精品解析：四川省绵阳市南山中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

绵阳南山中学高2026级高一（上）十月月考 数学试题 （满分 150 分　　时间 120 分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常用数集、元素与集合间的关系逐项判断即可. 【详解】由于表示有理数集，表示实数集，表示自然数集，表示整数集， 所以，，，. 故选：D 2. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元．现有工人工资预算元，设请木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把总工资用表示，再与预算比较即可得出解答． 【详解】由题可得，木工工资元，瓦工工资元，又工人工资预算元，所以， 即，且． 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变． 【详解】原命题的否定为“，”． 4. 已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 5. 已知函数： 则函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求，再求的值. 【详解】由题意可得：， 所以， 故选：A 6. 已知全集 ，且 都是 的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】阴影在 内、在 外，即 中不属于 的部分． 【详解】阴影部分属于 且不属于 ，即 ． 7. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 8. 对非空实数集合，规定：，称为集合的差集．已知集合是由整数构成的非空集合，满足，则集合中所有元素之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知中最大、最小元素差为4，由差集确定中的三个元素，求出三个元素的和，再由选项即可得出判断． 【详解】由，知中任意两元素之差都是偶数，则中所有元素均为奇数或均为偶数； 由中元素最大差为，所以的元素只能是三个：，，，，此时，符合题意. 又因为中三个元素和为，易知元素和为3的倍数，选项中只有0为3的倍数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. 集合有8个子集 B. 集合中有6个元素 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出集合的子集判断A，求出集合判断B，并集运算判断C，根据集合关系判断D. 【详解】集合的子集为：共8个，所以选项A正确； 由集合，所以， 所以集合中有5个元素，所以选项B错误； 由及知，所以选项C正确； 因为，但是，所以不成立，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 11. 表示不大于 的最大整数，如：，，．已知实数 满足 ，若关于 的不等式 的解集中 有且仅有 个数，则实数 的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得解不等式解集区间，再由区间内整数个数确定 的范围，最后检验选项． 【详解】由 得 ． 要想解集中 有且仅有 个数，则，即 ， 不等式的解集为 ，区间长度为 ； 由 得 ，故解集中的整数为 ， 恰有 个等价于，即 ， 再由 得 ，解得 ． 所以 ，选项中只有 满足． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】集合、均为平面点集，求交集等价于联立两个对应的方程，求解公共解构成的集合. 【详解】集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合， 因此为两个图象公共点构成的集合， 联立方程如下：，整理得， 解得，， 将代入，得；将代入，得， 经检验，两组解均满足原方程组， 因此直线和反比例函数图象的公共点为和， 故. 13. 函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 14. 已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合，再求出集合，利用必要条件建立不等关系讨论即可． 【详解】由，得，. 当时，取最小值为，当时，，所以. 由题意可得，. 若是的必要条件，则， 令，解得或. 当，即时，，则，即； 当，即时，，则，即； 当，即时，此时，不满足题中条件. 综上所述：的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件以及对是否为空集进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以. 【小问2详解】 由于“”是“”的充分不必要条件，所以是真子集的, 若，即，，满足是真子集的. 若，即，，要使是的真子集， 则需（且等号不同时成立），解得. 综上所述，的取值范围是. 16. （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 ，若 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为． （2）由，得 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故． 17. 已知 是二次函数，满足 且 ． （1）求 的解析式； （2）解关于 的不等式 （其中 ）． 【答案】（1）； （2）当时解集为；当时解集为；当时解集为 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的一般式表示，代入条件关系式中求解即可；（2）将求得的二次函数表达式代入，因式分解后对进行讨论，从而比较方程两个根大小，得到不等式解集． 【详解】（1）设 ，由 得 ． 又 ， 所以 且 ，解得 ，， 故 ． （2）原不等式即 ， 整理得 ，即 ， 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ． 18. 据百度百科，罗伯特·纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于 年发明了家庭作业．对于数学学科来说，家庭作业通常由选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升．这位专家把一个选择题量化为 ，一个填空题约量化为 ，一个解答题约量化为 ．于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化．家庭作业量对应的关联函数，家庭作业量 对应的学习成绩提升效果 可以表达为 轴、直线 以及关联函数 所围成的封闭多边形的面积 与 的比值（即 ）．通常家庭作业量 使得 认为是最佳家庭作业量． （1）求， 的值； （2）求当 时，的解析式； （3）树人中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题（个选择题、个填空题及 个解答题），问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【答案】（1）， （2） （3）是最佳家庭作业量 【解析】 【详解】（1） 时 ，故 ，． （2） 时 ，． 当 时，， 所以 ； 又 ， 当 时 ，，故 ． 所以 ． （3）该班家庭作业量 ， 由 得 ， 所以这个班级的数学家庭作业量是最佳家庭作业量． 19. 已知集合 ，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：，并求满足的 的值． 【答案】（1）证明：因为 且，所以 ， 于是 ，而，故是偶数． （2）； （3）证明：因为 ，且 ， 所以， 又， 所以 ． 或 ． 【解析】 【分析】（1）对x取倒数并分母有理化，利用化简得到，结合m是整数证明其为偶数； （2）设，根据对整数n枚举求解m，筛选出落在区间内的a值； （3）将原式转化为c乘共轭根式，展开后验证满足集合A的定义完成证明；再计算区间边界，找出范围内符合集合性质的c值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，逐个检验：时，，，对应不在内； 时无整数解； 时 ，，其中，，舍去； 时，故或，当时，， 不在内； 当时，，不在内； 综上，满足条件的只有． 【小问3详解】 证明：略， 由且，则， 设，则， 故，故且， 故，且即， 设， 若，则，故， 故且即.故为正整数， 设中最小元素为， 若，则，此时，与矛盾， 若，则，无整数解； 若，则，此时， 当时，，故，此时， 故中最小元素为. 设，且，则由前述证明可得存在唯一的正整数，使得， 故，故，故， 故中元素为. 因为，且， 故或， 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2026级高一（上）十月月考 数学试题 （满分 150 分　　时间 120 分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元．现有工人工资预算元，设请木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A. B. C. D. 5. 已知函数： 则函数（ ） A. B. C. D. 6. 已知全集 ，且 都是 的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 对非空实数集合，规定：，称为集合的差集．已知集合是由整数构成的非空集合，满足，则集合中所有元素之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. 集合有8个子集 B. 集合中有6个元素 C. D. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 表示不大于 的最大整数，如：，，．已知实数 满足 ，若关于 的不等式 的解集中 有且仅有 个数，则实数 的可能取值是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则________． 13. 函数的定义域是________ 14. 已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 ，若 恒成立，求 的取值范围． 17. 已知 是二次函数，满足 且 ． （1）求 的解析式； （2）解关于 的不等式 （其中 ）． 18. 据百度百科，罗伯特·纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于 年发明了家庭作业．对于数学学科来说，家庭作业通常由选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升．这位专家把一个选择题量化为 ，一个填空题约量化为 ，一个解答题约量化为 ．于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化．家庭作业量对应的关联函数，家庭作业量 对应的学习成绩提升效果 可以表达为 轴、直线 以及关联函数 所围成的封闭多边形的面积 与 的比值（即 ）．通常家庭作业量 使得 认为是最佳家庭作业量． （1）求， 的值； （2）求当 时，的解析式； （3）树人中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题（个选择题、个填空题及 个解答题），问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 19. 已知集合 ，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：，并求满足的 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $