2026-2027学年苏科版数学九年级上册期中仿真模拟试卷（第1～3章）

期中仿真模拟试卷2026-2027学年新教材苏科版数学九年级上册第1~3章 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知的直径为，点在外，则长可能是(    ) A. B. C. D. 3.某商品经过连续两次降价，售价从元降为元．设平均每次降价的百分率是，下列方程：；；，其中，符合题意的是(    ) A. B. C. D. 4.已知一组数据，，，的平均数和众数相等，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 6.在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径(    ) A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.二次函数的图象的顶点坐标是          ． 8.设，是方程的两个根，则          ． 9.某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是两个商家四项得分的情况： 商家 口味 服务 性价比 环境 如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家          填“”或“” 10.点，，在上的位置如图，已知，则           11.四边形是的内接四边形，若，则          ． 12.某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为          ． 13.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是，则其母线长是          ． 14.将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为， 测得 ，则圆形玉佩的半径为           15.如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接若，则          用含的代数式表示． 16.已知，为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.解方程： ； ． 四、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 已知小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于你是否同意他的说法？并说明你的理由． 19.本小题分 国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为元时，可售出门票张；票价每提高元，售出的门票将减少张．要使得门票收入为元，则票价应定为多少元？ 20.本小题分 跳绳是便捷又健康的运动．甲、乙两位同学各进行了组“分钟跳绳”的练习，成绩如下单位：个： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 填表： 平均数 中位数 方差 甲                       乙            请你运用所学的统计知识做分析，从两个不同的角度评价甲、乙两位同学的跳绳成绩． 21.本小题分 已知，如图，是的直径，平分交于点，过点的切线交的延长线于求证：． 22.本小题分 已知关于的方程其中为常数 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 若该方程的一个根是，则另一个根是        23.本小题分 如图，在中，，半径，，垂足为，． 求证：； 若的半径为，，则          ． 24.本小题分 尺规作图：如图，已知线段，是直线外一点，作与直线相交于点，，且． 25.本小题分 某冰激凌纸筒展开后得到半径为 ，弧长为 的扇形，则该纸筒的侧面积为           ； 如图，某纸杯展开它的侧面得到扇环 可以看作扇形纸片 剪去扇形纸片 后剩余的部分，其中 的长为 的长为 的长为 求扇环 的面积： 如图，梯形 面积为 ，扇环 面积为 ，且 等于 的长， 等于 的长， ，则            选填“ ”、“ ”或“ ”． 26.本小题分 如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． 如图，若是的直径，求证：． 如图，若不是的直径， 求证：； 若，则的半径为___________． 27.本小题分 在平面直角坐标系中，对于点 和图形 ，给出如下的定义：若图形 上存在点 和点 ，使得 ，则称点 是图形 的勾股点．如图，已知点 ，连接． 在点 中，线段 的勾股点是__________． 如图，以线段 为直径作 ，若点 是 的勾股点，求所有点 组成的区域的面积． 如图，将点，沿 轴正方向向上平移个单位长度，得到点 ，顺次连接点 ， ，得到矩形 若点 是矩形 的勾股点，请在图中用阴影描出所有点 组成的区域，无须说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】此题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，进行判断． 【详解】．中，只含未知数，最高次项为，次数为，且为整式方程，故此选项符合定义； B.中含有分式，不是整式方程，故此选项不符合定义； C.中含有两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合定义； D.中未知数次数为，不是二次方程，故此选项不符合定义． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：的直径为， 半径为， 点在外， ， 故选：． 根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 3.【答案】  【解析】本解：根据题意得：， 符合题意的是． 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解的值．众数为出现次数最多的数，需根据的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． 平均数和众数相等， 需使众数等于平均数． 当时，数据为，，，，众数为，平均数为，两者相等． 当时，众数为，平均数为，不相等． 当时，众数为，平均数为，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为，与任何数都不等． ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：二次函数的图象的开口向上，顶点坐标为， 二次函数的图象与轴有两个公共点， 二次函数的图象的顶点在轴的下方， ， 即， 的值可以是． 故选：． 可知二次函数的图象的开口向上，顶点坐标为，进而可知二次函数的图象的顶点在轴的下方，则，可得，即可得出答案． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6.【答案】  【解析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 7.【答案】  【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得，，代入即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 9.【答案】  【解析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的概念，按照给定的权重比例计算商家和的综合得分，并比较大小． 【详解】解：商家的加权总分：； 商家的加权总分：； 比较加权和，，因此顾客会选择商家， 故答案为：． 10.【答案】  【解析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键； 连接，通过等腰三角形的性质得到，，进而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，， ， 设，则，， ， 解得：， ， ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】平均每次降价的百分率为，则第一次降价后药价为每盒元，第二次降价后药价为每盒元，根据题意得． 13.【答案】  【解析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用弧长公式建立方程求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为． 圆锥的底面周长为． 根据弧长相等，得， 解得． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】本题考查的是切线性质的应用，连接 ， ，根据题意得到 ，则根据勾股定理，以及含度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：连接 ， ， 由题意得， ，  圆形玉佩与两边都相切，切点分别为，  ， ，  ，即圆形玉佩的半径为 ， 故答案为： 15.【答案】  【解析】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解． 【详解】解：不等式的解集为， 则二次函数的根为和， 当时，，即， ，解得； 的解集为， 抛物线的开口向上， ， ， ， ， ， ，即， ， 或 解得：无解或； 故答案为：． 17.【答案】【小题】 解：原方程分解因式可得： ， 或， 解得； 【小题】 解： ， ， 或， 解得．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：同意，理由如下： 假设， 则， 整理得：， ， 方程无实数根， 无论取什么实数，都不等于， 同意小明的说法．   【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是将题意转化为利用根的判别式判断一元二次方程无解问题． 假设，则，利用根的判别式判断一元二次方程无解，从而得出结论无论取什么实数，都不等于． 19.【答案】解：设票价应定为元， 则提高的金额为元，销量减少张， 所以销量为张， 可列方程， 解得：，， 答：票价应定为元或元．   【解析】本题考查了营销问题一元二次方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设票价应定为元，根据门票收入为元列出一元二次方程求解． 20.【答案】【小题】 【小题】 解：从中位数看，乙的中位数略大于甲的中位数，说明乙的成绩略好于甲； 从方差看，乙的方差小于甲的方差，且两人的平均成绩相同，说明乙的成绩比甲更稳定．   【解析】  本题考查了算术平均数、中位数以及方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据算术平均数、中位数的定义和方差的公式进行解答即可； 解：甲的平均数为， 把甲的成绩从小到大排列为，，，，，故中位数为， 乙的方差为， 故答案为：，，；   从中位数和方差的意义进行分析即可． 21.【答案】证明：连接． 是的切线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ．  【解析】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由切线的性质可知，再根据角平分线定义可得，从而得出即可解决问题． 22.【答案】【小题】 证明：方程整理得， ， 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根 【小题】 或   【解析】证明：方程整理得， ， 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 解：该方程的一个根是， ， 解得或， 方程为或， 设方程的另外一个根为， 则过， 或， 故方程的另一个根为或． 故答案为：或． 根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； 把代入方程求得，设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于的方程，解之即可得到答案． 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23.【答案】【小题】 证明：， ， ，， ， ； 【小题】   【解析】  本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论；  连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 24.【答案】解：如图，先作线段的垂直平分线，再过点作于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交直线于点，，最后以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求．   【解析】解：如图，先作线段的垂直平分线，再过点作于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交直线于点，，最后以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． 先作线段的垂直平分线，再过点作于点，以点为圆心，为半径画弧，分别交直线于点，，最后以点为圆心，的长为半径画圆即可． 本题考查作图复杂作图、垂径定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25.【答案】【小题】 【小题】 设 ，  ，  ，  ，  ， 扇环 的面积为  ，  ， 扇环 的面积为 ； 【小题】   【解析】  本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为 或 其中圆心角是 ，圆的半径为的扇形面积为，为扇形的弧长也考查了弧长公式和梯形的面积公式． 直接利用扇形的面积公式计算即可； 该纸筒的侧面积为 ； 故答案为：；   设 ，根据弧长公式得到 ，进而求出 ，再利用扇形的面积公式得到扇环 的面积 ，则可计算出扇环 的面积；   设梯形 的高为，由得 ，根据梯形的面积公式得到 ，然后利用 ，即可得到结论． 设梯形 的高为， 由得 ，  等于 的长， 等于 的长，  ，  ， ，  ，  ，  ． 故答案为： ． 26.【答案】【小题】 证明：连接，则， ， ，即， ， ， ； 【小题】 解：过作于，则， ， ，则， 过作，分别交延长线、延长线于、，连接、，如图， ，， ，， 四边形、四边形是矩形， ，，， ，又， ， ， ， ； 如图，连接， 设， ， ， ， 由勾股定理得，，又， ，解得， ，则， 即该圆的半径为．   【解析】  此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 连接，欲证与相等，先证、关系，再证明即可；   过作于，先证明，过作，分别交延长线、延长线于、，连接、，证明四边形、四边形是矩形得到，，，证明得到，进而可得结论； 连接，设，利用垂径定理和勾股定理求解值即可解答． 27.【答案】【小题】 如图，在圆上取一点，则 ， 圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角， 当点在以 为直径的圆上或圆内时，线段 存在点和点，使得 ， 点是线段 的勾股点，点不是线段 的勾股点．  ， 点在圆上， 点是线段 的勾股点． 综上可知，线段 的勾股点是 ， 故答案为： ； 由知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点． 当点在圆外时，如图，在圆上取点和点，使 ，在直线 上取点，使 是等腰直角三角形，以 为直角边构造等腰直角三角形 ，连接 ， 则 ，  ，  ，  ， ，  ，  ， 当 取得最大值时， 取得最大值，  ，  的最大值是 ， 所有点 组成的区域的面积是以点为圆心，以 为半径的圆，围成的区域， 所有点 组成的区域的面积 ； 【小题】 分别以矩形 的条边为直径作圆，由可知，个圆覆盖的区域内的点都是矩形 的勾股点．   【解析】  本题考查了新定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，理解勾股点的定义是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角可知，当点在以 为直径的圆上或圆内时符合题意； 由知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点，然后求出当点在圆外时使 时 的最大值即可求解．  分别以矩形 的条边为直径作圆，由可知，个圆覆盖的区域内的点都是矩形 的勾股点． 学科网（北京）股份有限公司 $