2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟卷（1-4章）

期中模拟卷2026-2027学年北师大版新教材数学九年级上册1-4章 一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.下列方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 2.从正面看如图所示的几何体，所得的形状图是(    ) A. B. C. D. 3.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    ) A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是矩形 4.秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于(    ) A. B. C. D. 6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. D. 且 7.如图，已知，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 9.已知三条线段，，，其中是，的比例中项，如果，，则的值为          ． 10.已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是        ． 11.如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于          ． 12.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数即时，可以发出“”的音．若瓶高为，则水面高度为          ． 13.如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为          ． 三、解答题(本大题共13小题，共76分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 14.解方程 ； ． 15.在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． 在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为________； 以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 的面积          ． 16.如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，中点为，连接，． 求证：四边形是菱形； 若四边形的周长是，对角线的长是，求四边形的面积． 17.小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． 求旗杆的高度． 在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 18.综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度．轴于点，连接设点，两点移动的时间是秒，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止． 【解决问题】填空：若，则          ；若，          用含的式子表示； 【深入研究】证明：四边形为平行四边形； 若，当四边形为菱形时，求的值； 【能力拓展】在的条件下，连接，若为直角三角形，求的值． 19.若，是方程的两根，则代数式           20.如图，已知点为正方形内一点，为等边三角形，连接，则的度数为          ． 21.如图，直线同侧有两点，，在直线上找一点，使得的值最小若点到直线的距离是，点到直线的距离是，，在直线上的正投影间距为，则的最小值为          ． 22.在直线上依次摆放着七个正方形如图所示已知斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则          ． 23.如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是          ． 24.重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． 求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ 国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 25.在中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： 填空：          ，          ；用含的代数式表示 当为多少时，平分面积； 当为多少时，以、、为顶点的三角形与相似． 26.综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】如图，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，，求的长； 【深入探究】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】如图，在长方形中，，，为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； 如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为若，，则的长度为          ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】计算各方程的根的判别式，的方程没有实数根． 【详解】解：、，有实数根，不符合题意； 、，有实数根，不符合题意； 、，没有实数根，符合题意； 、，有实数根，不符合题意． 2.【答案】  【解析】从正面观察几何体时，看到的形状是由哪些部分组成的，求解即可． 【详解】解：从正面看：左列：有层， 右列：只有层， 如图所示： 3.【答案】  【解析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：当时，是菱形； 当时，是菱形； 当时，是矩形； 正确，错误， 故选：． 4.【答案】  【解析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：初始有人患流感，每轮平均人传染人， 第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， 两轮后总患病人数满足：． 5.【答案】  【解析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 6.【答案】  【解析】注意一元二次方程二次项系数不为的隐含条件，结合根的判别式联立求解． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 解得， 方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 综上，且． 7.【答案】  【解析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 8.【答案】  【解析】根据直角三角形的性质得：，，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 中，，，，点、分别是、的中点， ， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 9.【答案】  【解析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项   将，代入得   线段长度为正数 10.【答案】  【解析】解：一元二次方程的两个根分别是和， ，， ． 故答案为：． 先根据根与系数的关系得，，再利用因式分解把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 11.