第十四章 全等三角形 第十五章 轴对称 尺规作图·基础练习与综合应用 2026-2027学年人教版八年级数学上册

《尺规作图》基础练习与综合应用 ——五大基本作图 · 人教版八年级上册第十四章 全等三角形 一、尺规作图的含义 只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法，叫作尺规作图。用直尺可以画直线、射线和线段（但不能度量长度）；用圆规可以截取等长的线段、画弧。 二、五大基本作图 尺规作图的基本作图共有五种，复杂的几何作图都可以转化为这五种基本作图来完成。 作图名称 已知 求作 作法要点 依据 作一条线段等于已知线段 线段 a 线段AB，使AB=a ①作射线AC；②在射线AC上截取AB=a 圆上的点到圆心的距离等于半径 作一个角等于已知角 ∠AOB ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ①作射线O′A′；②以O为圆心、任意长为半径画弧交OA、OB于C、D；③以O′为圆心、OC为半径画弧交O′A′于C′；④以C′为圆心、CD为半径画弧交前弧于D′；⑤作射线O′B′ 三边分别相等的两个三角形全等(SSS) 作已知角的平分线 ∠AOB ∠AOB的平分线OC ①以O为圆心、适当长为半径画弧交OA、OB于M、N；②分别以M、N为圆心、大于1/2MN的长为半径画弧交于C；③作射线OC SSS；全等三角形对应角相等 作已知线段的垂直平分线 线段AB 线段AB的垂直平分线 ①分别以A、B为圆心、大于1/2AB的长为半径在AB两侧画弧交于E、F；②作直线EF 与线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 过直线外一点作垂线 直线l及l外一点P 过点P的l的垂线 ①取点K使K、P在l两侧；②以P为圆心、PK为半径画弧交l于D、E；③分别以D、E为圆心、大于1/2DE的长为半径画弧交于F；④作直线CF 垂直平分线性质；两点确定一条直线 过直线上一点作垂线 直线l及l上一点A 过点A的l的垂线 ①以A为圆心、任意长为半径画弧交l于C、B；②分别以C、B为圆心、大于1/2CB的长为半径画弧交于M；③作直线MA 垂直平分线性质；两点确定一条直线 三、基础作图练习 提示：尺规作图题须保留作图痕迹，不必写作图过程的文字说明；如需写作法，按“作射线、画弧、作直线（射线）”的步骤表述。 1. 作一条线段等于已知线段 已知：线段a（如图）。 求作：线段AB，使AB＝a。 2. 作一个角等于已知角 已知：∠AOB（如图）。 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。 3. 作已知角的平分线 已知：∠AOB（如图）。 求作：∠AOB的平分线OC。 4. 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB（如图）。 求作：线段AB的垂直平分线。 5. 过直线外一点作垂线 已知：直线l及直线l外一点P（如图）。 求作：直线l的垂线，使它经过点P。 6. 过直线上一点作垂线 已知：直线l及直线l上一点A（如图）。 求作：直线l的垂线，使它经过点A。 四、综合应用 · 拓展训练 1.如图，在中，。 尺规作图：在边上求作一点，使得保留作图痕迹，不要求写作法 连接，若，求证：为等边三角形。 2.如图，在中，． 作的垂直平分线，分别交，于点，，连接要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明． 若，，求的长度． 在的条件下，判断的形状，并说明理由． 3.如图，已知一个等腰三角形的底边长为，底边上的高线长为． 求作等腰三角形，底边上的高为尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 若，则的长为          ． 4.如图，是等边三角形，是的中点，延长到，使． 求的度数； 用尺规作图的方法，过点作，垂足为不写作法，保留作图痕迹； 求证：． 5.如图，在四边形中，，是的中点，且． 尺规作图：作的平分线，交于点，连接，保留作图痕迹，不写作法； 在第一问所作的图形中，若，且证明：为等边三角形． 6.如图，在等边中，射线交边于点． 尺规作图作点关于的对称点，延长交于点保留作图痕迹 在的条件下，直接写出的度数为          ，并证明． 7.如图，在中，，． 作的内角的平分线，与边交于点用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法； 若，求的长度． 答案和解析 1.【答案】【小题】 解：由题意可得，点为线段的垂直平分线与的交点，如图所示。 【小题】 证明：如图，连接。 ，， 。 ， 。 ，。 。 为等边三角形。   2.【答案】【小题】 解：如图，直线、线段即为所求． 【小题】 由题意可知，，． ，， ． ． 【小题】 是等边三角形． 理由：由题意可知，． ，， ． ． 是等边三角形．   3.【答案】【小题】 略 【小题】 4.【答案】【小题】 解：是等边三角形，，  又，为的外角，，且，． 【小题】 解：如图． 【小题】 证明：是等边三角形，是的中点，平分，，  又，，，  又，．   5.【答案】【小题】解：如图所示． 【小题】 因为，平分，所以，即又，为的中点，所以  因为，，，所以，又平分，所以  又，所以，又，所以同理，得又，所以所以是等边三角形． 6.【答案】【小题】 解：如图所示 【小题】 连接，则． 设，则，．，，． 延长到点，使得，连接则为等边三角形，．，．，，，，．   7.【答案】解：如图，为所作； ， ， 平分， ， ， 而， ， 在中，， 在中，， ．  【解析】利用基本作图作的平分线； 利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，在中利用含度的直角三角形三边的关系得到，然后在中求． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的定义． 学科网（北京）股份有限公司 $