解得， 即集合C表示不等式的解集； ∵，， ∴， 解得，即集合D表示的解集 ∵C是D的子集， ∴， 解得； …………………………………………… (3分) （2）解：∵对称轴为直线，开口向上， ∴当集合A中有且仅有3个整数时，这三个整数是， 当时，，解得， 当时，，的解集为， 即集合A表示的解集， 根据集合A中有且仅有3个整数可得， 解得， 此时结合可得； 当时，，的解集为， 即集合A表示的解集， 根据集合A中有且仅有3个整数可得， 解得， 此时结合可得； 综上所述，实数a的取值范围或； …………………………………………… (7分) （3）解：集合A表示的解集， ∴， 当时，由（2）同理可得的解集， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， ∵A是B的子集， ∴， 由得，，结合可得； 由得，可得，则，解得，此时，则 综上所述，实数b的取值范围为． …………………………………………… (12分) 23．（12分） 【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B两点， ∴令y＝0，， 解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）． 故答案为：A（﹣5，0），B（﹣1，0）． 如答图1所示，延长EM与AD交于点F． ∵AD⊥PC，BE⊥PC， ∴AD∥BE， ∴∠MAF＝∠MBE． 在△AMF与△BME中， ， ∴△AMF≌△BME（ASA）， ∴ME＝MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点， ∴MD＝ME， 即△MDE是等腰三角形． …………………………………………… (4分) （2）答：能． 抛物线解析式为：＝， ∴对称轴是直线x＝﹣3，M（﹣3，0）； 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）． △MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE⊥EM， 由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上， 而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上， 由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； ②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM⊥DM，如答图2所示： 设直线PC与对称轴交于点N， ∵EM⊥DM，MN⊥AM， ∴∠EMN＝∠DMA． 在△ADM与△NEM中， ∴△ADM≌△NEM（ASA）， ∴MN＝MA． ∵M（﹣3，0），MN＝MA＝2， ∴N（﹣3，﹣2）． 设直线PC解析式为y＝kx+b， ∵点N（﹣3，﹣2），C（0，4）在直线上， ∴，解得k＝2，b＝4， ∴y＝2x+4． 将y＝2x+4代入抛物线解析式得：， 解得：x＝0或， 当x＝0时，交点为点C； 当时，y＝2x+4＝﹣3． ∴P（，﹣3）． 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）． …………………………………………… (8分) （3）答：能． 与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M． ∵MD⊥ME，MA⊥MN， ∴∠DMN＝∠EMB． 在△DMN与△EMB中， ， ∴△DMN≌△EMB（ASA）， ∴MN＝MB． ∴N（﹣3，2）． 设直线PC解析式为y＝kx+b， ∵点N（﹣3，2），C（0，4）在直线上， ∴，解得k＝，b＝﹣4， ∴y＝x+4． 将y＝x+4代入抛物线解析式得：x+4＝x2+x+4， 解得：x＝0或x＝﹣， 当x＝0时，交点为点C；当x＝﹣时，y＝x+4＝． ∴P（﹣，）． 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（﹣，）． …………………………………………… (12分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■11■ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂)【1【/] 4.保特卡面清洁，不要折桑、不要弄破 日 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][CJ[D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分)(1)x2-4x+1=0 (2)4(x-1)2=x(x-1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) I/A 65432 1 123456R2 18.(8分) 876 54 32 E 1 O12345 请精在等题致城附等，超辄限现致锋森效！ 19.(8分) 20.(9分) 21.(10分) A B ■ 靖套金题晶的签题基热作窦超出墨经热限家基触签案季效， 22. (12分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形” VA : M: B : B 备用图………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．抛物线y＝－x2＋1的顶点坐标是（    ） A．(1，1) B．(0，1) C．(－1，1) D．(1，0) 2．古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 3．如图，某小区矩形空地的长、宽分别为25m，15m．现计划在其中修建等宽的小道（阴影部分），剩下的地方栽种花草．要使栽种花草的面积为，设小道的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 6．已知实数a，b，c，p（其中，）满足，下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．为了保护生态环境，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造．如图描述的是月利润y(万元)和月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是(　　) A．5月份该厂的月利润最低 B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元 D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元 8．二次函数图象如图，下列结论正确的是（    ） A． B．若且，则 C． D．当时， 9．如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 10．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知m是方程的一个根，则的值为_______． 12．某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．则气球内气体的体积应满足________，气球才不会爆炸． 13．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 14．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 15．如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+1=0 （2）4（x﹣1）2=x（x﹣1） 17．（8分）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电流关于电阻的函数关系式； (2)若，求电阻的变化范围． 18．（8分）如图，在中，，点P是边上一动点，点P从点A出发，沿着方向匀速运动，当点P与点C重合时停止运动．过点P作交于点E，过点E作，垂足为点F，连接．设，的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；（） (3)图中已经画好了直线的图象，请结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：____________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 19．（8分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 20．（9分）足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 21．（10分）如图， 的图象与反比例函数图象相交于、两点，已知点坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)张红武求得另一个交点，观察图象，请直接写出不等式 的解集； (3)P为轴上的点，为反比例函数图象上的点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点的坐标． 22．（12分）定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集．已知：关于x的二次函数（a为常数），我们用集合A来表示的解集． (1)已知关于m的函数，；记集合C为的解集，集合D为的解集，若C是D的子集，则n的取值范围为______； (2)若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围； (3)由题目已知，令，关于x的函数，记集合B为的解集；若存在实数，使得A是B的子集，则实数b的取值范围为______． 23．（12分）如图，抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME． （1）写出点A，B的坐标，　 　并证明△MDE是等腰三角形； （2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．抛物线y＝－x2＋1的顶点坐标是（    ） A．(1，1) B．(0，1) C．(－1，1) D．(1，0) 2．古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 3．如图，某小区矩形空地的长、宽分别为25m，15m．现计划在其中修建等宽的小道（阴影部分），剩下的地方栽种花草．要使栽种花草的面积为，设小道的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 6．已知实数a，b，c，p（其中，）满足，下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．为了保护生态环境，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造．如图描述的是月利润y(万元)和月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是(　　) A．5月份该厂的月利润最低 B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元 D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元 8．二次函数图象如图，下列结论正确的是（    ） A． B．若且，则 C． D．当时， 9．如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 10．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知m是方程的一个根，则的值为_______． 12．某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．则气球内气体的体积应满足________，气球才不会爆炸． 13．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 14．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 15．如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+1=0 （2）4（x﹣1）2=x（x﹣1） 17．（8分）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电流关于电阻的函数关系式； (2)若，求电阻的变化范围． 18．（8分）如图，在中，，点P是边上一动点，点P从点A出发，沿着方向匀速运动，当点P与点C重合时停止运动．过点P作交于点E，过点E作，垂足为点F，连接．设，的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；（） (3)图中已经画好了直线的图象，请结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：____________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 19．（8分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 20．（9分）足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 21．（10分）如图， 的图象与反比例函数图象相交于、两点，已知点坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)张红武求得另一个交点，观察图象，请直接写出不等式 的解集； (3)P为轴上的点，为反比例函数图象上的点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点的坐标． 22．（12分）定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集．已知：关于x的二次函数（a为常数），我们用集合A来表示的解集． (1)已知关于m的函数，；记集合C为的解集，集合D为的解集，若C是D的子集，则n的取值范围为______； (2)若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围； (3)由题目已知，令，关于x的函数，记集合B为的解集；若存在实数，使得A是B的子集，则实数b的取值范围为______． 