【答案】  【解析】解：菱形的周长为，面积为， ，， 分别作点到直线的垂线段， ， ， ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】根据题干给出的黄金分割定义式，结合，可推导出与的数量关系，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13.【答案】  【解析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得，，再证明，得，从而求得，然后根据，代入即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，  ，   ， ， ，  ， ，    ， ． 14.【答案】【小题】 解： 则或． 解得，． 【小题】 解： ． ，．   【解析】  利用因式分解法求解即可；  利用配方法解方程即可． 15.【答案】【小题】 ，； 【小题】 【小题】   【解析】  连接三组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心；  延长、，并使，，再连接即可；  利用割补法求面积． 解：的面积． 16.【答案】【小题】 证明：平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，中点为， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小题】 解：四边形是菱形，且周长是，对角线的长是， ，， ， ． 四边形的面积为：．   【解析】  根据平行四边形的性质，证明，根据菱形的判定证明即可；  根据菱形的性质，勾股定理，计算即可． 17.【答案】【小题】 解：已知，， 因此， 为公共角，且 ． 代入已知数值，，： 则， ， ， ． 【小题】 解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又， ． 设米，则米， 代入已知数值，： 解方程： 即米．   【解析】  由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米．  利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 18.【答案】【小题】   【小题】 证明：轴， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形； 【小题】 解：根据解析可得：当时，，， 菱形中，， ， 解得：； 【小题】 解：当时，如图所示： ， ， ，， ， ， 解得：； 当时，如图所示： 根据解析四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，点运动到点处，此时， ， 此时点运动到点处， 轴， 此时点与点重合，不存在； 综上，为直角三角形，的值为或．   【解析】  根据直角三角形的性质和勾股定理进行解答即可； 【详解】解：，， ，， ； 当时，；   先证明，再证明，即可证明结论；   根据菱形中，，列出关于的方程，解方程即可；   分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 19.【答案】  【解析】先利用根与系数的关系得到和的值，判断的符号后化简代数式，再代入计算． 【详解】解：，是方程的两根， 根据根与系数的关系得，， ， ，， ， ，， ． 20.【答案】  【解析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，等边对等角，求出的度数，再根据周角的定义，进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 为等边三角形， ， ， ， 同理， ． 21.【答案】  【解析】点到直线的距离是，点到直线的距离是，，在直线上的正投影间距为， ，，，，． 如图，作点关于的对称点，连接，，，过点作交的延长线于点， 则，四边形是矩形，， ，， ， ． ， ， 当，，三点共线时，取最小值，最小值为． 22.【答案】  【解析】【分析】 本题考查全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积． 运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 【解答】 解： 由题意，，， ，， ， ≌， ， ， ， 即， 同理． 则． 故答案为：． 23.【答案】  【解析】由相似三角形性质得出，利用勾股定理求出和的长．证明，得出，从而证得利用直角三角形斜边中线定理得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 为中点， ， 在中，， ， ， ， 当时，最小，最小， ， 的最小值为． 24.【答案】【小题】 解：设国庆第一天“平面款”冰箱贴每个售价为元，则“浮雕款”冰箱贴每个售价为元．由题意得： 化简得：  解得： 检验：当时，，， 故，是原方程的解．   答：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴每个售价元，“平面款”冰箱贴每个售价元． 【小题】 解：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴销量为个，“平面款”冰箱贴销量为个． 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ，  ， 答：的值为．   【解析】  以“平面款”冰箱贴售价为未知数，根据两款冰箱贴的销量差列分式方程求解．  根据国庆第六天总销售额与第一天总销售额相等的等量关系列一元二次方程，结合的条件取舍解． 25.【答案】【小题】 【小题】 解：，， 点到点的时间为，点到点的时间为， 、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ， ， 解得，舍， 当时，平分面积； 【小题】 解：， 以、、为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ； 情况二：当时，则， ， ， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以、、为顶点的三角形与相似．   【解析】  根据点和点的运动速度表示即可； 解：根据题意得，，， ；  用含的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性；  分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 26.【答案】【小题】 解：根据折叠的性质，， 故； 【小题】 解：四边形是矩形，把矩形沿折叠，点落在点处，且交于点，， ，，，， ， ， ， 设， ， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小题】 解：当点在线段上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ，， 设， ， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 当点在线段的延长线上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 根据题意，得，，四边形是矩形，，， ，， 设， ， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小题】   【解析】  根据折叠的性质，根据勾股定理求的长即可；  先根据折叠性质，矩形的性质，设，根据勾股定理，解答即可；  分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况，根据勾股定理，折叠的性质，求解即可；  根据折叠的性质，根据勾股定理，求解即可． 解：四边形是矩形，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． ，，，， ， ， ， ， 同理可证， 设， ， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $