第十五章 轴对称 对点导练&综合与实践 最短路径问题-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

章未对 单元考点整合 考点① 轴对称 1.下列图案是轴对称图形的是 明唐辰宋 A B C D 2.如图，△ABC中，AB的垂直平 分线DE分别与边AB,AC交于 点D,E.若△ABC与△BCE的 周长分别是36cm和20cm,则B 2題图 AD的长是 A.7cm B.8 cm C.14 cm D.16 cm 3.如图，直线11，l2相交于点O,点P关于直线 l1,l2的对称点分别为P1,P2 (1)若直线11，l2相交所成的锐角∠AOB= 65°，则∠P1OP2的度数为 (2)若OP=4,P,P2=7,则△P1OP2的周 长为 第3题图 第4题图 4.如图，△AOC和△AOB关于直线AO对称， △DOB和△AOB关于直线BO对称，OC 与BD交于点E.若∠C=15°，∠D=25°，则 ∠BEC的度数为 考点② 画轴对称图形 5.在平面直角坐标系中，点A(2,一m十1)与点 B(n+1,0)关于y轴对称，则代数式m一n 的值为 50 八年级数学RJ版 点导练 6.(2025一2026赣州崇义期中)如下图，在平面 直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别 为A(3,4),B(1,1),C(5,2). (1)画出△ABC关于y轴对称的图 形△A1B,C (2)画出△A1B,C1关于x轴对称的图形 △A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标. B 65432110.234.36 考点③ 等腰三角形 7.如图，在四边形ABDC中，∠A =105°.若点D在AB,AC的 D 垂直平分线上，则∠BDC的度 B 第7题图 数为 A.95° B.105°C.130° D.150° 8.如图，在△ABC中，AB=AC, 点D在边AB上，点E在边AC 上，将△ADE折叠，使点A落 在BC边上的点F处.若∠B= 第8题图 55°，则∠BDF+∠CEF的度数为 变式题如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC,∠BAC =50°，∠BAC的平分线与 AB的垂直平分线交于点O, B 点C沿EF折叠后与点O重 变式题图 合，则∠CEF的度数是 ( A.60°B.55° C.50° D.45 9.（2025一2026赣州安远期末)如下图，在 △ABC中，AB=AC,AD为△ABC的角平 分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与 AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF. (1)求证：DE=DF (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数， D 10.如下图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点 D,E是AB的中点，连接ED并延长，交 BC的延长线于点F,连接AF.求证： (1)EF⊥AB. (2)△ACF为等腰三角形. 考点④等边三角形 11.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=8,∠C= D 15°，过点B作BD∥AC,第11题图 过点A作AD⊥BD于点D,则AD的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 12.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分 别交AB,AC于点D,E.若AB=5,BD= 2,则△ADE的周长为 第12题图 第13题图 13.如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠CBA =45°.以AC为边，作等边三角形ACD,且 点D在AC的左侧，连接BD,则△ABD的 面积为 14.(2025一2026长春期中)如下图，在四边形 ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠A=60°， 点E为AD上一点，连接BD,CE交于点 F,CE∥AB (1)判断△DEF的形状，并说明理由 (2)若AD=13,CE=9,则CF的长为 上册第十五章 51△ 已中考真题演练 15.跨化学学科（2025新疆)下列四种化学仪 器的示意图中，是轴对称图形的是（ B 16.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC=7, AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D, E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 F,G,则△AEG的周长为 ) A.5 B.6 C.7 D.8 第16题图 第17题图 17.(2025长沙)如图，将△ABC沿折痕AD折 叠，使点B落在AC边上的点E处.若AB =4,BC=5,AC=6,则△CDE的周长为 A.5 B.6 C.6.5 D.7 18.（2025辽宁）如图，在 D △ABC中，AB=16,BC =12,CA=10,∠ABC 、E B 的平分线BP与AC相交 第18题图 于点D.在线段AD上取一点K,以点C为 圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交 于点M和点N,再分别以点M和点N为 圆心，大于2MN的长为半径作弧，两弧相 交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E, 连接DE,则△DAE的周长为 ( A.12 B.14 C.16 D.18 452 八年级数学RJ版 19.(2025资阳)）如图，在四边形ABCD中， ∠A=∠B,点E在线段AB上，CE∥DA. 若使△BCE成为等边三角形，可增加的一 个条件是 E 0 E 第19题图 第20题图 20.(2025南充改编)如图，∠AOB=90°，在射 线OB上取一点C,以点O为圆心，OC长 为半径画弧：再以点C为圆心，OC长为半 径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D, 连接并延长CD交射线OA于点E.设OC =1,则CE的长是 21.(2025长沙)如下图，在△ABC中，AB= AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半 径作弧，交CA于点M,交CB于点N,再 分别以点M,N为圆心，大于MN的长度 为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP 交AB于点D. (1)求∠BCD的度数. (2)若BC=2.5,求AD的长. 综合与实践 最短路径问题（新趋势） 请根据以下素材，完成探究任务， 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“高悬大镜，坐见四邻.”高 诱注：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合 反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践. 背景材料 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面 反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离.17世纪，法国数学 家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路 径最短)，从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等 领域 (1)如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平 面镜AB的对称点C',连接C'D,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线， ED为反射光线，求证：CE十DE最短，请在括号内填写依据. 证明：如图①，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E',连接DE',CE',C'E', 任务1 在△C'DE'中，C'E'+DE'>C'D( 证明反射路径最短 ,实物C与点C关于平面镜AB对称， ∴AB垂直平分CC', ∴.CE=C'E,CE'=C'E'( .C'D=C'E+DE=CE+DE,CE'+DE'>C'D, ∴.C'E'+DE'>CE+DE 任务2 (2)如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上，试 确定挡板反射范围 确定反射光线在EF上的最高点P和最低，点Q(简单说明作图) 任务3 (3)如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB=60°，点P为距离地面OB 计算与最短路径有关 8cm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点.当光线经过的路径长最 的长度 短为10cm时，PD的长为 cm D 图① 图② 图③ 上册综合与实践 53△∴∠FAE=∠BAE. (AF=AB, 在△AEF和△AEB中，{∠FAE=∠BAE, EA-EA, .△AEF≌△AEB(SAS), ∴.∠AFE=∠ABE=90°，即EB⊥AB. 4.证明：(1)，AE⊥BD,.∠AFB=∠BAC=90°， ∴.∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAE=90°， ∴.∠ABD=∠CAE. (2)如图，过点C作CM⊥AC,交 AE的延长线于点M,则∠ACM =90°， ∴.∠ACM+∠BAC=180°， .CM∥AB, ∴.∠MCE=∠ABC. AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴.∠MCE=∠ACB. 在△ABD和△CAM中， ∠DAB=∠MCA, AB=CA, ∠ABD=∠CAM, ∴.△ABD≌△CAM(ASA), ∴.∠ADB=∠M,AD=CM. D为AC的中点，∴.AD=CD=CM. (CD=CM, 在△CDE和△CME中，∠DCE=∠MCE, CE=CE, ∴.△CDE≌△CME(SAS),∴∠CDE=∠M, .∠ADB=∠CDE. 5.证明：如图，在BC上取点E,使EB= AB,连接DE. ,BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠EBD. (AB=EB. 在△ABD和△EBD中，{∠ABD=∠EBD, BD=BD. ∴.△ABD≌△EBD(SAS), .∠A=∠BED=108°，.∠DEC=72. .AB=AC. 1 ·∠C=∠ABC=2×(180°-108)=36， .∠CDE=180°-∠DEC-∠C=72°， ∴.∠CDE=∠DEC,∴.CD=EC, 则BC=EC+EB=CD+AB. 6.证明：延长BA到点E,使AE=AD,连接 DE,如图. ∠BAD=120°，∴.∠DAE=180°-1209 =60°. 又：AE=AD,△DAE是等边三角形， ∴.DE=AD,∠E=60°. .BE=AB+AE,AC=AB+AD.AE=AD, ∴.BE=AC. (BD=CD. 在△BDE和△CDA中，BE=CA, DE=DA, ∴.△BDE≌△CDA(SSS),∴.∠E=∠CAD=60° :∠BAD=120°，.∠BAC=∠CAD=60°， .AC平分∠BAD. 7.证明：如图，延长DE,AB交于点F. AB∥CD, ∴∠CDE=∠F 在△DCE和△FBE中， ∠CDE=∠F, ∠DEC=∠FEB, CE=BE. ∴.△DCE≌△FBE(AAS),∴.CD=BF ∴.AF=AB+BF=AB+CD. :DE平分∠ADC,.∠ADE=∠CDE, ∠F=∠ADE,AF=AD,AD=AB+CD 章末对点导练 1.D2.B 3.(1)130°(2)15【解析】(1)：点P关于直线1，l2的 对称点分别为P,,P2,.∠P,OA=∠POA,∠POB =∠POB,∴.∠P,OP,=2(∠POA+∠POB)= 2∠AOB=2×65°=130°.(2)，点P关于直线11，l2的 对称点分别为P1,P2,.OP1=OP=OP2=4.:P1P2 =7,∴△P,OP2的周长=OP,+OP2+PP2=4+4 +7=15. 4.95°【解析】如图，延长AO交BD于点F. ,△AOC和△AOB关于直线AO对 称，.∠C=∠ABO=15°，∠OAC= ∠OAB.,△DOB和△AOB关于直 线BO对称，.∠DBO=∠ABO= 15°，∠D=∠OAB=25°，∴.∠OAC= 25°，∠ABD=∠ABO+∠DBO=30°， .∴.∠COF=∠C+∠OAC=40°，∠AFE=∠OAB+ ∠ABD=55°，∴.∠BEC=∠COF+∠AFE=95°. 5.4 6.解：(1)如图所示，△ABC1即为所求. (2)如图所示，△A2B2C。即为所求. B 65432102346x 由图可知，A(-3,-4),B2(-1,-1),C2(-5,-2). 上册详解详析 15△ 7.D 8.140°【解析】，AB=AC,∠B=55°， .∴.∠C=∠B=55°，.∠A=70° 由折叠可知，△ADE≌△FDE, ∴∠A=∠DFE=70. :∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠DFE+∠FDE+ ∠FED=180°， ∴.∠ADE+∠AED=110°，∠FDE+∠FED=110°. :∠ADE+∠FDE+∠BDF=18O°，∠AED+ ∠FED+∠CEF=180°， ∴.∠BDF+∠CEF=180°-∠ADE-∠FDE+180 -∠AED-∠FED=180°×2-110°×2=140°. 变式题C【解析】如图，连接OB,OC ∠BAC=50°，AO平分∠BAC, ÷∠BA0=号∠BAC=号X50°=25 又：AB=AC,∠ABC=∠ACB=65°. DO垂直平分AB,∴.OA=OB, ∴.∠ABO=∠BAO=25°， ∴.∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°. :AO平分∠BAC,AB=AC, 直线AO垂直平分BC,.OB=OC, ∴.∠OCB=∠OBC=40°. :点C沿EF折叠后与点O重合， ∴.OE=CE,∠CEF=∠OEF, ∴.∠COE=∠OCB=40. 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180 -40-40=100.∠CEF-3∠0EC=50 9.解：(1)证明：，AD为△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAD.由作图知，AE=AF. 在△ADE和△ADF中， AE=AF, ∠EAD=∠FAD, AD-AD. ∴.△ADE≌△ADF(SAS), ..DE=DF. (2):∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=3∠BAC=4O. 由作图知，AE=AD, 1 ∠ADE=2×(180°-40)=70°. ,AB=AC,AD为△ABC的角平分线， .AD⊥BC,即∠ADB=90°， .∠BDE=∠ADB-∠ADE=90°-70°=20° 416 八年级数学RJ版 10.证明：(1)，AB=AC,∠BAC=36°， 1 ·∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC)=72. :BD是∠ABC的平分线.∠ABD=Z∠ABC =36°. .∠BAD=∠ABD,∴AD=BD. 又E是AB的中点，∴DE⊥AB,即EF⊥AB. (2):EF⊥AB,E是AB的中点， .EF垂直平分AB,∴.AF=BF,.∠BAF =∠ABF. 由(1)，知∠ABD=∠BAD=36°， ∴.易得∠FAD=∠FBD=72°-36°=36. 又：∠ACB=72°，∴.∠AFC=∠ACB-∠CAF =36°， ∴.∠CAF=∠AFC=36°， ∴.AC=CF,即△ACF为等腰三角形. 11.A12.9 13.16【解析】，AB=AC, ∴.∠CBA=∠ACB=45°， ∴.∠CAB=180°-∠ACB-∠CBA=90. 如图，过点D作DE⊥BA,交BA 的延长线于点E, ,△ACD是等边三角形， .AC=AD=CD=8,∠DACE =60°， .∠DAE=180°-∠DAC-∠CAB=30°， DE-2AD-1 △ABD的面积=号AB·DE=X8X4=16 14.解：(1)△DEF是等边三角形.理由如下： AB=AD,∠A=60°， .△ABD为等边三角形，∠ADB=∠ABD=60°. CE∥AB,.∠DEF=∠A=60°，∠EFD=∠ABD =60°， ∴.∠EFD=∠EDF=∠DEF, ∴.△DEF是等边三角形 (2)5【解析】(2)连接AC交BD于 点O,如图. AB=AD,CB=CD,∴AC垂直平 分BD, .AC平分∠BAD,.∠BAO =∠DAO. ,CE∥AB,∴.∠ACE=∠BAO=∠DAO, ..AE=CE=9, .DE=AD-AE=13-9=4. ,△DEF是等边三角形， ..EF=DE=4, .CF=CE-EF=9-4=5. 15.C16.C17.D 18.B【解析】如图，设CE,BD交于 点O. :BP平分∠ABC, .∠1=∠2. 由作图可知，CE⊥BD, .∠BOC=∠BOE=90. 又BO=BO, ∴.△BOC≌△BOE(ASA), ..BE=BC=12.OC=OE, ∴.AE=16一12=4，BD是CE的垂直平分线， .DE=DC. .△DAE的周长为AD+DE+AE=AD+DC+ AE=AC+AE=10+4=14. 19.∠B=60°（答案不唯一）20.2 21.解：(1)，AB=AC,∠B=72°， ∴∠ACB=∠B=72. 由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=2X72=36 (2)在△BCD中，由三角形内角和定理得∠BDC 180°-∠B-∠BCD=180°-72°-36°=72°， ∴∠BDC=∠B,∴.CD=CB. 在△ACD中，∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°， .∴.∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°， .∠A=∠ACD,AD=CD,∴.AD=BC. BC=2.5,.AD=2.5. 综合与实践最短路径问题（新趋势） 解：(1)三角形两边之和大于第三边线段垂直平分线 上的点到这条线段两端点的距离相等 (2)如图①所示，作点A关于I的对称 点A',连接A'B,A'C并延长分别交P EF于点Q,P,则点P和点Q即为 所求. (3)4【解析】(3)如图②，过点P作 E 图① 关于OA的对称点P',过点P'作P'E ⊥OB于点E,交OA于点D,此时光线经过的路径长 最短. 由作图可知，PD=P'D,则P'E=P'D十DE=PD+ DE=10 cm. 过点P作PF⊥PD于点F, P'. .PC=8 cm, 易得EF=PC=8cm, ∴.P'F=10-8=2(cm). 光线射出经过镜面D处反射到地面 图② E点， .∠ADP=∠ODE=90°-60°=30. 又：∠ADP'=∠ODE=30°， ∠PDP'=60°，∴.△PDP'是等边三角形， ∴.DF=P'F=2cm, ∴.PD=P'D=4cm. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 1.D2.3×106 3.5【解析】，3×32X3m=3+2+m=3, .1+2+m=8,解得m=5. 变式题(1)9(2)5【解析】(1)由题意，得1+3+4= m一1，解得m=9. (2)a1-2m·a3m-"=a1-2m+3m-0=a"+6, ∴.1+m-n=n+6,∴.m-2n=5. 4.解：(1)原式=3.x3+9十x2+10-2x+3+8=3.x12十x12 2x12=2x12. (2)原式=-a3+2-(-a)2+3=-a5十a5=0. 5.3 6.解：(1).2=8,2=16， .2+b+3=2“X20X23=8X16X8=1024. (2)a++=a+y·a5=24,a+y=6, ,∴.a*=24÷6=4. 7.解：不正确.理由如下： :(a-b)2”·(b-a)3·(a-b)m-2=(a-b)2m· [-(a-b)]3·(a-b)m-2=-(a-b)2m·(a-b)3· (a-b)m-2=-(a-b)2m+m+1,.(a-b)2m·(b-a)3· (a-b)m-2≠(a-b)2m+m+1 16.1.2幂的乘方与积的乘方 1.A2.C3.B4.A 5.n256 6.解：(1)原式=3x1-7x2=-4x2. (2)原式=-2a2-a5+6=-2a2-a2=-3a2」 7.c 8.解：m=210=(2)25,n=35=(33)25. 2<33, .(2)25<(33)25,即m<n. 9.解：(1)3m=5,3"=2, ∴.3m+2m+1=(3")3×(3)2×3=53×22×3=1500. (2)13-1|+√3-2=0， ∴.3=1,3y=2, ∴.3rX3y=(3)3X(3)1=13X2=16. (3).x2m=3, .(x3")2-4(x3)2"=x6m-4.x"=-3.xm=-3(x2m)3 =-3×33=-81. 10.A11.B12.D13.B14.A15.xy 16.9×10 17.解：原式=-27a5·a3+16a2·a7-125a° =-27a9+16a9-125a =-136a°. 18.解：原式=4x"-x6"=3x"=3(xm)3=3×2=24. 19.1 20.4【解析】，42×52r+1-42r+1X52=203-4, 上册详解详析 17个