23．（12分）如图，抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME． （1）写出点A，B的坐标，　 　并证明△MDE是等腰三角形； （2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~27章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．抛物线y＝－x2＋1的顶点坐标是（    ） A．(1，1) B．(0，1) C．(－1，1) D．(1，0) 【答案】B 【分析】由抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标为(0，k)即可得出结论． 【详解】解：抛物线y＝－x2＋1的顶点坐标是(0，1) 故选B． 【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标为(0，k)是解决此题的关键． 2．古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据阻力阻力臂动力动力臂，且杠杆左侧阻力与阻力臂都不变即可得到结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，阻力阻力臂动力动力臂，且阻力与阻力臂都不变， 右侧动力与动力臂满足为定值， 右侧力与力臂满足的函数关系是反比例函数关系， 故选：C． 3．如图，某小区矩形空地的长、宽分别为25m，15m．现计划在其中修建等宽的小道（阴影部分），剩下的地方栽种花草．要使栽种花草的面积为，设小道的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设道路的宽为，则横小路的面积等于边长为x，25m的矩形面积，再将三条路平移，空白部分是一个矩形，根据剩余的空地上种植花草，使种植花草的面积为，利用矩形面积公式得到，从而确定答案． 【详解】解：剩余的空地上种植花草，使种植花草的面积为，设道路的宽为， ， 故选：B． 【点睛】本题考查列一元二次方程的实际应用题，读懂题意，根据所给图形，采用平移得到矩形是解决问题的关键． 4．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 5．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或3， 即， 故． 故选A． 6．已知实数a，b，c，p（其中，）满足，下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 首先由由得且，然后得抛物线与x轴的交点，，进而利用二次函数的图像及性质求解即可． 【详解】解：由得且， 抛物线与x轴的交点，， ， ， ，点B在A的左边， ， ， a，b同号， 或， ， 故选：A． 7．为了保护生态环境，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造．如图描述的是月利润y(万元)和月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是(　　) A．5月份该厂的月利润最低 B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元 D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元 【答案】C 【分析】利用待定系数法，代入已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案． 【详解】解：A、由题中函数图象，得5月份该厂的月利润最低，为60万元，故A正确； B、治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万元到120万元，故每月利润比前一个月增加30万元，故B正确； C、设反比例函数的解析式为，将（1，300）代入得，故，将代入，得，解得，所以只有3月、4月、5月、6月、7月共5个月的月利润不超过120万元，故C错误； D、设一次函数的解析式为，将（5，60），（7，120）代入得，，解得，所以，当时，，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万元，故D正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法正确得出函数解析式是解题关键． 8．二次函数图象如图，下列结论正确的是（    ） A． B．若且，则 C． D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象得到相关信息并依次判断即可得到答案. 【详解】由图象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A选项错误； 若且，∴对称轴为，故B选项错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标小于3， ∴与x轴的另一个交点的横坐标大于-1， 当x=-1时，得出y=a-b+c<0，故C选项错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向下， ∴函数的最大值为y=a+b+c， ∴， ∴，故D选项正确， 故选：D. 【点睛】此题考查二次函数的图象，根据函数图象得到对应系数的符号，并判断代数式的符号，正确理解二次函数图象与系数的关系是解题的关键. 9．如图，在矩形中，，点以的速度从点开始沿边向终点移动，同时点以的速度从点开始沿边向终点移动，其中一点到达终点时，E、F两点均停止运动，当E、F两点之间的距离为时，点E、F运动的时间为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设点E、F运动的时间为，根据矩形的性质和已知条件用含t的式子表示出的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设点E、F运动的时间为， 由题意得，， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴符合题意，不符合题意， ∴点E、F运动的时间为． 10．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知m是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 2010 【分析】本题考查了方程根的定义，代数式求值，熟练掌握方程根的定义以及整体代入的思想是解题的关键．根据方程根的定义，可得，然后把代数式化为，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为： 2010． 12．某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．则气球内气体的体积应满足________，气球才不会爆炸． 【答案】 【分析】设球内气体的气压和气体体积的关系式为，把当气体的体积时，气球内气体的压强代入，求出，得出函数解析式，根据，得出，求出． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵当气体的体积时，气球内气体的压强， ∴， ∴， ∴， ∴当，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． 13．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 14．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【详解】解：， 则C的坐标是， 设反比例函数的解析式是， 把C的坐标代入得， 则反比例函数解析式是， ∵上口宽， ∴点F的横坐为， 当时，． 答：整个冷却塔的高是． 故答案为：． 15．如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为_________． 【答案】18 【分析】先证，则可得，设、，则可得、，代入比例式中可得．根据三角形的面积公式可得，将代入，利用配方即可求得S的最大值． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及二次函数的性质，求出y与x的关系是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，且，， ， ，， ， ， ． 设，，则， ∵平分，， ，， ，， ， 得， ， ∴当时，． 故答案为：18． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题12分。 16．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+1=0 （2）4（x﹣1）2=x（x﹣1） 【答案】（1）x1=2+，x2=2﹣；（2）x1=1，x2= 【分析】（1）先利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程； （2）用因式分解法求解，比较简便． 【详解】解:（1）移项，得x2﹣4x=-1 配方，得x2﹣4x+4=3 整理，得（x﹣2）2=3 两边开平方，得x﹣2=± ∴x=2± ∴x1=2+，x2=2﹣ （2）移项，得4（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0 ∴（x﹣1）（4x﹣4﹣x）=0 即x﹣1=0或3x﹣4=0 所以x1=1，x2= 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．本题考查了一元二次方程的解法．可根据题目特点，灵活选择求解方法． 17．（8分）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，． (1)求电流关于电阻的函数关系式； (2)若，求电阻的变化范围． 【答案】(1)电流关于电阻的函数关系式为 (2)电阻的变化范围为 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，利用待定系数法解得电流关于电阻的函数关系式是解题关键． （1）设与满足反比例函数关系为，利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当和时电阻的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：设与满足反比例函数关系为， 当时，， ∴， ∴， ∴电流关于电阻的函数关系式为； （2）当时，， 当时，， ∴若时，电阻的变化范围为． 18．（8分）如图，在中，，点P是边上一动点，点P从点A出发，沿着方向匀速运动，当点P与点C重合时停止运动．过点P作交于点E，过点E作，垂足为点F，连接．设，的面积为，请回答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；（） (3)图中已经画好了直线的图象，请结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：____________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)如图所示， 答案不唯一，写出任意一条即可． 函数图像是过原点的抛物线；抛物线开口向下；函数有最大值；抛物线的对称轴是；当时，函数值都大于0； (3) 【分析】对于（1），先根据直角三角形的性质求出，进而表示出，再说明四边形是矩形，可得，然后根据三角形面积公式得出关系式； 对于（2），在平面直角坐标系中画出函数图像，并说出性质； 对于（3），观察图像当二次函数图像在一次函数图像上方时，即，求出取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴（）； （2）略 （3）观察图像可知当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，直角三角形的性质，求二次函数关系式，画函数图像，二次函数图像的性质，二次函数与一次函数的交点问题，准确的画出图像是解题的关键． 19．（8分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)； (2)2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； (3)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． （3）解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 20．（9分）足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】(1)5，30 (2) (3) 解：守门员不能成功防守，理由如下： 当时，， ∴守门员不能成功防守． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）利用对称性进行求解即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， ∴抛物线关于直线对称， ∵抛物线的开口向下： ∴当时，最大，为， 当时，， 时，； 故答案为：5，30； （2）抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， ． （3）略 21．（10分）如图， 的图象与反比例函数图象相交于、两点，已知点坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)张红武求得另一个交点，观察图象，请直接写出不等式 的解集； (3)P为轴上的点，为反比例函数图象上的点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)和； (2)或； (3)点的坐标为 或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）根据题意可得点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样点P（或点Q）向右平移个单位向下平移个单位得到点Q（或点P），根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标分别代入、得： ，解得 ， ∴一次函数和反比例函数的解析式分别为和； （2）解：观察函数图象知，不等式的解集为或； （3）解：设点，点 ， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样点P（或点Q）向右平移个单位向下平移个单位得到点Q（或点P）， ∴ 或 ，解得 或 ， 故点的坐标为 或 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移等，有一定的综合性，但难度适中． 22．（12分）定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集．已知：关于x的二次函数（a为常数），我们用集合A来表示的解集． (1)已知关于m的函数，；记集合C为的解集，集合D为的解集，若C是D的子集，则n的取值范围为______； (2)若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围； (3)由题目已知，令，关于x的函数，记集合B为的解集；若存在实数，使得A是B的子集，则实数b的取值范围为______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先解得到，再解，得到，最后根据C是D的子集，得到，据此求解即可； （2）先确定当集合A中有且仅有3个整数时，这三个整数是，再分和两种情况解，根据整数解求解即可； （3）由得到，再由的解集，代入得，最后根据A是B的子集求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得， 解得， 即集合C表示不等式的解集； ∵，， ∴， 解得，即集合D表示的解集 ∵C是D的子集， ∴， 解得； （2）解：∵对称轴为直线，开口向上， ∴当集合A中有且仅有3个整数时，这三个整数是， 当时，，解得， 当时，，的解集为， 即集合A表示的解集， 根据集合A中有且仅有3个整数可得， 解得， 此时结合可得； 当时，，的解集为， 即集合A表示的解集， 根据集合A中有且仅有3个整数可得， 解得， 此时结合可得； 综上所述，实数a的取值范围或； （3）解：集合A表示的解集， ∴， 当时，由（2）同理可得的解集， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， ∵A是B的子集， ∴， 由得，，结合可得； 由得，可得，则，解得，此时，则 综上所述，实数b的取值范围为． 23．（12分）如图，抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME． （1）写出点A，B的坐标，　 　并证明△MDE是等腰三角形； （2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． 【答案】（1）　A（﹣5，0），B（﹣1，0）；证明见解析；（2）能；（3）（﹣，）． 【分析】（1）在抛物线解析式中，令y＝0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；如图1所示，延长EM交AD于点F，证明△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD＝ME，问题得证； （2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN＝AM，从而求得点N坐标为（﹣3，﹣2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标． （3）当点P是抛物线在x轴上方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B两点， ∴令y＝0，， 解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）． 故答案为：A（﹣5，0），B（﹣1，0）． 如答图1所示，延长EM与AD交于点F． ∵AD⊥PC，BE⊥PC， ∴AD∥BE， ∴∠MAF＝∠MBE． 在△AMF与△BME中， ， ∴△AMF≌△BME（ASA）， ∴ME＝MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点， ∴MD＝ME， 即△MDE是等腰三角形． （2）答：能． 抛物线解析式为：＝， ∴对称轴是直线x＝﹣3，M（﹣3，0）； 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）． △MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE⊥EM， 由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上， 而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上， 由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； ②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM⊥DM，如答图2所示： 设直线PC与对称轴交于点N， ∵EM⊥DM，MN⊥AM， ∴∠EMN＝∠DMA． 在△ADM与△NEM中， ∴△ADM≌△NEM（ASA）， ∴MN＝MA． ∵M（﹣3，0），MN＝MA＝2， ∴N（﹣3，﹣2）． 设直线PC解析式为y＝kx+b， ∵点N（﹣3，﹣2），C（0，4）在直线上， ∴，解得k＝2，b＝4， ∴y＝2x+4． 将y＝2x+4代入抛物线解析式得：， 解得：x＝0或， 当x＝0时，交点为点C； 当时，y＝2x+4＝﹣3． ∴P（，﹣3）． 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）． （3）答：能． 与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M． ∵MD⊥ME，MA⊥MN， ∴∠DMN＝∠EMB． 在△DMN与△EMB中， ， ∴△DMN≌△EMB（ASA）， ∴MN＝MB． ∴N（﹣3，2）． 设直线PC解析式为y＝kx+b， ∵点N（﹣3，2），C（0，4）在直线上， ∴，解得k＝，b＝﹣4， ∴y＝x+4． 将y＝x+4代入抛物线解析式得：x+4＝x2+x+4， 解得：x＝0或x＝﹣， 当x＝0时，交点为点C；当x＝﹣时，y＝x+4＝． ∴P（﹣，）． 综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（﹣，）． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点．运用数形结合的数学思想解答是关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 12 13. 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分)(1)x2-4x+1=0 (2)4(x-1)2=x(x-1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) UA G 54 3 2 2 3 6R2 18.(8分) 6 5 3 g÷ 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) y个 A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 6 M: A 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！