第十五章轴对称单元复习检测卷2026～2027学年人教版八年级数学上册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 20262027学年人教版新教材八年级数学上册 第十五章轴对称单元复习检测卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列图形中，是轴对称图形的是() D 2.2025年9月3日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅 兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利.如图二 是现场飞机队形简略图，以飞机D、E所在的直线为x轴，过点A且垂直于DE的直线为y轴建立平面直 角坐标系0，若飞机B的坐标为m,m川， ,则飞机C的坐标为() A B· C 图一 图二 A.(m.n) B.（m,n) C.(m,-n) D.（m-n) 3.如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离 为10c m,双翼的边缘4C=BD=52cm,且与闸机侧立面夹角 ∠PCA=∠QDB=30° 求当双翼收起时， 可以通过闸机的物体的最大宽度为() 试卷第1页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 B 30 309 闸 闸 机 D 机 箱 箱 图1 图2 A.62 B.54 C.64 D.74 4.折纸是一门古老而有趣的艺术.如图，小明拿出一张长方形纸片ABCD,他先将纸片沿EF折叠，再 将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD与AB'重合，展开纸片后测量发现∠BFE=68°，则∠DGH的度数 是() E B D' A.21° B.22° C.23 D.24° 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于 点M和N,再分别以点M和N为圆心，大于2MW的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于 点D.则下列结论：①AD是△ABC的角平分线；②点D在线段AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④ SAAC SAANC=1:3 其中正确结论的个数是() B M A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.已知点 P(2a+1,2a-3) 关于x轴的对称点在第一象限，则“的取值范围是() 3 3 1.3 A.a<1 B.a> 2 c.-21 <a<1 D.-2<a< 试卷第2页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光多第 7.如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且A0=3,C0=6,点P是AB上一动点，连接OP,将线段 OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则OP的长是() D 3V5 A.35 B.25 C.3 D.6 8.如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点 若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为() C A.11 B.10 C.9 D.8 9.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是线段AD上的一个动点，点P是点A关于直线 BE的对称点，在点E的运动过程中，使△PBC为等腰三角形的点E的位置共有() E B A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,连接MD, 过点D作DN⊥MD,交BM于点N.CD与BM相交于点E,若点E是CD的中点，则下列结论错误的是 () 试卷第3页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 A D M ∠DMN=45° B AC=BE C.MC+EM=NE D SAACD =2SADNE A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是48°，则这个等腰三角形的顶角度数为 12.如图所示，∠A0B=41 点P为∠A0B OA OB P B 内的一点，分别作出P点关于 的对称点、，连 接B交OA于M交0B于N则∠MPV=一 13.如图，△ABC中，AB=AC=8cm,BC=12cm,∠B=∠C,点P从B出发.以2cm/s的速度沿BC 向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以Cms的速度，沿CA向A运 动，当△MBP与△P0 全等时，V= 14.如图，∠AOB=20,M,N分别为OA,OB上的点，OM=ON=4,B卫分别为OA,OB上的动点， 则MQ+PO+PN的最小值为 P 0N8 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE,若∠I=∠2，则△ADE是 试卷第4页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 一三角形. 2 B 三、解答题（共8小题，共75分) P(2-a,3a+6) 16.已知点 (1)当点P到两坐标轴的距离相等，点P的坐标为一 (2)如果点M在第三象限，且点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4，求点M的坐标 17.在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB,垂足为D,点P在直线BC上，PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为 E,F. A D D D D B D B 图① 图② 图③ (I)如图①，当P是BC中点时，易证：PE+PF=CD(不需证明)； (2)当P为线段BC上任意一点时，如图②，(1)中结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写 出新的结论并证明； (3)当点P在线段BC延长线上时，如图③，直接写出PE,PF,CD之间的数量关系. 18.如图，直线1同侧两个点A、B（需要写画法) B A (I)在直线I上求作一点M使MA=MB: (2)在直线I上求作一点N,使NA+NB最小. 19.已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. 试卷第5页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 B (I)求证：BE=CF: (2)若AB=6,AC=3,求BE的长. 20.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=40°，点D在线段BC上运动（不与点B、C重合），连结AD, 作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. B400 δ (I)若∠BAD=259,∠ADB=°，∠EDC= °，点D从点B向点C运动时，∠BAD逐渐变 （填“大”或“小”). (2)若DC=2,求证：△ABD≌△DCE (3)在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数： 若不存在，请说明理由. 21.如图，在△ABC中，AB=AC=BC=9Cm,点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的边运 动，已知点M的速度是lcm/s,点N的速度是2cms,当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动. A ←-NB (I)点M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N同时运动几秒后，可得到等边△AMN? (3)点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN,如果能，请求出此时M、N运 动的时间， 22.在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD=AE,BE与CD交于点O 试卷第6页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 D 图1 图2 图3 (1)如图1，填空：∠BOD= 度； (2)如图2，以CO为边作等边△OCF,连接AO、BF,求证：AF<BF+CF; (3)如图3，在(2)的条件下，若点G是BC的中点，连接G0,判断BF与G0有什么数量关系？并说明 理由. 23.如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE. O M 图1 图2 (I)求证：AD=BE; (2)如图2，△MCB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE,请求出线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由. 试卷第7页（共26页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年人教版新教材八年级数学上册 · 第十五章轴对称单元复习检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线使得图形沿该直线折叠后两部分完全重合 【详解】解：∵选项A中的图形无法找到对称轴， ∴选项A不是轴对称图形， ∵选项B中的图形无法找到对称轴， ∴选项B不是轴对称图形， ∵选项C中的图形沿竖直中线折叠，左右两部分能够完全重合， ∴选项C是轴对称图形， ∵选项D中的图形无法找到对称轴， ∴选项D不是轴对称图形 2．年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：由题知，点和点关于轴对称， 因为点坐标为， 所以点的坐标为 故选：． 3．如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 4．折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出． 【详解】解：∵， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故选：C． 5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：， 由作图过程可知：平分，故①正确； ∵ 点在的垂直平分线上，故②正确； ∴，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 6．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称、求不等式组的解集 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，第一象限内点的坐标符号特征，先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的对称点，再根据第一象限内的点横坐标和纵坐标是正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为，且该点在第一象限， ∴ ， 解得， 故选：． 7．如图，在等边中，点在上，且，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由于将线段绕点O逆时针旋转得到线段，当点D恰好落在上时，易得：，根据旋转的性质可以得到，由此可以求出的长．过P作于H，根据含30度角的直角三角形的性质求得可得H与O重合，则利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，当点D恰好落在上时，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 过P作于H，则，， ∴，又， ∴H与O重合，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，关键在于熟练运用基础知识． 8．如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，所以当点M为的交点时，的周长最小，然后根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求出即可. 【详解】连接，，如图， 因为垂直平分， 所以， 所以的周长， 所以当点M为的交点时，的周长最小， 因为点D为边的中点，，底边长为6， 所以，， 因为等腰的底边长为6，面积是24， 所以，解得， 所以的周长最小值； 故选：A. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一的性质，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键. 9．如图，在长方形中，，，点是线段上的一个动点，点是点关于直线的对称点，在点的运动过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的定义，由轴对称的性质得，进而由等腰三角形的定义可得是等腰三角形有两种情况：和，据此即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由轴对称的性质得，， ∵， ∴是等腰三角形有两种情况：和， ∴使为等腰三角形的点的位置共有个， 故选：． 10．如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． A、证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得等腰直角三角形，则； B、根据可依据“”判定和全等得，据此可对该结论进行判断； C、过点D作于点H，先证明和全等得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得，据此可对该结论进行判断； D、根据点N在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：A、∵于点D， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点M， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故选项A正确； B、∵于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确； C、过点D作于点H，如图所示： ∴， ∵于点M， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项C正确； D、∵点N在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故选项D不正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是，则这个等腰三角形的顶角度数为______． 【答案】或 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 12．如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则___． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点， ∴， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，中，，，，点P从B出发．以的速度沿向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以的速度，沿向A运动，当与全等时，_____． 【答案】或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． 分两种情况①当时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点P从点B出发，以的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴ 解得：，； ②当， 时，， ∵， ∴ ∴， 解得：， 则 ∴， 综上所述：当或时， 与全等， 故答案为：或． 14．如图，分别为上的点，分别为上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， ∴的最小值为的长． ∵， ， ∴， ∴为等边三角形， ， 即的值最小为4； 故答案为：． 15．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．已知点 (1)当点P到两坐标轴的距离相等，点P的坐标为______． (2)如果点M在第三象限，且点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4，求点M的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标； （1）根据点P到两坐标轴的距离相等可得横纵坐标相等或互为相反数，分别列式求出a的值，然后可得点P的坐标； （2）第三象限内的点横纵坐标都是负数，且到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴或， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （2）∵点M在第三象限，且点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4， ∴点M的纵坐标为，横坐标为，即． 17．在中，，垂足为D，点P在直线上，，垂足分别为E，F．    (1)如图①，当P是中点时，易证：（不需证明）； (2)当P为线段上任意一点时，如图②，（1）中结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的结论并证明； (3)当点P在线段延长线上时，如图③，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：如图①，连接，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； (2) （1）中结论仍成立．． 证明：如图②，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等腰三角形的定义 【分析】（1）连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点P在延长线上时，， 理由：连接，则，    即， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 18．如图，直线l同侧两个点A、B（需要写画法） (1)在直线l上求作一点M，使； (2)在直线l上求作一点N，使最小． 【答案】(1) 如图，连接，作的垂直平分线交直线于点， 则点即为所求： (2) 如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则点即为所求： 【知识点】轴对称中的光线反射问题、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、画轴对称图形 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交直线于点，则点即为所求； （2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），画轴对称图形等知识点，熟练掌握各种基本作图方法是解题的关键． 19．已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． (2) 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 20．如图，在中，，点在线段上运动（不与点重合），连结，作交线段于点． (1)若________，________，点从点向点运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)若，求证：． (3)在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)115，25，大 (2) 证明：∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴； (3)存在是等腰三角形的情形，此时等于或 【知识点】等边对等角、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角和内角和的定理，掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理解题即可； （2）根据证明全等即可； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， 当点从点向点运动时，逐渐变大， 故答案为：115，25，大； （2）略 （3）解：存在是等腰三角形的情形，理由如下： ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴点D与点B重合，不符合题意； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，的度数为或． 21．如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 22．在等边 中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)如图1，填空：__________度； (2)如图2，以为边作等边，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． (3) ，理由如下： 延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形三边的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，找到图中的全等三角形，进行解答，即可． （1）根据等边三角形的性质，则，，根据全等三角形的判定和性质，则，根据三角形的外角和，即可； （2）根据等边三角形的性质，，，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，根据三角形三边的数量关系，即可； （3）延长交于点，同（1）证明，得到，根据等边三角形的性质，角之间的数量关系，得到，根据平行线的判定和性质，则，，根据全等三角形的判定和性质，则，根据，，全等三角形的判定和性质，，推出，即可 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： （2）略 （3）略 23．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请求出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； (2) 解：，理由如下： 和均为等腰三角形， ∴，， ， ∴，即． 在和中， ， ， ∴． ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等： （1）利用等边三角形的性质得出，，，进而证明即可； （2）同（1）可证，推出．再根据为等腰直角三角形，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第2页（共26页） 试卷第25页（共26页） 学科网（北京）股份有限公司 $