精品解析：山东省泰安市新泰市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级上学期期中检测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．只需将各点的横坐标代入函数解析式，计算对应的y值，若与点的纵坐标相等，则该点在图象上． 【详解】解：A项：∵对于点，当时，，∴点不在图象上； B项：∵对于点，当时，，∴点不在图象上； C项：∵对于点，当时，，∴点不在图象上； D项：∵对于点，当时，，与纵坐标相等，∴点在图象上． 故选：D． 2. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 3. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 4. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知点A在反比例函数图象上，轴，垂足为点B，若，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：设点 点在反比例函数的图象上， ， 即， 又，而，， ， ， ， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 7. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据图像求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 8. 在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形网格的性质，正切函数的概念等知识点．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义求解的值． 【详解】解：如图，取格点E，连接，，，， 设小正方形的边长为1，则，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的关系． 根据抛物线的图象特征，结合二次函数的性质，分别对四个说法进行判断即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴a，b同号， ∴， 根据图象可得当时，， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴， ∴，故①错误； ②当时，， 当时，， ∴， ∴，即，故②错误； ③∵， ∴， 根据图象可得当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ④根据图象可知，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大， ∵和为图象上两点，且， ∴，即，解得，故④正确． 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 110分） 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 如图是反比例函数的图象的一支，则常数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限． 根据反比例函数中k的几何意义作答即可． 【详解】解：∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m． 【答案】3 【解析】 【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴， 即， 解得：AB=3m， 故答案为：3 13. 如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形性质得出，设，，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 设， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形外角性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 14. “天问”探火、“墨子”传信、“蛟龙”深潜、“天眼”观星、“雪龙”探极．新中国成立多年来，众多科技成果彰显中国力量．某网店为满足科技爱好者需求，推出了科技模型．已知该模型每件成本18元，按每件22元出售，每日可售出30件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少3件，每件模型应涨价_______元，才能使每日利润最大． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次函数的性质，正确求函数解析式是解题的关键．设每件模型涨价元时，日销量为件，每日的利润为元，先求出日销量与的函数关系式，再求出日销量与的关系式，最后利用函数的性质求解即可． 【详解】解：设每件模型涨价元时，日销量为件，每日的利润为元，则， ，即：， ， 当时，有最大值． 故答案为：． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则b的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数配方成顶点式，确定对称轴和顶点坐标．由于抛物线开口向上，在闭区间上的最大值出现在端点处．分别令左右端点的函数值为8，解方程得到可能的b值，再验证区间内函数最大值是否为8． 【详解】解：二次函数 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 若时函数值为8，即 ， 整理得 ， 解得 或 ． 若 时函数值为8，即 ， 整理得 ， 解得 或 ． 验证各b值对应的区间： 当 时，左端点函数值为 ，不符合； 当 时，右端点函数值为 ，不符合； 当 时，左端点函数值为 ，右端点函数值为 ，符合； 当 时，右端点函数值为 ，左端点函数值为 ，符合． 故b的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8个小题，共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算，直角三角形的性质及勾股定理． （1）先明确特殊三角函数值，再分别代入原式各项进行计算，最后根据根式运算规律化简得出结果； （2）先利用勾股定理求出未知直角边的长度，再根据直角三角形的性质求出两个锐角的度数． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值） 【答案】窗口的高度为1.4m 【解析】 【分析】根据题意知AE∥BD，可得∠AEC=∠BDC；从而得到△AEC∽△BDC，根据比例关系，计算可得AB的数值，即窗口的高度． 【详解】解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD， 所以∠AEC=∠BDC. 又因为∠C是公共角， 所以△AEC∽△BDC，从而有. 又AC=AB+BC，DC=EC－ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2， 于是有， 解得 AB=1.4(m)． 答：窗口的高度为1.4m．. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质应用，解题关键是证明两个三角形相似，利用比例式求解． 18. 如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． （1）由图象直接写出、的大小关系； （2）若四边形的面积为2，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据图象即可得； （2）根据矩形的判定与性质可得，再根据点A、B的坐标可得，从而可得，因此，利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，； 【小问2详解】 解：轴，轴，， 四边形是矩形， ， 、， ， ， 解得， ， 将点代入得：． 19. 已知抛物线（m，n为常数）过点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点，在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质. （1）将和代入计算即可； （2）求出对称轴，得到关于对称轴的对称点，根据对于，都有，列不等式求解即可. 【小问1详解】 解：抛物线过点和， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ，都有， 由抛物线图象的性质得或， 解得或. 20. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【答案】标志物C到桥面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解一元一次方程等．根据题意过点C作于点 D， 设，再表示出和，最后列出方程计算即可． 【详解】解： 如图，过点C作于点 D， 设， 在中， 在中，， ， ∵， ∴，解得：， 即标志物C到桥面的距离约为． 21. 湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？ 【答案】（1）； （2）C处距桥墩的距离至少为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，然后用代入消元法即可解答； （2）令可得，然后解二元一次方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米， ∴抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：，解得． ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令可得： ， 解得：（舍去）或， ∴C处距桥墩的距离至少为米． 22. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； （2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离． 【答案】（1） （2）6米 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用及坐标与图形的关系． （1）由，得，设双曲线的解析式为，将代入得，进而求得解析式； （2）设点C的坐标为，将点C代入得到点C的横坐标，进而求出B，C之间的水平距离． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴点B的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为（k为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点C的坐标为，将代入， 得，解得，（米）， ∴B，C之间的水平距离为6米． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（）当时，面积的最大值为8，此时点E的坐标为； （）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）（）设，先求出，得到，可求得的面积为，再根据二次函数的性质求最大值即可； （）当时，证明，即可列方程求解；当时， 过点C作于点H，证明，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：把，的坐标代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：（）设， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， 的面积为， ， 当时，的面积有最大值，最大值为8， 此时， 点E的坐标为； （）存在，点P的坐标为或．理由如下： 由（）知，， 在中，， ， ， 当时，如图， ， ， ， 解得或3， ； 当时， 过点C作于点H， 则， ， ， ， ， 解得或2， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形的综合问题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识，分类讨论两种情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期中检测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 3. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点A在反比例函数图象上，轴，垂足为点B，若，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 2 6. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 9. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 110分） 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 如图是反比例函数的图象的一支，则常数m的取值范围是_______． 12. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m． 13. 如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则___________． 14. “天问”探火、“墨子”传信、“蛟龙”深潜、“天眼”观星、“雪龙”探极．新中国成立多年来，众多科技成果彰显中国力量．某网店为满足科技爱好者需求，推出了科技模型．已知该模型每件成本18元，按每件22元出售，每日可售出30件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少3件，每件模型应涨价_______元，才能使每日利润最大． 15. 当时，二次函数的最大值为8，则b的值为_______． 三、解答题（本题共8个小题，共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 17. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值） 18. 如图，点、在反比例函数（）的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． （1）由图象直接写出、的大小关系； （2）若四边形的面积为2，求k的值． 19. 已知抛物线（m，n为常数）过点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点，在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 20. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 21. 湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？ 22. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； （2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $