精品解析：贵州省部分学校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】,所以. 2. 某高中为了解全校学生课外阅读时长情况，采用分层抽样从高一、高二、高三共3000人中抽取人作为样本，已知高一、高二、高三的人数之比为，若样本中高三的人数比高一的人数多20，则（ ） A. 120 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的方法分析即可. 【详解】分层抽样中样本各层人数比等于总体各层人数比，因此样本中高一、高二、高三的人数之比为， 设样本中高一、高二、高三的人数分别为， 则由题意得：，解得：，所以. 3. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，， 当时，取，可得，但不满足，即，不符合的条件； 当时，对任意，均有恒成立，即所有中的元素都属于，满足， 因此实数的取值范围是. 4. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆锥侧面积公式求出母线长，再结合底面周长等于侧面展开图扇形的弧长计算圆心角. 【详解】设圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为（单位：弧度）。 根据圆锥侧面积公式，底面半径，侧面积， 代入得：，解得， 圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，而圆锥底面周长； 扇形弧长为，因此：，解得. 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合反例法证得充分性不成立，再利用诱导公式，可判定必要性成立，即可求解. 【详解】取，此时满足，可得，则， 所以若，则不一定成立，所以充分性不成立； 反之：若，可得，即， 则，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 6. 已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，其中 当时，为单调递增函数， 由，可得，即， 要使得的值域是，即的值域为， 则满足取满，所以； 当时，此时为单调递减函数， 若，即，可得，即的值域为， 因为，可得，所以不存在使得， 综上可得，实数的取值范围为. 7. 某商场有4种不同的礼品，每次有放回地随机抽取一种，共抽取3次，记为抽取的3件礼品的种类数量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定随机变量的可能取值，并直接算出两端易求的概率与 ，对于，巧妙利用对立事件公式简化计算，最后代入期望公式即可. 【详解】由题意知，每次抽取均有种可能，共抽取次，故总基本事件数为：. 随机变量的所有可能取值为, 当时,表示次抽取的礼品种类完全相同，共有种情况，则：. 当时,表示次抽取的礼品种类均不相同，共有种情况，则：, 当时,利用对立事件概率公式，可得, 所以，即. 8. 已知函数，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由对数定义域得出的前提，代入特殊点得到必要条件，验证仅满足，再求导证明时函数最小值为0，恒成立． 【详解】，需，故， 代入，， 由得， 令，当时，， 单调递增，且， 因此时，仅当时等号成立，满足， 当时，函数为，求导得， 在上单调递增，且， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值，， 故在上恒成立，符合题意， 综上，满足条件的a只有0． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线轴对称 C. 的图象关于中心对称 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】结合周期定义、对称的代数特征、导数法逐一判断选项正误. 【详解】选项A：由于，，因此，故是的一个周期，A正确， 选项B：若图象关于直线对称，则对任意满足， 计算得，， 显然两式不恒相等（如时，，），故B错误， 选项C：若图象关于中心对称，则对任意满足， 计算得，不恒为0（如时，和为），故C错误， 选项D：对求导得， 在区间上，，，，因此，故在上单调递减，D正确. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的中线长2，若，记为的面积，则（ ） A. 若，则 B. 最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】在中线分割的两个小三角形中分别用余弦定理，利用邻补角余弦相反的性质消去角度，得到三边关系，再结合大三角形余弦定理和基本不等式确定参数范围，逐一验证选项． 【详解】设边的中点为，则，， 在中，由余弦定理得， 即①， 在中，由余弦定理得， 即②， ，故， 联立①②得③， 已知，则， 化简整理得④， 在中，由余弦定理得： ⑤， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， ，故，故，解得， 故； 若，则，解得， ，故A正确； 联立可得， 故，当且仅当时等号成立，故，B正确； ，且，故，，故C错误； 且，则，故D错误． 11. 如图所示，点是双曲线上一点，，为的左、右焦点，延长交于另一点，已知是等腰直角三角形，若位于第一象限，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 与切于点处的直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A根据焦点三角形及已知条件求出各段长，计算比值；选项B根据直角三角形勾股定理计算的方程；选项C求角的正切值，计算斜率；选项D利用双曲线的光学性质求解. 【详解】 设，， 则，， 是等腰直角三角形，， 所以，即，， ， ，， ，选项A正确； ，，即， ，，选项B错误； ， 直线的斜率为，选项C正确； 由双曲线的光学性质，与切于点处的直线平分，故垂直于直线， 则直线的斜率为， 故与切于点处的直线的斜率为，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，当时，，则时，的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义,把时的函数值转化为时的函数值. 【详解】设,则. 因为当时,,所以. 又是奇函数,所以,即. 所以当时,. 13. 已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于，两点，为坐标原点且，则的最小值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】先确定抛物线基本参数，利用抛物线定义表示，再利用 的条件建立关系，最后求出的最小值. 【详解】，，，准线方程：， 设，， 则，，. 又， ，两式相乘得：. 因为，所以，即， 即，解得：或（舍）， 所以，又，， ， 当且仅当时，等号成立. , 故的最小值为10. 14. 设正四面体的棱长为，为正四面体内一点，设四面体，，，的体积分别为，，，且，延展平面与交于，延长交于，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】计算正四面体的体积，转化体积关系为点到平面的距离关系，推导的位置特征，计算线段比例. 【详解】 正四面体的棱长为，底面正三角形面积， 正四面体的高为，体积为， ，，所以， 设点到平面、平面的距离分别为， ，，所以，. 设在平面内的射影为，在平面内的射影为， 平面与交于，因为平面，平面， 故，同理，而，平面， 故平面，而平面，故， 故为的平面角， 如下图， 取为的中点，连接，则， 则为的平面角，而，， 故， 在平面中建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则的直线方程为即， 因为，故， 因为在内，故，故， 所以，令，则； 由可得， 设，，则， 故的轨迹为线段，且， 而中，边上的高为， 故在空间中，当变化时，的轨迹为如图所示的四边形， 其中分别为所在棱的中点，则四边形为平行四边形， 故到平面的距离相等，故，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式与前项和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用二项式定理，令， 得到的二项展开式，通过对比直接得到的通项公式，再代入等比数列求和公式计算前n项和；(2)采用错位相减法，通过乘公比、两式错位相减、合并等比项后化简，最终得到前n项和. 【小问1详解】 由，令， ， 得， 因为， 所以恰好是 的二项展开式，即， 故 是首项为 4、公比为 4 的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以 ① ② 由①−②得： 化简得数列的前项和. 16. 某实验室研究货车载重（单位：吨）与刹车制动距离（单位：米）之间的关系，在相同条件下测得以下7组数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 11 12 20.5 24.4 28.2 32.1 36.0 37.9 39.8 该实验室的研究方案是：先用前5组数据求经验回归直线方程，再用最后2组数据检验． （1）根据前5组数据求关于的经验回归方程； （2）若由经验回归方程得到的估计数据与后两组数据的误差均不超过1，则认为经验回归方程是理想的．该小组所得的经验回归方程是否理想？请说明理由． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）所得经验回归方程是理想的 【解析】 【分析】（1）先计算前5组数据的均值、交叉乘积和与平方和，代入最小二乘公式求出经验回归方程， （2）将后两组的载重代入方程得到估计制动距离，计算误差判断是否符合要求 【小问1详解】 取前5组数据计算： 首先计算均值： ， ， 再计算求和项： ， ， 代入最小二乘公式： ， ， 故经验回归方程为. 【小问2详解】 代入后两组数据检验： ① 当时，代入回归方程得，实际值为37.9，误差为； ② 当时，代入回归方程得，实际值为39.8，误差为， 两组数据的误差均不超过1，因此该经验回归方程是理想的. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在中，，，故为等腰三角形，， 在中，，故为等边三角形，， 因此，即. 又平面，故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 在中，由正弦定理得， 依题意得，，，，，是中点，故， ，， 设平面的法向量为，则， 令，得平面的一个法向量为， 因为，，故， 又平面，因此平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明直线方向向量与法向量垂直，结合线在面外即可证线面平行； （2）利用线面角的向量公式，直接得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，得， 由（1）知平面的一个法向量为，得， ， 设直线与平面所成角为，则 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）证明：当时，； （2）当时，恒成立，求的最小值； （3）设数列满足：，，证明：． 【答案】（1）证明：当时，恒成立， 则在上单调递增，所以， 即当时，，得证. （2） （3）证明：由（2）知，故时，，命题成立； 记，则个， 假设存在正整数使得，取是这些数中最小的那一个， 则，于是（否则与的最小性矛盾）， 则． 令，则， 则当时，，故在内恒成立． 所以在内单调递增，而，故在内恒成立． 于是对于正整数，即， 这与矛盾，故假设不成立． 于是对任意正整数，命题得证． 【解析】 【分析】（1）求导判断函数单调性再代入计算即可求解； （2）令，通过二次求导后分和讨论即可； （3）首先验证时，，再记，最后利用反证法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）解：令， 则． 当时，由（1）可知在恒成立， 此时在上单调递减，而， 故在恒成立，此时在上单调递减， 而，故在恒成立， 即在恒成立，满足要求； 当时，则必定存在实数，使得时，． 由于，则在上恒成立， 此时在上单调递增，而，故在恒成立， 此时在上单调递增，而，故在恒成立， 此时在上单调递增，而，故在恒成立， 即在恒成立，不满足要求． 综上，的最小值为． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：，圆：，且，为椭圆上两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆上一点沿逆时针方向作圆的切线与椭圆交于，再过点沿逆时针方向作圆的切线与椭圆交于，…，依此类推得到点，，已知，． （ⅰ）求的值，并证明与重合； （ⅱ）求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）（i）；证明：设，由于与圆相切， 同求解的过程有，故， 故，故与重合． （ii）. 【解析】 【分析】（1）直接代入点坐标即可得到其标准方程； （2）（i）写出直线的方程，再根据直线与圆相切得到和，从而得到，即得到，同理得到，则，即证明点重合； （ii）根据对称性得为平行四边形，利用换元法得到的表达式，再根据对勾函数单调性即可得到面积的取值范围. 【小问1详解】 将点代入有：， 故，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）直线的方程为： 化简有：． 由于直线与圆相切，故， 平方后化简有：， 即:又因为化简有：， 即：， 即：①． 对于直线与圆相切，同理有：②， 于是将①②两式左右交叉相乘有： ， 若，则或， 若，结合可得，同理， 而，，故， 故， 同理当时，，故，同理可得. 当时，则有，故， 故． （ii）由（i）知：如图，与关于原点对称，与关于原点对称，故为平行四边形． 设与圆相切于，设，， 由切线长定理：，, 故，故，故为菱形． 所以． . 由（i）知：， 故，， 令， 故， 故在上单调递减，在上单调递增． 当时有最小值， 当时，， 所以，所以． 若，，则，而为菱形， 所以为椭圆的四个端点，， 故四边形面积取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 2. 某高中为了解全校学生课外阅读时长情况，采用分层抽样从高一、高二、高三共3000人中抽取人作为样本，已知高一、高二、高三的人数之比为，若样本中高三的人数比高一的人数多20，则（ ） A. 120 B. 150 C. 200 D. 250 3. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某商场有4种不同的礼品，每次有放回地随机抽取一种，共抽取3次，记为抽取的3件礼品的种类数量，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线轴对称 C. 的图象关于中心对称 D. 在上单调递减 10. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的中线长2，若，记为的面积，则（ ） A. 若，则 B. 最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 如图所示，点是双曲线上一点，，为的左、右焦点，延长交于另一点，已知是等腰直角三角形，若位于第一象限，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 与切于点处的直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是奇函数，当时，，则时，的解析式是_______． 13. 已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于，两点，为坐标原点且，则的最小值为_______． 14. 设正四面体的棱长为，为正四面体内一点，设四面体，，，的体积分别为，，，且，延展平面与交于，延长交于，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式与前项和； （2）若，求数列的前项和． 16. 某实验室研究货车载重（单位：吨）与刹车制动距离（单位：米）之间的关系，在相同条件下测得以下7组数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 11 12 20.5 24.4 28.2 32.1 36.0 37.9 39.8 该实验室的研究方案是：先用前5组数据求经验回归直线方程，再用最后2组数据检验． （1）根据前5组数据求关于的经验回归方程； （2）若由经验回归方程得到的估计数据与后两组数据的误差均不超过1，则认为经验回归方程是理想的．该小组所得的经验回归方程是否理想？请说明理由． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）证明：当时，； （2）当时，恒成立，求的最小值； （3）设数列满足：，，证明：． 19. 已知椭圆：，圆：，且，为椭圆上两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆上一点沿逆时针方向作圆的切线与椭圆交于，再过点沿逆时针方向作圆的切线与椭圆交于，…，依此类推得到点，，已知，． （ⅰ）求的值，并证明与重合； （ⅱ）求四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $