2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中复习专练——阅读与思考题

九年级期中复习特色题专练——阅读与思考题 1．阅读与思考 问题：已知：如图1，中，是底边上的任一点（不与、重合），于，于，于．求证：． 在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：小明的证明过程：如图2，过点作于，，四边形是矩形， （依据一），， ，，，，， （依据二） ，则 小颖的思路方法是：连接（如图3），则，再由三角形的面积公式便可证得． 结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 阅读上面的材料，然后解答下面的问题： (1)①小明的证明过程中，依据一_____；依据二_____ ②根据小颖的思路方法写出推理过程 (2)如图4，四边形中，，，，是上任意一点，于，于，试利用上述结论求的值． 2．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日　　　星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，为矩形内的任意一点，求证．下面是这道题的部分证明过程： 过点作，则． 四边形是矩形， ． ，． 任务： (1)请完成材料中剩余的证明过程； (2)如图2，为矩形内一点，且，，，直接写出的长（结果保留根号）．         3．阅读与思考 下面是小庄同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 邻等对补四边形 【概念理解】 一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“邻等对补四边形”． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形是邻等对补四边形． 【问题解决】 如图2，在四边形中，平分，求证：四边形是邻等对补四边形． 证明：过点分别作交的延长线于点，作于点． …… 任务： (1)下面3种特殊平行四边形中，一定是邻等对补四边形的是__________（填序号）． ①菱形        ②矩形        ③正方形 (2)补全【问题解决】中的证明过程． (3)如图3，在中，，在右侧作一点，连接，使得四边形是邻等对补四边形，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． 4．阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 (1)借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； (3)如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 5．阅读与思考 下面是博学小组对“双对称多边形”研究报告的一部分，请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． “双对称多边形”定义：在平面内，一个凸多边形同时满足两个条件：①存在一个点O，使多边形绕点O旋转后与自身重合；②存在一条直线l，使多边形沿直线l翻折后与自身重合，且直线l经过点O，则称这个多边形为双对称多边形，其中点O为其中心． 如图1，正方形就是一个双对称多边形． 性质：双对称多边形关于点O中心对称，则其具有中心对称图形的所有性质；双对称多边形关于直线l轴对称，则其具有轴对称图形的所有性质． …… 任务： (1)下列正多边形中，一定是双对称多边形的是______（填序号）； A．    B． C．    D． (2)如图2，已知：线段，直线为线段的垂直平分线，点O为直线l上一点． 尺规作图：以为一边，作出一个顶点均不在直线l上的凸四边形．使四边形是以点O为中心的双对称多边形，保留作图痕迹，不写作法． (3)如图3，四边形中，，，，请借助四边形构造一个双对称多边形，要求在图3中画出你构造的双对称多边形，并求出它的面积． 6．阅读与思考 下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 互补三角形 【概念理解】 如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补． 例如：如图①，在与中，若，，，则与是互补三角形．    【问题解决】 问题：如图②，在矩形中，，对角线与相交于点O，则与是不是互补三角形_____________（填“是”或“否”）．      【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等． 已知：如图③，已知与是互补三角形，，． 求证：与的面积相等． 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， …    任务： (1)问题中的与是不是互补三角形 （填“是”或“否”）； (2)请将【性质探索】中的证明过程补充完整； (3)如图④，已知线段，交于点B，请在图④中作与，使得与是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．    7．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 运动视角下再谈中位线 学完平行四边形的有关内容后，小颖同学梳理知识结构过程如下： 一、全等三角形-平行四边形 1．平行四边形的形成 两个全等三角形，从重合位置开始，绕一边中点将其中一个三角形旋转后，与另一个三角形形成的图形，如图1， 2．性质探究： …… 3．图形结构分析： B，C，A分别为边中点 4．中位线定义形成、性质探究…… 二、梯形-平行四边形 1．平行四边形形成 任意两个全等梯形都可绕一腰中点旋转形成平行四边形． 如图2，梯形绕的中点O旋转后得到梯形，则梯形梯形重合，点A，D，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上． 求证：四边形为平行四边形． 证明：…… 2．梯形中位线定义的形成、性质探究 所在直线绕的对称中心点O旋转至如图3，交于点M，交于点N．M，N分别为的中点，此时为梯形，梯形的中位线． (1)完成材料中证明过程． (2)如图3，猜想与，数量关系并证明． (3)应用：如图4，公园有一块四边形空地，为了美观，需改造成与其面积相等的梯形，请设计出所要求的梯形． 8．阅读与思考：请认真阅读下面材料，并完成相应任务． 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图1，在Rt中，，是斜边上的中线．求证：． 解题思路1： 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形（依据_____________）． …… 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，小明给出了如下思路． 解题思路2： 如图3，过点作于点垂直平分结论． 任务： (1)解题思路1中“依据”处应填________________； (2)补全解题思路1中剩余的证明过程． (3)请按照小明的解题思路2，写出完整的证明过程． 9．阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 作三角形的内接正方形 定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形． 那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图1，作的内接正方形．可以用下面的方法：第一步：如图2，过点作于点． 第二步：延长到点，使得，连接． 第三步：作的平分线，交于点． 第四步：过点作于点，交于点，延长交于点． 第五步：过点作于点，过点作于点． 则四边形为的内接正方形．    下面证明这种作法的合理性，即证明四边形为正方形． 证明：， ． 四边形PGDN为矩形（依据）． ． ．．．．．． 任务： (1)填空：材料中的“依据”是指___________． (2)补全材料中的证明过程． (3)如图3，在中，，，．直接写出内接正方形的个数及对应的边长．    10．阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 等腰五边形 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究．下面我们按照“定义一性质一判定”的路径研究“等腰五边形”． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； 分析性质： ①从整体看，等腰五边形是轴对称图形； ②从局部看，关于底角：……；关于对角线：…… 任务： 概念理解：（1）已知：如图2，正方形中，点分别在，边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； 性质探究：（2）根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质． ①写出等腰五边形底角的性质； ②如图3，已知等腰五边形，其中．在图3中适当添加线段，可以获得关于等腰五边形性质的相关结论． 例：在图3中连接，得到图4，则． 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相应的一个结论； 应用拓展：（3）如图5，在一张菱形纸片中，，点分别在菱形的一组邻边上（不与顶点重合），连接，可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的形状是以为底边的等腰五边形，若其面积是菱形面积的，则的长为_____． 11．阅读与思考 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点，，，分别为任意四边形的边，，，的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”和“依据2”分别是什么？ 依据1：_______________________________________________； 依据2：_______________________________________________； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是（    ）； A．平行四边形                B．矩形            C．菱形            D．正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并说明理由． 12．阅读与思考 下面是博学小组研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 平行四边形的内等四边形在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义】 如图①，E，F是对角线上不重合的两点，且，连接，，，，四边形叫作的内等四边形．   【性质】 猜想：平行四边形的内等四边形是平行四边形． 小丽的证明过程如下（部分）： 已知：四边形是的内等四边形． 求证：四边形是平行四边形． 证明：如图①，连接交于点O． …… 任务： (1)补全小丽的证明过程； (2)已知：如图②，四边形为菱形． 求作：菱形的内等四边形，使四边形是正方形． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    13．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 等对角线四边形的探究 研究对象：等对角线四边形 研究方法：类比三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的研究方法，从特例探索入手，结合图形的相关元素，通过观察（测量、实验）——猜想——推理证明，得到一般结论． 研究内容： 【定义】对角线相等的凸四边形叫做等对角线四边形．如图1，四边形中，则四边形是等对角线四边形．    【特例研究】如图2，四边形是等对角线四边形，且．测量发现．下面是小敏同学证明的部分过程： 证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据） …… 任务： (1)【特例研究】中的依据是 ． 下面特殊四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定属于等对角线四边形的是 ．（填序号） (2)请将小敏同学的证明过程补充完整． (3)如图2，四边形是等对角线四边形，，若且，，则 ． 14．阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 15．下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 16．阅读材料，并完成相应任务． 罗氏解法“罗氏解法”由美籍华裔数学家、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-ShenLoh）提出，该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系（即韦达定理），通过“对称设元”和“平方差公式”进行推导，最终自然推导出传统的求根公式． 下面以解方程为例进行分析． 解：设方程的两个根分别为，， 第一步：由韦达定理写出两根之和与两根之积 ，； 第二步：求平均数 ； 第三步：设两根为“平均数每个根到平均数的距离” ∴设，， 第四步：代入两根之积，求 则，； 第五步：回代写出两根 ，； (1)对于方程，由韦达定理可知两根之和为________，两根之积为________． (2)用罗氏解法解方程． 17．阅读与思考 下面是小宇同学的部分数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 利用正方形网格探究无刻度直尺作图定义： 在由小正方形组成的网格中，小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点的三角形称为格点三角形． 探究1： 如图1，在每个小正方形的边长均为1的的正方形网格中，已知格点三角形，利用无刻度的直尺借助网格作边上的高． 勤学小组的作法：如图2，以为斜边作直角边分别为1和4的格点直角三角形，以点C为顶点，作直角边分别为4和1的格点直角三角形，与的交点记为G．则即为所求． 证明过程如下： 由作图，得． ． 根据题意，得在中，（依据）． ． ，即． 为边上的高． 探究2： 如图3，在每个小正方形的边长均为1的的正方形网格中，已知线段，端点A，B均在格点上．利用无刻度的直尺借助网格在线段上找一点P，使． 善思小组的作法：如图4，过点A向右作，过点B向左作，点C，D均在格点上，连接交于点P．则点P即为所求． 任务： (1)材料中的依据是__________________________ (2)说明探究2中善思小组作法的合理性． (3)如图5，在每个小正方形的边长均为1的的正方形网格中，已知格点三角形，求作点A关于的对称点．(不写作法，保留作图痕迹) 18．阅读与思考 下面是一篇数学小论文的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 笛卡尔破解2倍立方体问题 【问题展示】 2倍立方体问题：如图①，用直尺和圆规作一个体积为原立方体2倍的新立方体（即正方体）．   【工具介绍】 笛卡尔创造了如图②所示的工具，解决了这个问题． 如图②，直尺和以点为支点，支点能够自由开闭，直尺和固定成直角，直尺和固定成直角，且可沿边自由滑动（注：大小变化时，点位置相应会发生变化，故需可滑动）；同样直尺和固定成直角，且能够沿着边自由滑动；直尺，，，…均同样可以沿直角边滑动． 【操作方案】 调整的大小，当时，． 【推理论证】 ，， ． ， （依据）． … ． ． ， ， ． 任务： (1)小论文中的依据是：_____； (2)请将小论文中的证明过程补充完整； (3)若要用笛卡尔创造的工具作一个以为棱的正方体，使其体积为以为棱的正方体体积的4倍，则需对小论文中的操作方案进行调整，请写出调整后的操作方案． 19．阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫作黄金分割点． 如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入，   ………… (1)根据材料可知，一条线段有___________个黄金分割点． (2)补全材料中的解答过程． (3)在如图2所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点C．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 20．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 21．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 镜面四边形 【概念理解】 如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”，这条对角线叫做它的“镜面轴”． 【问题解决】 问题1：（1）下列四边形一定是“镜面四边形”的有____________（填序号）． ①平行四边形   ②矩形   ③正方形   ④菱形   ⑤梯形 问题2：如图2，在矩形中，是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”（点在四边形内），连接并延长交于点． 求证：四边形是“镜面四边形”． 证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， … 任务： (1)问题1中应填_______________． (2)补全问题2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形，是边的中点，连接．请你用无刻度直尺和圆规，在平行四边形内找一点，使得四边形是以为镜面轴的“镜面四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 23．阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 24．阅读与思考 下面是小云同学在复习“直角三角形”时，对“斜边中线”性质进行尺规作图探究的笔记片段．请认真阅读，并完成相应任务． 笔记内容直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 为了证明这个定理，小云尝试了两种尺规作图的方法来证明． 方法一（构造矩形法）：如图2，在C中，，以点C为圆心，的长为半径画弧；再以点A为圆心，的长为半径画弧．两弧在上方交于点E，连接交于点D，则即所求． 思考与发现：通过观察上述作图过程，可以直观得出，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 方法一的证明过程：由作图可知，，四边形是平行四边形（依据）．，平行四边形是矩形，．，，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 方法二（平行线分线段成比例法）：如图3，在中，，是斜边上的中线，以点D为圆心，大于点D到距离的一半为半径画弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的一半为圆心画弧，两弧交于点P，过作射线交于点E． 方法二的证明过程：由作图过程知，，又，，… 任务： (1)“方法一的证明过程”中“依据”处应填________． (2)利用尺规在图3中，按照所给的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (3)补全方法二的证明过程． 25．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 等形状分割点 在四边形的一边上取一点（端点除外），连接该点与对边端点，若该点两侧的两个三角形相似，且四边形的对角顶点是这两个相似三角形的对应顶点，则称这个四边形为等形状四边形，称这个点为等形状分割点． 例如： 如图1，在四边形中，是边上的一点，连接，． ，， ，（依据______） 点是四边形的等形状分割点． 任务： (1)材料中“依据”的具体内容______． (2)如图2，在等形状四边形中，边上的点是等形状分割点，已知，，，，连接，求的长． (3)如图3，已知四边形是以边上点为等形状分割点的等形状四边形，请作出点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 26．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： (1)请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． (2)请补全问题2中的解题过程． (3)已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 27．阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．  关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： (1)填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． (2)如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． (3)顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 28．阅读与思考 下面是小宣数学笔记本中的部分内容，请仔细阅读并完成相应任务． 【探究主题】过一次函数图象上的点作坐标轴的垂线，垂线段与坐标轴围成的是一个特殊的平行四边形． 【课本变式】如图1，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为． 【问题解决】 问题1：四边形的形状是▲ ；连接，当时，的长为 ● ． 问题2：当四边形的面积为时，求点的坐标． 解：对于一次函数， 当时，，解得，则点的坐标为（-3，0）． 由题意，设点的坐标为，则， 当四边形的面积为时，．．．．．． 任务： (1)问题1中▲表示的内容是___________；●表示的内容是___________． (2)补全问题2的求解过程． (3)请在图2中作正方形，且点在一次函数的图象上，点分别在上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 29．阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 30．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 垂等四边形【概念理解】 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形叫作垂等四边形．例如，如图1，在四边形中，，，则四边形为垂等四边形． 【问题解决】 如图2，在正方形中，点分别是，，上的点，且，连接，求证：四边形为垂等四边形． 证明：如图3，取的中点，连接． 四边形为正方形， ． ， ． ， ，即． ． ； ． 在和中，， ． ，点为的中点， ． ．．．．．． 任务： (1)下列四边形中，一定是垂等四边形的是___________（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)请将材料中的证明过程补充完整． (3)如图4，在的正方形网格中，点都在格点（小正方形的顶点）处，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作出一个垂等四边形，使点也在格点处． 31．阅读与思考 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题：如图（1），已知四边形是平行四边形，，请利用尺规作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在的边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图（2）， 分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，． 连接． 结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，即． 由作图痕迹可知， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形．（依据） 善思小组的作法：如图（3），     连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． 作直线，分别交，，于点，，． 连接，． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明： 由作图痕迹可知直线垂直平分， ∴， 任务一： (1)勤学小组证明过程中的依据是________． 任务二： (2)请将善思小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图（4）中用不同于上述材料中的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 32．阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1．在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形．   性质分析： 从“角”的角度分析： ①两下底角互余，即； ②两上底角相加等于，即； ③夹边为腰的两邻角互补，即，； 从“边”的角度分析： ①上底和下底平行，即； ②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点C作的平行线，交于点E．   又， 四边形是平行四边形（依据∶__▲___） …… 问题解决： (1)①依据▲的内容为：______________， ②补全笔记中的证明过程． (2)拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形．    ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中M是的中点，N是的中点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） ②若，，，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．(1)①三个角是直角的四边形是矩形；角角边； ②证明：连接， ，，，， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据矩形的判定方法，全等三角形的判定即可解答； ②连接，根据，，，即可解题； （2）作，，易求得的长，易求，即可求得，可得，同理可得，即可解题． 【详解】（1）①解：根据证明过程可得依据一为“三个角是直角的四边形是矩形”；依据二为“角角边”； ②略 （2）解：如图，作于F，于G， ，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，同理， ． 2．(1)过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴在和中， 根据勾股定理得， 同理，在和中， 根据勾股定理得， ∴； (2) 【分析】（1）证明四边形和都是矩形，得到，，在和中，利用勾股定理得到，同理，在和中，利用勾股定理即可证明； （2）过点P作，分别交、于点、，则．，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点P作，分别交、于点、，则． ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形和都是矩形， ∴，， ∴． 3．(1)③ (2)证明，过点分别作交的延长线于点，作于点， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是邻等对补四边形． (3)如图，四边形即为所求 【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义，进行解答，即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，证明，推出；根据全等三角形的判定和性质，证明，推出，由图可得，则，根据“邻等对补四边形”的定义，进行解答，即可； （3）作的角平分线与边是垂直平分线交于点，连接，；四边形即为所求． 【详解】（1）解：①菱形的对角相等，邻边相等，对角相加不一定等于，不符合“邻等对补四边形”的定义； ②矩形四个角为直角，邻边不相等，不符合“邻等对补四边形”的定义； ③正方形四个角为直角，邻边相等，对角相加等于，符合“邻等对补四边形”的定义； （2）略 （3）略 4．(1)如图． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)如图，矩形即为所求； (3)如图，矩形即为所求． 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）分别取的中点P，Q，连接，则分别为的中位线，可得，再结合菱形的性质可得，即可； （3）连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：理由：连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分，，平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 5．(1)D； (2)如图所示即为所求， (3) 如图，面积为． 【分析】（1）根据双对称多边形的定义逐项判断即可； （2）作射线，射线，以O为圆心，为半径画圆分别交射线于点C，射线于点D，连接，，则四边形即为所求； （3）作点B关于的对称点，点C关于的对称点，顺次连接，则多边形为双对称多边形；过点作于点，过点作于点，根据求解即可． 【详解】（1） 解：由双对称多边形的定义可知，选项D：为双对称多边形； （2）略 （3）解：如图， 过点作于点，过点作于点F， ， ． ， ． 在中，． 同理． 中，， ． ， 四边形为矩形． ， ． ． 6．(1)是 (2) 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， ， ，                     在与中， ，                     ，                     ，即， 与的面积相等； (3) 如图，与即为所求．                     【分析】（1）根据“互补三角形”的定义进行判断即可； （2）根据证明，得，根据三角形面积公式可得结论； （3）分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，连接交于点D，连接，． 【详解】（1）解：与是互补三角形： ∵四边形是矩形， ∴，且, ∴与是互补三角形;; （2）略 （3）略 7．(1)证明：∵梯形梯形， ∴，，． ∴，，即． ∴四边形是平行四边形． (2)， 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵是梯形的中位线， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴点O是的中点， 又∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 梯形即为所求作 【分析】（1）证明，即可得四边形是平行四边形； （2）连接，证明，得是的中位线，可证明，，故可得结论； （3）如图，补全矩形，使补充的图形面积与四边形面积相等，连接对角线相交于一点，过交点作直线，所得梯形与四边形面积相等，即为所求梯形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2) 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴． (3) 证明：过点作于点， ， ， ， ， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定、矩形的性质及判定以及平行线分线段成比例定理： （1）根据平行四边形的判定定理即可； （2）先证明四边形是矩形，根据直角矩形的性质即可； （3）过点作于点，用平行线分线段成比例定理得到，再根据BD是斜边上的中线得到，由于CE=BE，则可证明． 【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （2）解：略． （3）略． 9．(1)有三个角是直角的四边形是矩形 (2) 补全材料中的证明过程如下： ，，， ，， ． ， ， 即， ． 是的平分线， ， ， ， ． ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形． (3)内接正方形的个数为，边长分别为和 【分析】本题主要考查矩形、正方形的判定和性质，几何作图的合理性证明以及相似三角形的应用，关键在于熟练掌握以上知识点，运用分类讨论的思想． （1）根据矩形的判定定理即可得出答案； （2）利用角平分线的性质，矩形的性质和相似三角形的性质即可证明； （3）根据题意分情况讨论，再通过相似三角形建立方程即可求解． 【详解】（1）解： ， 根据有三个角是直角的四边形即可判定为矩形． 故答案为：有三个角是直角的四边形是矩形． （2）解：略； （3）解：在中，，，， ． 由题意得，的内接正方形有两种情况： 第一种情况：正方形的一边在上， 根据材料构造方法，同理（2）可得出此正方形． ， ． 由（2）可知，由材料可知， ． 设正方形边长为，则，， ， 解得，； 第二种情况：正方形的一边在上，如图， 在上取点，使且， 为等腰直角三角形， ，． ， ． 过点作， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 又， 四边形为正方形， ， ， ． 设正方形的边长为， 则，， ， 解得，． 综上，内接正方形的个数为，边长分别为和． 10． （1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在五边形中，， ∴五边形是等腰五边形； （2）①等腰五边形的底角相等；②连接，则；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，推出，即可得证； （2）①等腰五边形的底角相等；②连接连接，证明，得到即可； （3）连接交于点，在上分别取点，且，根据菱形的性质，推出五边形为等腰五边形，易得为含30度的等腰三角形，求出菱形的面积，根据等腰五边形的面积是菱形面积的，得到，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）①等腰五边形的底角相等； 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即等腰五边形的底角相等； ②连接，则； 由①知：， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，在上分别取点，且， ∵菱形， ∴，，， ∴，即，， 在五边形中，， ∴五边形为等腰五边形， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵五边形的面积是菱形面积的， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键． 11．(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)D (3)，， 证明：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形． ，． ，，，， ，． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识． （1）根据中位线的性质、平行四边形的判定定理作答即可； （2）根据“中方四边形”的定义逐项判断即可； （3）根据正方形中相邻的边相等且垂直的性质证明即可． 【详解】（1）解：依据1：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）举例说明： A项，如图， 即平行四边形的“中点四边形”不一定是正方形，故平行四边形不一定属于“中方四边形”； B项，如图， 即矩形的“中点四边形”不一定是正方形，故矩形不一定属于“中方四边形”； C项，如图， 即菱形的“中点四边形”不一定是正方形，故菱形不一定属于“中方四边形”； D项，如图， 正方形的“中点四边形”一定是正方形，故正方形一定属于“中方四边形”； 故选：D． （3）详解见答案 12．(1)∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵四边形是的内等四边形， ∴． ∴，即． 又， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得，，根据内等四边形的定义得，利用线段的和差关系得，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形； （2）连接菱形两条对角线、，交于中心O；以O为圆心，的长度为半径画圆弧，圆弧与对角线交于两点E、F；依次连接、、、，所得四边形即为满足条件的正方形． 【详解】（1）略 （2）略 13．(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②④ (2)证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵四边形是等对角线四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，菱形，矩形与正方形的性质进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）设的交点为，由（2）可知：，则有，然后可得，，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：【特例研究】中的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ①平行四边形的对角线互相平分，并不相等，所以不是等对角线四边形； ②矩形的对角线互相平分且相等，所以是等对角线四边形； ③菱形的对角线互相平分且垂直，所以不是等对角线四边形； ④正方形的对角线互相平分，垂直且相等，所以是等对角线四边形； （2）略 （3）解：设的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 14．(1)， (2)无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【详解】（1）解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 15．(1) (2)不能．理由如下： 由，得 ， 解得，都不是整数，不符合题意，都舍去； 不存在正整数使和为50． (3)这群人共有11人 (4) 【分析】（1）根据材料所给方法列出方程求解即可； （2）根据材料所给方法列出方程，再结合连续两个整数之积必为偶数可得出附近无整数解即可求解． （3）设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为，根据题意可得出 ，即．解出n即可． （4）由叠加可得． 【详解】（1）解：由， 得， 解得（不符合题意，舍去）； （2）略 （3）解：设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为， 平均每人6个，则，即． ， ， 解得． 答：这群人共有11人． （4）解：∵ ∴ ． 16．(1)4， (2) 【分析】（1）根据韦达定理解答即可； （2）根据罗氏解法的要求解答即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程的两个根为， ∴， 所以两根之和为4，两根之积为； （2）解：由（1）得， 第二步：求平均数为； 第三步：设， 第四步：代入两根之积，得 ， ∴； 第五步：回代写出两个根， ∴． 17．(1)直角三角形的两个锐角互余 (2)由作图，得   ，．   ．   ，即． (3) 作法不唯一，如解图，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由探究1同理可作，延长至，使，再过作交于，则，即 ∴， ∴点A关于的对称点． 18．(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2) 解：将小论文中的证明过程补充完整如下： ， ， ， ， ， ， (3) 解：调整的大小，当时，， 令， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即此时以为棱的正方体的体积是以为棱的正方体体积的4倍． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定； （1）与相似条件为，，即可得出依据为两角分别相等的两个三角形相似； （2）补充的过程要证明即可得出； （3）令，先证明，得出，再证明，得出，从而得出，进而得出，即，此时以为棱的正方体的体积是以为棱的正方体体积的4倍． 【详解】（1）解：∵与相似条件为，， ∴依据为两角分别相等的两个三角形相似． （2）略 （3）略 19．(1)2 (2)解：，化简得， 解得 ， ， 黄金分割数 ． (3) 【分析】（1）根据黄金分割点的定义直接作答． （2）根据黄金分割比的定义列出关于的方程，解一元二次方程并舍去负根即可． （3）根据黄金分割点的几何作法，利用勾股定理和圆规作图，在线段中作出的线段，从而确定点的位置． 【详解】（1）解：根据黄金分割点的定义，一条线段有2个黄金分割点，靠近线段左端点和右端点各一个． （2）略 （3）解：令点上方个单位的网格点为，连接， 以 为圆心， 长为半径画弧，交 于 ， 以 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ， 在正方形网格图中，设个正方形单元格边长为， ，， ， ， ， 点 就是线段 的一个黄金分割点．（同理） 20．(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一， 如答图1，点即为所求. (3) 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）略 （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 21．(1)③④ (2)证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， ， ， ． 在和中， ， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“镜面四边形”． (3)如图，四边形即为所求． 【分析】（1）根据“镜面四边形”的定义进行判断即可； （2）证明，则四边形沿折叠完全重合，即可证明结论成立； （3）作以为圆心，为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，据此可知一定是“镜面四边形”的有③正方形和④菱形； （2）略 （3）略 22．(1) 解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)， (3) 解：如图， 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 23．(1)平行线分线段成比例的基本事实 (2) 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ，， ， 由作法可知：， 点是线段的一个三等分点． (3) 解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例进行作答即可； （2）证明，得到，进而得到，即可； （3）连接，易得是的一条中线，根据重心的性质，作的另一条中线，与的交点即为点. 【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实； （2）略 （3）略 24．(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)补全图形如下图： (3)证明：由作图过程知， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ， ， 是边的中点， 是的垂直平分线， ， ， 即． 【分析】（1）根据题意中的尺规作图补全图形即可； （2）由作图过程知，易证明，，再根据是斜边上的中线，求出是边的中点，进而得到是的垂直平分线，则，从而得出结论． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 25．(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似； （2）过点作于点．根据题意可得，求得．勾股定理求得，，最后在中，勾股定理求得，即可求解； （3）根据新定义，结合（1）的结论，作交于点，即可求解． 【详解】（1）解：两角分别相等的两个三角形相似． （2）如图，过点作于点． 根据题意得， ，即，解得． ， ． 设，则． 由勾股定理可得， 即，解得，即， ， ， 在中，． （3）如图，点即所求． 26．(1) (2) 解：∴， ∴， 解得或； ∵方程有中点值， ∴， ∴， ∴或均符合题意； ∴的值为或. (3) 的值为或 【分析】（1）根据新定义，列出不等式进行求解即可； （2）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可； （3）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可. 【详解】（1）解：∵方程的中点值为2， ∴对照，可知，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3， ∴， 解得或. ∵， ∴或均满足题意； ∴的值为或. 27．(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)证明：∵E，H分别为AB，AD的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形是菱形． (3)且． 【分析】（1）根据上下文判断依据即可； （2）利用中位线的性质定义判定四边形是平行四边形，继而通过证明邻边相等证明瓦里尼翁四边形是菱形； （3）结合（2）可知只需在的条件下，增加一个条件，使得瓦里尼翁四边形是矩形即可，根据中位线定理可知增加的条件可以是． 【详解】（1）材料中的依据是指：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）略 （3）且，理由如下： 由（2）可知：当时，瓦里尼翁四边形是菱形， 同理可得：，， 又∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形为正方形， 即要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是且． 28．(1)矩形； (2)当四边形的面积为时， 则， ∴ 整理方程得， 解得，， ∴点的坐标为或； (3)如图，正方形即为所求， 【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形；求出，，．然后利用等面积法求解即可； （2）设点的坐标为，则，根据列方程求解即可； （3）作第二象限的角平分线与一次函数交于点M，过M作x轴的垂线，垂足就是E，过M作y轴的垂线，垂足就是F，连接各点即得到正方形、作垂线的痕迹即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． 令得，令得， ∴，， 由勾股定理得斜边． 当时，， ∴， 解得． （2）略； （3）解：图略，理由： ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是正方形． 29．(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)证明过程补充如下： 由作图可知：直线垂直平分， ，， 在等腰三角形中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． (3) 四边形即为所求作的菱形（答案不唯一） 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得是菱形； （2）由作图可知，直线垂直平分，，，再利用等腰三角形和平行四边形的性质证明，则有，即可证明四边形是菱形； （3）①在，上截取，，连接，四边形即为所求作的菱形； ②过点作的角平分线，交于点，连接，在边上截取，交于点，连接，四边形即为所求作的菱形； ③过点作的角平分线，交于点，在边上截取，连接，四边形即为所求作的菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 30．(1)②④ (2)四边形为正方形、 ． 四边形是平行四边形． 又， 是矩形． ． ． 又． ． ． ． 四边形为垂等四边形 (3)答案不唯一，如图1或图2，四边形即为所求． 【分析】（1）根据垂等四边形的定义结合矩形，菱形，平行四边形以及正方形的性质求解即可． （2）结合垂等四边形的定义完成证明即可． （3）根据垂等四边形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形对角线相等，且四个角都是直角， ∴②矩形，④正方形一定是垂等四边形． （2）略 （3）略 31．(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)证明：由作图痕迹可知直线垂直平分， ∴， ∴． ∵于点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，     ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据勤学小组证明过程可知证明依据为有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）根据四条边都相等的四边形是菱形证明即可． （3）如图，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于两点，分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧交于一点，连接点与该交点并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，四边形是菱形． 【详解】（1）解：根据题意可知，勤学小组证明过程中的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）略 （3）证明：根据作图流程可知，平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 32．(1)①两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ②证明：∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴； (2)①； ②2． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定、三角形内角和、勾股定理得出结论； （2）根据三角形内角和、等边三角形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30°的直角三角形的性质求出、的长，最后求出的长． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：延长与交于点P，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，∵N是的中点，∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理，， 又∵， ∴点P、M、N三点共线， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $