精品解析：贵州黔西南布依族苗族自治州册亨县第一高级中学2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷

2026－2027学年度秋季学期第一次月考试卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，8小题，共40分） 1. 直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 2. 两平行直线 ， 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 7. 经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三点，，共线，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每题6分，共3小题，共18分） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与平行 C. 直线与垂直 D. 点到的距离为2 10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 与夹角的余弦值是 C. 在上的投影向量的坐标是 D. ，两点间距离为 11. 如图，在圆柱中，分别是圆､圆的直径，四边形是边长为4的正方形，是弧的中点，是弧上更靠近的三等分点，且在平面的同侧.以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，点的坐标为，则（ ） A. 的坐标为 B. 的坐标为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3小题，共15分） 12. 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 13. 已知两条直线，的方向向量分别为，，且，则实数_________． 14. 如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 四、解答题（共5题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知点，，， （1）求边所在的直线方程； （2）求三角形的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： （1）点A，B，C，D，P的坐标； （2）平面的一个法向量． 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）设，，，用，，表示； （2）求证：； （3）求的长． 18. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）若，求二面角的余弦值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度秋季学期第一次月考试卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，8小题，共40分） 1. 直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 2. 两平行直线 ， 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ，， 所以两条直线间的距离为 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，解得． 所以． 5. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】， ，． 所以 ． 6. 已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法法则即可计算． 【详解】如图： 则. 7. 经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求两直线的交点坐标，再由垂直关系得出所求直线的斜率，即可得解. 【详解】由，解得， 所以直线与的交点为， 又与直线垂直的直线斜率， 所以直线方程为，即. 8. 已知三点，，共线，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，，结合三点共线，则， 所以，可得，故. 二、多选题（每题6分，共3小题，共18分） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与平行 C. 直线与垂直 D. 点到的距离为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行与垂直的判断即可求解BC，根据点到直线的距离公式即可求解D，将直线化成斜截式即可判断A. 【详解】直线变形为， 故直线的斜率为，倾斜角为，A错误， 由于且，故直线与平行，B正确， 由于，故直线与垂直，C正确， 到的距离为,D错误. 10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 与夹角的余弦值是 C. 在上的投影向量的坐标是 D. ，两点间距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算根据单位向量的定义判断A；利用向量夹角的公式求解判断B；结合投影向量的公式以及模长公式求解判断C，D． 【详解】由题意得，，，， 所以，. 由单位向量的定义可知，与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确； ，故B正确； 在上的投影向量的坐标是，故C错误； ，两点间的距离，故D正确． 11. 如图，在圆柱中，分别是圆､圆的直径，四边形是边长为4的正方形，是弧的中点，是弧上更靠近的三等分点，且在平面的同侧.以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，点的坐标为，则（ ） A. 的坐标为 B. 的坐标为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据和的长度代入即可得出点的坐标，根据圆的性质即可得出点的坐标，分别用向量表示和，代入计算即可得出异面直线与所成角的余弦值，判断的外接圆心的位置进而推出三棱锥外接球的球心的所在直线的位置，将点和点的坐标代入球的方程即可得出半径. 【详解】由题可得，，， 因为四边形是边长为4的正方形，且平面， 所以点坐标为，故A正确； 因为点是弧上更靠近点的三等分点，且点在平面上连接， 所以，所以，即点坐标为，故B错误； 设异面直线和所成角为， 因为，， 则，故C正确； 如图可得，圆是的外接圆，圆心为点， 所以的外接圆的圆心坐标为，则三棱锥外接球的球心在轴上， 设三棱锥外接球的球心坐标为，半径为， 则外接球方程为， 将点和代入方程得， 解得，所以三棱锥外接球的半径为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3小题，共15分） 12. 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率. 13. 已知两条直线，的方向向量分别为，，且，则实数_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示及向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】若，则，即，解得. 14. 如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】在直三棱柱中，，. 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 所以. 设异面直线和所成角为， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. 四、解答题（共5题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知点，，， （1）求边所在的直线方程； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）边所在的直线方程为 （2）三角形的面积为4 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程，最后整理成一般式即可； （2）先由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，由两点间的距离公式可得，最后计算得出三角形的面积. 【小问1详解】 由，可得， ， 由点斜式可得， ，整理可得，， 所以边所在的直线方程为. 【小问2详解】 点到直线的距离， 因为点到直线的距离等于三角形中边上的高， 所以，且， 则， 所以三角形的面积为4. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： （1）点A，B，C，D，P的坐标； （2）平面的一个法向量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在四棱锥中，底面为正方形， 平面， 则直线两两互相垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  由，则. 【小问2详解】 ，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的一个法向量为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）设，，，用，，表示； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1） （2）由（1）得，又， 又，，， 所以 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理可表示向量； （2）利用基底法可得向量数量积，即可得证； （3）利用基底法求向量模长. 【小问1详解】 由已知可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 又，，，． 则 . 18. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）底面，底面， ， 又为正方形，， 又平面，且， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线垂面的性质得到线垂线，再利用先面垂直的判定定理即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 因为平面在面内，可设平面法向量为， 所以设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）若，求二面角的余弦值； 【答案】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）根据，，，证明，，由，建立空间直角坐标系，写出点的坐标及向量的坐标，求出平面的法向量，即可求出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面BDM的法向量为，所以即 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $